高考数学总复习精品课件（苏教版）：第三单元第一节 二次函数.ppt

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1、第一节 二次函数,基础梳理,一条抛物线,向上,最小,R,1.二次函数的性质与图象(1)函数 叫做二次函数,它的定义域是.(2)二次函数有如下性质：函数的图象是,抛物线顶点的坐标是.抛物线的对称轴是;当a0时,抛物线开口,函数在 处取 值.在区间 上是减函数,在 上是增函数;,当a0时,抛物线开口,函数在 处取 值 在区间 上是增函数,在 上是减函数,向下,最大,(0,c),与y轴的交点是;当=-4ac0时,与x轴两交点的横坐标 分别是方程 的两根;当=0时,与x轴切于一点;当0时,与x轴;当b0时,是非奇非偶函数;当b=0时,是;,没有交点,偶函数,对于函数f(x),若对任意自变量x的值,都有

2、f(a+x)=f(a-x),则f(x)的图象关于直线 对称.,x=a,2.二次函数、一元二次方程、一元二次不等式三者之间的关系,x|xR,(2)hm,n 时,当hm时,f(x)在 m,n 上单调,.,4.二次函数在闭区间上的最值问题 在 m,n 上的最值问题.(1)h m,n 时,.;,k,f(m),f(n),递增,递减,当hn时,f(x)在 m,n 上单调,.,f(n),f(m),题型一 二次函数图象和性质的应用,【例1】已知二次函数f(x)满足f(2)=-1,f(-1)=-1,且f(x)的最大值是8,试确定此二次函数的解析式.,分析 由题目条件知二次函数过(2,-1),(-1,-1)两点,

3、且知其最大值,所以可应用一般式、顶点式或两根式解题.,解 方法一:利用二次函数一般式.设f(x)=,方法二:利用二次函数顶点式.设f(x)=a(x-m)2+n(a0).f(2)=f(-1),抛物线对称轴为 又根据题意,函数有最大值f(x)max=8,方法三:利用两根式.由已知f(x)+1=0的两根为,故可设f(x)+1=a(x-2)(x+1)(a0),即.又函数有最大值f(x)max=8,即 解得a=-4，或a=0(舍去).故所求函数解析式为.,学后反思 求二次函数的解析式的关键是求待定系数的值.由题目的条件,合理地选择二次函数解析式的表达形式,最简单地求出解析式是关键.,举一反三,1.右图是

4、一个二次函数的图像（1）写出这个二次函数的零点；（2）求这个二次函数的解析式；（3）当实数k在和范围内变化时，g(x)=f(x)-kx在区间 上是单调函数,解析：（1）由图可知二次函数的零点为-3，1.（2）设二次函数为y=a(x+3)(x-1)，由点（-1，4）在函数上，得a=-1，则y=-(x+3)(x-1)=,(3)g(x)=开口向下，对称轴为当，即k2时，g(x)在 上单调递减当,即k-6时，g(x)在 上单调递增综上所述，当k-6或k2时，g(x)在区间 上是单调函数,题型二 轴定区间动,【例2】已知，若f(x)的最小值为h(t)，写出h(t)的表达式,分析 在对称轴确定的情况下，对

5、区间 进行分析,解 二次函数的图像的对称轴(1)当（2）当,学后反思 二次函数 在区间 上求最值的方法可分为情况讨论：(1)若，则最小值为，最大值为 中较大者(m,n中与 距离较远的一个为最大值).(2)若，当 时，f(x)在 上是单调增函数，则最小值为f(m)，最大值为f(n);当 时，f(x)在 上是单调递减函数，则最小值f(n)，最大值 f(m)。,举一反三,2.已知函数y=(2m-1)x+1-3m，m为何值时，（1）这个函数为一次函数？（2）函数值y随x的增大而减小？（3）这个函数图像与直线y=x+1的图像交点在x轴上?,解析:二次函数图像的对称轴为(1)当 时，即，（2）当，当 时，

6、即当 时，即,(3)当 时，h(t)=,题型三 轴动区间定,【例3】已知函数 在0 x1时有最大值2,求a的值.,分析 作出函数图象,因对称轴x=a位置不定,故分类讨论对称轴位置以确定f(x)在 0,1 上的单调情况.,解 当对称轴x=a0时,如图(1)所示.即当x=0时,y有最大值,所以1-a=2,即a=-1，且满足a0,所以a=-1时成立,a=2,且满足a1,当a=2时也成立.综上可知，a的值为-1或2.,学后反思 二次函数 在区间 m,n 上求最值的方法:先判断 是否在区间 m,n 内：(1)若 则最小值为,最大值为f(m)、f(n)中较大者(m,n中与 距离较远的一个为最大值）。,(2

7、)若 当 n时,f(x)在 m,n 上是单调递减函数,则最小值为f(n),最大值为f(m).,举一反三,3.已知函数 在0 x1时有最小值2,求a的值.,解析 由题意知函数的对称轴为x=a.当a0时,不合题意;当0a1时,若0a,则,不合题意;,题型四 一元二次方程根的分布问题,【例4】(14分)已知函数 的图象与x轴的交点至少有一个在原点右侧,求实数m的取值范围,分析 本题涉及二次方程根的分布问题,很容易联想到根与系数的关系,可根据韦达定理去解决.,(2)当m0时,因为f(0)=1,所以抛物线过点(0,1).5若m0,f(x)的开口向上,如图(2)所示.要使交点在原点右侧,当且仅当,解得综上

