概率论与数理统计期末考试串讲复习.ppt
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1、德莫根公式,记号 概率论 集合论 样本空间,必然事件 空间 不可能事件 空集 样本点 元素 AB A发生必然导致B发生 A是B的子集 AB=A与B互不相容 A与B无相同元素 AB A与B至少有一发生 A与B的并集 AB A与B同时发生 A与B的交集 AB A发生且B不发生 A与B的差集 A不发生、对立事件 A的余集,基本事件互不相容,基本事件之并=,注意点(1),注意点(2),若 A1,A2,An 有 1.Ai互不相容;2.A1A2 An=则称 A1,A2,An 为的一组分割.,样本空间的分割,非负性公理:P(A)0;正则性公理:P()=1;可列可加性公理:若A1,A2,An 互不相容,则,概
2、率的公理化定义,从 n 个元素中任取 r 个,求取法数.排列讲次序,组合不讲次序.全排列:Pn=n!0!=1.重复排列:nr选排列:,1.2.2 排列与组合公式,组 合,组合:,加法原理,完成某件事情有 n 类途径,在第一类途径中有m1种方法,在第二类途径中有m2种方法,依次类推,在第 n 类途径中有mn种方法,则完成这件事共有 m1+m2+mn种不同的方法.,乘法原理,完成某件事情需先后分成 n 个步骤,做第一步有m1种方法,第二步有 m2 种方法,依次类推,第 n 步有mn种方法,则完成这件事共有 m1m2mn种不同的方法.,n 个人围一圆桌坐,求甲、乙两人相邻而坐的概率.,解:考虑甲先坐
3、好,则乙有n-1个位置可坐,而“甲乙相邻”只有两种情况,所以,P(A)=2/(n-1)。,例,n个人坐成一排,求甲、乙两人相邻而坐的概率.(注意:请与上一题作比较),解:1)先考虑样本空间的样本点数:甲先坐、乙后坐,则共有n(n1)种可能.2)甲在两端,则乙与甲相邻共有2种可能.3)甲在中间(n2)个位置上,则乙左右都可坐,所以共有2(n2)种可能。由此得所求概率为:,例,AB=,P(A)=0.6,P(AB)=0.8,求 B 的对立事件的概率。,解:由 P(AB)=P(A)+P(B)P(AB)=P(A)+P(B),例,得 P(B)=P(AB)P(A)=0.80.6=0.2,,所以 P()=10
4、.2=0.8.,例,解:因为 P(AB)=P(A)P(AB),所以先求 P(AB),由加法公式得 P(AB)=P(A)+P(B)P(AB),=0.4+0.30.6=0.1,所以 P(AB)=P(A)P(AB)=0.3,P(A)=0.4,P(B)=0.3,P(AB)=0.6,求 P(AB).,例,解:因为A、B、C 都不出现的概率为,=1P(A)P(B)P(C)+P(AB)+P(AC)+P(BC)P(ABC)=11/41/41/4+0+1/6+1/60=15/12=7/12,P(A)=P(B)=P(C)=1/4,P(AB)=0,P(AC)=P(BC)=1/6,求 A、B、C 都不出现的概率.,口
5、袋中有n1个黑球、1个白球,每次从口袋中随机地摸出一球,并换入一只黑球.求第k 次取到黑球的概率.,利用对立事件,解:记A为“第k 次取到黑球”,则A的对立事件为,“第k 次取到白球”.,而“第k 次取到白球”意味着:,“第1次第k1次取到黑球,而第k 次取到白球”,例,解:用对立事件进行计算,记 A=“至少出现一次6点”,,则所求概率为,一颗骰子掷4次,求至少出现一次6点的概率.,例,解:记 B=“至少出现一次双6点”,,则所求概率为,两颗骰子掷 24 次,求至少出现一次 双6点 的概率.,从 1,2,9中返回取n次,求取出的n个数的乘积能被10整除的概率.,利用对立事件和加法公式,解:因为
6、“乘积能被10整除”意味着:,“取到过5”(记为A)且“取到过偶数”(记为B)。,因此所求概率为 P(AB).,利用对立事件公式、德莫根公式和加法公式,甲掷硬币n+1次,乙掷n次.求甲掷出的正面数比乙掷出的正面数多的概率.,利用对称性,解:记甲正=甲掷出的正面数,乙正=乙掷出的正面数.甲反=甲掷出的反面数,乙反=乙掷出的反面数.,因为 P(甲正乙正)=P(n+1-甲反 n-乙反),=P(甲反-1乙反),=P(甲反乙反),=1P(甲正乙正)(对称性),所以 2P(甲正乙正)=1,由此得 P(甲正乙正)=1/2,1)缩减样本空间:将 缩减为B=B.2)用定义:P(A|B)=P(AB)/P(B).,
