湘教版九级下《圆》学案.doc

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1、第三章 圆3.1.1 圆的对称性（一）一、自学导航1、圆是平面内到一定点的 等于 的所有点组成的图形，这个定点叫做 ， 定长叫做 。2、连结圆上任意两点的线段叫做 ，经过圆心的弦叫做 。3、圆是旋转对称图形，即圆绕圆心旋转 都能与自身重合；圆也是中心对称图形， 是它的对称中心；圆还是轴对称图形， 都是它的对称轴。4、垂径定理：垂直于弦的直径 弦。二、问题探究1、在白纸的圆上画任意一条直径，把白纸沿着这条直径所在直线折叠，观察圆的两部分是否互相重合，这体现圆具有什么样的对称性？2、如下图，你能利用圆的轴对称性证明：垂直于弦的直径平分这条弦吗？三、综合运用1下列说法错误的是（ ）A圆是中心对称图形

2、，圆心是对称中心B圆是旋转对称图形C圆是轴对称图形，直径是对称轴D圆有无数条对称轴2、已知O的半径为R,弦AB的长也是R,则AOB的度数是_.3、圆的一条弦把圆分为5: 1 两部分, 如果圆的半径是2cm, 则这条弦的长是_cm.4、如图31,半径为2cm的O中有长为2cm的弦AB,则AOB的度数为( ) A. 60 B. 90 C. 120 D. 1505如图32,O的直径为10cm,弦AB为8cm,P是弦AB上一点,若OP的长为整数, 则满足条件的点P有( ) A. 2个 B. 3个 C. 4个 D. 5个6如图33,A是半径为5的O内一点,且OA3,过点A且长小于8的弦有( ) A. 0

3、条 B. 1条 C. 2条 D. 4条图31 图32图337如图，O中，弦AB的长为6cm，O到AB的距离为4cm，求O的半径。图38如图34,AB是O的弦(非直径),C、D是AB上两点,并且ACBD.试判断OC与OD 的数量关系并说明理由. 图3 如图35,AB是O的直径,P是AB上一点,C、D分别是圆上的点,且CPBDPB,且弧BD弧BC ,.则线段PC、PD相等吗？请说明理由。图310、如图37，株洲石峰公园的一座石拱桥是圆弧形（劣弧），其跨度AB为24米，拱高CD为8米 ，求该石拱桥的圆弧半径。图37 3.1.1 圆的对称性（二）一、自学导航1.圆上任意两点间的部分叫 ，用符号“ ”表

4、示，大于半径的弧叫 ，小于半径的弧叫 。 2.如下图，O中，AOB叫做劣弧AB所对的 ，ODAB，OD叫做弦AB的 。D3.在同圆或等圆中，如果圆心角相等，那么它们所对的弦 ，所对弦的弦心距 。4.垂直于弦的直径不但平分弦，而且平分弦所对的 。二、问题探究1.请你利用圆的旋转对称性探究：如果同一圆中，有两个相等的圆心角，那么，这两个圆心角所对的弦相等吗？所对的弧相等吗？所对的弦的弦心距相等吗？2.如下图，AB、CD是圆中两条平行的弦，你能利用垂径定理探究，劣弧AC、BD是否相等吗？ ABCDEF三、综合运用1. 下列命题中，假命题是（ ）；A. 平分弧的直径必平分这条弧所对的弦B. 圆的任意两

5、条弦的垂直平分线的交点是该圆的圆心C. 平分弦的直径垂直于弦D. 垂直平分一条弦的直线平分弦所对的两条弧2. “圆材埋壁”是我国著名的数学著作九章算术中的一个问题，“今有圆材，埋于壁中，不知大小，以锯锯之，深一寸，锯道长一尺，问径几何？” 用现代的数学语言表达是：“如图3-8，CD是O的直径，弦ABCD，垂足为E，CE 1寸，AB 1尺，求直径的长”. 依题意，CD长为（ ）.A. 寸 B. 13寸 C. 25寸 D. 26寸ODEBAC 3-83.一根水平放置的圆柱形输水管道横截面如上图所示，其中水面宽0.8米，最深处水深0.2米，则此输水管道的直径是（ ）A 0.4米 B 0.5米 C 0

