曲面造型的参数化设计与应用毕业论文.doc

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1、本科毕业设计说明书（本科毕业论文）题 目：曲面造型的参数化设计与应用院 （部）： 管理工程学院专 业： 信息管理与信息系统班 级： 信管101姓 名： 学 号： 2010021401指导教师： 王文完成日期： 2005年6月30日目 录摘 要ABSTRACT1 前 言11.1 曲面造型的参数化设计与应用的研究意11.2 曲面造型的参数化与应用的现状31.3 现有研究的不足及本文的研究内容52 空腹桁架钢框架有限元建模及验证8 2.1 引言82.2 弹塑性分析方法简介122.3 ANSYS在空腹桁架钢框架弹塑性分析中的应用182.4 ANSYS分析模型正确性检验202.4.1 ANSYS分析模型

2、概述212.5 小结213 空腹桁架钢框架受力性能有限元分析233.1 引言233.2 空腹桁架钢框架与普通钢框架力学性能对比263.3 影响空腹桁架钢框架力学性能的因素294 空腹桁架钢框架极限承载力试验研究304.1 试验目的304.2 模型设计依据324.3 试验概况354.4 试验过程描述384.5 试验结果454.6 小结555 结 论56谢 辞57参考文献58附 录59 摘 要计算机辅助设计（Computer Aided Design）和计算机辅助制造（Computer Aided Manufacturing）技术是在计算机及其相应的辅助工业设计系统的支持下，进行工业设计领域的各种

3、类的创造性活动，是信息化、数字化为特征，计算机参与的新型的设计模式。CAD/CAM起源于航空工业，由于飞机的外形复杂，含有大量的自由曲线曲面，因此，CAD/CAM技术从一开始就与自由曲线曲面造型技术紧密的联系在一起。在日常生活中海量的曲面造型充斥着整个生活。随着计算机图形学和计算机辅助设计与制造技术的不断发展，曲面造型技术在现代工业产品设计和制造中的应用越来越广，在社会各行各业都得到了更为广泛的应用，范围覆盖了航天技术、数字化城市、媒体设计、医疗可视化及工业产品设计、建筑设计等，并产生了巨大的经济效益。在以往的设计中曲面的设计主要应用3dmax、Solid Works等软件。但是，为了构造形状

4、较好的曲面，曲面参数化也是一个关键的技术，曲面参数化不仅会给多种操作带来方便，而且会得到理想的曲线形状。另外，曲面形状优化模型的选择与构造也直接影响曲曲面造型的效果。近年来，对曲面造型的参数化在现实应用中有了很大的发展，但是还有些不足，例如在建筑外形设计中，曲面造型的参数化应用就存在一些不足。基于以上问题本文主要针对曲面造型的参数化设计以及曲面造型参数化的应用两个方面展开讨论。首先介绍了什么，然后都做了哪些工作。关键词：计算机辅助设计；曲面造型；参数设计；Rhino；Parametric design of surface modeling With the applicationABSTRA

5、C CAD (Computer Aided Design) and CAM (Computer Aided Manufacturing) technology is in the Computer and the corresponding auxiliary industrial Design system, under the support of industrial Design in the field of various classes of creative activity, is characterized by information ization, digitizat

6、ion, Computer involved in the Design of the new model. It originated in the aviation industry, due to the complexity of aircraft shape, contains a lot of free curve surface, therefore, CAD/CAM technology from the start with the free curve surface modeling technology closely linked together. To date,

7、 along with the computer graphics and the continuous development of computer aided design and manufacturing technology, surface modeling technology in the application of modern industrial product design and manufacturing is more and more widely, in the social from all walks of life have been more wi

8、dely used, covering the space technology, digital city, media design, medical visualization and industrial product design, etc., and has produced great economic benefits. In the design of the curved surface is mainly used in the design of 3 on3dmax, Solid Works software and so no. But, in order to c

9、onstruct good surface shape, surface parametric surface parameterization is one of the key technology not only can bring convenience to a variety of operating, and get the ideal shape of the curve. In addition, the surface shape optimization model for the selection and structure directly influence t

