电磁场基本方程.ppt
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1、1,第2章 电磁场基本方程,2,1785年库仑定律的提出,电磁场定理分析的开始1831年法拉第发现了电磁感应现象,导致发电机的发明和人类电气时代的到来.1864年麦克斯韦创立了普遍的电磁场方程组麦克斯韦方程组,它是宏观电磁现象的基本规律,是本书学习的核心.,本章将在复习“大学物理”电磁学部分的基础上,导出麦氏方程组,然后讨论它的边界条件、电磁场的能量关系和惟一性定理.这些是本课程其它章节的共同基础。,3,静态电磁场的基本定律和基本场矢量法拉第电磁感应定律和全电流定律Maxwell方程组电磁场的边界条件坡印廷定理和坡印廷矢量,2.1 静态电磁场的基本规律和基本场矢量,4,1.库仑(Coulomb
2、)定律(1785年),2.1.1.库仑定律 电场强度,静电场:由静止电荷产生的电场,重要特征:对位于电场中的电荷有电场力作用;电场强度矢量是描述电场的基本物理量,真空中静止点电荷 q1 对 q2 的作用力:,,满足牛顿第三定律。,大小与两电荷的电荷量成正比,与两电荷距离的平方成反比;方向沿q1 和q2 连线方向,同性电荷相排斥,异性电荷相吸引;,5,电场力服从叠加原理,真空中的N个点电荷(分别位于)对点电荷(位于)的作用力为,表明,任何电荷都在自己周围空间产生电场,而电场对于处在其中任何其它电荷都有作用力。,6,2.电场强度,空间某点的电场强度定义为置于该点的单位点电荷(又称试验电荷)受到的作
3、用力,即,如果电荷是连续分布呢?,根据上述定义,真空中静止点电荷q 激发的电场为:,描述电场分布的基本物理量,电场强度矢量,试验正电荷,单位:V/m(伏/米),7,体密度为 的体分布电荷产生的电场强度,线密度为 的线分布电荷的电场强度,面密度为 的面分布电荷的电场强度,小体积元中的电荷产生的电场,8,2.1.2 高斯定理,1.静电场的通量和散度,右图表示点电荷产生的电场强度,穿过以点电荷为心的球面S0,其电通量,在原点(r=0处)R=r,积分相当于的点积。,从而,包围S0作任意闭曲面S,穿过S0的电力线也必定全部穿过S,即穿过任意闭曲面通量的有效值相当于在球面上的投影,上式推广为,9,表明,空
4、间任意一点电场强度的散度与该处的电荷密度有关,静电荷是静电场的通量源。,利用散度定理,S内含N个点电荷或电荷体密度为 时,得,表明,电场强度矢量穿过闭合曲面S的通量等于该闭合曲面所包围的总电荷与 之比。,导出:,高斯定理积分形式,高斯定理微分形式,以上讨论的是真空媒质的情形。对一般媒质,我们引入描述电场的另一基本量-电通(量)密度,又称为电位移矢量。,定义:,(C/m2),介电常数,也称为电容率。真空中,=0,11,2.静电场的环量和旋度,右图表示点电荷产生的电场强度,沿着以点电荷为圆心的圆周线C0积分,则其环量,积分相当于的点积。,包围C0作任意闭曲线C,沿圆周线切线方向的电力线数全部为零,
5、同样电力线数沿任意闭曲线穿过的切线方向部分的代数和也必定为零,亦即沿任意闭曲线环量的有效值相当于在圆周上的投影,上式推广为,12,利用斯托克斯定理,导出:,表明在静电场中,沿任意闭合路径C的积分恒等于0。其物理意义是将单位正电荷沿静电场中的任一个闭合路径移动一周,电场力不做功。,表明静电场是无旋场。,静电场的基本性质(1)静电场是由通量源、不是由旋涡源产生的场;(2)静电场是有源无旋场。,13,例1 求真空中均匀带电球体的电场强度和电通密度分布。已知球体半径为a,电 荷密度为 0。,解:应用高斯定理,取半径为r的同心球面为高斯面,(2)求球体内一点的场强,ra,(1)球外某点的场强,ra,14
