光学谐振腔.ppt

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1、主讲教师：陈 建 新、朱莉莉、陈荣 福建师范大学物理与光电信息科技学院,激 光 原 理 与 技 术,Lasers Principles and Technologies,问题一般激光器必须具备哪三个基本部分？,第二章 光学谐振腔,光的自激振荡：光在增益介质内传播放大，总存在各种各样的光损耗，当增益和损耗达到平衡时光强不再增加并达到一个稳定的极限值Im，此极限值只与放大器本身参数有关，与初始光强无关，只要激光放大器的长度足够大，就可能成为一个自激振荡器，实现稳定运转的激光振荡。,自激振荡：,第二章 光学谐振腔,光学谐振腔的构成和作用,光学谐振腔的构成,最简单的光学谐振腔是在激活介质两端恰当地放置

2、两个镀有高反射率的反射镜构成。,常用的基本概念：光轴：光学谐振腔中间与镜面垂直的轴线孔径：光学谐振腔中起着限制光束大小、形状的元件，大多数情况下，孔径是激活物质的两个端面，但一些激光器中会另外放置元件以限制光束为理想的形状。,光学谐振腔的构成,光学谐振腔的种类,谐振腔的开放程度,闭腔、开腔、气体波导腔开腔通常可以分为 稳定腔、非稳定腔、临界腔反射镜形状，球面腔与非球面腔，端面反射腔与分 布反馈腔反射镜的多少，两镜腔与多镜腔，简单腔与复合腔,开腔,激光技术发展历史上最早提出的是平行平面腔（F-P腔）。后来又广泛采用了由两块具有公共轴线的球面镜构成的谐振腔。从理论上分析这些腔时，通常认为侧面没有光

3、学边界，因此将这类谐振腔称为开放式光学谐振腔，简称开腔,闭腔,固体激光器的工作物质通常具有比较高的折射率，因此在侧壁上将发生大量的全反射。如果腔的反射镜紧贴激光棒的两端，则在理论上分析这类腔时，应作为介质腔来处理。半导体激光器是一种真正的介质波导腔。这类光学谐振腔称为闭腔,气体波导腔（半封闭腔）,另一类光腔为气体波导激光谐振腔，其典型结构是一段空心介质波导管两端适当位置放置反射镜。这样，在空心介质波导管内，场服从波导中的传播规律，而在波导管与腔镜之间的空间中，场按与开腔中类似的规律传播。,气体波导腔（半封闭腔）,另一类光腔为气体波导激光谐振腔，其典型结构是一段空心介质波导管两端适当位置放置反射

4、镜。这样，在空心介质波导管内，场服从波导中的传播规律，而在波导管与腔镜之间的空间中，场按与开腔中类似的规律传播。,看在腔内是否存在稳定振荡的高斯光束,稳定腔、非稳定腔和临界腔,平行平面腔由两块相距为L、平行放置的平面反射镜构成,双凹球面镜腔：由两块相距为L，曲率半径分别为R1和R2的凹球面反射镜构成,R1+R2=L,R1=R2=L,*常见的谐振腔形式,平凹腔和凹凸与双凸腔等（P58，图2-1-1）,由两个以上的反射镜构成,一般球面腔RL2R,典型的激光器谐振腔,激光模式在腔内所能扩展的空间范围。,模体积,谐振腔的选择：,模体积大，对该模式的振荡有贡献的激发态粒子数就多就可能获得大的输出功率；,

5、衍射损耗 模体积 腔体镜面的安装,平行平面腔结构示意图,平行平面腔,平行平面腔的优势,1）模体积大、2）腔内激光辐射没有聚焦现象,平行平面腔的劣势,1）衍射损耗高 2）镜面调整难度高,平行平面腔主要应用于高功率脉冲激光器,同心球面腔,同心球面腔结构示意图,同心球面腔主要应用于连续工作的染料激光器泵浦激光器,同心球面腔的优势：,同心球面腔的劣势：,1）衍射损耗低 2）易于安装调整,1）模体积小 2）腔内产生光辐射聚焦现象,共焦谐振腔,共焦谐振腔示意图,共焦谐振腔一般应用于连续工作的激光器,共焦谐振腔的性能介于平行平面腔与球面腔之间，其特点如下：1）镜面较易安装、调整；2）较低的衍射损耗；3）腔内

6、没有过高的辐射聚焦现象；4）模体积适度；,长半径球面腔示意图,长半径球面谐振腔适于连续工作的激光器,长半径球面谐振腔的性能介于共焦腔与球面腔之间，它的特点如下：1）中等的衍射损耗；2）较易安装调整；3）模体积很大；4）腔内没有很高的光辐射聚焦现象；,长半径球面腔,半球型谐振腔,半球型谐振腔主要应用于低功率氦氖激光器,半球型谐振腔的特点：易于安装调整、衍射损耗低、成本低,半球型谐振腔,平凹稳定腔示意图,平凹稳定腔一般应用与连续激光器；大多数情况下 R1 2L,平凹稳定腔的特点：模体积较大 且具有价格优势,平凹稳定腔,一连续高功率二氧化碳激光器的非稳定谐振腔,非稳定腔,光学谐振腔的作用,1.提供光

