钢琴调律与调整教程(第三分册)《钢琴维修调整与钢琴调律》 .doc

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1、钢琴调律与调整教程(第三分册)钢琴维修调整与钢琴调律金先彬 陈重生 张茂林 编著调律基础理论篇 本篇集中、系统地介绍了与钢琴调律紧密相关的音乐声学知识，暂不涉及与调律手法关联的物理力学问题。 本篇的特点是，以钢琴的发音体弦为主线，逐步深入并适度展开。主线的内容是：弦的基本特征，理想弦的频率表达式，弦的振动方式，弦的谐音系列，声音，音高与频率，音程计算，音律与律音，五度相生律，纯律，十二平均律，运用律学知识指导调律实践，调律方法与程序种种，纯点的利用，吻合谐音，拍音的形成，拍频的计算，拍频的规律，基准音组的音区定位，音准曲线的成因等。扩展部分介绍了一些具有连带性的知识，如：击弦点，裸弦与缠弦，乐

2、音的性质，音高的听觉生理，音分，国际标准音高，形形色色的律制，乐音体系与分组以及十二平均律音级与频率实用换算方法等。 通过本篇学习，能有效提高对于钢琴调律原理、方法、程序及其结果的认识，使操作更理性化。以往，钢琴调律的教学，以口传心授为主，注重经验、技艺的传授而忽视了理论的学习，这无助于整个行业的知识化进程。久而久之，会进一步拉大与世界同行业间的距离。知识就是力量，当你掌握了钢琴调律的基本技能，同时也通晓了其中道理，你就不再满足于既有的技能和既定的方法，而会去探索、去开拓新的天地，工作中更富想像力、更多创造性。学习钢琴调律理论知识，需要具有一定的数理基础与音乐素养，最好再懂得一些乐器的构造与原

3、理，并且能将它们融会贯通。因为，音乐声学是一门集数学、物理学、音乐艺术、材料学、工艺学等诸多学科的学问，是一种边缘科学。对于那些兴趣比较宽泛、涉猎面比较广的人来说，学起来会趣味盎然，能收到更好的效果。第一章 弦第一节 弦的基本特征乐器的振动体，主要有弦、棒、簧、板、膜、管(空气柱)6种。 弦振动在乐器中应用极广，在现代乐器分类学中“弦鸣乐器”是一个大的类群。形制、构造、弦数不同的各种弦乐器广布于世界的各个角落。 在定义什么是琴弦之前，不妨让我们先仔细观察一下实用乐器的弦，看看它具有哪些外在的特征及内在的物理性质。以一根小提琴弦为例，人们首先看到的是它那细长的形体，继之会发现它比较柔软随顺；如果

4、把它的中段按定而将弦体两端压拢，一旦将中段松开，弦便会往两边略为回弹，这说明弦并非绝对柔顺而有一定刚性(劲度)。如果捏住其一端，敲击、摩擦或拨动它，不会发出声音来，要使它振动发音须从两端拉紧形成一定张力才行。为了揭示弦作为一种区别于棒、簧、板、膜、管(空气柱)的振动体的本质特征，人们从声学物理角度给它下了一个相对缜密而严谨的定义： 弦是从两端用力拉紧的细长而柔顺、劲度不明显、振动取决于张力的固体物质的线。 一个细长的振动体，不管是丝质的、金属的还是尼龙的，其截面形状是圆的、扁的还是六角的，也不管其材料、工艺品质是好是差，只要符合上述条件，就可以认定它是“弦”，而不是其他振动体。 鼓类乐器的振动

5、体鼓面，也很柔顺，劲度不明显，同样是张紧时才能激发出音响，但其形状却不是细长的，而是薄平的片状体，这种振动体我们称其为“膜”。 然而，我们所能观察和接触到的细长的振动体并非都是弦，如果其劲度在振动中起主导作用，只要给它一二个支点或固定其一端，敲击时就能发出乐音，那么这种细长的振动体就不是弦，而是“棒”。 还应指出，一根细长而随顺的弹性物体，都会有一定的劲度，或者说柔顺性、刚性兼而有之。所以通常把比较柔软的弦称做“柔顺弦”；而把不太柔软的弦称做“强劲弦”。比较而言，钢琴的弦偏于强劲，而小提琴、二胡的弦更趋柔顺。 那么，我们如何来判定一个细长的发音体是弦还是棒呢?这关键要看当使它正常振动发音时，需

