高等代数第六章 线性空间.ppt

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1、第六章 线性空间,1 线性空间的定义2 维数基和坐标3 线性子空间4 映射线性空间的同构5 线性空间上的函数,1 线性空间的定义,例题线性空间的定义线性空间的性质,例题,线性空间是线性代数最基本的概念之一。这一节我们来介绍它的定义，并讨论它的一些最简单的性质。线性空间也是我们碰到的第一个抽象的概念。例1 在解析几何中，我们讨论过三维空间中的向量。向量的基本属性是可以按平行四边形规律相加，也可以与实数作数量乘法。,例2 为了解线性方程组，我们讨论过以n元有序数组 作为元素的n维向量空间。对于它们，也有加法和数量乘法，那就是：例3 对于函数，也可以定义加法和函数与实数的数量乘法。譬如说，考虑全体定

2、义在区间a,b上的连续函数。我们知道，连续函数的和是连续函数，连续函数与实数的数量乘积还是连续函数。,实,维向量空间,在第二章，,有向量的加法,数乘：任取,那么,对于加法、数乘封闭，且满足八条,(1),(2),(3)有零向量(4)有负向量(5),(6),(7),(8),则称,是数域 R 上的,维向量空间,数域 F上的,维向量空间,在数域F上，类似可以定义,有向量的加法,数乘：任取,那么,对于加法、数乘封闭，且满足八条,(1),(2),(3)有零向量(4)有负向量(5),(6),(7),(8),则称,是数域 F 上的,维向量空间,从这些例子我们看到，所考虑的对象虽然完全不同，但是它们有一个共同点

3、，那就是它们都有加法和数量乘法这两种运算。当然，随着对象不同，这两种运算的定义也是不同的。为了抓住它们的共同点，把它们统一起来加以研究，我们引入线性空间的概念。,当我们引入抽象的线性空间的概念时，也必须选定一个确定的数域作为基础,定义1 设 V 是一个非空集合，F 是一个数域.在集合 V 的元素之间定义了一种代数运算，叫做加法；这就是说，给出了一个法则，对于 V 中的任意两个元素 与，在 V 中都有唯一的一个元素 与它们对应，称为 与 的和，记为,线性空间的定义,在数域 F 与 V 集合的元素之间还定义了一种运算，叫做数量乘法:对于数域 F 中任一数 k 与 V 中任一元素，在 V中都有唯一的

4、一个元素 与它们对应，称为 k与 的数量乘积，记为,如果加法与数量乘法满足下述法则，那么V称为数域F上的线性空间。加法满足下面四条规则：1)2)3)在V中有一个元素0，对于V中任一元 素 都有(具有这个性质的元素0称为V的零元素)；4)对于V中每一个元素,都有V中的元素，使得(称为 的负元素)。,5)6)数量乘法与加法满足下面两条规则：7)8)在以上规则中，k,l 等表示数域 F 中的任意数；等表示集合 V 中的任意元素。,数量乘法满足下面两条规则：,由定义，几何空间中全部向量组成的集合是一个实数域上的线性空间。,例4 全体实函数，按函数的加法和数与函数的数量乘法，构成一个实数域上的线性空间。

5、,下面再来举几个例子。例5 数域F上一元多项式环Fx，按通常的多项式加法和数与多项式的乘法，构成一个数域F上的线性空间.如果只考虑其中次数小于n的多项式，再添上零多项式也构成数域F上的一个线性空间，用Fxn表示.,例6 元素属于数域 F 的mn矩阵，按矩阵的加法和矩阵与数的数量乘法，构成数域F 上的一个线性空间，用Fmn表示.,例7 数域F按照本身的加法与乘法，即构 成一个自身上的线性空间。线性空间的元素也称为向量.当然，这里所谓向量比几何中所谓向量的涵义要广泛得多。线性空间有时也称为向量空间。以下我们经常是用小写的希腊字母 代表线性空间V中的元素，用小写的拉丁字母 代表数域F中的数,1.零元

