随机分析.ppt

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1、3 随机分析,随机过程的微积分,数学分析与随机分析,在普通函数的微积分中，连续、导数和积分等概念都是建立在极限概念的基础上。在随机分析中，以随机序列极限为基础，研究分析随机过程的连续、导数和积分等概念和性质。,一、收敛性概念,对于概率空间（,F,P）上的随机序列 Xn，每个试验结果 e 都对应一序列 X1(e),X2(e),Xn(e),若这一族序列对每个 e 都收敛，则称随机序列 Xn 处处收敛，即满足其中 X 为随机变量。,以概率1收敛,以概率1收敛 称二阶矩随机序列 Xn(e)以概率1收敛于二阶矩随机变量 X(e)，若使成立的 e 的集合的概率为1，即或称 Xn(e)几乎处处收敛于X(e)

2、，记作。,依概率收敛,依概率收敛 称二阶矩随机序列 Xn(e)依概率收敛于二阶矩随机变量 X(e)，若对于任意给定的 0，有记作。,均方收敛,均方收敛 设有二阶矩随机序列 Xn 和二阶矩随机变量 X，若有成立，则称 Xn 均方收敛于X，记作。,依分布收敛,依分布收敛 称二阶矩随机序列 Xn 依分布收敛于二阶矩随机变量 X，若 Xn 相应的分布函数列 Fn(x)，在 X 的分布函数 F(x)的每一个连续点处，有记作。,四种收敛定义的关系,均方收敛的性质,定理 设 Xn,Yn,都是二阶矩随机序列，U 是二阶矩随机变量，cn 是常数序列，a,b,c 为常数。令 l.i.mXn=X,l.i.mYn=Y

3、,limcn=c，则有,极限运算与求数学期望运算可以交换顺序,收敛的充要条件,定理1 二阶矩随机序列 Xn 收敛于二阶矩随机变量 X 的充要条件为,定理2 二阶矩随机序列 Xn 均方收敛的充要条件为下列极限存在且为常数：,随机过程的极限,极限 当t t0 时，二阶矩随机过程 X(t),tT 均方收敛于二阶矩随机变量 X，即则称X为随机过程X(t)在t0 点的极限，或记作,二、均方连续,定义 设有二阶矩过程 X(t),tT，若对某一个 tT，有 则称 X(t)在 t 点均方连续，记作若对 T 中所有点都均方连续，则称 X(t)在 T 上均方连续。,均方连续准则,定理 二阶矩过程 X(t),tT

4、在 t 点均方连续的充要条件是相关函数 RX(t1,t2)在点(t,t)处连续。,推论 若相关函数 RX(t1,t2)在(t,t),tT 上连续，则它在 TT 上连续。,三、均方导数,定义 设 X(t),tT 为二阶矩过程，若存在另一个随机过程X(t)，满足则称 X(t)在 t 点均方可微，记作并称X(t)为 X(t)在 t 点的均方导数。若X(t)在 T 上每一点 t 均方可微，则称它在 T 上均方可微。,均方可微准则,定理 二阶矩过程 X(t),tT 在 t 点均方可微的充要条件是相关函数 RX(t1,t2)在点(t,t)的广义二阶导数存在。,推论1 二阶矩过程 X(t),tT 在 T 上

5、均方可微的充要条件是相关函数 RX(t1,t2)在(t,t),tT 上每一点广义二阶可微。,均方可微准则,推论2 若相关函数 RX(t1,t2)在(t,t),tT 上每一点广义二阶可微，则 在 T 上以及 在 TT 上存在，且有,数学期望运算与求导运算可以交换顺序,四、均方积分,设 X(t),tT 为二阶矩过程，f(t)为普通函数，T=a,b，,定义 若当n0时，Sn 均方收敛于S，即则称 f(t)X(t)在区间a,b上均方可积，其积分值记为,均方可积准则,定理 f(t)X(t)在区间a,b上均方可积的充要条件是存在。特别地，二阶矩过程 X(t)在区间a,b上均方可积的充要条件是 RX(t1,

6、t2)在 a,ba,b 上可积。,均方积分性质（1）,数学期望与求积运算可以交换顺序,均方积分性质（2）,定理 设二阶矩过程 X(t),tT 在区间a,b上均方连续，则在均方意义下存在，且随机过程 Y(t),tT 在区间a,b上均方可微，且有Y(t)=X(t)。,推论 设 X(t)均方可微，X(t)均方连续，则,例1,设 X(t),tT 是实均方可微过程，求其导数过程 X(t),tT 的协方差函数 BX(s,t)。,解,五、均方随机微分方程,定义 设 X(t),tT 是一个具有n阶均方导数的随机过程，Y(t)是另一个随机过程，an(t)是普通函数，则称为 n阶线性随机微分方程。,例2,设 Y(t),tT 是均方连续二阶矩过程，an(t)是普通函数，求解一阶线性随机微分方程,解,