7、学正反馈作用：使得振荡光束在腔内行进一次时，除了由腔内损耗和通过反射镜输出激光束等因素引起的光束能量减少外，还能保证有足够能量的光束在腔内多次往返经受激活介质的受激辐射放大而维持继续振荡。影响谐振腔的光学反馈作用的两个因素：组成腔的两个反射镜面的反射率；反射镜的几何形状以及它们之间的组合方式。,2.产生对振荡光束的控制作用,主要表现为对腔内振荡光束的方向和频率的限制。改变腔的参数如：反射镜、几何形状、曲率半径、镜面反射率及配置,有效地控制腔内实际振荡的模式数目，获得单色性好、方向性强的相干光可以直接控制激光束的横向分布特性、光斑大小、谐振频率及光束发散角可以控制腔内光束的损耗，在增益一定的情况

8、下能控制激光束的输出功率,研究光学谐振腔的目的,通过了解谐振腔的特性，来正确设计和使用激光器的谐振腔，使激光器的输出光束特性达到应用的要求,光学谐振腔的损耗，Q值及线宽,光腔的损耗,选择性损耗，与横模有关,非选择性损耗，与光波模式无关,损耗的大小是评价谐振腔的一个重要指标，在激光振荡中，光腔的损耗决定了振荡的阈值和激光的输出能量，也是腔模理论的重要研究课题,（1）几何损耗：光线在腔内往返传播时，可能从腔的侧面偏折出 去而引起损耗。决定其大小的因素：腔的类型和几何尺寸；横模的高低阶次（2）衍射损耗：腔镜边缘、插入光学元件的边缘、孔径及光阑 的衍射效应产生的损耗。决定其大小的因素：腔的菲涅耳数有关

9、、腔的几何参 数有关、横模的阶数有关。(模的 阶次越高，衍射损耗越大，基模 的衍射损耗最小。),平均单程损耗因子,（3）腔镜不完全反射引起的损耗 包括反射镜的吸收、散射以及镜的透射损耗。镜的透射损耗与输出镜的透射率T有关。（4）材料中非激活吸收、散射，腔内插入物引起的损耗。激光通过腔内光学元件和反射镜发生非激活吸收、散 射引起的损耗,光子的平均寿命,定义：腔内光强衰减为初始值的1/e所需要的时间,腔损耗 越大，则 越小，腔内光强衰减越快。,无源腔的Q值,品质因数Q的定义：,无源腔的线宽,腔的品质因数Q值是衡量腔质量的一个重要的物理量，它表征腔的储能及损耗特征。,总之，腔平均单程损耗因子、光子寿

10、命、与腔的品质因数三个物理量之间是关联的，腔平均单程损耗因子越小，光子寿命越长，腔的品质因数越高。,在具有一定边界条件的腔内，电磁场只能存在于一系列分立的本征态之中，场的每种本征态将具有一定的振荡频率和空间分布。光学谐振腔的模式(或称波型):谐振腔内可能存在的电磁场本征态。模式与腔的结构之间具有依赖关系光学谐振腔的模式分为：纵模和横模,光学谐振腔的模式(波型),谐振条件和驻波条件,平行平面腔中平面波的往返传播,在腔内要形成稳定的振荡，要求光波要因干涉而得到加强。,相长干涉条件：,驻波条件:,谐振频率:,光腔中的驻波,激光的纵模(轴模)：由整数q所表征的腔内纵向稳定场分布整数q称为纵模的序数，驻

11、波系统在腔的轴线上零场强度的数目,谐振腔内q阶纵模的频率为基纵模频率的整数倍(q倍）,q阶纵模频率可以表达为：,基纵模的频率可以表达为：,纵模的频率间隔：,纵模(纵向的稳定场分布),激光器谐振腔内可能存在的纵模示意图,腔的纵模在频率尺度上是等距离排列的,形成激光振荡的条件：,满足谐振条件满足阈值条件落在工作物质原子荧光线宽范围内的频率成分,工作原子自发辐射的荧光线宽越大，可能出现的纵模数越多。激光器腔长越大，相邻纵模的频率间隔越小，同样的荧光谱线线宽内可以容纳的纵模数越多。,激光器中出现的纵模数,激光纵模分布示意图,激光的模式用符号：,q为纵模的序数(纵向驻波波节数)，m,n(p,l)为横模的

12、序数。对于方形镜，m表示X方向的节线数，n表示Y方向的节线数；对于圆形镜，p 表示径向节线数，即暗环数，l表示角向节线数，即暗直径数,横模(横向X-Y面内的稳定场分布),基模(横向单模)：m=n=0,其它的横模称为高阶横模,节数：振幅为零的位置,方形反射镜的横模图像,(c)TEM02,(d)TEM03,(a)TEM00,(b)TEM10,球形反射镜的横模图像,横模电场分布及强度示意图,TEM00,激光谐振腔内电场横模分布示意图,TEM11,激光谐振腔内电场横模分布示意图,激光多横模振荡示意图,u1 u3,u2 u4,理想开腔：两块反射镜的直径为2a，间距为L,横模(自再现模)的形成,光束在两镜