6、,解 a)介质层中的电场都沿径向,垂直于内外导体表面,其大小沿圆周方向是轴对称的。应用高斯定理,取半径 长1 的同轴圆柱为高斯面。作为封闭面,还应加上前后圆盘底面,但是它们与 相平行,因而没有通量穿过,不必考虑。,例2 如图所示,同轴线的内外导体半径分别为a和b。在内外导体间加电压U,则内导体通过的电流为I,外导体返回的电流为-I。a)设内外导体上单位长度的带电量分别为,求内外导体间的;b)用电压U来表示,则=?其最大值=?c)若给定b=1.8cm,应如何选择a以使用同轴线承受的耐压最大?,图 同轴线,得,于是,15,故,同轴线内最大电场强度EM发生于内导体表面处:,c)EM最大值发生于,得,
7、故,b),16,(3)E相等的面不构成闭合面时,另选法线方向垂直于E 的面,使其成为闭合面。,高斯定理解题步骤:,(1)分析电场是否具有对称性。,(2)取合适的高斯面(封闭面),即取在E相等的曲面上。,(4)分别求出,从而求得 及。,17,2.1.3 电流密度,电荷守恒定律,说明:电流通常是时间的函数,不随时间变化的电流称为恒定 电流,用I 表示。,形成电流的条件:存在可以自由移动的电荷 存在电场,单位:A(安培),电流方向:正电荷的流动方向,电流 电荷的定向运动而形成,用i 表示,其大小定义为:单位时间内通过某一横截面S的电荷量,即,18,电荷在某一体积内定向运动所形成的电流称为体电流,用电
8、流密度矢量 来描述。,单位:A/m2。,一般情况下,在空间不同的点,电流的大小和方向往往是不同的。在电磁理论中,常用体电流、面电流和线电流来描述电流的分别状态。,1.体电流,流过任意曲面S 的电流为,19,2.面电流,电荷在一个厚度可以忽略的薄层内定向运动所形成的电流称为面电流,用面电流密度矢量 来描述其分布,单位:A/m。,通过薄导体层上任意有向曲线 的电流为,线电流:电荷在一个横截面积可以忽略的细线中做定向流动所形成的电流,可认为电流是集中在细导线的轴线上。电流元:长度元dl中流过电流I,将Idl称为电流元。,20,2.1.3.电荷守恒定律(电流连续性方程),电荷守恒定律:电荷既不能被创造
9、,也不能被消灭,只能从物体 的一部分转移到另一部分,或者从一个物体转移 到另一个物体。,电流连续性方程,积分形式,微分形式,电荷守恒定律:流出闭曲面S的电流等于体积V内单位时间所减少的电荷量,电荷守恒定律是电磁现象中的基本定律之一。,微分形式的证明?,21,设定闭合面S所限定的体积V不随时间变化,则将积分形式中的全导数写成偏导数,又因为S为任意取的闭合曲面,则其所包围的体积V也是任意的。故:,根据散度定理:,电流连续性方程的微分形式,22,恒定电流是无源场,电流线是连续的闭合曲线,既无起点也无终点,恒定电流:,这表明从任意闭合面传出的恒定电流为0,或恒定电流是一个无散度的场。,23,1.安培力
10、定律,安培对电流的磁效应进行了大量的实验研究,在 18211825年之间,设计并完成了电流相互作用的精巧实验,得到了电流相互作用力公式,称为安培力定律。,实验表明,真空中的载流回路C1对载流回路C2的作用力,满足牛顿第三定律,载流回路C2对载流回路C1的作用力,2.1.4 安培力定律 磁感应强度(磁通密度),24,2、磁感应强度(磁通密度),电流在其周围空间中产生磁场,描述磁场分布的基本物理量是磁感应强度,单位为T(特斯拉)。,磁场的重要特征是对场中的电流磁场力作用,载流回路C1对载流回路 C2 的作用力是回路 C1中的电流 I1 产生的磁场对回路 C2中的电流 I2 的作用力。,根据安培力定
11、律,有,其中,25,任意电流回路C产生的磁场感应强度,电流元 产生的磁场感应强度,体电流产生的磁场感应强度,面电流产生的磁场感应强度,26,例 3 计算线电流圆环轴线上任一点的磁感应强度。,轴线上任一点P(0,0,z)的磁感应强度为,27,可见,线电流圆环轴线上的磁感应强度只有轴向分量,这是因为圆环上各对称点处的电流元在场点P产生的磁场强度的径向分量相互抵消。,由于,所以,在圆环的中心点上,z=0,磁感应强度最大,即,28,1.恒定磁场的通量和散度,右图表示载流长直导线产生的磁场,穿过以坐标原点为心的球面S0,其磁通量,积分相当于 的点积。上式可推广到任意分布电流产生的磁场,穿过任意闭曲面S的
