【信息与计算科学专业毕业论文】被捕食者具有龄阶段结构的LeslieGower捕食模型的定性分析.doc

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1、 毕业设计（论文）题目:被捕食者具有年龄阶段结构的Leslie-Gower捕食模型的定性分析学生姓名 学号 专业 信息与计算科学 班级 指导教师 评阅教师 完成日期 *年 *月 *日目 录摘要（3）关键词（3）前言（3）一、微分方程稳定性理论初步（4） 1.1 微分方程解的稳定性的定义（4） 1.2 Lyapunov第二方法（5） 二、生态系统中的数学模型（6） 2.1 经典的Lotka-Volterra模型（6） 2.2Lotka-Volterra模型的缺陷及其改进形式（6） 三、一个具有年龄阶段结构的Leslie-Gower捕食模型的定性分析（8） 3.1 具有年龄阶段结构的Leslie-

2、Gower捕食模型的提出（8） 3.2 关于这个新模型的定性分析（8） 3.3 关于3.2中定理6、7、8成立条件的比较（20） 3.4 系统3.1（1）的数值模拟（20） 四、总结（21）致谢（21）参考文献（21）被捕食者具有年龄阶段结构的Leslie-Gower捕食模型的定性分析摘要:本文提出了一个被捕食者具有年龄阶段结构的Leslie-Gower捕食模型首先证明该模型的正常数平衡解总是局部稳定的，然后利用三种不同的数学方法分析了该捕食模型的平衡解全局稳定的条件，并在文章的最后比较了所得结果的优越性Abstract: This paper deals with a Leslie-Gowe

3、r predator-prey model with stage structure for the prey. At first, the local stability of its unique positive constant steady state solution is proved, and then, by use of three different kinds of mathematical method, the global stability of its steady state solution is given. Finally, a comparison

4、has been done between the results got from these different methods.关键词：Leslie-Gower捕食模型;年龄阶段结构;常数平衡解;局部稳定性;全局稳定性;逗留性;Lapunov函数;迭代.key words: Leslie-Gower prey-predator model; age-structure; constant steady state; local stability; global stability; persistence; Lyapunov function; iteration.前言在生物和化学等学

5、科领域中，往往需要借助于一个微分方程或微分方程组去描述物质间相互作用的过程通常情况下，常微分方程组具有一个或多个非负的常数平衡解，生物数学家、应用数学家最关心的性质之一就是这些非负的常数平衡解是否稳定例如，若能在理论上证明一个正的常数平衡解的稳定性，这就表明对于对于这个系统任给的初始值而言，随着时间的推移，系统将最终趋于一个稳定状态而稳定状态的获得就具有很大的实际意义，它表明系统最终状态将不受初始状态的影响在稳定性数学理论发展进程中最伟大的事件是彼得堡科学院院士，俄国数学家Lyapunov于1892年完成的博士论文“运动稳定性的一般问题”，文中科学地给出了系统中质点运动稳定和渐近稳定的概念，将

6、一般阶微分方程组中扰动解渐近性质归结为讨论一个称为Lyapunov函数的标量函数对系统的全导数的一些特性，建立了稳定性理论的框架20世纪60年代末，Lyapunov稳定性理论方法有了长足的进步，因此用上述理论方法来研究生态学中的稳定性问题成为顺理成章的事情例如在文献15中，Yihong Du利用构造几种不同的Lyapunov函数的方法研究了一个带有扩散的Leslie-Gower模型，得到了这个系统正平衡解全局稳定的条件；而文献11中，Rui Xu利用构造Lyapunov函数的方法研究了一个基于比率的带有分层结构捕食模型的正平衡解的全局稳定性在Lyapunov第二方法取得长足进展的时候，人们发现