10、he effect of curved surface modeling. In recent years, the parameters of the surface modeling in the real application has made great development, but also some deficiencies, for example in architectural design, the surface modeling of parameterized applications existed some shortage. Based on the ab

11、ove questions this article mainly aims at the parametric design of surface modeling and surface modeling parametric application two aspects to discuss.Key Words: Computer Aided Design;surface modeling;parameter design;Rhino 1前 言1.1 曲面造型的参数化设计的研究意义 Rhino3D 是一个功能强大的高级建模软件；当今，由于三维图形软件的异常丰富， 想要在激烈的竞争中取得

12、一席之地，必定要在某一方面有特殊的价值。Rhino可以在Windows系统中建立、编辑、分析和转换NURBS曲线、曲面和实体。不受复杂度、阶数以及尺寸的限制。尤其是在曲面造型设计中更加体现了该软件的强大功能。在形体的几何表示处处都要用到曲线、曲面造型技术，如飞机、汽车、船舶等的造型设计及流体动力学分析、工业造型设计、自然景物模拟等等，所以曲面造型技术的发展对这些应用领域是至关重要的经过多年的研究发展，曲面造型现在己形成了以NURBS曲面参数化特征设计和隐式代数曲线曲面表示这两类方法为主体，以插值、逼近、拟合手段为骨架的几何理论体系。随着CAD技术应用领域的不断扩展和工业发展的需求，人们对曲面造

13、型的要求也在不断提高。传统的造型方法过于简单、不便于用户使用，而且难以实现曲面的有效修改，尤其在家用电器、汽车覆盖件，有其事在奢侈工艺品等需要艺术造型的创造性设计中，设计师们往往是事倍功半，却达不到理想的效果，因此寻找更新更灵便的造型方法己经成为一项非常紧迫的工作。在这种需求下，其他学科的技术方法被引入到曲面造型中，形成一种融合的趋势。随着计算机技术的发展和普及，3D建模技术也得到了迅猛的发展，并推动了很多领域的设计革命。3D建模技术目前应用领域广泛，如飞机、汽车、轮船的外形设计、超大规模集成电路设计，以及建筑、服装、印染、玩具等设计领域。应用3D建模技术进行设计，可以在计算机中建立精确的数据

14、模型，进行分析、计算、实时显示设计、修改结果，而且设计结果可以直接传送到后续工序进行加工。即3D建模技术提供了辅助设计、分析、制造功能，极大地缩短了设计、制造周期，降低了设计成本。因此3D建模技术的发展和应用水平已经成为衡量一个国家现代化水平的重要标志之一。3D建模作为信息技术的一个重要组成部分，将计算机高速、海量数据存储及处理和挖掘能力与人的综合分析及创造性思维能力结合起来，对增强企业市场竞争力和创新力发挥着重要的作用。曲面造型技术作为3D建模系统的一个重要组成部分，同时作为计算机图形学和计算机辅助几何设计中最活跃和关键的学科分支之一。曲面造型技术主要研究在计算机系统的环境下对曲面的表示、设

15、计、显示和分析，然而在3D建模的应用全局来看，能够把曲面造型的设计放在数学中的空间坐标中使实现数学参数化，它的作用远远超过了实体造型，这是因为实体造型至今还限制在规则曲面形体，而不规则曲面的参数化对造型的设计要精确的多，本文就曲面造型的参数化设计和曲面造型的应用两个方面展开讨论。1.2 曲面造型的参数化设计与应用的现状1.2.1 曲面造型参数化设计的发展曲线曲面造型技术是计算机辅助设计(CAD)、计算机图形学(CG)、计算机动画等诸多领域中最活跃和最关键的一项重要技术，在计算机图形图像系统环境下对曲线和曲面的表示、设计及分析为其主要的研究内容。上世纪60年代出现的三维CAD系统只是非常简单的线