6、素是唯一的。假设01，02是线性空间V中的两个元素。我们来证01=02。由于01、02是零元素，所以 01+02=01，01+02=02 于是 01=01+02=02。这就证明了零元素的唯一性。,线性空间的性质,2.负元素是唯一的。这就是说，适合条件 的元素 是被元素 唯一决定的。,假设 有两个负元素 与，那么,向量 的负元素记为。利用负元素，我们定义减法如下：,3.我们先来证（这里应该注意，等号 因为两边的“0”代表不同的对象）两边加上 即得,4.5,我们有两边加上 即得,6.如果，那么 或者.假设，于是一方面 而另一方面由此即得,BACK,2 维数基与坐标,线性空间中向量的线性相关性线性空

7、间的维数，基，坐标如何求线性空间的维数，基如何求过渡矩阵如何求向量的坐标,线性空间中向量的线性相关性,定义2 设V 是数域F上的一个线性空间，是V 中一组向量，是数域F 中的数，那么向量称为向量组 的一个线性组合。有时我们也说向量 可以用向量组 线性表出,定义3 设 是V中两个向量组。如果(1)中每个向量都可以用向量组(2)线性表出，那么称向量组(1)可以用向量组(2)线性表出。如果(1)与(2)可以互相线性表出，那么向量组(1)与(2)称为等价的,定义4 线性空间V中向量称为线性相关，如果在数域F中有r个不全为零的数，使 如果向量 不线性相关,就称为线性无关。换句话说,向量组 称为线性无关,

8、如果等式(3)只有在 时才成立。,定义5 向量组的一个极大线性无关组,设 S 是线性空间 V 中一部分向量组组成的集合，是S中的一组向量，如果 线性无关(2)S中其余向量可由 线性表示,则称 是 S 的一个极大线性无关组,定义6 向量组的秩,向量组一个极大线性无关组 则 r 称为向量组的秩只含零向量的向量组的秩为 0,例1 设,那么,对于矩阵的加法和数乘构成数域,上的线性空间.,是,的一个极大线性无关组,例2 问,中的向量组,是否线性相关,以上定义是大家过去已经熟悉的，不仅如此，在第三章中，从这些定义出发对n元数组所作的那些论证也完全可以搬到数域F上的抽象的线性空间中来并得出相同的结论。1.单

9、个向量 是线性相关的充分必要条件是。两个以上的向量 线性相关的充分必要条件是其中有一个向量是其余向量的线性组合。2.如果向量组 线性无关，而且可以被 线性表出，那么。,由此推出，两个等价的线性无关的向量组，必定含有相同个数的向量。3.如果向量组 线性无关，但向量组 线性相关，那么 可以被 线性表出，而且表法是唯一的。对于n元数组所成的向量空间，有n个线性无关的向量，而任意n+1个向量都是线性相关的。在一个线性空间中，究竟最多能有几个线性无关的向量，显然是线性空间的一个重要属性。我们引入,定义7 如果在线性空间V中有n个线性无关的向量，但是没有更多数目的线性无关的向量，那么V就称为n维的；如果在

10、V中可以找到任意多个线性无关的向量，那么V就称为无限维的。按照这个定义，几何空间中向量所成的线性空间是三维的；n元数组所成的空间是n维的；,线性空间的维数,由所有实系数多项式所成的线性空间是无限维的，因为对于任意的N，都有N个线性无关的向量 无限维空间是一个专门研究的对象，它与有限维空间有比较大的差别。在本课程中，我们主要讨论有限维空间。在解析几何中我们看到，为了研究向量的性质，引入坐标是一个重要的步骤。对于有限维线性空间，坐标同样是一个有力的工具。,在n维线性空间V中，n个线性无关的向量 称为V的一组基。设 是V中任一向量，于是 线性相关，因此 可以被基 线性表出：,其中系数 称为 在基 下