7、条件概率 P(A|B)的计算,10个产品中有7个正品、3个次品,从中 不放回地抽取两个,已知第一个取到次 品,求第二个又取到次品的概率.,P(B|A)=P(AB)/P(A)=(1/15)/(3/10)=2/9,解:设 A=第一个取到次品,B=第二个取到次品,,例,条件概率 P(A|B)满足概率的三条公理.由此得:P(AB|C)=P(A|C)+P(B|C)P(AB|C);若 A 与 B 互不相容,则P(AB|C)=P(A|C)+P(B|C);P(|B)=1 P(A|B).,条件概率是概率,P(|B)=1;P(B|)1;P(A|)=P(A);P(A|A)=1.,注 意 点,乘法公式;全概率公式;贝
8、叶斯公式.,条件概率的三大公式,性质1.4.2(1)若 P(B)0,则 P(AB)=P(B)P(A|B);若 P(A)0,则 P(AB)=P(A)P(B|A).(2)若 P(A1A2 An1)0,则 P(A1A2 An)=P(A1)P(A2|A1)P(An|A1A2 An1),乘法公式,乘法公式主要用于求几个事件同时发生的概率.一批零件共有100个,其中10个不合格品。从中一个一个不返回取出,求第三次才取出不合格品的概率.解:记 Ai=“第i 次取出的是不合格品”Bi=“第i 次取出的是合格品”,目的求 P(B1B2A3)用乘法公式 P(B1B2A3)=P(B1)P(B2|B1)P(A3|B1
9、B2)=,乘法公式的应用,性质1.4.3 若事件B1,B2,Bn是样本空间的一组分割,且 P(Bi)0,则,全概率公式,全概率公式用于求复杂事件的概率.使用全概率公式关键在于寻找另一组事件 来“分割”样本空间.全概率公式最简单的形式:,注意点(1),若事件B1,B2,Bn是互不相容的,且 P(Bi)0,,注意点(2),则由 可得,设10 件产品中有 3 件不合格品,从中 不放回地取两次,每次一件,求取出 的第二件为不合格品的概率。,解:设 A=“第一次取得不合格品”,B=“第二次取得不合格品”.由全概率公式得:,=(3/10)(2/9)+(7/10)(3/9),=3/10,例,n 张彩票中有一
10、张中奖,从中不返回地摸 取,记 Ai为“第 i 次摸到中奖券”,则(1)P(A1)=1/n.(2)可用全概率公式计算得 P(A2)=1/n.(3)可用归纳法计算得 P(Ai)=1/n,i=1,2,n.,摸 彩 模 型,n 张彩票中有 k 张中奖,从中不返回地摸取,记 Ai 为“第 i 次摸到奖券”,则 P(Ai)=k/n,i=1,2,n结论:不论先后,中彩机会是一样的.,摸 彩 模 型(续),甲口袋有a只白球、b只黑球;乙口袋有n只白球、m只黑球.从甲口袋任取一球放入乙口袋,然后 从乙口袋中任取一球,求从乙口袋中取出的是白 球的概率.概率为:,全概率公式的例题,乘法公式是求“几个事件同时发生”
11、的概率;全概率公式是求“最后结果”的概率;贝叶斯公式是已知“最后结果”,求“原因”的概率.,贝叶斯公式,若事件B1,B2,Bn是样本空间的一组分割,且P(A)0,P(Bi)0,则,贝叶斯(Bayes)公式,1)B1,B2,.,Bn可以看作是导致A发生的原因;2)P(Bj|A)是在事件A发生的条件下,某个原因Bj 发生的概率,称为“后验概率”;3)Bayes公式又称为“后验概率公式”或“逆概公式”;4)称P(Bj)为“先验概率”.,注 意 点,例 某商品由三个厂家供应,其供应量为:甲厂家是乙厂家的2倍;乙、丙两厂相等。各厂产品的次品率为2%,2%,4%.若从市场上随机抽取一件此种商品,发现是次品