16、框式图形显示系统，只能表达最基本的几何信息，并未有效的表达出各种几何数据间的拓扑关系。1963年波音公司的Ferguson首先提出了用参数的矢函数方法来表达曲线曲面，他引入了参数三次样条曲线，构造了著名的的Ferguson参数双三次曲面片，从此以后曲线曲面的参数化表达形式成为了形状描述的标准数学形式。1964年麻省理工学院的教授Coons撰文发表了一种通用的曲线曲面表示方法，只要给定围成封闭区域的四条边界线，就可定义一块以此为边界的曲面。1971年雷诺公司的Bezier 提出一种由控制多边形来定义曲线和曲面的新方法。这种方法简单易用，巧妙地解决了全局形状的控制问题，把曲线和曲面的设计推进到了一

17、个全新的阶段，为造型技术的进一步发展打下了坚实的基础。但是Bezier方法仍然存在局部修改问题和连续性问题。1974年通用公司(GM)的里森费尔德(Riesenfeld)和戈登(Gordon)将B样条理论应用于形状数学描述，并提出了 B样条方法。该方法不仅延续了 Bezier方法的诸多优点，同时还克服了 Bezier方法存在的部分缺点，较好地解决了形状的局部控制问题，并且又在参数连续性的基础上解决了连续性问题，使得自由型曲线曲面形状的数学描述问题得到较好的解决。但随着生产技术的髙速发展，B样条方法的不足之处也显现无疑，那就是不能精确的表示圆锥曲线和二次解析曲面，这就造成了产品的几何形状数学表达

18、形式并不唯一，曲线曲面便不能表达在一个统一的数学描述形式下。为了满足工业发展的进一步需求，1975年Syracuse大学的Versprile首次提出有理B样条的概念。后来由于Piegl和Tiller等人的潜心研究，终于使非均匀有理B样条(Non-Uniform Rational B-spline，简称NURBS)方法成为现代曲面造型中最为广泛应用的技术。NURBS方法具有许多突出的优点，具体表现为：能够精确地表示解析曲线曲面，使得规则曲线曲面与自由曲线曲面能够使用统一的形状数学表达形式。含有能够控制曲线曲面外形的权因子，使形状更容易实现和控制。鉴于NURBS方法的这些突出优点，国际标准化组织(

19、ISO)在1991年发布的关于工业产品数据交换的STEP (Standard for the Exchange of Product model data)国际标准中，将NURBS方法作为定义工业产品几何形状的唯一数学描述方法，从而使NURBS方法成为了曲面造型技术发展趋势中最重要的基础。1.3.1 曲面造型的参数化设计的发展前景传统造型技术已经发展到了一个成熟的阶段，传统造型技术存在着一定的缺陷：设计交互性差。形状几何参数如控制点、权因子等的修改过程不是很直观；设计质量难以保证，它的拒不质量与全局误差的矛盾是很难避免的；很难满足广顺要求；传统的造型设计方法应用范围受到了一定的限制。为了避免这

20、些缺陷，造型的参数化设计逐渐发展起来，逐渐被广大造型设计师应用。目前，参数化设计已成为造型设计中最热门的应用技术之一，能否实现参数化设计也成为评价形体建模优劣的重要技术指标，这是因为它更符合和贴近现代中概念设计以及并行设计思想，工程设计人员设计开始阶段可快速草拟产品的造型图，通过对产品形状及大小的约束最后精确成图。同一系列产品的第二次设计可直接通过修改第一次设计来实现，设计参数不但可以驱动设计结果，而且影响产品的整个开发周期，设计参数可来自于其他系统。参数化设计是变量化设计的前提，借助变量化设计思想可实现动态设计、机构设计的运动仿真模拟等。除此之外，参数化设计还能够使设计人员在设计的同时实现参

21、数化建库，极大地方便后续设计工作。因此，参数化设计以及建库工具的研究对进 一步提高设计和绘图效率以及柔性化设计具有十分重要的意义。参数化设计是通过改动图形的某一部分或某几部分的尺寸，或修改已定义好的零件参数，自动完成对图形中相关部分的改动，从而实现对图形的驱动。参数驱动的方式便于用户修改和设计。用户在设计轮廓时无需准确地定位和定形，只需勾画出大致轮廓，然后通过修改标注的尺寸值来达到最终的形状，或者只需将造型的关键部分定义为某个参数，通过对参数的修改实现对产品的设计和优化。参数化设计极大地改善了图形的修改手段，提高了设计的柔性，在概念设计、动态设计、实体造型、装配、公差分析与综合、机构仿真、优化