7、在证明一个系统解稳定时该方法不一定是最优的，这就促使人们去思考其它不同的方法去证明系统的解稳定本文中将涉及到一种迭代的方法，迭代方法的基本思想是：先初步得出系统中所有变量的一个上下界，然后逐步将这个上下界精确化，找出一个收敛的条件设法使得所得的上下界收敛，这个收敛的条件就是系统的解全局稳定的条件如在文献14中，Rui Xu 和Zhien Ma就采用迭代的方法研究了一个带有时滞的捕食模型，得到了较好的结果生态系统中存在着大量的复杂现象，这些现象的复杂性使得我们已经不能用常规的简单方法去分析它，这就迫使我们去求助于微分方程所描述的系统，通过从数学的角度对这些微分方程进行稳定性分析，找出系统稳定的条

8、件，从而更深刻地去了解生态系统的稳定性在对生态系统模型进行考察的时候，除了要考虑它的正常数平衡解的稳定性之外，一个重要的性质逗留性（也称持久性或持续性）也是人们经常考察的对象，它表明在系统经历一段时间后，系统中的物种即不会死亡也不会无限制地繁殖增长，表明系统中的物种处于一种和谐相处的状态中如在文献11中，Rui Xu, M.A.J Chaplin和F.A.Davidson就考查了一个带有年龄阶段结构的捕食模型的逗留性和正常数解的稳定性用稳定性的数学理论研究任何现实世界的问题必须依赖于所研究的实际系统的数学模型所以，如果我们有一个足够好的，即恰当完整地描述或揭示生物群落或生态系统结构、功能及其他

9、性质的数学模型，那么现实生物群落或生态系统的稳定性质就能够通过研究系统的数学模型，用稳定性理论和方法推出在研究一些特定的系统时，生态数学模型方法有明显的优势，从生态系统中抽象出来的数学模型，就能够很好地被用数学方法进行研究从上个世纪开始，各种各样的生物数学模型已经引起了人们的高度关注特别地，作为生态系统中最常见的模型之一，应用数学家和生态学家对捕食被捕食模型产生了极大的兴趣，自从经典的Lotka-Volterra模型在精确描述生物学中的许多现象时出现不可避免的局限以来，人们已经意识到了这个模型的粗糙性，许多学者都试图从数学或生态学的角度去构造更精确的模型在这些改进的Lotka-Volterra

10、模型中，其中有一个被称为Leslie-Gower模型的模型近些年来，许多学者对这个模型进行了大量的研究，其中比较著名的有Yihong Du,Mingxing Wang, Peter Y.H.Pang, Rui Peng,Rui Xu, Sze-Bi Hsu这些研究对于进一步了解生态系统的内部行为有着重要的意义本文中所讨论的模型也是对Lotka-Volterra模型的一个改进形式，在这个模型中我们假设系统中存在着不成熟的被捕食者、成熟的被捕食者、捕食者三个种群，同时假设不成熟的被捕食者之间是没有种间竞争的，因为它们都是由成熟的被捕食者提供食物，我们又假设不成熟的捕食者不会被捕食者捕食，因为它们受

11、到成熟的被捕食者的保护我们首先利用常微分方程的线性近似理论证明了在任何条件下，该模型的唯一正平衡解都是局部稳定的，然后，我们利用构造Lapunov函数的方法和迭代方法分别寻找出了这个系统全局稳定的条件，并且讨论了这些条件之间的关系对于该模型, 理论推导表明: 迭代方法获得的结果要好于构造Lyapunov函数的方法获得的结果一 微分方程稳定性理论初步 1.1微分方程解的稳定性的定义对于以下的微分方程组， 1.1（1）定义：如果对任意给定的，存在（一般与和有关），使当任一满足，时，方程组1.1（1）的由初始条件确定的解均有 ，对一切则称方程组1.1（1）的零解为稳定的如果1.1（1）的零解稳定，且