12、,求它是甲厂生产的概率?,解:用1、2、3分别记甲、乙、丙厂,设 Ai=“取到第i 个工厂的产品”,B=“取到次品”,由题意得:P(A1)=0.5,P(A2)=P(A3)=0.25;P(B|A1)=P(B|A2)=0.02,P(B|A3)=0.04.,=0.4,由Bayes公式得:,事件的独立性 直观说法:对于两事件,若其中任何一个 事件的发生不影响另一个事件的发生,则这两事件是独立的.P(A|B)=P(A)P(AB)/P(B)=P(A)P(AB)=P(A)P(B),独立性,定义 若事件 A 与 B 满足:P(AB)=P(A)P(B),则称A与B相互独立,简称A与B独立.结论 A、B 为两个事
13、件,若 P(A)0,则 A 与 B 独立等价于 P(B|A)=P(B).性质 若事件A与B独立,则 A 与 独立、与 B独立、与 独立.,两个事件的独立性,实际应用中,往往根据经验来判断两个事件 的独立性:例如 返回抽样、甲乙两人分别工作、重复试验等.,事件独立性的判断,多个事件的相互独立性,对于A、B、C三个事件,称满足:P(AB)=P(A)P(B),P(AC)=P(A)P(C),P(BC)=P(B)P(C)为A、B、C 两两独立.称满足:P(ABC)=P(A)P(B)P(C)为A、B、C三三独立.,定义1.5.3 若事件 A1,A2,An满足:两两独立、三三独立、n n 独立 则称A1,A
14、2,An 相互独立.,若A、B、C 相互独立,则AB 与 C 独立,AB 与 C 独立,AB 与 C 独立.,一 些 结 论,例 两射手独立地向同一目标射击一次,其 命中率分别为 0.9 和 0.8,求目标被击中的概率.,解:设 A=“甲中”,B=“乙中”,C=“目标被击中”,所以,解法i)P(C)=P(AB)=P(A)+P(B)P(A)P(B)=0.9+0.80.90.8=0.98.,解法ii)用对立事件公式 P(C)=P(AB)=1(1 0.9)(1 0.8)=1 0.02=0.98.,例 甲、乙两人独立地对同一目标射击 一次,其命中率分别为 0.6 和 0.7,现已知 目标被击中,求它是
15、甲击中的概率.。,解:设 A=“甲中”,B=“乙中”,C=“目标被击中”,所以,P(A|C)=P(AC)/P(C)=P(A)/P(A)+P(B)P(A)P(B)=0.6/0.88=15/22,例 两射手轮流对同一目标进行射击,甲先射,谁先击中则得胜。每次射击中,甲、乙命中目标 的概率分别为 和,求甲得胜的概率。,解:,因为P(甲胜)=+(1)(1)P(甲胜),所以 P(甲胜)=/1(1)(1).,例 口袋中有3个白球、5个黑球,甲、乙 两人轮流从口袋中有返回地取一球,甲先取.谁先取到白球为胜,求甲胜的概率.,解:P(甲胜)=3/8+(5/8)(5/8)P(甲胜),所以 P(甲胜)=8/13.,
16、若试验E1的任一结果与试验E2的任一 结果都是相互独立的事件,则称这两个 试验相互独立,或称独立试验.,试验的独立性,伯努里试验:若某种试验只有两个结果(成功、失败;黑球、白球;正面、反面),则称这个试验为伯努里试验.在伯努里试验中,一般记“成功”的概率为p.n 重伯努里试验:n次独立重复的伯努里试验.,n 重伯努里试验,在n 重伯努里试验中,记成功的次数为X.X 的可能取值为:0,1,n.X 取值为 k 的概率为:,n 重伯努里试验成功的次数,若随机变量 X 可能取值的个数为有限个或 可列个,则称 X 为离散随机变量.若随机变量 X 的可能取值充满某个区间 a,b,则称 X 为连续随机变量.
17、,两类随机变量,定义 设X为一个随机变量,对任意实数 x,称 F(x)=P(X x)为 X 的分布函数.基本性质:(1)F(x)单调不降;(2)有界:0F(x)1,F()=0,F(+)=1;(3)右连续.,随机变量的分布函数,分布列的基本性质,(1)pi 0,(2),(正则性),(非负性),注 意 点(1),求离散随机变量的分布列应注意:,(1)确定随机变量的所有可能取值;,(2)计算每个取值点的概率.,注 意 点(2),对离散随机变量的分布函数应注意:,(1)F(x)是递增的阶梯函数;,(2)其间断点均为右连续的;,(3)其间断点即为X的可能取值点;,(4)其间断点的跳跃高度是对应的概率值.