8、所述,所求m的取值范围是(-,1 14,学后反思(1)对于“二次”型函数,若 的系数不确定,要分系数等于零与不等于零两种情况讨论.(2)对于二次方程根的分布,一般借助二次函数的图象比较容易解决.,举一反三,4.方程 在x-1,1 的范围内有实根,求实数k的取值范围.,解析 设,对称轴为,(1)当方程f(x)=0在-1x1的范围内有两实根时,由图1可得,(2)当方程f(x)=0在-1x1的范围内有且仅有一个实根时,由图2可得 综上所述,方程在x-1,1的范围内有根时,k的取值范围是,易错分析,【例】已知函数 求函数f(x)的最大值和最小值.,错解 函数f(x)的最小值为,最大值不存在.,错解分析

9、 由 就认为f(x)的最小值是，最大值不存在是不正确的.因为这里函数的定义域是 0,1,而且这里的二次函数f(x)图象的对称轴(x=a)的位置是不确定的.因此，应该讨论直线x=a相对于区间 0,1 的各种可能.,正解 由a0知，当a1时，由于f(x)在 0,1 上是减函数，故f(x)的最大值为，最小值为;当0a1时，f(x)的最小值为 的最大值为f(0),f(1)中的较大者，若f(0)f(1),则 解得a所以当0a 时，f(x)的最大值为;当 a1时，f(x)的最大值为.,考点演练,10.(2008.浙江改编）已知t为常数，函数 在区间 上的最大值为2，求t的值。,解析：当-1-t0，即t-1

10、时，则当x=1时，即t=1（与t-1矛盾）不合题意当-1-t0，即t-1时，结合 的图像若当x=1时，y取得最大值，又t-1可得t=1.若当x=3时，y取得最大值，解得t=1或t=5，已验证t=5时，不合题意，故t=1,11.(2009江苏改编）设a为实数，函数（1）若,求a的取值范围；(2)求 的最小值。,综上所述,第一节 导数的概念及运算,基础梳理,数量化,视觉化,1.函数f(x)在区间x1,x2上的平均变化率(1)函数f(x)在区间x1,x2上的平均变化率为,(2)平均变化率是曲线陡峭程度的“”，或者说，曲线陡峭程度是平均变化率的“”.2.函数f(x)在x=x0处的导数（1）定义设函数y

11、=f(x)在区间(a,b)上有定义，若x无限趋近于0时，比值 无限趋近于一个常数A，则称f(x)在x=x0处可导，并称该常数A为函数f(x)在x=x0处的导数，记作.,(2)几何意义函数f(x)在点x0处的导数f(x0)的几何意义是在曲线y=f(x)上点.处的.相应地，切线方程为.,3.函数f(x)的导函数若f(x)对于区间(a,b)内任一点都可导，则f(x)在各点的导数也随着自变量x的 而，因而也是自变量x的函数，该函数称为f(x)的导函数，记作.,切线的斜率,变化,变化,f(x).,4.基本初等函数的导数公式,f(x)=.,f(x)=.,k,0,1,2x,cos x,sinx,5.导数运算

12、法则(1)f(x)g(x)=;(2)Cf(x)=(C为常数);(3)f(x)g(x)=;,f(x)g(x),Cf(x),f(x)g(x)+f(x)g(x),典例分析,题型一 利用导数的定义求导数【例1】用导数定义求y=x2在x=1处的导数值.分析 利用导数的定义,按求导数的步骤求解.解当x无限趋近于0时，趋近于2,y|x=1=2.学后反思 利用导数的定义求在一点x0的导数的关键是对yx进行灵活变形，若求f(x)在开区间(a,b)内的导数，只需将x0看成是(a,b)内的任意点x,即可求得f(x).,举一反三1.已知，利用定义求y,y|x=1.,题型二 利用求导公式求导数【例2】求下列函数的导数.

13、,解析,分析 直接利用导数公式及四则运算法则进行计算.,学后反思 准确记忆求导公式及四则运算法则是解答本题的关键.,解(1)y=()sin x+(sin x)=2xsin x+x2cos x.(2),举一反三2.求函数 的导数.,题型三 导数的物理意义及在物理上的应用【例3】一质点运动的方程为s=8-3t2.(1)求质点在1,1+t这段时间内的平均速度；(2)求质点在t=1的瞬时速度.,解析,分析 第（1）问可利用公式 求解；第（2）问可利用第（1）问的结论求解，也可利用求导公式及四则运算法则求解.,解(1)质点在1,1+t这段时间内的平均速度为(2)方法一（定义法）：质点在t=1时的瞬时速度