6、.8米 D 1米4P是O半径上一点，OP 5, 经过点P的最短的弦长为24, 则O的半径为 。 5如图3-9，AB是O的直径，弦CDAB, 垂足为P，若APPB 14, CD 8, 则AB 的长为 . 3-10ODBAC6如图3-10，O的半径为25cm，弦AB 48cm, ODAB于C交O于D, 则AD ；O3-9PDCBA 7.如图311，已知的半径，则所对的弧的长为（ ）A B C D 8.如图312，是的直径，是上一点，则的度数为 CBAO图311 图3129 如图3-13，AB是O的弦，P是AB上一点，AB 10 cm, PA 4 cm, OP 5 cm, 求O的半径. OPBA图3

7、-1310已知：如图3-14，在O中，弦AB的长是半径OA的倍，C为的中点，AB、OC相交于点P，试判断：四边形OACB是何种特殊的四边形. OPBAC图3-1411. 已知A、D是一段圆弧上的两点，且在直线的同侧，分别过这两点作的垂线，垂足为B、C，E是BC上一动点，连结AD、AE、DE，且AED90。（1）如图，如果AB6,BC16,且BE:CE1:3，求AD的长。（2）如图，若点E恰为这段圆弧的圆心，则线段AB、BC、CD之间有怎样的等量关系？请写出你的结论并予以证明。3.1.2 圆周角一、自学导航1.顶点在圆上，并且两边都与圆相交的角叫做 。 2.一条弧所对的圆周角等于它所对的 。3.

8、在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角 ，反之亦成立。4、直径或半圆所对的圆周角是 ，反之，90的圆周角所对的弦是 ，所对的弧是 。二、问题探究如图1，圆心角BOC和圆周角BAC是什么关系？图2呢？图3呢？你能从中得出什么结论。你能利用这三个图形证明你的结论吗？DCABBCOAO图2图1ABOCD图3三、综合运用1如图315，已知是O的圆周角，则圆心角是（）A B. C. D.2如图3-16，四边形ABCD是O的内接正方形，点P是劣弧上不同于点C的任意一点，则BPC的度数是（ ）A 45 B 60 C 75 D 90图316图3153圆的弦长与它的半径相等，那么这条弦所对的圆周角的度数是（ ）

9、A 30 B 150 C 30或150 D 604如图317，A、B、C都在圆上，AOB100，则ACB。3125如图318，是O的直径，点都在O上，若CDE,ABOC图317则 。3186如图319，已知O中，则O的半径为7、如图320，点在以为直径的上，则的长为 8如图321， AB、AC为O的两条弦，延长CA到D，使ADAB，如果ADB35，求BOC的度数。图3219如图322，A、B、C、D是O上的四个点，ABBC，BD交AC于点E，连接CD、AD（1）求证：DB平分ADC； （2）若BE3，ED6，求AB的长 图32210、如图323，AB是O的直径，C是弧BD的中点，CEAB，垂足

10、为E，BD交CE于点F（1）求证：CFBF；（2）若AD2，O的半径为3，求BC的长 图3233.1.3 过不在同一直线上的三点作圆一、自学导航1. 确定一个圆。 2.经过一个三角形各顶点的圆叫做这个三角形的 。该圆的圆心叫做这个三角形的 ，这个三角形叫做该圆的 。3.三角形的外心是它 的交点，它到 的距离相等。 二、问题探究1、过已知点A作圆，可以做多少个？A2、过已知点A、B作圆，又可以做多少个？这些圆的圆心在哪儿？BA3、过已知点A、B、C作圆，可以作多少个圆？BCA三、综合运用1下列关于确定一个圆的说法正确的是（ ）A经过三个点一定能确定一个圆 B以已知线段作为半径一定能确定一个圆C以