6、不需要从两端把它拉紧。也就是说，它的振动、发音是否取决于张力。如果必须拉紧它才能正常发音，那它是弦；否则，就是棒。第二节 理想弦的频率表达式据资料记载，早在公元前6世纪，古希腊的毕达哥拉斯(Pythagoras)就对振动的弦进行了较为系统的研究，而最为成功的研究是由梅森(Mersenne)于17世纪完成的。梅森总结出四条基本规律：弦振动的频率与弦长成反比；弦振动的频率与弦张力的平方根成正比；弦振动的频率与弦直径成反比；弦振动的频率与弦的质量密度的平方根成反比。后来，引入了线密度(单位长度的质量)这个物理量，于是就把一根粗细均匀、非常柔顺的接近理想模型的弦的频率用下式来表达：式中：频率(Hz)

7、n谐音序数(n=1，2，3) L有效弦长(m) F弦张力(N) 线密度(kgm) 由上式可看出：频率与弦长成反比，频率与张力的平方根成正比，频率与线密度的平方根成反比。 显然，改变弦长是用以改变频率的最便捷的途径。这一点为许多弦乐器所采用。 需要特别指出的是，用上式计算出的结果，与实际情况还是有一些出入的。因为乐器中实际应用的弦并非完全柔顺，而是有一定刚性的，其振动也非完全是受张力作用。这个公式有助于我们对弦振动问题的认识和理解。针对实用弦的具体情况，有人提出一些修正公式。对此，本书将在第五章第七节音准曲线的成因中论述。第三节 弦振动方式弦振动的方式与状态较为复杂，用肉眼仅能观察到它的横振动，

8、而其纵振动、扭转振动、倍频振动却难以直接看到。 1横振动这是一种与弦体走向相垂直的振动。弦的横振动，看起来呈枣核形。两端不动，为振动的“节”，中间振幅最大，为振动的“腹”，如图11所示。值得注意的是，在弦的全长振动的同时，还做12、13、14等分段振动。如图12所示。 全长振动产生基音，它决定着琴弦发音的音高。分段振动产生频率为基频整数倍的一系列谐音(泛音)，它们的分量关系到弦发音的品质。 谐音的振幅大体与它们的序数成反比，是按1n(n为谐音序数)逐渐下降的，如第二谐音的振幅为基音振幅的12，第三谐音为13，第四谐音为14，等等。 2纵振动弦做横振动时，张力发生周期性变化，故而使弦同时发生纵向

9、振动(与弦的走向相一致的伸缩运动)，如图13所示。 在同一条弦上，纵振动的频率要比横振动的基频高得多。其本身也伴有一系列谐音，它们对弦发音的音色有一定的影响。 纵振动的频率除与弦长、密度有关外，还与弦材料的弹性模量有关。 3扭转振动当我们用琴弓擦弦或用手指、拨片弹弦时，弦除做横振动、纵振动外，同时还会做扭转振动，如图14所示。 扭转振动的频率比横振动基频要低，其基音亦有一系列谐音伴随。扭转振动对弦发音的音色有一定影响。 扭转振动的频率除与弦长、密度有关外，还与弦的刚性系数有关。 4倍频振动由于弦乐器的挂弦点不是绝对固定不动的，所以弦乐器一般都不同程度地存在倍频振动。弦在做横振动时，每完成1个周

