高等数学第六版 第一章 函数与极限课件.ppt
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1、第一节 映射与函数,一、集合二、映射三、函数四、小结,第一章 函数与极限,一、集合,1.集合:,具有某种特定性质的事物的总体.,组成这个集合的事物称为该集合的元素.,有限集,无限集,数集分类:,N-自然数集,Z-整数集,Q-有理数集,R-实数集,数集间的关系:,例如,不含任何元素的集合称为空集.,例如,规定,空集为任何集合的子集.,集合的运算,(1)集合的并,(2)集合的交,(3)集合的差,(4)集合的补,集合的运算律,(1)交换律:,(2)结合律:,(3)分配律:,(4)摩根律:,2.区间:,是指介于某两个实数之间的全体实数.这两个实数叫做区间的端点.,称为开区间,称为闭区间,称为半开区间,
2、称为半开区间,有限区间,无限区间,区间长度的定义:,两端点间的距离(线段的长度)称为区间的长度.,3.邻域:,4.常量与变量:,在某过程中数值保持不变的量称为常量,注意,常量与变量是相对“过程”而言的.,通常用字母a,b,c等表示常量,而数值变化的量称为变量.,常量与变量的表示方法:,用字母x,y,t等表示变量.,5.绝对值:,运算性质:,绝对值不等式:,二、映射,1 映射概念,设 是两个非空集合,如果存在一个法则,使得对于 中每个元素,按法则 在 中有唯一确定的元素 与之对应,则 称为从 到 的映射,记作 其中 称为元素(在映射 下)的像,并记作,即 而元素 称为元素(在映射 下)的一个原像
3、;集合 称为映射 的定义域,记作,即;中所有元素的像所组成的集合称为映射 的值域,记作 或,即,从上述映射的定义中,需要注意的是:,(1)构成一个映射必须具备以下三个要素:集合,即定义域;集合,即值域的范围:;对应法则,使对每个,有唯一确定的 与之对应.,(2)对每个,元素 的像 是唯一的;而对于每个,元素 的原像不一定是唯一的;映射 的值域 是 的一个子集,即,不一定.,设 Y 是从集合 到集合 的映射,若,即 中任一元素 都是 中某元素的像,则称 为 到 上的映射或满射;若对 中任意两个不同元素,它们的像,则称 为 到 的单射;若映射 既是单射又是满射,则称 为一一映射(或双射),满射、单
4、射与双射,设 是从集合 到集合 的映射,则由定义,对每个 有唯一的,适合.于是,可以定义一个从 到 的新映射,即 对每个,规定,这 满足.这个映射 称为 的逆映射,记作,其定义域,值域,2.逆映射与复合映射,注意:只有单射才存在逆映射.,复合映射:设有两个映射 其中.则有映射 可以定义一个从 的对应法则,它将每个 映成.显然,这个对应法则确定了一个从 的映射,这个映射称为映射 构成的复合映射,记作,即,注意:的值域 必须包含在 的定义域内,即,因变量,自变量,数集D叫做这个函数的定义域,三、函数,自变量,因变量,对应法则f,函数的两要素:,定义域与对应法则.,约定:定义域是自变量所能取的使算式
5、有意义的一切实数值.,定义:,如果自变量在定义域内任取一个数值时,对应的函数值总是只有一个,这种函数叫做单值函数,否则叫与多值函数,(1)符号函数,几个特殊的函数举例,(2)取整函数 y=xx表示不超过 的最大整数,阶梯曲线,(3)狄利克雷函数,(4)取最值函数,例1,解,故,有界,无界,M,-M,y,x,o,X,(1)函数的有界性:,2、函数的特性,(2)函数的单调性:,(3)函数的奇偶性:,偶函数,奇函数,(4)函数的周期性:,(通常说周期函数的周期是指其最小正周期).,例2,解,单值函数,有界函数,偶函数,周期函数(无最小正周期),不是单调函数,3、反函数与复合函数,(1)反函数,设函数
6、,直接函数与反函数的图形关于直线 对称.,(2)、复合函数,定义:,注意:,1.不是任何两个函数都可以复合成一个复合函数的;,2.复合函数可以由两个以上的函数经过复合构成.,5、初等函数,由常数及基本初等函数,否则称为非初等函数.,并可用一个式子表示的函数,经过有限次四则运算和复合步,骤所构成,称为初等函数.,幂函数,指数函数,对数函数,三角函数和反三角函数统称为基本初等函数.,4.基本初等函数,非初等函数举例:,符号函数,当 x 0,当 x=0,当 x 0,取整函数,当,第二节 数列的极限,一、概念的引入二、数列的定义三、数列极限的定义四、收敛数列的性质五、小结,“割之弥细,所失弥少,割之又
7、割,以至于不可割,则与圆周合体而无所失矣”,1、割圆术:,刘徽,一、概念的引入,正六边形的面积,正十二边形的面积,正 形的面积,二、数列的定义,例如,注意:,1.数列对应着数轴上一个点列.可看作一动点在数轴上依次取,2.数列是整标函数,数列与函数,几何意义,三、数列的极限,问题:,当 无限增大时,是否无限接近于某一确定的数值?如果是,如何确定?,通过上面演示实验的观察:,例如,当n无限增大时,如果数列xn的一般项xn无限接近于常数a,则常数a称为数列xn的极限,或称数列xn收敛a,记为,数列极限的描述定义,问题:,“无限增大”,“无限接近”意味着什么?如何用数学语言刻划它?,如果数列没有极限,
8、就说数列是发散的.,注意:,数列极限的精确定义,几何解释:,简记形式,0,NN 当nN时 有|xna|.,0,NN 当nN时 有|xna|.,数列极限的定义未给出求极限的方法.,例1,证,所以,注意:,0,NN 当nN时 有|xna|.,例2,证,所以,说明:常数列的极限等于同一常数.,小结:,用定义证数列极限存在时,关键是任意给定 寻找N,但不必要求最小的N.,0,NN 当nN时 有|xna|.,例3,证,0,NN 当nN时 有|xna|.,例4,分析:,证明,0,NN 当nN时 有|xna|.,四、收敛数列的性质,1、有界性,例如,有界,无界,定理1 收敛的数列必定有界.,证,由定义,注意
9、:有界性是数列收敛的必要条件.,推论 无界数列必定发散.,2、唯一性,定理2 每个收敛的数列只有一个极限.,证,由定义,故收敛数列极限唯一.,3.收敛数列的保号性,定理3 如果,证,从而有,推论 如果数列,4、子数列的收敛性,注意:,例如,,定理4 收敛数列的任一子数列也收敛且极限相同,证,证毕,第三节 函数的极限,一、函数极限的定义二、函数极限的性质三、小结 练习题,一、函数极限的定义,1、自变量趋于无穷大时函数的极限,通过上面演示实验的观察:,问题:,如何用数学语言刻划函数“无限接近”.,1、定义:,2、另两种情形:,3、几何解释:,例1,证,2、自变量趋向有限值时函数的极限,1、定义:,
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