11、的坐标，记为,基 坐标,例1 在线性空间 中，是n个线性无关的向量，而且每一个次数小于n的数域F上的多项式都可以被它们线性表出，所以 是n维的，而 就是它的一组基。在这组基下,多项式 的坐标就是它的系数。,如何求坐标,如果在V中另外一组基那么按泰勒展开公式因此，f(x)在基 下的坐标是,例2 在n维空间Fn中，显然是一组基。对每一个向量，都有所以 就是向量 在这组基下的坐标。不难证明，,是 中n个线性无关的向量，在基 下，对于向量，有因此，在基 下的坐标为,例3 如果把复数域K看作是自身的线性空间，那么它是一维的，数1就是一组基；如果看作是实数域上的线性空间，那么就是二维的，数1与i就是一组基

12、。维数是和所考虑的数域有关的。,在n维线性空间V中，向量 是V的一组基。设 是V中任一向量，因此 可以被基 线性表出：,解方程组求出系数,一般情况,BACK,例4 试求 中向量,在基,下的坐标,基变换与坐标变换,基变换坐标变换,基变换 过渡矩阵,在n维线性空间中，任意n个线性无关的向量都可以取作空间的基。对不同的基，同一个向量的坐标一般是不同的。前面的例子已经说明了这一点。现在我们来看，随着基的改变，向量的坐标是怎样变化的。设 与 是n维线性空间中两组基，它们的关系是,设向量在这两组基下的坐标分别是 与，即现在找出 与 的关系。,为了写起来方便，我们引入一种形式的写法。把向量写成,（1）可以写

13、成,矩阵,称为由基 到 的过渡矩阵，它是可逆的。,在利用形式写法来作计算之前，我们首先指出这种写法所具有的一些运算规律。设 和 是V中两个向量组，是两个nn矩阵，那么,现在回到本节所要解决的问题上来。由(2)有,坐标变换公式,用（4）代入，得与（3）比较，由基向量的线性无关性，得,或者(5)与(6)给出了在基变换(4)下，向量的坐标变换公式。,例5 我们有,这里就是过渡矩阵。,因此也就是与3所得出的结果是一致的。,BACK,例6 在,中,求由基,到基,的过渡矩阵,3 线性子空间,子空间的定义有关 子空间的交子空间的和维数公式两个子空间的直和多个子空间的直和,子空间的定义,定义9数域 F 上线性

14、空间的一个非空子集合称为的一个线性子空间（或简称子空间）.如果对于的两种运算也构成数域 F 上的线性空间.,下面我们来分析一下，一个非空子集合要满足什么条件才能成为子空间。设W是V的子集合。因为V是线性空间。所以对于原有的运算，W中的向量满足线性空间定义中的规则1),2),5),6),7),8)是显然的。为了使W自身构成一线性空间，主要的条件是要求W对于V中原有运算的封闭性，以及规则3)与4)成立。现在把这些条件列在下面：,如何证明是子空间,1.如果W中包含向量，那么W就一定同时包含域F中的数k与 的数量乘积2.如果W中包含向量 与，那么W就同时包含 与 的和。3.0在W中。4.如果W中包含向

15、量，那么 也在W中不难看出3，4两个条件是多余的，它们已经包含在条件1中作为k=0与 1这两个特殊情形。因此，我们得到,定理3 如果线性空间V的非空子集合W对于V的两种运算是封闭的，也就是满足上面的条件1，2，那么W就是一个子空间。既然线性子空间本身也是一个线性空间，上面我们引入的概念，如维数、基、坐标等。所以，任何一个线性子空间的维数不能超过整个空间的维数。,例1 在线性空间中，由单个的零向量所组成的子集合是一个线性子空间，它叫做零子空间。例2 线性空间V本身也是V的一个子空间。在线性空间中，零子空间和线性空间本身这两个子空间有时候叫做平凡子空间，而其它的线性子空间叫做非平凡子空间。例3 在

16、全体实函数组成的空间中，所有的实系数多项式组成一个子空间。例4 是线性空间 的子空间。,例5 在线性空间 中，齐次线性方程组的全部解向量组成一个子空间，这个子空间叫做齐次线性方程组的解空间。不难看出，解空间的基就是方程组的基础解系，它的维数等于n-r,其中 r为系数矩阵的秩。,例6 在,中，一切形如,的向量的集合,构成,的一个子空间,例7 判别,是否构成,的一个子空间,子空间 设 是线性空间V中的一组向量。不难看出，这组向量所有可能的线性组合所成的集合是非空的，而且对两种运算封闭，因而是V的一个子空间，这个子空间叫做由 生成的子空间，记为,由子空间的定义可知，如果V的一个子空间包含向量，那么就