10、期，而与弦连接的物体(如竖琴的音板)被带动并振动2次，其基频为横振动基频的2倍，故谓之倍频振动，如图15示。 这种振动与横振动是同步的，它加强了2次谐音。倍频振动也有自身的谐音系列，它对弦发音的音色产生一定影响。 在乐器的实际演奏当中，上述弦的4种振动方式常常是共存的。，因为横振动必然引起纵振动；如果是拨弦或擦弦，又会有扭转振动(击弦没有扭转振动)；至于倍频振动，只要拴挂琴弦的部件在弦长的方向上有弹性，总是会发生的。乐器的结构、激发弦的方法，决定了每种振动方式所占的分量。 在此强调一点，弦振动中，横振动的作用突出而重要，其基频决定了发音的音高，其谐音系列在弦的音色上起主导作用。正因为如此，不少

11、文献、资料在论及弦振动时，只讲横振动而不提及其他三种振动方式，其中弦振动的概念，是特指横振动，这一点应注意。第四节 弦的谐音系列 这里所讲的是一条理想弦的横振动的谐音系列。设一条弦的全长振动发出的基音为大字组的C音，其分段振动所产生的一系列谐音(也称分音)的对应音高如图16。 要记住，谱表下面所标的一行阿拉伯数字具有如下几种作用 (1)表示每个谐音的序数； (2)表示弦分几段振动；(3)表示各次谐音相对于基音(第一谐音)频率的倍数； (4)表示各个谐音之间的频率比。 譬如： 谱表中标以“1”的音(c)，它是第1谐音(也称基音)，对应于弦的全长振动(可理解为“分一段”)，频率即基频。 谱表中标以

12、“2”的音(c)，为第2谐音，对应于弦的两分段振动，其频率是基频的2倍。 谱表中标以“3”的音(g)，为第3谐音，对应于弦的三分段振动，其频率是基频的3倍。 谱表中标以“8”的音(c2)，为第8谐音，对应于弦的八分段振动，其频率是基频的8倍。 再看各谐音之间的频率比： 第2谐音与第1谐音(基音)的频率比为2：1； 第3谐音与第2谐音的频率比为3：2； 第4谐音与第3谐音的频率比为4：3； 第5谐音与第4谐音的频率比为5：4； 第5谐音与第3谐音的频率比为5：3； 第6谐音与第5谐音的频率比为6：5； 第8谐音与第5谐音的频率比为8：5。 音乐工作者习惯于把谐音系列称为泛音列，把高于基音的谐音称

13、为泛音。必须弄清楚的是，谐音的序数与泛音的序数错开一位。它们的对应关系是： 首先基音是一致的； 第2谐音对应于第1泛音； 第3谐音对应于第2泛音； 第4谐音对应于第3泛音。 这一点务必记住，不可将二者混为一谈。 观察和认识弦的谐音系列以及各次谐音之间的音高、频率关系，有助于对音阶的生成及音程协和性的理解，从而为以后学习律学知识及拍音的形成与计算打好基础。第五节 击弦点 弦乐器的设计、制作与演奏，很讲究击弦点的位置。这是因为通过调整或改变击弦点位置，可以改变乐器发音的音色。 英国物理学家托马斯杨(TYoung)在研究用各种方法激发琴弦振动时发现：一条弦被激发振动时，波腹处在击弦点上的分音被加强，

14、波节处在击弦点上的分音则被抑制或消除。 由此他得出这样的结论：弹性体在一定位置上激发使之振动，那么这个位置是弹性体振动的波腹而不是波节；如果在一定位置上止住弹性体的振动，那么这个位置是弹性体振动的波节而不是波腹。例如：敲击琴弦的中部时，弦的中部必为振动的波腹(而不是波节)，那么波腹在此处的全弦振动(第一分音)、13弦长振动(第3分音)、15弦长振动(第5分音)等均被加强，如图17。而波节在此处的12弦长振动(第2分音)、14弦长振动(第4分音)、16弦长振动(第6分音)等则被抑制或消除，如图18。 倘若我们激发弦的四分点时，情况又是怎样呢?很显然，波腹恰在此处的12弦长振动将被加强；而14、1