22、设计等领域发挥着越来越大的作用，体现出很高的应用价值。1.4 本章小结本章对曲面造型参数化设计与应用的研究意义，曲面造型参数化现状，以及曲面造型参数化在未来的发展前景做了详细的阐述，通过以上阐述让读者对曲面造型的参数化的意义、现状、和应用前景有了初步的了解，为下文更加深入的研究课题奠定基础，为读者了解下面所述的内容打下了基础。2 曲面造型的基本概念2.1 曲面2.1.1 曲面的定义 曲面是一条动线，在给定的条件下，在空间连续运动的轨迹。如下图（2.1）所示的曲面，是直线AA沿曲线ABCN，且平行于直线L运动而形成的。产生曲线的动线（直线或曲线）称为母线；曲面上任一位置的母线（如BB、CC)称为

23、素线，控制母线运动的线、面分别称为导线、导面，在下图中，直线L、曲面ABCN分别称为直导线和曲导线。 图2.1 曲面是微分几何研究的主要对象之一。直观上，曲面是空间具有二个自由度的点的轨迹。设=（）表示三维欧氏空间E3中点的位置向量，D是二维u- 平面的一个区域，映射：r(u，）=(x(u，），y(u，），z(u，）（u，）D) 的像为S。它满足下列条件：r(u，）是Ck阶的，即函数x(u，），y(u，），z(u，）具有直到k阶的连续偏导数，当它们是无穷次可微分函数或是（实）解析函数时，分别称为是C阶和C阶的；r(u，）是一个同胚，即它的逆映射SD存在且连续；r(u，）是正则的，即雅可比矩阵

24、公式(1)的秩为2，也即那么，S称为E的C曲面片， C曲面片也称为光滑曲面片，C曲面片称为解析曲面片。设慏为E中的一个子集，如果对慏中任意点p，都有E中p的一个开集V，使得V慏是E中的一个C曲面片，则慏 称为E中的C曲面。 (1)式称为曲面的参数方程。此外，曲面有时也可用z=(x，y)或F(x，y，z)=0来表示。也即那么，S称为E的C曲面片， C曲面片也称为光滑曲面片，C曲面片称为解析曲面片。设慏为E中的一个子集，如果对慏中任意点p，都有E中p的一个开集V，使得V慏是E中的一个C曲面片，则慏 称为E3中的C曲面。 (1)式称为曲面的参数方程。此外，曲面有时也可用z=(x，y)或F(x，y，z

25、)=0来表示。曲面的局部性质指曲面在一点附近的几何性质。2.1.2 曲面的分类 根据形成曲面的母线形状，曲面可分为：直线面由直母线运动而形成的曲面。曲线面由曲母线运动而形成的曲面。 根据形成曲面的母线运动方式，曲面可分为：回转面由直母线或曲母线绕一固定轴线回转而形成的曲面。非回转面由直母线或曲母线依据固定的导线、导面移动而形成的曲面。2.2 曲面造型2.2.1 曲面造型的定义 曲面造型可是说是在生活中应用最广泛的一种造型，我们随处可以见到曲面造型的设计，与我们的生活息息相关。例如汽车外壳、飞机、鸟巢等等。由于它的独特结构和特性使得有其独到的用处。曲面造型(surface Modeling)是产

26、品设计中对于曲面形状产品外观的一种建模方法。在CAD/CAM，CG、计算机动画、计算机仿真、计算机可视化等众多领域的一项重要内容。主要研究在计算机图像系统的环境下对曲面的表示、设计、显示和分析。它起源于汽车、飞机、船舶、叶轮等的外形放样工艺，由Coons、Bezier等大师于20世纪60年代奠定其理论基础.如今经过30多年的发展，曲面造型现在已形成了以有理B样条曲面(Rational B spline surface)参数化特征设计和隐式代数曲面(Implicit Algebraic Surface)表示这两类方法为主体，以插值(Interpolation)、拟合(Fitting)、逼近(Ap