17、一定包含它们所有的线性组合，也就是说，一定包含 作为子空间。在有限维线性空间中，任何一个子空间都可以这样得到。事实上，设W是V的一个子空间，W当然也是有限维的。设 是W的一组基，就有,求 的维数和基定理4 1）两个向量组生成相同子空间的充分必要条件是这两个向量组等价。2）的维数等于向量组 的秩.证明 1）设 与 是两个向量组。如果那么每个向量 作为,中的向量都可以被 线性表出；同样每个向量 作为 中的向量也都可以被 线性表出，因而这两个向量组等价。如果这两个向量组等价，那么凡是可以被 线性表出的向量都可以被 线性表出，反过来也一样，因而,2）设向量组 的秩是s,而 是它的一个极大线性无关组，因

18、为 与 等价，所以由定理1，就是 的一组基，因而 的维数就是s.,例8 在,中，取,则,例9,例10 在,中,求向量,张成的子空间的基和维数,基的扩充定理5 设W是数域 F 上n维线性空间V的一个m维子空间，是W的一组基，那么这组向量必定可扩充为整个空间的基。也就是说，在V中必定可以找到n-m个向量 使得 是V的一组基。证明 对维数差n-m作归纳法。当n-m=0，定理显然成立，因为 已经是V的基。现在假定n-m=k时定理成立，我们考虑n-m=k+1的情形。既然 还不是V的一组基，它又是,线性无关的，那么在V中必定有一个向量 不能被 线性表出，把 添加进去 必定是线性无关的。由定理4,子空间 是

19、m+1维的。因为,由归纳法假设，的基 可以扩充为整个空间的基。根据归纳法原理，定理得证。,BACK,子空间的交,子空间的交求,子空间的交,例 11 设,则,定理6 如果V1，V2是线性空间V的两个子空 间，那么它们的交 也是V的子空间。证明 首先，由，可知，因而 是非空的。其次,如果,即，而且，那么，因此。对数量乘积 可以同样地证明。所以 是V的子空间。,求,P344 习题8复习题A组 习题8复习题B组 习题1,由集合的交的定义可以看出，子空间的交适合下列运算规律：(交换律),(结合律)。多个子空间的交定义：它也是子空间。,子空间的和,子空间的和如何求,子空间的和定义11 设 是线性空间V 的

20、子空间,所谓 与 的和,是指由所有能表示成，而 的向量组成的子集合，记作,定理7 如果 是V子空间,那么它们的和 也是V的子空间,子空间的和,证明 首先，显然是非空的。其次，如果 即那么因此 同样 所以，是V的子空间。,子空间的和适合下列运算规律：我们定义多个子空间的和它是由所有表示成 的向量组成的子空间。关于子空间的交与和有以下结论：1.设V1，V2，W都是子空间，那么由 与 可推出,而由 与 可推出2.对于子空间V1与V2，以下三个论断是等价的：这些结论的证明留给读者。例12 在三维几何空间中，用V1表示一条通过原点的直线，V2表示一张通过原点而且与V1垂直的平面，那么，V1与V2的交是0

21、，而V1与V2的和是整个区间。,例13 在线性空间Fn中，用V1 与V2分别表示齐次方程组,与,的解空间。,则,的解空间。,就是,例14 在一个线性空间V中，我们有,定理7（维数公式）如果V1，V2 是线性空间 V 的两个子空间，那么 维(V1)+维(V2)=维(V1+V2)+维().,证明 设V1，V2的维数分别是n1,n2，的维数是m,取 的一组基由定理5，它可以扩充成V1的一组基也可以扩充成V2的一组基,我们来证明，向量组是V1+V2的一组基。这样，V1+V2的维数就等于n1+n2-m,因而维数公式成立。因为所以现在来证明向量组(1)是线性无关的。设,令由第一个等式，而由第二个等式看出