13、间往返传播时，会因镜边缘的衍射效应产生损耗，但经过足够多次往返传播之后，会在腔内形成一种稳定场，它的相对分布将不再受衍射影响,自再现模：在开腔镜面上，经一次往返能再现的稳态场分布称为为开腔的自再现模或横模。,自再现模的形成,激光模式的测量方法,横模的测量方法：在光路中放置一个光屏；拍照；小孔或刀口扫描方法获得激光束的强度分布，确定激光横模的分布形状纵模的测量方法：法卜里珀洛F-P扫描干涉仪测量，实验中利用球面扫描干涉仪,几何光学分析方法和衍射理论分析方法,几何光学分析方法：用矩阵方法处理光腔中光线的传播、腔的稳定性、谐振腔的分类等。衍射理论分析方法：在菲涅耳基尔霍夫衍射积分以及模式重现概念的基

14、础上，讨论谐振腔模式的形式、解的存在、模式花样、衍射损耗等。,光学谐振腔的几何光学分析,分析对象：菲涅耳数很大（比如100左右）、衍射损耗很小的光腔,光线传播矩阵,光线在自由空间或光学系统中的传播可用两个参数表示：,光线离轴距离x(z)以及光线与轴的夹角 的斜率,矩阵表示法：,将这两个参数构成一个列阵，表示光线的传播，各种光学元件或光学系统对光线的变换作用可用一个二行二列的方阵表示，而变换后的光线参数可写成方阵与列阵乘积的形式。,坐标参数的符号规则,1 光线在轴线上方时x取正，否则为负；2 光线的入射方向(出射方向)指向轴线上方时，夹角取正，否则为负；,写成矩阵：,近轴光线初始坐标参数，经L传

15、播距离后，光束参数，它们之间的关系：,近轴光线在自由空间的传播,光线通过各种光学元件的传播矩阵,写成矩阵：,近轴光线通过焦距为f的薄透镜的变换矩阵,写成矩阵：,近轴光线在球面镜上反射的变换矩阵,已知复杂光学系统的焦距和主面位置：,写成矩阵：,当光学系统两边为同种介质时：,复杂光学系统的光线矩阵,一些光学元件的传播矩阵P86,共轴球面腔的光学变换矩阵,共轴球面腔的光学变换矩阵,设光线从镜M1出发，向镜M2方向传播，则：,当光线从M2上反射后，则反射光线的参数为：,当光线再从镜M2传播到镜M1上时，则：,然后，又在镜M1上发生反射：,至此，光线在腔内完成一次往返，总的坐标变换为,往返矩阵M与光线的

16、初始坐标参数x1和 无关，因而它可以描述任意近轴光线在腔内往返传播的行为,共轴球面腔的光学变换矩阵,其中：,共轴球面腔的光学变换矩阵,(共轴球面镜谐振腔等效于一个薄透镜序列）,最后可得：,上式中：,光线在谐振腔往返n次的传播矩阵,利用薛尔凡斯特定理可求得：,往返矩阵与光线的初始坐标参数x1和 无关，因而它可以描述任意近轴光线在腔内往返传播的行为,稳定腔、非稳定腔和临界腔,稳定腔：腔中光线经多次往返反射后，不会横向逸出腔外。,非稳定腔：腔中光线除去极少量特殊光线外，不管其初始条件如何，都要逸出腔外。,共轴球面腔的稳定条件：,为使光线能在腔内任意多次往返而不横向逸出，要求对n次往返后的光学变换矩阵

17、 的各个元素 对任意的n保持有限，这就要求 为实数且不应为。,上式中：,引入几何参数g：令，则上式变为：,经过推导，可以得到稳定性条件：,当几何参数满足上式时，谐振腔处于稳定工作状态，为稳定谐振腔,共轴球面腔的稳定性条件,谐振腔几何参数示意图,、,几何参数由谐振腔的结构所决定:,当凹面镜向着腔内时，R取正值；当凸面镜向着腔内时，R取负值；,共轴球面腔的稳定性条件,稳定腔：,非稳定腔：,临界腔或介稳腔：,光学谐振腔的稳定图,几何光学分析方法和衍射理论分析方法,几何光学分析方法：用矩阵方法处理光腔中光线的传播、腔的稳定性、谐振腔的分类等。衍射理论分析方法：在菲涅耳基尔霍夫衍射积分以及模式重现概念的

18、基础上，讨论谐振腔模式的形式、解的存在、模式花样、衍射损耗等。,光学谐振腔的衍射理论分析,惠更斯菲涅耳原理,波前上每一点都可以看成是新的光源，从这些点发出子波，而空间中某一点的光场就是这些子波在该点相干叠加的结果,它是研究光衍射现象的基础，也是开腔模式问题的理论基础,空间曲面上光波场的振幅和相位分布函数为，所要考察的空间任意一点 所产生的场为，,菲涅耳基尔霍夫衍射积分,源点 与观察点 之间连线的长度；,面 上点 处的法线与上述连线的夹角；,面 上点 处的面积元；,波矢的模。,则有：,使用菲涅耳基尔霍夫积分公式有如下一些假定：,不计及光波的偏振特性；腔长比镜面线度大得多，u(x,y)在腔内传播方

19、向与光轴偏离尺寸不大，腔的曲率半径也比较大，即；腔面的线度比波长大得多，被积函数中的指数因子 一般不能用 代替;腔内的振动衰减是缓慢的.,相当于腔的镜面S1上光场，经衍射后在镜面S2上产生的光场分布为,将菲涅耳基尔霍夫积分公式应用到开腔的两个镜面上的场，则：,经过q 次渡越后所形成的场 与产生它的场 之间满足类似的迭代关系：,根据上述假定，则：,（b)孔阑传输线,(a)理想开腔,开腔中自再现模的形成,自再现模的形成,自再现模：在开腔镜面上，经一次往返能再现的稳态场分布称为为开腔的自再现模或横模。,开腔中自再现模的形成,对称开腔的自再现模满足的积分方程,共振开腔模式的积分方程：,考虑对称腔镜的情