11、已知线段作为直径一定能确定一个圆 D经过菱形的四个顶点一定能确定一个圆2下列命题中，正确的个数有（ ）钝角三角形没有外心；多边形没有外接圆；三角形的外心到三个顶点的距离相等；无论什么形状的三角形，都一定有外接圆A 1个 B 2个 C 3个 D 4个3以下四边形中，一定有外接圆的是（ ）A 矩形 B 菱形 C 梯形 D对角线相等的四边形4如图324，O是ABC的外接圆，已知B60，则CAO的度数是( )A 15 B 30 C 45 D 60 5如图， 是的外接圆，是的直径，若的半径为， 则的值是 （ ）A BC D 图324 图3256一个三角形有_个外接圆，一个圆有_个圆内接三角形7三角形的三

12、边分别为3，4，5，则此三角形外接圆的直径是_8O的内接ABC中，弧AB、BC、CA的度数之比为235，则A_ABCO图3269如图326，等腰三角形ABC内接于半径为5的O，ABAC，且tanB。（1）求BC的长；（2）求AB边上的高10如图327，P是ABC的外接圆弧AB上的一点，APCBPC60,写出图中相等的角，并写出图中线段之间的关系（不包括比例线段）ABPDC图32711如图328，在边长为2的圆内接正方形ABCD中，AC是对角线，P为边CD的中点，延长AP交圆于点E（1）E 度；（2）写出图中现有的一对不全等的相似三角形，并说明理由；（3）求弦DE的长图3283.2.1 点、直线

13、和圆的位置关系一、自学导航1.直线和圆有且只有三种位置关系，分别是 、 、 。2.完成下列表格：直线与圆位置关系相离相切相交圆心到直线距离d与半径r的关系dr直线的名称割线直线与圆公共点的名称无 二、问题探究如图，圆O的半径为r,直径所在直线为AB，用一根直尺，使它一边贴着直线AB，然后把直尺慢慢向下平移，观察圆心O到直尺边缘的距离d与半径r的关系。AB三、综合运用1如图329，半径为3cm的O切AC于B，AB3cm,BCcm,则AOC的度数是（ ）A、 45 B、 60 C、 75 D、 90 图3292已知直线m上一点P与O圆心O之间的距离为5cm，O的半径为3cm，则直线m与O的位置关系

14、是( )A相离 B相切 C相交 D相交、相切、相离都有可能。3. O的半径为6，O的一条弦AB长为3，以3为半径的同心圆与AB的位置关系是（ ） A 相离 B 相切 C 相交 D 无法确定4如图330，在平面直角坐标系中，A与y轴相切于原点O，平行于x轴的直线交A于M、N两点，若点M的坐标是(4，2)，则点N的坐标为（ ）AB CD 图3305.已知的半径，圆心到直线的距离为，当时，直线与的位置关系是（ ）A 相交 B 相切 C 相离 D 以上都不对6点P到圆心O的距离d与半径r满足dr,则点P 圆上。（填在或不在）7. RtABC的斜边AB6厘米，直角边AC3厘米，以C为圆心，2厘米为半径的

15、圆和AB的位置关系是 ，4厘米为半径的圆和AB的位置关系是 ，若和AB相切，那么半径长为 。8. O内最长弦的长为m，直线n与O相离，设点O到n的距离为d，则d与m的关系是_.9如图331，已知RtABC中，B90，AC13，AB5，O是AB上的点，以O为圆心，OB为半径作O。1）当OB2.5时，O交AC于点D，求CD的长；2）当OB2.4时，AC与O的位置关系如何？试说明你的结论。 图33110. 如图332所示，一只船以每小时40海里的速度从A点出发向东航行，一开始就发现一小岛B在A的北偏东60的方向，半小时后到达C点，发现B在北偏东30的方向，而且发现B的周围18海里内布满礁石群，问：船

16、若沿原航向继续前进有无危险？如有危险，从C点出发至少还有多少时间；若无危险，请说明理由。图332 3.2.2 圆的切线的判定、性质和画法一、自学导航1.圆的切线的判定定理：经过半径的 ，并 这条半径的直线是圆的切线。 2.圆的切线的性质定理：圆的切线 。 3.经过切点且垂直于切线的直线必过 。4.经过直径两端点的切线互相 。二、问题探究1、画一个O和它的一条半径OA，过点A作直线m与OA垂直，如下图：OmA此时，dr吗？直线m与O相切吗？2、如上图，直线m与O相切，切点为A，连接OA，探究：直线m与半径OA垂直吗？三、综合运用1若r5，d3，则直线l与O的位置关系是（）A 相交 B 相切 C