12、存在这样的使当，时，满足初始条件的解均有则称零解为渐近稳定的如果渐进稳定，且存在域，当且仅当时满足初始条件的解均有，则域称为稳定域或吸引域若稳定域为全空间，即，则称零解为全局渐近稳定的或简称全局稳定的当零解不是稳定时，称它是不稳定的即是说：如果对某个给定的不管怎样小，总有一个满足，使由初始条件所确定的解，至少存在某个使得则称方程组1.1（1）的零解为不稳定的1.2 Lyapunov第二方法借助构造一个特殊的函数，并利用函数及其通过方程组的全导数的性质来确定方程组解的稳定性，这就是Lyapunov第二方法的思想具有此特殊性质的函数称为Lyapunov函数，简称函数现在讨论如何应用函数来确定非线性

13、微分方程组解的稳定性态问题为简单起见，我们只考虑非线性驻定微分方程组， 1.2（1）其中， 假设，且在某域（为正常数）内有连续的偏导数，因而方程组1.2（1）的由初始条件所确定的解在原点的某个邻域内存在且唯一显然是其特解定义：假设为在域内定义的一个实连续函数，如果在此域内恒有，则称函数为常正的如果对一切都有，则称函数为定正的如果函数是定正（或常正）的，则称为定负（或常负）的进一步假设函数关于所有变元的偏导数存在连续导数，以方程1.2（1）的解代入，然后对求导数这样求得的导数称为函数通过方程1.2（1）的全导数关于Lyapunov第二方法最重要的是如下定理定理1.2.1 如果对微分方程组1.2（

14、1）可以找到一个定正函数，其通过1.2（1）的全导数为常负函数或恒等与零，则方程组1.2（1）的零解为稳定的如果有定正函数，其通过1.2（1）的全导数为定负的，则方程组1.2（1）的零解是渐近稳定的如果存在函数和某非负常数，而通过1.2（1）的全导数可以表示为：且当时为定正函数，而当时为常正函数或恒等于零；又在的任意小邻域内都至少存在某个，使，方程组1.2（1）的零解是不稳定的二 生态系统中的数学模型2.1 经典的Lotka-Volterra模型提及生态系统中的数学模型，就不得不提及生物数学的两位创始人Lotka和Volterra以及他们所提出的描述种群内部竞争的Lotka-Volterra模

15、型，该模型的解析形式如下： 2.1（1）其中 , , 为常数且大于 该模型的建立过程如下： 假定一个包括捕食者与被捕食者两个种群的生态系统，捕食者靠被捕食者而生存，系统与外界没有种群交换关系为了建立描述该系统的数学模型，将被捕食与捕食种群量视为基本变量，分别以 ,表示先考虑被捕食种群的变化速率，该种群的自然增值与自身的数量成正比，如果比例常数为，因而有项；如果被捕食种群的死亡率与两个种群个体相遇的概率成比例,因而有项, 其中比例常数将以上考虑的两个方面联合在一起，获得被捕食种群的微分方程为再讨论捕食种群的变化速率，捕食种群的增值不仅与自身的种群大小有关，还与被捕食种群能够提供的食饵也有关如果这

16、些关系都以正比例的形式出现，比例常数为，捕食种群的增值速率应该是；捕食种群的死亡速率如果与自身的多少成正比，比例常数为，种群的变化应包括项联合这两项就得到捕食种群的方程2.2 Lotka-Volterra模型的缺陷及其改进形式生态学家通过实验室和野外观察，验证模型2.1（1）时发现它所描述的系统与现实捕食-被捕食模型有出入，有的差异很大因此对模型进行了修改，产生了许多新的模型模型2.1（1）只考虑了种间的竞争，没有考虑到种内的竞争，如果种内的竞争被考虑进去，则Lotka-Volterra模型变为 2.2（1）它在原来模型的模型的基础上增加了表示种内竞争的项，模型2.1（1）和2.2（1）中的一