20、况。当 足够 大时（实现模自再现，、应满足如下关系：,其中K(积分方程的核)：,取：,用 表示开腔中不受衍射影响的稳态场分布函数(横模)，则有：,（1）,（2）,方程（1）是开腔自再现模满足的积分方程式，其中函数E称为本征函数，常数 称为本征值。它的模描述镜面上场的振幅分布，幅角描述镜面上场的相位分布。,则：,：光经过一次渡越的相位滞后，越大，相位滞后越多；,：光在单程渡越过程中自再现模的衰减,复常数 的物理意义,令复常数：,自再现模在腔内经单程渡越的总相移,自再现模在腔内单程渡越所经受的平均相对功率损耗为模的平均单程损耗(单程损耗),对称开腔自再现模的谐振条件：,在对称开腔的情况下，单程总相

21、移,优点是：光束方向性好，模体积大，容易获得单模模 振荡，缺点是：谐振腔调整精度要求高，衍射损耗和几何损 耗都比较大，其稳定性介于稳定腔与非稳定 腔之间不适用于小增益器件，在中等以上功率的激光器中仍普遍应用。,平行平面腔的优点和缺点：,平行平面腔Fox-Li数值迭代法,谐振腔的迭代解法的思路：,Fox-Li 数值迭代法,假设在某一镜面上存在一个初始场分布，将它代入迭 代公式，计算在腔内经第一次渡越而在第二个镜面上生成的场；利用1所得到的 代入迭代公式，计算在腔内经第二次渡越而在第一个镜上生成的场；如此反复运算多次后，观察是否形成稳态场分布；,谐振腔内描述场渡越的迭代公式，表示为：,即当 足够大

22、时，由数值计算得出的 是否满足下述关系：,如果直接数值计算得出了稳定不变的场分布，则表明已经找到了腔的一个自再现模或横模,平行平面腔的迭代解法流程图,图1 矩形平行平面镜腔,对称矩形(方形镜)平行平面镜腔是指谐振腔镜面是平行的，并且在垂直与光轴方向上的尺度有限。条形镜平行平面腔是指镜面在某一方向上的尺度有限，而另一方向上的尺度是无限的。,对称矩形和条形镜平行平面腔,将上式展开，当,并忽略高次项:,对矩形平面腔，在图示的坐标系中，有,自再现模的积分方程：,则，积分方程的核为：,上述方程是可以分离的，令：,其中有：,用 和 分别表示它们的第m和第n个解，表示相应的复常数，则有本征积分方程式：,复常

23、数为：,m,n表示为谐振腔的横模,在整个镜面上的自再现场分布函数为,求解本征积分方程可得,镜面上场的振幅分布；镜面上场的位相分布；模的衰减；模的相移；模的谐振频率。,平行平面腔的迭代解法,由条形状腔的迭代公式，可以得到：,平行平面腔的迭代解法,将计算结果进行归一化处理，即取：,取均匀平面波作为第一个镜面上的初始波，即：,由初始场分布出发，经第一次及第300次渡越后，可以得到腔镜面场的振幅与相位的分布图：,条状腔经过1次和300次传播后镜面上的振幅分布,条状腔经过1次和300次传播后镜面上的位相分布,条形镜平行平面腔基模振幅分布,条形镜平行平面腔基模位相分布,圆形镜平行平面腔,将上式展开，当,并

24、忽略高次项,可以得到:,对圆形平面腔，在图示的极坐标系中，有：,对上述积分方程进行分离变量，令：,将上式代入自再现模积分方程，有：,可以证明所满足的积分方程为：,圆形镜平行平面腔基模振幅分布,圆形镜平行平面腔基模位相分布,最低阶偶对称基横模稳态场分布特点：,在镜面中心处的振幅最大，从中心到镜面边缘振幅逐渐降落。在整个镜面上场的分布具有偶对称性。,相位的分布发生了变化，镜面已经不再是等相位面了，因此严格的说，TEM00已不再是均匀平面波了。,最低阶奇对称横模稳态场分布特点：,在镜面中心处的振幅为零，在镜面边缘振幅也最小。而在某一中间位置处振幅达到最大，在整个镜面上场的分布具有奇对称性。,相位的分

25、布发生了变化，镜面已经不再是等相位面了，在节线边有相位突变。,对称开腔的单程相移,在对称开腔的情况下，单程总相移,单程相移与菲涅耳有关，同一横模，N越大，单程相移越小；N相同时，基模的单程相移最小，横模阶数越高，单程相移越大.,对称开腔的谐振频率,对称开腔自再现模的谐振条件：,对于条形平行平面腔，谐振频率主要取决于纵模频率,对称开腔的单程功率损耗,无论是条状腔还是圆形镜平行平面腔，单程功率损耗的大小都是菲涅耳数 的函数,单程衍射损耗与菲涅耳有关，同一横模，N越大，单程衍射损耗越小；N相同时，基模的单程衍射损耗最小，横模阶数越高，单程衍射损耗越大.低阶模的损耗远比均匀平面波的损耗低,方形球面镜共

