概率论与数理统计期末必备复习资料.ppt

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1、事件间的关系包含关系：事件A发生必然导致B发生，记为相等关系：，记为A=B。积事件：事件A与B同时发生，记为AB。和事件：事件A或B至少有一个发生，记为 差事件：事件A发生而B不发生，记为A-B。互斥事件：事件A、B不能同时发生，即，又称A、B为互不相容事件。逆事件：“A不发生”这一事件称为A的逆事件，记为，A与 又称为对立事件。,事件间的关系与事件的运算,事件的运算律交换律：结合律：分配律：对偶律（De Morgan德摩根律）：减法：,概率：做n次重复试验，事件A发生的次数记为，当n很大时，若频率 稳定在常数P附近，则称P为随机事件A发生的概率，记作P(A)=P。概率的公理化定义：设E是随机

2、试验，S是样本空间，对E的每个随机事件A，赋予一个实数P(A)，若它满足：非负性：规范性：，S为样本空间（必然事件）可列可加性：若事件 中 则则称P(A)为事件A的发生概率。,概率的性质,有限可加性：有限个两两互斥的事件 则 是A的对立事件，则 则一，当A，B互斥即 时 推广：,预备知识：排列、组合,分类计数原理(加法原理)：设完成一件事有k类方法，每类分别有 种方法，则完成这件事情共有 种方法.分步计数原理(乘法原理)：设完成一件事有k个步骤，第一步有 种方法，,第k步有 种方法，则完成这件事情共有 种方法.排列：从n个不同元素中取出m个元素，按一定次序排成一列.排列数：从n个不同元素中取出

3、m个元素的所有排列的个数记为注：,等可能概型（古典概型）,组合：从n个不同元素中取出m个元素并成一组(与顺序无关).组合数：从n个不同元素中取出m个元素的所有组合的个数，记为,等可能概型（古典概型）,定义：具有以下性质的随机试验称为等可能概型试验的样本空间的元素只有有限个试验中每个基本事件发生的可能性相同等可能概型中事件概率的计算公式：n为随机试验的总的结果数，即样本点的总数，k为事件A包含的结果数。,定义：事件A已发生的条件下事件B发生的概率，称为条件概率，记为P(B|A)。例 将一枚硬币抛掷两次，观察其出现正面的情况，设A=至少有一次为正面H，B=两次掷出同一面，求P(B|A)解：样本空间

4、S=HH,HT,TH,TT,A=HH,HT,TH,B=HH,TT。则可得：P(B|A)1/3条件概率的计算公式：,条件概率,乘法定理：设P(A)0，则有P(AB)=P(B|A)P(A)推广：P(AB)0，则有P(ABC)=P(C|AB)P(AB)=P(C|AB)P(B|A)P(A)设 为n个事件，且,全概率公式,划分：设S为试验E的样本空间，为E的一组事件，若 则称 为样本空间S的一个划分.例 E：掷骰子观察点数 是S的一个划分 不是S的一个划分,全概率公式,定理：设随机试验E的样本空间为S，A为E的事件.为S的一个划分，且 则，称之为全概率公式。注：全概率公式给出我们一个用来计算在众多原因

5、的作用下事件A发生概率的方法.（由因得果）,贝叶斯公式（由果溯因）,设E的样本空间为S，A为E的事件.为S的一个划分，且，则 为贝叶斯（Bayes）公式.称 为先验概率；称 为后验概率.,条件概率,条件概率小结,缩减样本空间,定义式,乘法公式,全概率公式,贝叶斯公式,独立性,独立事件：两事件A、B，A发生对B发生没有影响，B发生也对A没有影响，则称两事件相互独立.即P(A|B)=P(A)且P(B|A)=P(B)，则P(AB)=P(A)P(B|A)=P(A)P(B)例 抛甲，乙两枚硬币，A=甲出现正面H，B=乙出现正面H，问A，B同时发生的概率.定理 四对事件 中有一对相互独立，则另外三对也相互