27、proximation)这三种手段为骨架的几何理论体系。2.2.2 曲面造型的现状与发展趋势如今经过三十多年的发展，曲面造型现在已形成了以非均匀有理B样条(NURBS)参数化特征设计和隐式代数曲面(Implicit Algebraic Surface)表示这两类方法为主体，以插值(Interpolation)、拟合(Fitting)、逼近(Approximation)这三种手段为骨架的几何理论体系。近年来随着计算机图形显示对于真实性、实时性和交互性要求的日益增强，随着图形工业和制造工业迈向一体化、集成化和网络化步伐的日益加快，随着激光测距扫描等三维数据采用技术和硬件设备的日益完善，参数曲线曲面

28、造型取得了迅猛的发展。这主要表现在研究领域的急剧扩展，表示方法不断涌现和研究工具、研究方法的开拓创新。从研究领域来看，曲面造型技术已从传统的研究曲面表示、曲面求交和曲面拼接，扩充到曲面变形、曲面重建、曲面简化、曲面转换和曲面等距性新的研究方法主要有基于偏微分方程(PDE)的曲面造型方法、基于物理模型的曲面造型方法、基于细分的曲面造型方法。曲线曲面造型中虽然出现了这么多新的造型技术，但是其基础还是以NURBS为代表的曲线曲面造型技术如：空间变形方法基于参数曲线曲面变形，参数化的好坏直接影响变形的效果；曲面重建的关键技术是插值与逼近，而参数曲面重建方法是最常用的方法。在曲面转换中隐式曲面转换成参数

29、曲面存在参数化的问题，有理Bezier曲线曲面的降阶离不开逼近技术和参数化；等距曲线曲面更是基于重新参数化和逼近技术。参数化和插值与逼近技术是参数曲线曲面造型技术的基础问题。2.3 本章小结本章主要针对曲面造型的基本概念做了一下介绍。通过曲面的定义，以及曲面在微分几何中的函数方程，和曲面的分类做了说明。最后对曲面造型的定义以及曲面造型的现状与发展趋势做了介绍。3 曲面造型的参数化设计3.1 曲面参数在空间解析几何中讨论过空间曲线的一般方程与参数方程。对于曲面只讨论了它的一般方程，但在生产实践的很多实际问题的研究中遇到的曲面，常常要采用曲面的参数方程。设在两个变数u、v的变动区域内定义了两个双参

30、数向量函数=或=+ (1)这里，是向量的分量，他们都是变数的函数当取变动区域的一切值时，径向量=+ 的重点是（，）所形成的轨迹，一般为一张曲面。定义如果取定的一切可能取的一组值，由(1)表示的径向量的终点总在一张曲面上，反之，在这张曲面上的任意点总对应着以它为终点的径向量，而这径向量可由的值通过(1)完全决定，那么我们就把表达式(1)叫做曲面的向量式参数方程，其中是参数。因为径向量的分量为：，所以曲面的参数方程也常写成： （2） 表达式(2)叫做曲面的坐标式参数方程。3.2.1 Rhino的介绍 Rhino是美国Robert McNeel & Assoc.开发的PC上强大的专业3D造型软件，它

31、可以广泛地应用于三维动画制作、工业制造、科学研究以及机械设计等领域，其中在工业造型设计中应用它的优点最为突出。它能轻易整合3DS MAX与Soffimage的模型功能部分，对要求精细、弹性与复杂的3D NURBS模型，有点石成金的效能。能输出obj、DxF、GES、STL、3dm等不同格式，并适用于几乎所有3D软件，尤其对增加整个3D工作团队的模型生产力有明显效果，故使用3D MAX、AutoCAD、MAYA、Softimage、Houdini、Lightwave等3D设计人员不可不学习使用。 Rhino，又叫犀牛，是一款超强的三维建模工具，大小才几十兆，硬件要求也很低，但是不要小瞧它，它包含