17、相离 D 无法确定2如图333，A、B是O上的两点，AC是O的切线，B70，则BAC（ ） A、70 B、60 C、30 D、20 （图333） ( 图334)3如图334，是圆的直径，是圆的切线，为切点，连结交圆于点，连结，若，则下列结论正确的是（ ）A B C D4如图335，是的直径，是的切线，点在上，则的长为（ ）A BC D图3355. 如图336，PA切O于点A,PA4,OP5,则O的半径是_.6如图337，已知AB是O的直径，AC切O于A，ACAB2，则BC_.（图336） （图337）7如图338，已知PA、PB分别切O于点A、B，PA4，APB80，则PB_，APO_度. （

18、图338） 图3398如图339，以O为圆心的两个同心圆中，大圆的弦AB与小圆相切于点C，若大圆半径为10cm，小圆半径为6cm，则弦AB的长为 cm9.如图340，A和B都与x轴和y轴相切，圆心A和圆心B都在反比例函数的图象上，则图中阴影部分的面积等于 . 图34010如图341,RtABC中,C90, AC3cm，BC4cm,1）求AB边的高；2）以点C为圆心,2.4cm为半径的圆与AB有怎样的位置关系?BAC （图341） 11如图342，已知：AB为O的直径，C为O上一点，过C作直线MN，ADMN于D，且AC平分BAD求证：MN与O相切.（图3-42）3.2.3 三角形的内切圆一、自学

19、导航1.与三角形各边都 的圆叫做三角形的内切圆，内切圆的圆心叫做三角形的 ,这个三角形叫做圆的 。 2.三角形的内心是这个三角形的三条 的交点，它到 的距离相等。 3.若直角三角形的二条直角边长为a,b,斜边长为c，则它的内切圆半径 。二、问题探究1、如图，想在一块三角形硬纸板上剪下一个面积最大的圆形纸板，应当怎样剪？2、如图，直角三角形ABC中，直角边长为a,b,斜边长为c，则它的内切圆半径r与a、b、c是什么关系？请将探究过程写出来。abc三、综合运用1下列命题正确的是（ ）A三角形的内心到三角形三顶点的距离相等 B等边三角形的内心，外心重合C三角形的内心不一定在三角形的内部 D一个圆一定

20、有唯一一个外切三角形2. 如图343，O是ABC的内切圆，D，E，F是切点，A50，C60，则DOE（ ）A70 B110 C120 D1303.一个钢管放在V形架内，图344是其截面图，O为钢管的圆心如果钢管的半径为25 cm，MPN 60，则OP ( )A50 cm B25cm Ccm D50cm （图343） （图344）4. 在RtABC中，C90，AC3，AB5，则它的内切圆与外接圆半径分别为（ ）A1.5，2.5 B2，5 C1，2.5 D2，2.55. 如图，则ABC的内切圆半径_（图345） （图346）6如图346，ABC中，A45，I是内心，则BIC 。 7如图347，在A

21、BC中，ABAC，内切圆O与边BC，AC，AB分别切于D，E，F（1）求证：BFCE；（2）若C30，CE2，求AC的长 （图347） 8如图348，ABC中，Am （1）如图（1），当O是ABC的内心时，求BOC的度数； （2）如图（2），当O是ABC的外心时，求BOC的度数；（3）如图（3），当O是高线BD与CE的交点时，求BOC的度数（图348）3.3 圆与圆的位置关系一、自学导航1.两个圆的位置关系有七种情况： 、 、 、 、 、同心圆和重合。2.两个圆的圆心之间的距离叫做 ，用d表示。 3.当两圆外切时，dr1+r2，当两圆内切时，d ，当两圆相交时，d 。 4.两圆想切时， 必在连