17、个重要的假设就是两物种在相遇时所带来的捕食行为的多少是与两物种的数量的乘积成正比的（如、项），这种乘积项被称为Lotka-Volterra型带有Lotka-Volterra项的模型能够大致描述物种之间的捕食行为，但仍与实际有不少出入，于是很快被Leslie和Gower改进Leslie和Gower考虑到被捕食种群内部密度制约因素，而使呈Logistic增长，也考虑到对增长的影响当大而小时，比值大，这使捕食种群增长减缓；反之，大而小时，比值小，这削弱了捕食者增长的束缚，从而得到如下的模型 2.2（2）在现实世界中，人们往往发现种群中的不同阶层有着不同的生态学行为例如在蜜蜂种群中，工蜂、雄蜂、蜂王就

18、有着不同的分工我们抛开像蜂群中这样复杂的行为不谈，仅仅考虑种群被分为成熟和不成熟两部分那么，我们可以得到如下的一个模型 2.2（3）模型2.2（3）中将捕食者分成两部分和，故同时考虑到生态系统中可能存在的一些如下因素 不成熟的捕食者不能产生后代 捕食者和被捕食者相互作用的项是线性的（如Lotka-Volterra型） 不成熟的捕食者的捕食率是正的但是这个速率要比成熟的捕食者小我们用和分别表示这两者的捕食率显然 从被捕食者到不成熟的捕食者的转化率是与被捕食者成正比的，我们用表示（在一些文章中，常数被称为从营养物到不成熟的捕食者的出生的转化率）不成熟的捕食者的死亡率是一个常数，用表示 总体上讲，从

19、不成熟的捕食者到成熟的捕食者的转化率应该是被捕食者的函数为简化起见，我们假设这个速率是一个常数，用表示成熟的捕食者的死亡率用常数表示系统中物种具有分层结构的模型如今已成为生态模型研究的一个热点，在文献10、13中可见对这类模型的深入讨论Robert May提出了一个将Holling比率应用于其中的模型，这就是众所周知的Holling-Tanner捕食被捕食模型，Tanner和Wollkind等已经研究了它的数学性质和它在描述生态系统（例如白蚁和蛛蚁，麻雀和雀鹰）时的效用这个May或Holling-Tanner模型的解析形式如下2.2（4）其中，和分别表示捕食者和被捕食者的种群密度参数和分别是这

20、两个物种的内在增长率常数表示被捕食者的承载能力，代表捕食者相对被捕食者的承载能力，捕食者的捕食速率是熟知的第二Holling型功能反应参数代表每个捕食者在单位时间内能够捕食的被捕食者的最大值，是相应于捕食者在达到最大捕食速率一半的时候的饱和值Holling-Tanner捕食被捕食模型的动力学行为引起了人们的极大兴趣和深度研究到目前为止，这个常微分方程模型已经被许多学者从定性或数值分析角度进行了研究，许多有趣的现象，比如稳定的极限环、半稳定的极限环、分岔、唯一正常数平衡解的全局稳定性，周期解等都被揭示了出来近些年来，人们对捕食者被捕食者模型的研究已经不再局限于只在捕食行为中考虑时间因素，空间因素

21、也被一些学者考虑了进来，例如在文献12中，Yihong Du和Rui Peng考查了一个带有扩散的模型，得到了关于这个模型的若干结果一些学者在研究中注意到：一个生态系统中现有的种群密度是与前一段时间的种群密度相关的于是这就促使人们在研究生态系统时去考虑时滞效应在文献14中，Rui Xu和Zhien Ma就提出了这样一个带有时滞的模型：2.2（6）这里分别表示在时被捕食者、不成熟的捕食者、成熟的捕食者的种群密度，参数、都是正的常数，表示被捕食者的内在增长率，、分别表示不成熟的捕食者和成熟的捕食者的死亡率，表示成熟捕食者的种内竞争率，表示从被捕食者到出生的捕食者转化率，表示由于成熟的捕食者怀孕所带