32、了所有的NURBS建模功能，用它建模感觉非常流畅，所以大家经常用它来建模，然后导出高精度模型可以在其他三维软件中使用。Rhino在工业上的应用最是广泛的，大部分汽车造型设计就是使用Rhino来完成，它更普遍的应用是在珠宝首饰设计这个高精度的领域，Rhino有足够的能力来完成这些精巧极致的设计。3.2.2 Rhino在造型设计领域的应用从设计稿、手绘到实际产品，或是只是一个简单的构思，Rhino所提供的曲面工具可以精确地制作所有用来作为渲染表现、动画、工程图、分析评估以及生产用的模型。用Rhino3D设计造型，具有快速、准确、操作方便等优点。快速体现在Rhino3D是直接通过绘制好的曲线生成造型

33、，这有别于多边形造型设计常常需要手工对工业造型进行分割、细化、拉伸、调点等一系列繁琐操作才能做出精细的模型。准确体现在NURBS曲面的高精度上，Rhino3D建立的NURBS曲面是工业制造高级别的曲面，并且它的精度可以根据不同的要求，通过调节系统的容差值来设置。方便操作则体现在Rhino 3D灵活的操作方式、智能的判断上。比如，在别的具有NURBS曲面建模功能的3D软件里面，常常要求用来建立曲面的曲线都必须相接，而在Rhino 3D里，除了极少数命令，比如planarsrf命令要求曲线首尾相接成为闭合的区域外，几乎所有的建模命令都允许曲线之间可以存在自由的距离，系统会自动的判断这些一曲线，自动

34、算出它们的交点，从而产生曲面。这样就可便于手工随意画出的不是很精确的曲线仍然可以准确产生预想的曲面。Rhino 3D还具有强大的文件交换功能，可以将Rhino 3D里建好的模型输出到各种软件内，进行模型的加工或者渲染。Rhino 3D是NURBS曲面造型设计软件，用它作的造型，都是NURBS造型，但是输出造型的时候，并不是都以NURBS方式输出造型的。例如：（1）Rhino3D与3dsmax进行文件交换时，只需要在Rhino3D里先把NURBS造型转为Polygon mesh网格物体，然后再选择3ds格式就可以输出造型了。（2）Rhino 3D与Auto CAD进行文件交换时，也是需要先转换为

35、多边形网格物体，然后在max里面输入dwg文件或者dxf文件。（3）Rhino 3D与Maya进行文件交换，输入Maya的造型可以分为NURBS造型和polygon mesh网格物体两种方式Auto CAD dxf格式是以polygon mesh多边形网格物体输入Maya的文件格式而iges文件格式是以NURBS方式输入模型到Maya里面。3.3 基于Rhino的曲面造型的参数化设计 空间结构中的曲面可按是否能由解析函数表达式表达而分为以下两类。（1）函数曲面函数曲面是指能由解析函数表达式来表示的曲面，又称解析曲面。这种类型的曲面一律可表示为形如中（）=0的解析函数。空间结构中常见的函数曲面有

36、球面、椭球面、圆柱面、双曲抛物面(马鞍面)等。这些曲面都属于二次曲面。所谓二次曲面，即曲面的解析表达式中（）=0是最高次数为2次的代数表达式。函数曲面的解析表达式包含了曲面的所有信息。根据解析表达式，设计人员可以方便地对函数曲面进行建模。函数曲面是空间结构中最为常见的曲面形式。（2） 自由曲面当曲面不能由解析函数表达式来表示时，称之为自由曲面。自由曲面具有自由生动的外形，因而在空间结构的运用日益广泛。自由曲面最早是运用于汽车制造业与航空业领域中。这两个领域对自由曲面的研究促使诞生了一门新兴的学科计算机辅助几何设计（Computer Aided Geometric Design，以下简称以CAG