26、焦腔的标量积分方程的解：长椭球函数，在N较大的情况，可以表示称厄米多项式与高斯函数乘积的形式。,圆形球面镜共焦腔的标量积分方程的解：超椭球函数，在N较大的情况，可以表示称拉盖尔多项式与高斯函数乘积的形式。,稳定球面镜共焦腔,方形球面镜对称共焦腔,两镜面间任意两点的连线长度：,方形镜对称共焦腔自再现模积分方程的解,由球面镜的几何关系：,所以，有：,可以得到：,代入自再现模积分方程：,进行无量纲变换：,则积分方程转化为：,根据分离变量：,不存在交错积分，是一个可分离变量的积分方程,求解上述方程的问题等价于如下两个方程的求解问题：,由博伊德和戈登给出，在C为有限值时，自再现模积分方程的本征函数为:,

27、与 相应的本征值为：,其中：,本征函数描述共焦腔镜面上场的振幅和相位分布。,可以证明，在 时，即在共焦腔镜面中心附近：,本征值决定了模的相移和损耗。,最初几阶厄米多项式：,厄米多项式具有如下的性质：有m个实数根,厄米多项式的一般表达式:,厄米多项式的零点决定了场图的零点，高斯函数决定了场分布的外形轮廓,将X,Y换回镜面上的直角坐标系x,y，得到本征函数的近似解：,本征值的近似解：,镜面上场的振幅和强度分布基模,当，得出共焦腔基模（TEM00）的场的分布函数：,基模的强度分布也是高斯型的：,基模的镜面上的分布是高斯型的，模的振幅从镜中心向边缘平滑降落。,共焦腔的光斑半径大小与镜面的尺寸没有关系，

28、只与腔长有关,共焦腔基模光斑的大小用基模在镜面上的“光斑半径”或“光斑尺寸”来表示,高斯分布与两种定义的光斑尺寸,镜面上场的振幅和强度分布高阶横模,利用基模光斑半径，本征函数的解可以写为：,最初几个横模的振幅分布函数为(P117图2-7-3振幅和强度分布)：,高阶横模光斑半径须按沿不同坐标来计算，可以证明，沿x,y方向的光斑半径分别为：,镜面上场的振幅和强度分布高阶横模,方形镜共焦腔振幅分布,方形镜共焦腔强度花样,自再现模 的辐角决定了镜面上场的相位分布：,镜面上场的相位分布基模和高阶横模,共焦腔的单程能量损耗,共焦腔基模单程功率损耗经验公式：,而同一菲涅耳数的圆形平面镜腔基模的损耗：,因此：

29、,菲涅耳数：,单程功率损耗,例：HeNe激光器采用共焦腔，L=30cm,a=0.2cm,振荡波长0.6328微米,方形镜共焦腔和平行平面腔的衍射损耗,单程能量损耗,结论：损耗随着菲涅耳系数N的增大而迅速减小菲涅耳系数相同时，不同横模的损耗不同，模的阶次越高，损耗越大；共焦腔模的损耗要小于平面腔模的损耗，这是因为共焦腔对光束会聚作用的结果。自再现模的衍射损耗小于均匀平面波的衍射损耗，因为自再现模的形成过程反应了衍射损耗的影响，从而使得边缘部分强度变小，衍射损耗的作用变小。,单程相移和谐振频率,由谐振条件:,可以得出各阶模的谐振频率为：,同一横模的相邻两纵模之间的频率间隔为：,q一定时，m,n改变

30、，频率间隔为：,共焦腔的振荡频谱及纵模和横模的关系,普通激光器的输出都是多模的,共焦腔与平行平面腔之不同,1 镜面上基模场的分布,平行平面腔基模分布在整个镜面上，呈偶对称性分布，镜面中心处振幅最大，向镜边缘振幅逐渐降低；,共焦腔基模在镜面上的分布在厄米-高斯近似下，与镜的横向几何尺寸无关，仅由腔长决定；一般共焦腔模集中在镜面中心附近；,2 相位分布,3 单程损耗,平行平面腔衍射损耗远高于共焦腔的衍射损耗,平行平面腔的反射镜不是等相面；共焦腔的反射镜为等相面,4 单程相移与谐振频率,平行平面腔中横模阶次m、n的变化引起的频率改变远远小于纵模阶次q的改变对谐振频率的改变；,在共焦腔中，m、n的变化

31、或q的改变对谐振频率的影响具有相同的数量级；,方形球面镜共焦腔的行波场,共焦腔内或腔外的一点的行波场的解析式：,坐标原点选在腔轴线的中心,：共焦腔的腔长：镜的焦距,知道了腔镜面上的场分布之后，利用菲涅耳基尔霍夫衍射积分可以求出共焦腔内或腔外任意一点的场分布，在镜面上的场能用厄米高斯函数(第三章高阶高斯光束)描述的条件下：,清华大学周炳琨的激光原理,1：振幅衰减因子,2：行波场横向振幅分布因子,3：位相因子，决定了共焦腔的位相分布,TEMmn模在腔内或腔外任意点(x,y,z)处的电场强度：,传播因子,位相弯曲因子,附加相移因子,等相位面的分布,忽略附加相移因子，在近轴情况下，z0点的等相位面方程