22、于是，即 可以被 线性表示。令 则由于 线性无关,得 因而,从而有由于 线性无关，又得这就证明了 线性无关，因而它是V1+V2的一组基，故维数公式成立.,从维数公式可以看到，和的维数往往要比维数的和来得小，例如，在三维几何空间中，两张通过原点的不同的平面之和是整个三维空间，而其维数之和却等于4。由此说明这两张平面的交是一维的直线。一般地我们有推论 如果n维线性空间V中两个子空间V1,V2的维数之和大于n,那么V1,V2必含有非零的公共向量。证明 由假设,维(V1+V2)+维()=维(V1)+维(V2)n.但因V1+V2是V的子空间而有 所以 维()0.这就是说，中含有非零向量。,BACK,两个

23、子空间的直和,子空间的直和的定义,直和的充要条件,直和补的存在性,子空间直和的定义,子空间的直和是子空间的和的一个重要的特殊情形。定义12 设V1，V2 是线性空间V的子空间，如果和V1+V2中每个向量 的分解式是唯一的，这个和就称为直和，记为,直和的充要条件定理9 和 是直和的充分必要条件 是等式,只有在 全为零向量时才成立。,证明 定理的条件实际上就是：零向量的分解式是唯一的。因而这个条件显然是必要的。下面来证这个条件的充分性。设，它有两个分解式于是其中。由定理的条件，应有这就是说，向量 的分解式是唯一的。,推论 和V1+V2为直和的充分必要条件是证明 先证条件的充分性。假设有等式 那么

24、由假设 这就证明了V1+V2是直和。再证必要性。任取向量 于是零向量可以表成 因为是直和，所以。这就证明了,定理10 设V1，V2是V的子空间，令W=V1+V2,则 的充分必要条件为 维(W)=维(V1)+维(V2).(1)证明 因为 维(W)+维(V1 V2)=维(V1)+维(V2)，(2)而由前面定理8的推论知V1+V2为直和的充要条件是。所以维 也就是 维(W)=维(V1)+维(V2)。,例1 证明,其中,直和补的存在性 定理11 设U是线性空间V的一个子空间，那么一定存在一个子空间W使证明 取U的一组基，把它扩充为V的一组基。令W即满足要求。,直和补是不唯一的,也是 U 的一个直和补,

25、且,多个子空间的直和,多个子空间的直和的定义等价条件,定义13 设 都是线性空间 V的子空间，如果和 中每个向量 的分解式,是唯一的，这个和就称为直和,记为,定理12 是V的一些子空间，下面这些条件是等价的。1）是直和；2）零向量的表示法唯一；3）；4）这个定理的证明和s=2的情形基本一样。,BACK,例3 证明:如果,证明:,4 映射 线性空间的同构,同构的定义,同构的性质,同构的运算,同构的条件,映射,映射的定义特殊的映射一一对应逆映射映射的乘法,映射,设M 与 N 是两个集合，所谓集合 M 到集合N 的一个映射就是指一个法则，它使 M 中每一个元素 都有 N 中一个确定的元素 与之对应。

26、如果映射 使元素 与元素 对应,那么就记为,映射,称为 在映射 下的象，而 称为 在映射 下的一个原象。M到M自身的映射，有时也称为到自身的变换。,例1 M是全体整数的集合，P是全体偶数的集合，定义这是M到 P 的一个映射。例2 M是数域 F 上全体 n 级矩阵的集合，定义这是M到 F 的一个映射。例3 M 是数域 F 上全体 n 级矩阵的集合，定义,E是n级单位矩阵，这是F到M的一个映射。例4 对于 定义 这是Fx到自身的一个映射。例5 设M,N是两个非空集合，a0是N中一个固定的元素，定义即 把 M 的每个元素都映到,这是 M 到 N 的一个映射。,即 把每个元素都映到它自身，称为集合M的