37、D）。自由曲面是以CAGD的主要研究对象，且与之相关的理论和方法已较为成熟。曲面造型的参数化设计是在Rhino软件的基础上通过设计曲面造型可以运用Rhinoscrip代码对曲面方程的参数的改变来设计出更加完美的曲面造型。3.4 本章小结本章主要介绍了在空间坐标式曲面方程的参数，Rhino软件的介绍和Rhino在造型设计中的应用，最后给出了在Rhino软件中曲面造型参数的应用。这些为下文在Rhino模拟曲面造型做了铺垫。4 曲面造型的应用4.1曲面造型在现实生活中的广泛应用曲面在现实生活中可以说是有着最广泛的应用。由于曲面独特的物理特性，使其在各个领域中都备受欢迎。有其是在飞机（图4.1.1）、

38、汽车图（4.1.2）等交通工具，提高运行速度需要很好的流线型，这就是一个很简单的曲面。 图4.1.1 4.1.2 曲面造型在建筑发面的应用使建筑物在整体机构、美观性、安全性有了很大的改善，在世界上著名的建筑大多数都采用了球面或者其他曲面造型的设计，例如印度的泰姬陵（图4.1.3），悉尼歌剧院（图4.1.4）以及在我们身边的奥体中心的东荷西柳（图4.1.5）等等. 图4.1.3 图4.1.4 图4.1.5另外在轻工业领域方面也有很广泛的应用，像在体育用品中，生活家居用品以及珠宝首饰中都有曲面造型的应用。4.2 Rhino模拟曲面造型由于NURBS 表面含有矩形的U V 曲线网格（图4.2.1），

39、所以在NURBS 表面之中有两个隐含的几何方向。或者说，在NURBS 表面中，几何实际上包含有2 个方向，因为NURBS 表面是 和 曲线构成的矩形方格，这些方向往往都是随意的。当我们对一个曲面S进行操作时，一般总是先把它划分为，单元格，然后等同于在一个平整的矩形上进行操作，这个矩形的垂直两边分别被划分为，段，整个矩形被平均分成个单元格。（图4.2.2） 图4.2.1 4.2.2把每个单元格扭曲后放到空间坐标中，单元格中的每个点也就对一个（）坐标点，在原来单元格上的线也就变成了曲线。当无数曲线连在一起就形成了曲面。如果要描述一个曲面，那么需要两个参数，（，）构成了一个域D（就是前面的矩形网格）

40、。参数曲面S的方程可以写成向量方程的形式：=（，）=（(，),(，),(，)），或者（）=（(，),(，),(，)）。自变量，称为曲面S的参数。在曲面S上取一点r（，）.如果让参数固定，=，而让参数变化，则动点描出一条落在曲面S上的曲线（，），这条曲线曲线称为在曲面S上经过（，）的-曲线，同理可以定义经过（，）-曲线，即r（，）.。这样，参数曲面上经过每一点有一条-曲线和一条-曲线，它们构成曲面上的参数曲线网。也就是说，从曲面S上看，（，）可以作为曲面S上的点的坐标，称为曲面S上的曲纹坐标。那么，从直观上看，每一个参数曲面S都可以看做是把区域D（前面（，）构成的域）拉伸、扭曲等变形后得到的，然

41、后放置到三维空间中。映射r：DS把区域D中的每一个点（，）都映射到了参数曲面S上的一个点，参数曲面S上的每一个点对应了三维欧式空间中的一个点（,）。当然，为了保证一些性质，映射必须是连续映射，对函数（，）有一些限制。可以说每个连续的曲面都可以还原为一个平面，只是扭曲成都不同。这个扭程度是可以在Rhino通过参数来控制的。图4.2.3可以看做为由（，）各有三条线组成的一个网格，但是这个网格可以看作为没有弯曲的在,面上的曲面，这个曲面在Rhino中生成的代码如下： 图4.2.3Call main()Sub main()n = 4m = 4Dim pts() ReDim pts(n*m-1) or i=0 To n-1u= i/(n-1) For j = 0 To m-1v = j/(m-1) pts(i*m+j) = surface(u,v)NextNextRhino.addSrfPtGrid Array(n,m), pts End SubFunction surface(u,v)x = 1*(4*u)y = 1*(4*v)z = 0urface = Array(x,y,z) End Function在这里定义的函数surface（u，v），它是以u，v为变量的函数，每一个（u，v）对应一个三维坐标点（x，y，z），根据曲面空间曲面的函数表达式