模糊数学精品讲义3.6模糊关系与聚类分析1.ppt
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1、1,3.6 模糊关系与聚类分析,3.6.1 经典关系“关系”是一个普遍使用的,又是很重要的概念。例如父子关系、兄弟关系、朋友关系、大小关系、从属关系、买卖关系、供求关系、合作关系等等,他表示了事务之间的某种联系。在数学上,关系有严格的定义。,2,定义 3.6.1 设 X、Y 为两个非空集合,XY 为 X 与Y 的笛氏积,即 XY=(x,y)|x X,y Y。若有 R XY(即 RP(XY),则称 R 为 X 到 Y 的二元关系,简称关系。对于任何一个(x,y)X Y,若(x,y)R,则称 x 与 y 具有关系 R,记作 xRy;若(x,y)R,则称 x 与 y 不具有关系 R,记作。若 X=Y
2、,R 是从 X 到 Y 的关系,则可称 R 是 X 上的关系。,3,例 3.6.1 设 X、Y 是实数集,R 是 X 上的“大于”关系,即 xRy x y或R=(x,y)x,y 为实数,且 x y,亦即 R 是坐标平面上直线 y=x 下方(不含直线上的点)那部分平面的点集(图3.34),4,5,从 X 到 Y 的关系 R 是论域 X Y 的经典子集。所以经典集的并、交、补运算及其性质,以及经典集的特征函数表示法,对 R 当然适用。,6,若 X 与 Y 之间有一规则 R,使得 xX,按规则 R 唯一地与 yY 对应,则 R 决定了从 X 到 Y 的映射R:XYx|R(x)=y,(x,y)R由此可
3、见,映射中的规则 R,就是 X 到 Y 的关系 R。,7,例 3.6.2 设有四个学生甲、乙、丙、丁,用优、良、差来衡量他们的学习成绩。若作出两个集合 X=甲,乙,丙,丁,Y=优,良,差,再作其直积(笛氏积)X Y=(甲,优),(甲,良),(甲,差),(乙,优),(乙,良),(乙,差),(丙,优),(丙,良),(丙,差),(丁,优),(丁,良),(丁,差),8,如果已知甲的成绩是优,乙和丙的成绩是良,丁的成绩是差,则R=(甲,优),(乙,良),(丙,良),(丁,差)就是 X 与 Y 之间的一个关系,即 R XY,它表示了甲、乙、丙、丁四个学生与其成绩的对应关系,所以这个关系也是一个映射。如图
4、3.35 所示,9,10,关系也可以用表格表示,如表 3.8,表 3.8 学习成绩关系表,11,表中“1”表示(x,y)R,“0”表示(x,y)R。如(甲,优)R,则在相应的位置上写上“1”;又如(甲,良)R,则在相应的位置上写上“0”。表 3.8 的形式可以更简洁地用矩阵形式表示:,12,称为关系矩阵。它的一般形式为,其中 rij=0 或 1,i=1,2,n,j=1,2,m。,13,经典关系可以用特征函数来表示。定义 3.6.2 若 RP(XY),则其特征函数表示如下 当 X=x1,x2,xn,Y=y1,y2,ym,则二元关系 R 的特征函数组成一个布尔矩阵(矩阵中的元素或者为 0,或者为1
5、),如(3.6.1)式所示。但,14,其中的元素 rij 如下选取:定义 3.6.3 设 R 是 X 到 Y 的关系,令 R-1=(y,x)Y X|(x,y)R,(3.6.2)则 R-1 是 Y 到 X 的关系,称 R-1 为 R 的逆关系。,15,定义 3.6.4 设 R 是 X 到 Y 的关系,Q 是 Y 到 Z 的关系,令(3.6.3)则 RQ 是 X 到 Z 的关系,称为 R 与 Q 的合成(或复合)关系(参见图3.36)。,16,若用特征函数来表示合成运算,则有因而有,17,例3.6.3 图 3.36 所示之例,用特征矩阵写出有,18,从图 3.36 直接可以看出由(3.6.4)式也
6、可以计算出(RQ)(x,z)。这里和普通矩阵的乘法运算类似,只要用“”代替“”,用“”代替“+”便可。易知,计算的结果与直接观察的结果是相同的。,19,定义 3.6.5 设 R 是 X 上的经典关系,则有如下定义:称 R 是自反的 xX,(x,x)R。称 R 是对称的 若(x,y)R,则(y,x)R。称 R 是传递的 若(x,y)R,(y,z)R 则(x,z)R。称 R 是 X 上的等价关系 R 是 X 上的一个自反、对称和传递的关系。,20,若 R 是 X 上的一个等价关系,xX,称 Rx=y X|(x,y)R(3.6.5)为以 x 为代表的 R 的等价类。显然,等价类满足:(1)X=xX
7、Rx;(2)若 RxRy,则 RxRy=。,21,我们将全体等价类的集合 X/R=Rx|xX(3.6.6)称为 X 的关于 R 的商集。显然,X/R 是集合的集合。,22,例 3.6.4 设 X 为整数集,令R=(x,y)X X|(xy)可被 3 整除,则 R 是 X 上的等价关系,且xX,R0=R3=R3x=,-6,-3,0,3,6,R1=R3x+1=,-5,-2,1,4,7,R2=R3x+2=,-4,-1,2,5,8,即 X 的(模)R 的等价类只有三个:,23,一个是所有 3 的倍数的整数集;一个是所有形如 3 的倍数+1 的整数组成的集;再一个就是所有形如 3 的倍数+2 的整数组成的