22、来的时滞， 表示从不成熟的被捕食者到成熟的捕食者的转化率，我们注意到系统2.2（6）中不成熟的捕食者不能捕食并且不能产生后代接下来的一章我们会提出一个新的模型，这个模型实际上就相当于模型2.2（2）和模型2.2（3）的一个综合三 一个被捕食者具有年龄阶段结构的Leslie-Gower捕食模型的定性分析3.1具有年龄阶段结构的Leslie-Gower捕食模型的提出在模型2.2（2）和模型2.2（3）的基础上，提出如下模型： 3.1（1）该系统中、分别代表在时刻时不成熟的被捕食者密度、成熟的被捕食者密度、捕食者密度、分别代表这三种不同种群的变化率我们假定，而且3.1（1）的解在上应满足是正的这个系

23、统的中的系数、均大于零系统3.1（1）中各式的意义如下：在系统3.1（1）的第一式中，不成熟的被捕食者是成熟的捕食者的后代，故的增长率中应该有这一项，不成熟的被捕食者自身会死亡并成长为成熟的被捕食者，因此的增长率中含有和两项，表示不成熟被捕食者的死亡速率，表示由不成熟被捕食者向成熟的被捕食者转化的速率在这里我们假设不成熟的被捕食者之间是没有种间竞争的，因为它们都是由成熟的被捕食者提供食物，同时我们假设不成熟的捕食者不会被捕食者捕食，因为它们受到成熟的被捕食者的保护在系统3.1（1）的第二式中，成熟的被捕食者是由不成熟的被捕食者成长来的，故的增长率中应该有这一项，成熟的捕食者由于存在种内竞争，所

24、以第二式右边存在这一项，由于成熟的捕食者是捕食者的捕食对象，于是产生了这一项在系统3.1（1）的第三式中，捕食者的增长率与自身的种群密度成比例表示环境对捕食者的容纳率，这个比率越高，意味着捕食者相对成熟的被捕食者过剩，那么其增长会放缓，反之捕食者的增长率就会增加该式中表示捕食者的自然增长速率3.2关于这个新模型的定性分析 对于在3.1中提到的这个模型，我们可以得到以下的一些结论定理1：当时，任给，存在，当时，有：，当时，任给，存在，当时，有：，证明：令，则, （其中）由比较原理06可知： 3.2（1）： 当时，由可知在时取最小值，所以有因此对任给的，存在，当时，有从而， 由3.1（1）的第三式

25、可知，当时有于是由比较原理得考虑到的任意性，得到对于先前给定的，存在，当时取，便得定理1成立：时，取，定理的证明同的叙述关于定理1的说明：为便于以后推导的进行，我们一般都使用的结果，从这个定理的证明过程可以看出，在不加讨论的情形下，是始终成立的当然，在时，的结果会更精确一些定理2：任给，存在，当时：， 其中， 证明：由定理1可知，对任意给定的，存在，当时，将以上不等式代入3.1（1）的第一、第二式中可知： 3.2（2）考察以下辅助系统： 3.2（3）其中系统3.2（3）有两个平衡点，, 其中，系统3.2（3）可以被改写成： 3.2（4）考虑如下Lyapunov函数，计算沿系统3.2（4）的导数

26、，有 ， 3.2（5）令，从3.2（5）式可以得出， 3.2（6）采用定理1中同样的方法可以证明存在，当时，是有界的对3.2（6）式两端在上积分，有，由，是最终有界的，同时结合3.2（3）可知和在上是一致连续的应用Barlalats引理（文献09），我们得出：，这就意味着：，对于刚才给出的，存在，当时，结合3.2（2）、3.2（3）再由比较原理可知，考虑到的任意性，可知，那么对于任意的，存在，当时，至此定理2成立关于定理2的说明：如果给定，可以选取使得，但即使，由于系统3.1（1）的解为正，定理2中的结论是明显成立的定理3：任给，存在，当时，其中证明：时，由定理2，对任意，存在，当时，在这里设