27、恒等映射或单位映射，记为1M.在不致引起混淆时，也可以简单地记为1.例7 任意一个定义在全体实数上的函数 y=f(x)都是实数集合到自身的映射，因此，函数可以认为是映射的一个特殊情形。,例6 设M是一集合，定义,映射的乘法。设 分别是集合M到N，N 到 P的映射，乘积 定义为,是 M 到 P 的一个映射,例如，上面例2与例3中映射的乘积 就把每个n级矩阵A映到数量矩阵|A|E，它是全体n级矩阵的集合到自身的一个映射。,又如，对于集合 M 到 N 的任意一个映射 显然都有 映射的乘法适合结合律。设 分别是集合M到N，N到P，P到H 的映射，映射乘法的结合律就是,等式是 M 到 H 的映射.即证明

28、由定义 设 是集合M到N 的一个映射，我们用 代表M在映射 下象的全体，称为M在映射 下的象集合。显然,满射（映上的）如果，映射 就称为映上的。如例1、2、4、6中的映射，是映上的。而例3中的映射当 时则不是映上的。,单射（1-1的）如果在映射 下，M中不同元素的像也一定不同，即由 一定有，那么映射 就称为1-1的。,如例1中 当 时有 所以 是1-1的。同样证明例3，6中的映射是1-1的，而例2，4中的映射则不是。,1-1的映上的映射称为1-1对应。如例1和例6中的映射都是1-1对应。,1-1对应,对于M到 N 的1-1 对应 我们定义它的逆映射，记为。显然，是 N 到M的一个1-1对应，并

29、且 不难证明，如果 分别是M到N，N到P的1-1对应，那么乘积 就是M到P的一个1-1对应。,BACK,线性空间的同构,线性空间同构的定义数域 F 上 n 维线性空间都与 同构,数域F上的 n 维线性空间,设 是线性空间V 的一组基，在这组基下，V 中每个向量都有确定的坐标，而向量的坐标可以看成 的元素。因此，向量与它的坐标之间的对应实质上就是V 到 的一个映射。显然，这个映射是1-1的与映上的，换句话说，坐标给出了线性空间V与 的一个1-1对应。这个对应的重要性表现在它与运算的关系上。设,即向量 的坐标分别是那么于是向量 的坐标分别是,定义20 数域F上两个线性空间V与 称为同构的，如果由V

30、到 有一个1-1的映上的映射，具有以下性质：其中 是V中任意向量，k是F中任意数。这样的映射 称为同构映射。,前面的讨论说明在n维线性空间V中取定一组基后，向量与它的坐标之间的对应就是V到 的一个同构映射。因而，数域F上任一个n维线性空间都与 同构。,同构映射具有下列基本性质：1.在定义20的2)中分别取k=0,-1即得。2.3.V中向量组 线性相关的充分必要条件是：它们的象 线性相关。因为由,可得 反过来，由 有 因为 是1-1的，只有，所以 由同构映射的性质可以推知，同构的线性空间有相同的维数。,5.同构映射的逆映射是同构映射。设 是线性空间V到 的同构映射，显然逆映射 是 到V 的一个1

31、-1的映上的映射。我们来证 还适合条件1）,2）。令 是 中任意两个向量，于是,两边用 作用，即得 条件2)可以同样地证明,6.两个同构映射的乘积还是同构映射再设 和 分别是线性空间V到V和V到V的同构映射，我们来证乘积 是V到V的一个同构映射。显然 是1-1的映上的。由,是同构映射,性质5，6表明，同构作为线性空间之间的一种关系，具有反身性、对称性与传递性。既然数域F上任意一个n维线性空间都与Fn同构，由同构的对称性与传递性即得，数域F上任意两个n维线性空间都同构。综上所述，我们有,定理13 数域F上两个有限维线性空间同构的充分必要条件是它们有相同的维数。特别地，每一个数域F上 n 维线性空