22、心线上；两圆相交时，连心线 公共弦。5.同时与两个圆相切的直线叫做两圆的 。二、问题探究用纸板剪两个圆，将右边的圆固定，左边的圆按照从左至右的顺序运动，探究两个圆不同的位置关系，并观察两圆之间的圆心距与两圆半径之间的关系。dr1r2三、综合运用1图349是一张卡通图，图中两圆的位置关系是（ ） 图349A相交 B外离 C内切 D内含2.若半径为7和9的两圆相切，则这两圆的圆心距长一定为（ ）.A 16 B 2 C 2或16 D 以上答案都不对3若两圆半径为7和5，圆心距为5，则两圆的公切线的条数是（ ）.A 2条 B 3条 C 4条 D 5条4若两圆既有外公切线，又有内公切线，半径为R和r，圆

23、心距为d，则下面各式中一定正确的是（ ）.A dR+r B dR+rC dR+r D dR+r5. 若O1和O2相交于A、B两点，O1和O2的半径分别为2和，公共弦长为2，O1AO2的度数为（ ）.A B 或 C 或 D 6.如图350，把O1向右平移8个单位长度得O2，两圆相交于A.B，且O1AO2A，则图中阴影部分的面积是 A. 4-8 B. 8-16 C. 16-16 D. 16-32 图3507两圆半径分别是9和12,两圆的圆心距是26,则两圆的位置关系是_.。8. 两圆的半径比是5:3,外切时圆心距是32cm的,当两圆内切时,圆心距为_cm.。9. 若两圆的半径分别为2cm和7cm,

24、圆心距为13cm,则两圆的一条外公切线的长是_cm.10.如图351，.的圆心A.B在直线上，两圆的半径都为1cm，开始时圆心距，现.同时沿直线以每秒2cm的速度相向移动，则当两圆相切时，运动的时间为 秒ABl 图35111如图352，在以O为圆心的两个同心圆中，AB经过圆心O，且与小圆相交于点A.与大圆相交于点B小圆的切线AC与大圆相交于点D，且CO平分ACB(1)试判断BC所在直线与小圆的位置关系，并说明理由；(2)试判断线段AC.AD.BC之间的数量关系，并说明理由；(3)若，求大圆与小圆围成的圆环的面积（结果保留） 图3529.已知：如图353，O1与O2外切于P，AC是过P点的割线交

25、O1于A，交O2于C，BC切O2于C，过点O1作直线AB交BC于B.求证：ABBC.图3533.4.1 弧长和扇形的面积一、自学导航1.在同圆或等圆中，如果圆心角相等，那么它们所对的弧 。 2.半径为r的圆中，n的圆心角所对的弧长为 。 3. 半径为r的圆中，圆心角为n的扇形的面积S为 。二、问题探究1、探究半径为r的圆中，n的圆心角所对的弧长与圆的周长的关系：2、探究半径为r的圆中，圆心角为n的扇形的面积S与圆的面积的关系：三、综合运用1已知扇形的圆心角为120，半径为6，则扇形的弧长是（ ） A3 B4 C5 D62已知扇形的半径为3，扇形面积为 ，则扇形的圆心角为（ ） A、90 B、1

26、50 C、120 D、 180 (图354) (图355) 3如图354，实线部分是半径为9m的两条等弧组成的游泳池，若每条弧所在的圆都经过另一个圆的圆心，则游泳池的周长为（ ）A12m B18m C20m D24m4如果一条弧长等于R，它的半径是R，那么这条弧所对的圆心角度数为_， 当圆心角增加30时，这条弧长增加_5如图355所示，OA3OB，则弧AD的长是弧BC的长的_倍6.如图356，圆上有A、B、C、D四点，其中BAD80。若、的长度分别为7p、11p，则的长度为（ ） A 4p B 8p C 10p D 15p 图3567.如图357，ABC是直角边长为a的等腰直角三角形，直角边A