32、为：,抛物面焦距：,可以证明，在近轴情况下，共焦场的在z处的等相位面近似为球面，其曲率半径为：,与腔的轴线交于z0点的等相位面方程可以写成：,一般情况下，共焦腔的等相面凹面向着腔的中心的球面,当 时，,共焦腔等相位面的一个重要的性质：,若在等相位面处放置一个具有相应曲率的反射镜片，不影响共焦腔的场分布。用于研究一般稳定球面镜腔的性质。,共焦场等相面的分布,振幅分布和光斑尺寸,共焦场的振幅分布为：,对基模：,基模光斑尺寸(场振幅衰减到中心最大值的1/e处对应的横向距离)：,在共焦镜面上：,共焦腔基模高斯光束腰斑半径,共焦腔中，基模光斑随着坐标按双曲线规律变化：,例：某共焦腔氦氖激光器，L=30c

33、m,某共焦腔二氧化碳激光器，L=1m,基模远场发散角：双曲线两根渐近线之间的夹角：,一般激光器的远场发散角都很小，约为103弧度，也就是表明激光具有很好的方向性。,远场发散角,不同的腰半径的激光光束的远场发散角对比图,高阶横模的光束发散角 和 可以通过基模的光斑和发散角求出来：,圆形球面镜共焦腔自再现模积分方程,：为镜面上的极坐标，,：缔合拉盖尔多项式,在近轴范围内，当 时，圆形镜共焦腔积分方程的本征函数的近似解：,圆形镜对称共焦腔镜面光场分布,本征值的近似解：,镜面上对基模及高阶模的场振幅分布：,圆形镜对称共焦腔镜面模的振幅和相位分布,圆形镜共焦腔横截面场强度分布,圆形镜共焦腔横截面场强度分

34、布,TEM01,单程相移和谐振频率,圆形镜共焦腔模的谐振频率为:,自再现模在腔内一次渡越的总相移为:,知道了腔镜面上的场分布之后，利用菲涅耳基尔霍夫衍射积分可以求出共焦腔内或腔外任意一点的场分布。,圆形球面镜共焦腔的行波场,圆形镜共焦腔的行波场分布与方形镜完全类似，对圆形镜共焦腔的行波场特性的分析可以按照方形镜同样的方法进行。两者的基模光束的振幅分布、光斑尺寸、等相位面的曲率半径及光束发散角都完全相同。,一般球面镜腔：由两个曲率半径不同的球面镜按照任意间距组成的腔,一般稳定球面镜腔的模式理论：可以从光腔的衍射积分方程出发严格建立，以共焦腔的模式理论为基础的等价共焦腔方法,一般稳定球面镜腔：当它

35、们满足条件 时。,一般稳定球面镜腔及等价共焦腔,一般稳定球面腔与共焦腔的等价性,根据共焦腔模式理论：任何一个共焦腔与无穷多个稳定球面腔等价；而任何一个稳定球面镜腔唯一地等价于一个共焦腔。,一般稳定球面腔与共焦腔的等价性:指它们具有相同的行波场,共焦场等相面的分布,一般稳定球面腔与共焦腔的等价性,任一共焦腔与无穷多个稳定球面腔等价,若在共焦腔场的任意两个等相位面上放置两块具有相应曲率半径的球面反射镜，则由两个球面镜组成的新的谐振腔的行波场与原共焦腔的行波场相同，它们是等价的。由于任一共焦腔有无穷多个等相位面，因此可以用这种方法构成无穷多个等价球面腔,共焦场等相面的分布,共焦腔与稳定球面腔的等价性

36、,共焦腔中与腔的轴线相交于任意一点的等相位面的曲率半径为：,即放置在c1、c2处的反射镜构成稳定腔,稳定球面腔和它的等价共焦腔,需要确定共焦腔的焦距及共焦腔的中心位置。以共焦腔的中心o点为坐标原点，则同样有：,假设实际稳定腔的参数为，其对应的共焦腔是唯一确定的。,任一稳定的球面腔唯一地等价于某一共焦腔,由上述方程联立可以求解：,可以证明，当 满足稳定腔条件时，有,有了上述的等价性，对于任意的稳定球面腔，我们可以通过研究与其对应的共焦腔的特征模来研究它的模的性质。,一般稳定球面腔镜面上基模的光斑尺寸,将求得的焦距f代入上式可以得到一般稳定球腔（）行波场的基模光斑尺寸的分布，从而得到镜面1和镜面2

37、上的光斑半径以及束腰光斑半径和全角发散角，也可以用腔的g参数表示：,共焦腔中基模的光斑尺寸：,镜面上基模的光斑尺寸(表2-8-1给出几种典型腔模参数),方形镜共焦镜的相位函数：,将f、z1、z2代入上式，并由谐振条件：,对于方形一般稳定球面腔，可以得到TEMmnq谐振频率：,谐振频率,对于圆形孔径一般稳定球面腔，可以得到TEMplq谐振频率：,衍射损耗,镜面基模光斑半径,稳定球面腔的镜面线度,对于一般稳定球面腔，定义等效菲涅耳数：,共焦腔的模式理论证明：每种横模的单程衍射损耗单值由腔的菲涅耳数决定：,由等效菲涅耳数，按共焦腔衍射损耗曲线查出镜面上的损耗因子，则平均单程损耗为：,稳定球面腔的两个