27、满足由系统3.1（1）的第三式可知，当时，再由比较原理：由的任意性可知：于是对任意，存在，当时，时，由于系统3.1（1）的满足初值为正的解恒为正故定理中的结论是明显成立的定理4：当时，系统3.1（1）中描述的捕食-被捕食模型中的物种具有逗留性质证明： 由，的表达式可知，当时，均大于故可以选取，使得，均大于对于这个，综合定理1、2、3，当时，有此处，于是可知该定理成立定理5：当系统3.1（1）满足3.1中假设条件时，它的唯一正平衡点是局部稳定的证明： 系统3.1（1）的正平衡点应满足如下条件：解得：系统3.1（1）在平衡点处的Jacobi矩阵为, 其特征多项式为：, 其中：，由，知，要使的根的实

28、部为负，由Hurwitz定理还需要通过在Maple中计算，我们可以得到中的所有项都是正的由此可知该定理成立（具体计算步骤参见附件中的程序）为证明后面的定理6，我们需要如下的一个引理：引理3.2.1：设，则在处取得最小值证明：计算得当时，递减当时，递增当时，于是时，取最小值定理6：系统3.1（1）当满足如下两个条件时，系统3.1（1）正平衡点是全局稳定的条件（）：; 条件（）：其中，的定义如前所述证明： 将系统3.1（1）改写成如下的形式 3.2（7）构造如下Lyapunov函数，沿着3.2（7）的导数为令，得其中为某一待定常数且满足于是就有由定理4知，当时，对充分小的，存在，当时，故时， ，3

29、.2（8）我们需要因为可以任意小，故可要求先固定，将上式视为的函数，由引理1，当时，取最小值， 3.2（9）上式右边只有一个变量3.2（9）式右边在取最小值所以就有令，由定理成立的条件可知又由3.2（8）式可知：该式两边在上积分就有：由定理4知：当时，是有界的，结合系统（1）的第二式知是一致连续的应用Barlalats引理，我们得到，即给定充分小的，存在，时代入系统3.1（1）的第三式中，有由比较原理可得，考虑到的任意性，可得，将，代入3.1（1）的第二式中得：综上便有在满足条件（）（）的情形下，在初始条件满足要求的情况下于是定理得证关于定理6的说明：定理6中所要求的两个条件是可以同时成立的，

30、例如我们取、代入这两个条件中进行计算可以知道它们都是成立的同时条件（）不蕴涵条件（），例如我们取、可知条件（）成立而条件（）不成立定理7：当系统3.1（1）满足如下两个条件时，系统3.1（1）的正平衡点也是全局稳定的条件（）：; 条件（）：证明：将系统3.1（1）改写成3.2（7）的形式构造如下形式的Lyapunov函数：，沿3.2（7）的导数为： 上式中，为使该导数为负，我们需要如下两个条件成立， 即在中取，则，故可以改为当条件（）成立时，由定理4，对于充分小的，存在，当时，故要使、在时成立，只需且由于可充分小，因此只需要： ， 3.2（10）在3.2（10）中令，并同时令，则3.2（10）

31、变为：， 3.2（11）进一步将3.2（11）变形成：， 3.2（12）要使3.2（12）中的有值可取，只需要：由本定理中条件（）知上式是成立的，于是该定理成立关于定理7的说明：该定理中的条件（）不蕴涵条件（），例如我们取、可知条件（）成立而条件（）不成立定理8：当系统3.1（1）满足时，系统3.1（1）的正平衡解同样是全局稳定的证明：由定理4及定理1、2、3的证明过程可知，对于充分小的，存在，当时，有：同时考虑到系统3.1（1）的初始值为正的解恒为正，可以得到将代入3.1（1）的第1、2式中，有：类似于定理2的证明，我们得到，所以对与这个，存在，当时，其中，由知将时，代入（1）中第三式，按照

32、定理1中确定上界的方法可以得到：，其中对于这个，存在，当时，将时，代入（1）中第1、2式，同样按照定理2中确定，下界的方法，可以得到，其中，于是存在，当时，考虑到恒大于零，也就有，将这个不等式代入到3.1（1）中第三式考察，得到，其中综合后便有依次重复以上步骤，我们可以得到 3.2（13）其递推关系为3.2（14）从这个递推关系中可以看出，只要这六个递推变量中有一个收敛，其他的都收敛我们考察，有, 3.2（15）易知该递推式收敛的条件为：,即，也就是条件（）设，分别收敛于，通过3.2（15）可以计算出，再通过3.2（14）可以计算出： 3.2（16）再结合3.2（16）、3.2（13）可以得到