27、B是半圆O1的直径，半圆O2过C点且与半圆O1相切，则图中阴影部分的面积是A B C D图3578. 如图358，有一长为4cm，宽为3cm的长方形木板在桌面上做无滑动的翻滚（顺时针方向），木板上的顶点A的位置变化为AA1A2，其中第二次翻滚被桌面上一小木块挡住，使木板边沿A2C与桌面成30角，则点A翻滚到A2位置时，共走过的路径长为（ ）A10cm B35cmC45cmD25cm 图3588. 为庆祝祖国六十华诞，某单位排练的节目需用到如图所示的扇形布扇，布扇完全打开后，外侧两竹条、夹角为，的长为，贴布部分的长为，则贴布部分的面积约为_（取3）9如图359，若O的周长为20cm，A、B的周长

28、都是4cm，A在O内沿O滚动，B在O外沿O滚动，B转动6周回到原来的位置，而A只需转动4周即可，你能说出其中的道理吗？ (图359) 10已知如图360所示，弧AB所在圆的半径为R，弧AB的长为R，O和OA、OB分别相切于点C、E，且与O内切于点D，求O的周长以及扇形OAB的面积。（用R表示） (图360) 3.4.2 圆锥的侧面积和全面积一、自学导航1.圆锥是由一个底面和一个侧面围成的图形，其底面是一个 。 2.圆锥可看成是一个直角三角形绕它的一条 边所在直线旋转一周形成的图形。 3. 把圆锥沿着一条母线剪开，它的侧面可以展开成一个 ，这个图形的面积叫做圆锥的侧面积。4.若圆锥母线长为b，底

29、面半径为r，则圆锥侧面积计算公式为 ；圆锥全面积计算公式为 。二、问题探究1、如图，请将圆锥沿着它的一条母线剪开，得到什么图形，怎样计算这个展开图形的面积？hlr2、将下面直角三角形ABC分别绕它的直角边AC、BC所在直线旋转一周，可以得到两个什么图形？若AC4，BC3，分别计算这两个图形的侧面积。ABC三、综合运用1已知圆锥的底面直径为4，母线长为6，则它的侧面积为（ ）A、 B、 C、 D、无法计算2在RtABC中，C90，AC，BC1，以AC为轴旋转一周得到一个圆锥，则这个圆锥的全面积等于（ ）A、 B、 C、 D、3把一个半径为15cm的圆形铁片分成三个全等的扇形，用其中一个扇形做成圆

30、锥的侧面，则这个圆锥的高为（ ）A、15cm B、cm C、10cm D、5cm4. 如图361，扇形的半径为6cm，圆心角的度数为120，若将此扇形围成一个圆锥，则围成的圆锥的侧面积为（）A B. C D 图3615. 若一个圆锥的底面圆的周长是4cm，母线长是6cm，则该圆锥的侧面展开图的圆心角的度数是A 40 B 80 C 120 D 1506高为h，底面半径为r的圆柱体的侧面积是 ，全面积是 。7. 圆锥母线长为a，底面半径为r，则圆锥的侧面积是 ，全面积是 。8圆柱的侧面展开图是边长为的正方形，则圆柱的底面半径是 。9已知一圆锥的侧面积是cm2,圆锥的侧面展开图的扇形的弧长cm，则展

31、开图扇形的圆心角所对的弦长是 。10. 如图362，方格纸中4个小正方形的边长均为1，则图中阴影部分三个小扇形的面积和为 （结果保留） 图36211. 如图363将绕点逆时针旋转到使在同一直线上，则图中阴影部分面积为 cm230CBA30（363）8如图，一个圆柱和一个圆锥的组合体，底面半径为2cm，圆柱和圆锥的母线长均为6cm，求这个几何体的表面积。12一个圆锥的高是12cm，侧面展开后为半圆，求这个圆锥的侧面积和全面积。13. 如图364，圆心角都是90的扇形OAB与扇形OCD叠放在一起，连结AC，BD（1）求证：ACBD；（2）若图中阴影部分的面积是，OA2cm，求OC的长图3643.5 平行投影和中心投影一、自学导航1.物体在光线照射下，会在地面留下它的影子，把物体映成它的影子叫做 。2.平行