38、镜面的等效菲涅耳数分别为：,图2-8-4给出了圆形反射镜稳定腔的 单程衍射损耗P141,1 模式的损耗随菲涅耳数N值的增大而急剧减小；,2 方形镜共焦腔损耗圆形镜共焦腔损耗平面腔损耗平面波损耗；,3 基模的损耗高阶模的损耗，模阶次越高，损耗越大；,模体积,基模模体积通常用下式估算：,模体积是指模式在腔内空间扩展的范围。模体积越大，对该模有贡献的激发态粒子数就越多，因而，也就可能获得大的功率输出。由于实际上光频电磁场是存在于无限大的范围之内，但是又由于它的能量的绝大部分分布于中心附近，所以一般定义模体积是指光斑半径以内的那部分体积。对于基模，由于其光斑尺寸随z变化，比较严格的计算应该进行积分运算

39、，但是通常用下式估算：,模体积与衍射损耗有矛盾！,一般稳定球面腔的基模模体积可定义为：,对于一般稳定球面腔，TEMmn模体积可：,高阶模模体积通常用下式估算：,非稳定谐振腔,稳定腔的优点：衍射损耗小稳定腔的缺点：模体积小，利用的反转粒子数少，平行平面腔的优点：模体积大平行平面腔的缺点：衍射损耗较大、调节精度很高非稳定腔的优点：非稳定腔的缺点：,？,非稳定腔的优点和缺点：,非稳定腔的优点：大的可控模体积，通过扩大反射镜的尺寸，扩大模的横向尺寸；可控的衍射耦合输出，输出耦合率与腔的几何参数g有关；容易鉴别和控制横模；易于得到单端输出和准直的平行光束非稳定腔的缺点：输出光束截面呈环状；光束强度分布是

40、不均匀的，显示出某种衍射环。,非稳定腔的条件：,1.双凸型非稳定腔：由两个凸面镜按照任意间距组成。,任何双凸腔都是非稳腔,非稳定腔的种类,2.平凸型非稳定腔：由一个平面镜和一个凸面镜按照任意间距组成。,任何平凸腔都是非稳腔,3.双凹型非稳定腔(非对称实共焦腔或负支望远镜型非稳腔)：由两块曲率半径不同的凹面镜组成，两块反射镜的实焦点相重合，满足非稳腔条件。,满足非稳腔条件,腔满足关系式,4.凹凸型非稳定腔(虚共焦型非稳腔或正支望远镜型非稳腔)：由一个凹面镜和一个凸面镜既可以构成稳定腔，也可以构成非稳定腔。,腔满足关系式,双凸型非稳定腔的共轭像点和轴向球面波型,系统中总存在一对轴上共轭像点p1和P

41、2,腔内存在一对发散球面自再现波型，由这一对像点发出的球面波满足在腔内往返一次成像的自再现条件。,根据球面镜成像公式，求一对像点在系统光轴上的位置和谐振腔参量之间的关系,对凸面反射镜M2:,对凸面反射镜M1:,双凸腔中光线传输路径,方程有实根的条件：,变成只含变量 或 的方程,对双凸腔，上式必然满足。,当腔的结构确定后，其共轭像点的位置也惟一地确定。,1.双凸腔的一对共轭像点都在腔外，因而是虚的，相应的几何自再现波型是一对发散的球面波而且两个像点各自处于凸面镜的曲率中心与镜面之间,2.在对称双凸腔 中，共轭像点的位置满足,对共轭像点的几点讨论：,3.对于平凸腔，为有限值，共轭像点的位置满足,平

42、凸腔的一对共轭像点都在腔外，因而是虚的，相应的几何自再现波型是一对发散的球面波。,凹凸型非稳定腔虚共焦望远镜腔的共轭像点,凹凸腔的一个共轭像点在腔外无穷远处，对应的自再现波型是平面波另一个共轭像点在公共的焦点上，对应的自再现波型是以共焦点为虚中心的的球面波。最大优点：能获得单端输出的均匀平面波,在高功率激光器中经常使用虚共焦望远镜腔,双凸非稳定腔的几何放大率,将从腔镜边缘外侧逸出的球面波作为激光器的有用输出，非稳腔中每一往返的平均能量损耗率就是其往返输出耦合率。,光线从镜M1传播到镜M2横向尺寸的放大率:,光线从镜M2传播到镜M1横向尺寸的放大率:,用简单的几何关系求光线在非稳定腔内往返传播一

43、周的放大率M,光线在非稳定腔内往返传播一周的放大率M,对称双凸型非稳定腔,与通常望远镜的放大率公式相一致,望远镜非稳定腔(虚共焦腔和实共焦腔),非稳定腔的能量损耗,镜M1上的光束半径为a1;光束从镜M1传播到M2，光束的半径增加了 倍由镜M2反射的光能量与由镜M1反射的光能量之比为：,光束从镜M1单程传播到M2，光能量损耗：,光束从镜M2单程传播到M1，光能量损耗：,非稳定腔的输出耦合率为：,非稳定腔的光能量输出是通过侧向能量逸出“损耗”实现的通过调节腔的几何参数可以直接控制非稳定腔的输出能量,M为非稳定腔的往返放大率,激光的优点在于它具有良好的单色性、方向性和相干性理想的激光器输出光束应该只