12、通量也满足,29,上式看出,自由空间中磁感应强度穿过任意闭曲面的磁通量为零,磁力线是无头无尾的闭曲线。恒定磁场的磁通量形式为高斯定理积分形式。,利用散度定理,导出,上式看出自由空间中某点的恒定磁场无散度源。恒定磁场的散度的形式为高斯定理微分形式。,30,2.恒定磁场的环量和旋度,对于无限长的载流直导线,沿着以坐标原点为心的圆周线Cl积分,则其环量,积分相当于 的点积。上式可推广于任意分布电流的磁场沿环绕电流的任意闭曲线Cl积分,其环量,31,利用斯托克斯定理导出,看出恒定磁场是有旋场,稳恒电流是恒定磁场的旋涡源。,恒定磁场的基本性质(1)恒定磁场不是由通量源,而是由旋涡源产生的;(2)恒定磁场
13、是无源有旋场。,32,为了不考虑媒质的磁导率,引入磁场强度,,安培环路定律,磁场强度沿着闭合路径的线积分等于该路径所包围的电流I,磁场存在漩涡源,静电场和静磁场小结:,高斯定理表明:静电场是有源场,电场线起始于正电荷,终止 于负电荷。,1.静电场散度与高斯定理,环路定理表明:静电场是无旋场,是保守场,电场力做功与路径关。,2.静电场旋度与环路定理,3.恒定磁场的散度与磁通连续性原理,磁通连续性原理表明:恒定磁场是无源场,磁场线是无起点和 终点的闭合曲线。,安培环路定理表明:恒定磁场是有旋场,是非保守场、电流是 场的旋涡源。,4.恒定磁场的旋度与安培环路定理,2.2 电磁感应定律和全电流定律,3
14、4,2.2.1 电磁感应定律,自从1820年奥斯特发现电流的磁效应之后,人们开始研究相反的问题,即磁场能否产生电流。1881年法拉弟发现,当穿过导体回路的磁通量发生变化时,回路中就会出现感应电流和电动势,且感应电动势与磁通量的变化有密切关系,由此总结出了著明的法拉电磁感应定律。,电磁感应定律 揭示时变磁场产生电场,位移电流 揭示时变电场产生磁场,重要结论:在时变情况下,电场与磁场相互激励,形成统一 的电磁场。,35,负号表示感应电流产生的磁场总是阻止磁通量的变化。,1.法拉弟电磁感应定律的表述,设任意导体回路C围成的曲面为S,其单位法向矢量为,则穿过回路的磁通为,当通过导体回路所围面积的磁通量
15、 发生变化时,回路中产生的感应电动势in的大小等于磁通量的时间变化率的负值,方向是要阻止回路中磁通量的改变,即,36,导体回路中有感应电流,表明回路中存在感应电场,回路中的感应电动势可表示为,感应电场是由变化的磁场所激发的电场;感应电场是有旋场;感应电场不仅存在于导体回路中,也存在于导体回路之外的 空间;对空间中的任意回路(不一定是导体回路)C,都有,因而有,对感应电场的讨论:,37,相应的微分形式为,(1)回路不变,磁场随时间变化,这就是推广的法拉第电磁感应定律。,若空间同时存在由电荷产生的电场,则总电场 应为 与 之和,即。由于,故有,2.引起回路中磁通变化的几种情况:,磁通量的变化由磁场
16、随时间变化引起,因此有,38,称为动生电动势,这就是发电机工作原理。,(2)导体回路在恒定磁场中运动,(3)回路在时变磁场中运动,39,(1),矩形回路静止;,(3),且矩形回路上的可滑动导体L以匀速 运动。,解:(1)均匀磁场 随时间作简谐变化,而回路静止,因而回路内的感应电动势是由磁场变化产生的,故,例 2.2.1 长为 a、宽为 b 的矩形环中有均匀磁场 垂直穿过,如图所示。在以下三种情况下,求矩形环内的感应电动势。,(2),矩形回路的宽边b=常数,但其长边因可滑动导体L以匀速 运动而随时间增大;,40,(3)矩形回路中的感应电动势是由磁场变化以及可滑动导体L在磁场中运动产生的,故得,(
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