6、独立.独立与互斥的区别：A，B相互独立：P(AB)=P(A)P(B)；A，B互斥：P(AB)=0。,多个事件的独立,定义 随机试验的结果可以用一个实值变量表示，这个变量的取值是随机的，但又服从一定的统计规律性，这种变量称为随机变量，通常用X，Y，Z表示。中心问题：将试验结果数量化随机变量分为离散型和连续型：离散型：X的取值是有限个或可列无限个。连续型：X的取值是连续的。,X=f(e)为S上的单值函数，X为实数,分布律,称为离散型随机变量X的分布律，分布律可用列表的方式直观的表示出来,X,分布律（概率分布）,1.两点分布，又称为(0-1)分布,(0-1)分布的分布律为也可以写为对随机实验，若样本

7、空间只包括两个元素，即，则一定能在S上定义一个服从(0-1)分布的随机变量，令例 抛硬币一次，定义随机变量X为出现正面的次数，则,三种重要的离散型随机变量,2.二项分布,随机试验E只有两个可能结果：A和，则称E为伯努利试验。设P(A)=p(0p1),则将伯努利试验独立地重复进行n次，称为n重伯努利试验。X表示n重伯努利试验中事件A发生的次数，X所有可能取值k=0,1,2,n。求PX=kPX=k记q=1-p，随机变量X服从参数为n,p的二项分布，记为当n=1时，即为(0-1)分布。,若随机变量X的概率分布律为称X服从参数为的泊松分布，记,3.泊松分布(Poisson分布),Poisson定理 设

8、 是一个常数，n是任意正整数，设，则对于任一固定的非负整数k，有,当 时近似公式近似效果更佳。,定义：设X为一个随机变量，x是任意实数，函数 称为随机变量X的概率分布函数，简称分布函数。由分布函数的定义，有,分布函数,注:分布函数F(x)在x处的函数值表示x落在区间 上的概率。,(1)(2)F(x)是一个不减函数(3)对于离散型随机变量，若分布律为 则其分布函数,分布函数,定义：对于随机变量X的分布函数 若存在 非负的函数 使对于任意实数 有：,其中 称为X的概率密度函数，简称概率密度。,则称X为连续型随机变量，,概率密度,1.均匀分布,定义：设连续型随机变量X具有概率密度函数 则称X在区间(

9、a,b)上服从均匀分布。记为注：X落在(a,b)上任一子区间内的概率只依赖于子区间的长度，而与位置无关。,三种重要的连续型随机变量,均匀分布的分布函数,定义：连续型随机变量X的概率密度为 称X服从参数为 的指数分布，记为指数分布的分布函数,2.指数分布,定义：设连续型随机变量X的概率密度为 其中 为常数，则称X服从参数为 的正态分布（也称为Gauss分布），记为,三种重要的连续型随机变量,3.正态分布,f(x)图形的性质：关于 对称结论：当 时，取得最大值 固定，改变，f(x)的图形不变，沿x轴平移 固定，改变，由最大值 知，越小，图形越尖，X落在 附近的概率越大。时，即曲线以X轴为渐近线。分

10、布函数F(x),标准正态分布 时，称X服从标准正态分布，概率密度函数 分布函数 结论：的函数值见第382页标准正态分布表 例，求,正态分布转变为标准正态分布引理 若，则结论：，则它的分布函数，可写成：正态分布的问题都可以通过线性变换转化为标准正态分布，然后查书中第382页标准正态分布表得解例，求,随机变量的函数的分布,离散型离散型随机变量的函数分布律的求法：找出Y=g(X)的所有可能取值找出每个值对应的X取值，将对应概率相加例 设随机变量X具有分布律求 的分布律。,问题提出：已知随机变量X的概率分布，且已知Y=g(X)，求Y的概率分布。,关键是找出Y的等价事件。,连续型 连续型随机变量的函数分