32、间都与n 元数组所成的空间 同构，而同构的空间有相同的性质。由此可知，我们以前所得到的关于 n 元数组的一些结论，在一般的线性空间中也是成立的，而不必要一一重新证明。,BACK,线性空间上的函数,线性函数双线性函数对称双线性函数二次型函数,线性函数,定义21 设,是数域,上的一个线性空间，,是,到,的一个映射，如果,满足,2）,式中,是,中任意元素，,是,中任意数，则称,为,上的一个线性函数.,1）,线性函数的性质,(1)设,是,上的线性函数，则,(2)如果,是,的线性组合：,那么,例题,例1,是,中的向量.函数,也是一个线性函数,例题,例2,是数域,上一个,级矩阵，设,则,的迹,是,上全体,

33、级矩阵构成的线性空间,上的一个线性函数,3.设 为一个线性函数，为,的一组基，,则,即 f 可由V 的基的值确定,而 为 V 的一组基.,则 为线性函数，且,令,反之，设 是 n 个数,是 到 F 的一个线性函数.,例3 设,则,一组基，是 上的一个线性函数，已知,求,解：,所以,例4 设 V 是数域 F上的 3 维线性空间,是,一个线性函数，已知,求,解：,则,例5 设 V 是数域 F上的 3 维线性空间,是V上的,结论:设V为数域 F上的一个n 维线性空间，,为V的一组基，,为 F中,任意 n 个数.则存在唯一的V上线性函数 f 使,双线性函数,设 是数域 上的 维线性空间，映射,为 上的

34、二元函数.,即对,根据 唯一地对应于 中一个数,如果,具有性质:,其中,则 称为 上的一个双线性函数.,对于线性空间V 上的一个双线性函数当固定一个向量(或)不变时，可以得出一个线性函数.,注：,例6.线性空间 上的内积即为一个双线性函数.,例7.上两个线性函数,定义,证明:f 是V上的一个双线性函数.,证：,例8.设 是数域 上的 维线性空间，,令,则 为 上的一个双线性函数.,若,则,事实上，或是数域 上任意上的 维线性空间 上双线性函数 的一般形式.,设 为数域 上线性空间V 的一组基，,设,则,令,则,其中,设 是数域 上任意上的 n 维线性空间V上一个双线性函数，为V的一组基，则矩阵

35、,称为 在 下的度量矩阵.,度量矩阵,结论1 在给定基下,上全体双线性函数与 上全体 级矩阵之间存在11对应.,性质,证：取定 的一组基,双线性函数,令,则 与 对应.,即 与 在 下的度量矩阵对应.,且不同双线性函数对应的在 下的度量矩阵不同.,事实上，若 在 下的度量矩阵分别为,且 时,即,则对任意,有,矛盾.,反之，任取,对V中任意向量,定义函数,则 f 为V上的一个双线性函数.,在 下的度量矩阵即为,结论2 维线性空间V上同一双线性函数，在V 的不同基下的矩阵是合同的.,证：设 在V 的基 与 下的度量矩阵分别为,即 A与B 合同.,注：若矩阵 A与B合同，则存在一个双线性函数 及V上

36、两组基，使 在这两组基下的度量矩阵为,对称双线性函数,设 为数域 F 上线性空间 V 上的一个双线性函数，如果对V中任意向量 均有 则称 为对称双线性函数.,结论1 数域 F上n 维线性空间 V上双线性函数是对称的（反对称的)等价于 在V的任意一组基下的度量矩阵是对称的（反对称的）.,对称双线性函数的有关性质,证：任取V的一组基,则,同样,定理14设V是数域F上n 维线性空间.是V上对称双线性函数，则存在一组基，使 在这组基下的度量 矩阵为对角形.,若 在基 下的度量矩阵为对角矩阵,则对,注：,推论1 设V是复数域上 n 维线性空间.为 V上对称双线性函数.则存在V的一组基 对,推论2 设V是实数域上 n 维线性空间.为V上对称双线性函数.则存在V的一组基 对,为正惯性指数.,二次型函数,定义24 设 f 是数域 F 上线性空间 V 上的一个对称双线性函数，所确定的映射 称为与 f 关联的二次型函数,一个对称双线性函数只能导出一个二次型.,此即为以前学过的二次型.,此时，,而二次型与对称矩阵1-1对应.结论：在固定的基 下，二次型 和对称双线性函数 也是互相唯一确定的,