8、集。因此,X 的(模)R 的商集只有三个元素:X/R=R0,R1,R2。,24,定义 3.6.6 设 A=At|tT 是 X 上的一个子集族,若它满足以下三个条件,则称 At|tT 为 X 的一个划分(分类):At A,At,即每类不空;(2)若 At,As A,At As 则 At As=,即不同类不相交;(3),即 X 的每一元素必属于一类而且只属于一类。,25,命题 3.6.1 设 R 是 X 上的等价关系,则 X/R 构成 X 的一个划分,并称为由等价关系 R 诱导的划分。证明(1)先证每类不空。因 R 具有自反性,故有 xRx,从 而 xR x=At,即 At。(2)次证不同类不相交
9、。设 At=R x,As=R y,且At As,若 At As,取 zAt As,则 xRz 且 yRz则由传递性可知,有 xRy。由于 x、y 是任意的,于是有 R x=R y,与假设矛盾,故 At As=。,26,(3)最后证。一方面,xX,xRx,即 另一方面,显然有 因此有综上所述,X/R 构成 X 的一个划分。命题3.6.2 设 A=At|tT 为 X 上的一个划分,则A 决定了 X 上的一个等价关系 R,并且 X/R=A。,27,证明 在 X 上规定一个关系 R:xRy tT,x,y At,可证 R 是 X 上的一个等价关系。xX,因 A 是划分,故 tT,使xAt,故 xRx。(
10、2)x,yX,若 xRy,则 tT,使 x,y At,即 y,x At,从而 yRx。(3)若 xRy、yRz,则 t,sT,使 x,y At,y,z As,因此 yAt As,故 At As。由定义 3.6.6 可知 At=As,这意味着 x,z At,即 xRz。,28,例 设 X=某校全体学生,R1 是同年级关系,R2 是同性别关系。显然,R1,R2 都是 X 上的等价关系。R1 把 X 划分为各个不同的年级:X=X1,X2,X3,X4,其中 Xi 表示 i 年级(i=1,2,3,4)。R2 把 X 划分成男生集合与女生集合:X=男生集合,女生集合。,29,定义 设 R 是 X 上的一个
11、经典关系,如果 R 是自反的和对称的,则称 R 是 X 上的相似关系。例如,合作关系、朋友关系都是相似关系。若 R 是 X 上的一个相似关系,xX,称Rx=y X|(x,y)R 为以 x 为代表的 R 的相似类。,30,显然,相似类满足:X=xX Rx。但是,当 RxRy 时,可能有RxRy。这是因为相似关系可能不满足传递性。,31,例 设 X=1244,157,287,456,690。定义在 X 上的关系 R=(x,y)X X|x 与 y 有相同的数字,则 R 是 X 上的相似关系,其对应的相似矩阵为,32,R1244=1244,157,287,456,R157=1244,157,287,4
12、56,R287=1244,157,287,R456=1244,157,456,690,R690=456,690。可以看出,虽然 R287R456,但是R287R456=1244,157。,33,3.6.2 模糊关系的基本概念 经典关系只能说明元素之间关系的有无。现实世界的关系不是简单的有无,而是有不同程度的相关性质。例如家庭成员之间相貌相似的关系,就不是简单的相似或不相似,而是有不同的相似程度。反映这种性质的关系就是模糊关系。,34,定义 3.6.7 设 X、Y 为两个论域。X Y 中的任何一个模糊集 RF(XY)都称为 X 与 Y 之间的模糊关系,即R:X Y 0,1,(x,y)|R(x,y
13、),其中 R(x,y)称为 x 与 y 关于 R 的关系强(程)度。当 X=Y 时,称 R 为 X 上的模糊关系。,35,例 3.6.5 医学上常用体重(kg)=身高(cm)100描述标准体重。这实际上给出了身高(论域 X)与体重(论域 Y)的普通关系。若 X=140,150,160,170,180,Y=40,50,60,70,80,则普通关系由表 3.9 给出。它的关系矩阵是个布尔矩阵,36,表 3.9 体重与身高的普通关系,37,人有胖瘦不同,所以大部分人并非严格是标准情况,而是与标准情况有不同的接近程度,显然这更能完整、全面地描述身高与体重的关系,如表 3.10 所示,表 3.10 体重
14、与身高的模糊关系,38,当(x,y)=(170,60)时,R(x,y)=0.8;当(x,y)=(180,50)时,R(x,y)=0.1。这说明身高 1.7 m 与体重 60 kg 的人与标准情况接近的程度为 0.8,或其关系强度为 0.8;身高 1.8 m 与体重 50 kg 的人与标准情况接近的程度为 0.1 或其关系强度为 0.1。,39,这个模糊关系的矩阵形式如下:,40,一般地,对于有限论域 X=x1,x2,xn,Y=y1,y2,ym 之间的模糊关系 R 可用 n 行 m 列(简称 nm 阶)的模糊矩阵来表示:R=(rij)nm,其中 rij=R(xi,yj),0 rij 1,或,41
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