18、,例,已知 X 的分布列如下:,X 0 1 2,P 1/3 1/6 1/2,求 X 的分布函数.,解:,X 0 1 2,P 0.4 0.4 0.2,解:,例,已知 X 的分布函数如下,求 X 的分布列.,定义,设随机变量X 的分布函数为F(x),则称 X 为连续随机变量,,若存在非负可积函数 p(x),满足:,称 p(x)为概率密度函数,简称密度函数.,密度函数的基本性质,满足(1)(2)的函数都可以看成某个连续随机变量的概率密度函数.,(非负性),(正则性),注意点(1),(1),(2)F(x)是(,+)上的连续函数;(3)P(X=x)=F(x)F(x0)=0;,(4)PaXb=PaXb=P
19、aXb=PaXb=F(b)F(a).,注意点(2),(5)当F(x)在x点可导时,p(x)=,当F(x)在x点不可导时,可令p(x)=0.,连续型,密度函数 X p(x),2.,4.P(X=a)=0,离散型,分布列:pn=P(X=xn),2.F(x)=,3.F(a+0)=F(a);P(aXb)=F(b)F(a).,4.点点计较,5.F(x)为阶梯函数。,5.F(x)为连续函数。,F(a0)=F(a).,F(a0)F(a).,例,设 X,求(1)常数 k.(2)F(x).,(1)k=3.,(2),解:,例,设 X,求 F(x).,解:,设X与Y同分布,X的密度为,已知事件 A=X a 和 B=Y
20、 a 独立,,解:因为 P(A)=P(B),P(AB)=P(A)+P(B)P(A)P(B),从中解得,且 P(AB)=3/4,求常数 a.,且由A、B 独立,得,=2P(A)P(A)2=3/4,从中解得:P(A)=1/2,由此得 0a 2,因此 1/2=P(A)=P(X a),例,数学期望的定义,定义 设离散随机变量X的分布列为P(X=xn)=pn,n=1,2,.若级数,绝对收敛,则称该级数为X 的,数学期望,记为,连续随机变量的数学期望,定义 设连续随机变量X的密度函数为p(x),若积分,绝对收敛,则称该积分为X 的,数学期望,记为,例,则,E(X)=,10.2+00.1+10.4+20.3
21、=0.8.,X 1 0 1 2,P 0.2 0.1 0.4 0.3,数学期望简称为期望.数学期望又称为均值.数学期望是一种加权平均.,注 意 点,数学期望的性质,定理 设 Y=g(X)是随机变量X的函数,若 E(g(X)存在,则,例 设随机变量 X 的概率分布为,求 E(X2+2).,=(02+2)1/2+(12+2)1/4+(22+2)1/4,=1+3/4+6/4=13/4,解:E(X2+2),X 0 1 2,P 1/2 1/4 1/4,数学期望的性质,(1)E(c)=c,(2)E(aX)=aE(X),(3)E(g1(X)+g2(X)=E(g1(X)+E(g2(X),例,设 X,求下列 X
22、的函数的数学期望.,(1)2X1,(2)(X 2)2,解:(1)E(2X 1)=1/3,(2)E(X 2)2=11/6.,随机变量的方差与标准差,数学期望反映了X 取值的中心.方差反映了X 取值的离散程度.,方差与标准差的定义,定义 若 E(XE(X)2 存在,则称 E(XE(X)2 为 X 的方差,记为,Var(X)=D(X)=E(XE(X)2,(2)称,注 意 点,X=(X)=,(1)方差反映了随机变量相对其均值的偏离程度.方差越大,则随机变量的取值越分散.,为X 的标准差.,标准差的量纲与随机变量的量纲相同.,方差的性质,(1)Var(c)=0.,(2)Var(aX+b)=a2 Var(
23、X).,(3)Var(X)=E(X2)E(X)2.,例 设 X,求 E(X),Var(X).,解:(1)E(X)=,=1,(2)E(X2)=,=7/6,所以,Var(X)=E(X2)E(X)2,=7/6 1=1/6,随机变量的标准化,设 Var(X)0,令,则有 E(Y)=0,Var(Y)=1.,称 Y 为 X 的标准化.,切比雪夫不等式,设随机变量X的方差存在(这时均值也存在),则 对任意正数,有下面不等式成立,例设 X,证明,证明:,E(X)=,=n+1,E(X2)=,=(n+1)(n+2),所以,Var(X)=E(X2)(EX)2=n+1,(这里,=n+1),由此得,Var(X)=0,P
24、(X=a)=1,常用离散分布,二项分布 记为 X b(n,p).X为n重伯努里试验中“成功”的次数,当n=1时,称 b(1,p)为 0-1分布.,例 设X b(2,p),Y b(4,p),已知 P(X1)=8/9,求 P(Y1).,解:由 P(X1)=8/9,知 P(X=0)=1/9.,由此得:P(Y1)=1 P(Y=0),所以 1/9=P(X=0)=(1p)2,,从而解得:p=2/3.,=1-(1p)4=80/81.,若随机变量 X 的概率分布为,则称 X 服从参数为 的泊松分布,记为 X P().,泊松分布,泊松定理,定理,(二项分布的泊松近似),在n重伯努里试验中,记 pn 为一次试验中
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