33、至此可知该定理成立3.3 关于3.2中定理6、7、8成立条件的比较定理8成立的条件包含定理6、定理7成立的条件，但是定理6、定理7成立的条件不包含定理8成立的条件理由如下：当定理6中的条件条件（）、（）成立时，有：，即，易知 ，所以就有：于是定理8中的条件成立当定理7中的条件条件（）、（）成立时，同样可以导出定理8中的条件成立反之，当时，我们取、，它满足，但代入定理6、7的条件（）中，经简单的计算可知条件（）是不成立的3.4 关于系统3.1（1）的数值模拟对于系统3.1（1），我们取、，其平衡点为，它满足定理8成立的条件取、的初始值为、得到如下的数值模拟图由图可知该系统最终是稳定的四 总结本文

34、对微分方程的稳定性理论进行了初步的总结，同时对生态系统中的数学模型给出了一定的介绍在本文的最后一部分，作者给出了一个被捕食者具有年龄阶段结构的Leslie-Gower捕食模型，并采用了几种不同的方法对这个模型的平衡解稳定的条件进行了分析这几种方法分别是：构造一种常用的Lyapunov函数；构造一种不常见的Lyapunov函数；最后一种方法，那就是通过迭代的方法去考察这个系统的稳定性我们可以发现：对于这个系统而言，利用迭代的方法得到的结果要明显好于常用的构造Lyapunov函数的方法，这对与我们今后去考察一个系统的稳定性有很大的指导意义致谢本论文是在蹇继贵老师和彭锐老师的指导下完成的.从开始到完

35、成，两位老师给予我莫大的帮助，这种帮助不仅来自于知识上的指导，更加来自于对于一种一丝不苟的学术精神的灌输.在此，我十分感谢蹇老师和彭老师.我相信他们对于我的指导对于我今后的科研工作必将产生巨大的影响.参考文献01张芷芬，丁同仁，黄文灶，董镇喜，微分方程定性理论M，北京：科学出版社，1985.5，394702王高雄，周之铭，朱思铭，王寿松，常微分方程M，北京：高等教育出版社，1983.9，24030403庄万，常微分方程题解，济南：山东科学技术出版社M，2005.4，57262104王顺庆，王万雄，徐海根，数学生态学稳定性理论与方法M，2004.10，14616105姜启源，谢金星，叶俊，数学模

36、型，北京：高等教育出版社M，2003.8，18419006叶其孝，李正元，反应扩散方程引论M，1990.2，91507袁慰平，孙志忠，吴宏伟，闻震初，计算方法与实习M，南京：东南大学出版社，2000.7，14016408北京大学数学系几何与代数教研室代数小组编，高等代数M，北京：高等教育出版社，1988.3，33135909王明新，非线性抛物型方程M，北京：科学出版社，1993.12，12112210Wendi Wang, Yasuhiro Takeuchi, Yasuhisa Saito, Shinji Hakaoka, Prey-predator system with parental

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38、protection zone in a diffusive prey-predator model, In preprint.13Yihong Du, Peter Y.H.Pang, Mingxing Wang, Qualitative Analysis of a prey-predator model with stage structure for the predator, In preprint.14Rui xu, Zhien Ma, Stability and Hopf bifurcation in a predator-prey model with stage structur

39、e for the predator, Nonlinear Analysis, In preprint.15Yihong Du, Sze-Bi Hsu, A diffusive predator-prey model in heterogeneous environment, Journal of differential equations,203(2004),331364.16Rui peng, Mingxing wang, Qualitative analysis on a prey-predator model with ratio-dependent functional respo

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