11、布的求法：求Y=g(X)的取值范围分段讨论在取值范围外的y，在取值范围内的y，,1.期望的定义、定理、性质及求解2.方差的定义、性质及求解3.六个重要分布的数学期望和方差4.切比雪夫不等式,第四章 随机变量的数字特征,定义：定义：,数学期望简称期望，又称均值。,数学期望的定义,定理,E(X)的性质,定义：,方差,对于离散型随机变量X，,对于连续型随机变量X，,此外，利用数学期望的性质，可得方差得计算公式：,方差的性质,6种常见分布的期望与方差,数学期望 方差,分布律或密度函数,分布,正态分布,指数分布,均匀分布U(a,b),泊松分布,np(1-p),np,二项分布b(n,p),p(1-p),p

12、,01分布,定理(切比雪夫不等式)设X是随机变量，若D(X)存在，则对任何 0，有,切比雪夫不等式的等价形式,注：1.切比雪夫不等式可用来估计不是服从正态分布的随机变量落在E(X)附近的概率。2.切比雪夫不等式的主要作用是进行概率论的理论研究。,1.样本的定义（独立同分布）2.统计量的定义和判别3.统计学三大分布的定义和图形轮廓4.三大分布的分位点定义,第六章 样本及抽样分布,样本,总体：试验中全部可能的观察值（研究对象的全体，如一批灯泡），一个总体对应于一个随机变量X。个体：每个可能观察值称为个体（组成总体的每个元素，如某个灯泡）抽样：从总体X中抽取有限个个体对总体进行观察的取值过程。随机样

13、本：随机抽取的n个个体的集合(X1,X2,Xn),n为样本容量。简单随机样本：满足以下两个条件的随机样本(X1,X2,Xn)1.每个Xi与X同分布2.X1,X2,Xn是相互独立的随机变量说明：后面提到的样本均指简单随机样本。,统计量：设 是总体X的样本，则函数 如果不包含任何未知参数则称为样本 的一个统计量。,统计量,简言之，样本的不含任何未知参数的函数。,常用的统计量,样本平均值：样本方差：样本均方差：样本k阶(原点)矩：样本k阶中心矩：,统计学三大分布,例如：,1.矩估计法（三步法）2.最大似然估计法（三步法）3.估计量三大评选标准的定义及证明（无偏性、有效性、相合性）4.单个正态总体均值

14、和方差的区间估计,第七章 参数估计,矩估计法,最大似然估计的求法,写出似然函数求，使得 为 的最大值，求法如下：求使得方程 又 在同一 处取得极值，因此，的最大似然估计值可从方程 中求得 称 为似然方程,1.单参数,2.双参数,似然函数似然方程,最大似然估计法,估计量的评选标准,对总体的未知参数可用不同方法求得不同的估计量，如何评价好坏？通常用三条标准检验：无偏性，有效性，相合性 无偏性,有效性,相合性,正态总体均值与方差的区间估计,Thank You!,1.假设检验的定义2.假设检验的三步法3.单个正态总体均值和方差的假设检验统计 量和拒绝域,第八章 假设检验,问题：设X，已知，未知。给定，

15、问？,假设,称为原假设(零假设)，称为备择假设(对立假设)。,通过某种方式确定常数k。若，则接受，若，则拒绝(接受)。,犯两类错误的概率：若 为真而被拒绝，我们称为犯第一类错误(又称犯“弃真”错误，其概率记为。一般，0.1.若 为假而被接受，我们称为犯第二类错误(又称犯“取伪”错误，其概率记为。,记,取检验统计量为,我们称拒绝 的区域W为拒绝域，将接受 的区域称为接受域。,的拒绝域为W=Z，的接受域为=Z。,即,2 02,2 02,2 02,2 02,2=02,2 02,(未知),关于2的检验（检验法）,基本初等函数导数公式表1,基本初等函数导数公式表2,基本求导公式,函数的和、差、积、商的求导法则,1.,可以推广到有限个,2.,3.,特别地,C为常数.,