14、v=,方法二（求导法）：质点在t时刻的瞬时速度v=s(t)=-6t,当t=1时，v=-6.,学后反思 导数的概念是通过函数的平均变化率、瞬时变化率、物体运动的瞬时速度、曲线的切线等实际背景引入的，所以在了解导数概念的基础上也应了解这些实际背景的意义.对于作变速运动的物体来说，其位移对时间的函数的导数就是其运动的速度对时间的函数，速度对时间的函数的导数就是其运动的加速度对时间的函数，这是导数的物理意义，利用导数的物理意义可以解决一些相关的物理问题,举一反三3.以初速度 作竖直上抛运动的物体，t秒时的高度为,求物体在时刻 时的瞬时速度.,解析：物体在 时刻的瞬时速度为.,题型四 导数的几何意义及在

15、几何上的应用【例4】(14分)已知曲线(1)求曲线在点P（2，4）处的切线方程；(2)求曲线过点P（2，4）的切线方程.,分析(1)点P处的切线以点P为切点,关键是求出切线斜率k=f(2).(2)过点P的切线，点P不一定是切点，需要设出切点坐标.,解（1)y=x2,2在点P（2，4）处的切线的斜率k=y|x=2=4,3曲线在点P（2,4）处的切线方程为y-4=4(x-2),即4x-y-4=0.4,(2)设曲线 与过点P（2，4）的切线相切于点,则切线的斜率k=y|x=x0=x20.6,切线方程为即点P（2，4）在切线上，即x30-3x20+4=0,x30+x20-4x20+4=0,x20(x0

16、+1)-4(x0+1)(x0-1)=0,(x0+1)(x0-2)2=0,解得x0=-1或x0=2,.12故所求的切线方程为4x-y-4=0或x-y+2=0.14,学后反思（1）解决此类问题一定要分清是“在某点处的切线”，还是“过某点的切线”.（2）解决“过某点的切线”问题，一般是设出切点坐标(x0,y0),得出切线方程y-y0=f(x0)(x-x0),然后把已知点代入切线方程求(x0,y0)，进而求出切线方程.,举一反三4.求曲线y=ln(2x-1)上的点到直线2x-y+3=0的最短距离.,解析：设曲线上过点 的切线平行于直线2x-y+3=0,即斜率是2，则.解得,即点P(1,0),点P到直线

17、2x-y+3=0的距离为,曲线y=ln(2x-1)上的点到直线2x-y+3=0的最短距离是.,题型五 复合函数的导数【例5】求下列函数的导数.,分析 先确定中间变量转化为常见函数，再根据复合函数的求导法则求导.也可直接用复合函数求导法则运算.,解,学后反思 求复合函数的导数，关键是理解复合过程，选定中间变量，弄清是谁对谁求导，其一般步骤是:(1)分清复合关系，适当选定中间变量，正确分解复合关系（简称分解复合关系）；（2）分层求导，弄清每一步中哪个变量对哪个变量求导数（简称分层求导）.即：分解（复合关系）求导（导数相乘）,举一反三5.求下列函数的导数。,解析：,易错警示,【例】已知曲线 上的点P

18、（0,0）,求过点P(0,0)的切线方程.错解 在点x=0处不可导，因此过P点的切线不存在.错解分析 本题的解法忽视了曲线在某点处的切线的定义.在点P处的切线是指曲线在点P附近取点Q，当点Q趋近于点P时，割线PQ的极限位置的直线就是过点P的切线，因此过点P的切线存在，为y轴（如下图所示）.,正解 如右图，按切线的定义，当x0时割线PQ的极限位置为y轴（此时斜率不存在），因此，过点P的切线方程为x=0.,考点演练,10.已知函数 的图象都过点P(2,0),且在点P处有相同的切线.求实数a,b,c的值.,解析：f(x)过点（2,0）,解得a=-8,同理，g(2)=4b+c=0.f(x)=6x2-8

19、,在点P处切线斜率.又g(x)=2bx,2b2=16,b=4,c=-4b=-16.综上，a=-8,b=4,c=-16.,11.设函数f(x)满足，a,b,c为常数，|a|b|，求f(x),解析:将 中的x换成，可得将其代入已知条件中得,12.(2008宁夏)设函数(a,bZ),曲线y=f(x)在点(2,f(2)处的切线方程为y=3.(1)求f(x)的解析式；（2）证明函数y=f(x)的图象是一个中心对称图形，并求其对称中心；（3）证明曲线y=f(x)上任一点的切线与直线x=1和直线y=x所围三角形面积为定值，并求出此定值.,解析:(1)f(x)=.于是,解得,(2)证明:已知函数 都是奇函数，函数 也是奇函数，其图象是以原点为中心的中心对称图形.由 可知f(x)的图象是由g(x)的图象沿x轴正方向向右平移1个单位，再沿y轴正方向向上平移1个单位得到的.故函数f(x)的图象是以点(1,1)为中心的中心对称图形.,（3）证明：在曲线上任取一点,由 知，过此点的切线方程为.令x=1,得,切线与直线x=1的交点为.令y=x,得,切线与直线y=x的交点为.直线x=1与y=x交点为(1,1).从而所围三角形面积为所以所围三角形的面积为定值2.,