44、有一个模式，但是对于实际的激光器，如果不采取模式选择，它们的工作状态往往是多模的。含有高阶模式横模的激光束光强分布不均匀，光束发散角大。含有多纵模及多横模的激光器单色性及相干性差。,选模技术,在激光准直、激光加工、非线性光学、激光远程测距等领域都需要基横模激光束。在精密干涉测量，光通讯及大面积全息照相等应用中更要求激光是单横模和单纵模光束。因此，设计和改进激光器的谐振腔以获得单模输出是一个重要课题。,选模技术,所谓横模的选择，就是从谐振腔可能产生的许多模式中，选出基模，而其他的模式被抑制，不能产生振荡在稳定腔中，基模的衍射损耗最小，随着横模阶次的增高，衍射损耗将迅速增加。谐振腔中不同的横模具有

45、不同的衍射损耗是横模选择的物理基础。为了提高模式的鉴别能力，应该尽量增大高阶模式和基模的衍射损耗比。,横模的选择,对称稳定腔的两个低次模的单程损耗比,（共焦）,（半共焦）,（平面）,衍射损耗比的大小及模鉴别能力的值与谐振腔的腔型及菲涅耳系数有关。,平-凹稳定腔的两个低次模的单程损耗比,衍射损耗比的大小及模鉴别能力的值与谐振腔的腔型及菲涅耳系数有关。,选择横模的方法减小腔的菲涅耳数N(谐振腔参数选模法),物理基础：只有当某一模式的激光在腔内得到的增益能克服包括它的衍射损耗在内的损耗时，这个模式的激光才能振荡起来。（激光模式的损耗与腔型和菲涅耳数有关）,具体方法：,1.减少腔的菲涅耳数N,减少反射

46、镜的有效半径和；增加反射镜间的距离L；（对选纵模不利）,（适应于平面腔、共心腔或各种稳定腔）,选择横模的方法：腔内加光阑,在谐振腔内设置小孔光阑和限制工作物质横截面面积可以降低谐振腔的菲涅耳系数，增加高阶模衍射损耗，使激光器单模运行。这一方法实际是使光斑尺寸较小的基模无阻拦地通过小孔光阑，而光斑尺寸较大的高阶横模却受到阻拦而遭受较大的损耗。,为了扩大基模体积充分利用工作物质，通常采用聚焦光阑选模,物理基础：基模体积最小，高阶模的体积较大，当腔镜发生倾斜时，高阶横模损耗显著增大，基模受到的影响较小。,这一方法实际是通过腔镜的倾斜较少了谐振腔的菲涅耳数，增加了高阶模的损耗,缺点：腔镜的倾斜导致激光

47、的总功率输出显著降低,选择横模的方法：倾斜腔镜法,选择横模的方法：正确选择腔的结构形式,衍射损耗的大小及模鉴别能力的值与谐振腔的腔型有关，可适当选择腔的结构，增大高阶模式和基模的衍射损耗比,提高模式的鉴别能力。,激光器的振荡频率范围和频谱：由工作物质增益曲线的频率宽度来决定。P165表2-10-1给出了几种典型激光器系统的光谱特征。,纵模的选择,激光纵模形成条件：,满足谐振条件；落在工作物质的荧光谱线宽度内；满足阈值条件。,所谓激光纵模选择，就是通过使激光器只允许有一种频率振荡，二其余的频率则均被抑制。,缺点：腔长太短，输出功率低。,选择纵模的方法：缩短腔的长度(短腔法),相邻两个纵模的频率差

48、：,物理基础：F-P只能对某些特定频率的光通过。产生振荡的频率不仅要符合谐振腔共振条件，还要对标准具有最大的透过率,选择纵模的方法：腔内插入F-P标准具法,平板组合透过率是入射光波频率和平板反射率的函数,相邻透射峰之间的频率间隔(自由光谱区)为：,（R越大，透过率峰值曲线宽度越窄P169）,F-P标准具选纵模,调整F-P标准具的参数，使得在增益线宽 范围内，只有一个透射峰，同时在一个透射峰谱线宽度范围内只有一个模式起振，则可以实现单纵模工作。,选择合适的标准具光学长度，使标准具的自由光谱范围与激光器的增益线宽相当。使在增益线宽内，避免存在两个或多个标准具的透过峰。选择合适的标准具界面反射率R，

49、使得被选纵模的相邻纵模由于透过率低，损耗大而被抑制。,使用腔内插入F-P标准具法选纵模需要注意：,斜置法珀标准具选纵模：对波长选择性反射，抑制多余纵模振荡用标准具取代输出反射镜(谐振反射器)：利用对波长的选择性透过率，对不需要的纵模引入大的损耗。,实际应用中的腔内插入F-P标准具法,M2是半反射镜，镜面与激光器的光轴成45度角，M4为全反射镜。激光器由两个谐振腔组成，一个是镜面M1和镜M3面，另一个是M4-M2-M3镜面所组成。,选择纵模的方法：组合干涉腔限制纵模,激光腔的谐振频率应该满足两个条件：,激光器实现单频运转的模条件为：激光器的谐振频率满足上面的两个谐振条件M4-M2-M3谐振腔的相邻两个纵模间隔大于激光器的增益线宽,组合干涉腔限制纵模的优点：不引入附加的腔内无用损耗；可通过改变干涉仪的光路长度实现可调单频振荡。,组合干涉腔限制纵模的缺点：结构复杂，调整困难。,适用范围：窄荧光谱线的气体激光器系统,