15、8、116等弦长振动(波节处在击弦点上)被抑制或消除。 下面再看看在一定位置上止住振动的情况。典型的例子是泛音奏法。在小提琴或二胡上，如果用左手指轻触弦长的三分点，用右手运弓擦弦，这时就能听到一个非常清纯的比基音高十二度(八度加五度)的泛音。这是因为，左手指轻触在弦的13处时，抑制、消除了波节不在此处的第1、第2、第4等等分音，只有第3分音(其波节恰在触弦的位置)保留下来。如果轻触二分点、四分点，则可分别奏出高一个八度、高两个八度的泛音。 托马斯杨的这个发现和结论，被称为“杨氏定律”。这个定律同样适用于弦以外的其他类型的振动体。其意义在于：通过调整乐器发音体的激发位置，可以在一定程度上改善乐器

16、的发音，并有可能使你得到或是趋近于你所需要和追求的音色。 说到钢琴，历来的设计与制造家们都非常重视击弦点问题。一条弦的七分段和九分段振动，产生与基音不相协和的七度、二度分音，若将弦槌击弦点(实际上弦槌击弦的部位是一个有一定宽度的“面”而不是一个“点”)选在弦长的17与19附近，可以有效地抑制这两个不和谐的分音。这一点似乎已经成为钢琴设计与制造者的共识。 钢琴制造苏HA.捷亚柯诺夫著关肇元，金菊生译轻工业出版社，1960。一书介绍说：低音区和中音区的击弦点同样都在弦长的七分点和九分点位置；第61弦以上各弦的击弦点均匀地由110向118甚至124变化。硬而尖的高音槌的击弦点可以缩小到弦长的135，

17、这时音色具有较尖锐的铃声般的色调。英国钢琴设计家富雷建议，第88条弦(c5)的击弦点应在弦长的十四分点处，第76弦的(c4)在十二分点处，第64弦(c3)在十分点处，第52弦(c2)在九分点处，第40弦(c1)在八分点处。格罗特利安一斯坦威克公司采用的击弦点为弦长的七分点和九分点处。需要指出的是，击弦点虽然是关系到钢琴发音的重要因素，但不是惟一的因素，琴弦的质量、弦槌的硬度与弹性、击弦的历时长短、音板的共振性能等等，也是至关重要的。第六节 裸弦与缠弦 经常接触弦乐器的人都知道，一种乐器不论它设弦多少，其高音弦大多采用光身的裸弦，而低音弦则采用在裸弦上缠绕一层或更多层线材的缠弦。 前面讲到，在弦

18、乐器上，为获取更多频率不同的乐音，改变弦长是最便捷的途径。然而设计制造一种弦乐器，显然不能仅仅考虑音高的需要，还要考虑音色、音量以及演奏与控制等问题。一件乐器如果过大或过小，是无法用它来演奏音乐的。 有人曾做过计算，如果一架钢琴的88个音都采用同样粗细的裸弦，其最低音(A2)弦的有效长度将为最高音弦(c5)的150多倍!这样的钢琴，其琴体长度或高度将达l0m左右。可以想见，如此庞然大物制造和使用很不方便。再说，这样的钢琴的声音也未必能令人满意。再假设一架钢琴倘若全部采用粗细不同的裸弦，如果A2弦长度为12m，其裸弦的直径将接近6mm，几乎与弦轴的直径差不多了。这样粗的裸弦张挂起来极为不易，激发

19、起来也需要很大的弦槌和力度，不然就难以使它充分振动。这样粗的弦，劲度之大是显而易见的。应该说，它不像是一条弦，而更接近于一枝棒了。 由此可见，钢琴(包括其他弦乐器)的低音弦采用缠弦是一个高明的举措。缠弦加大了质量，却保持一定的柔顺度，长度也不致过大，有效获取了低音。应该说，缠弦是人类在乐器领域内的一项重大的发明，其意义甚至不亚于发明一种乐器。 思考与练习题 1我国瑶族的竹筒琴，是在一节长的竹筒上挑起几根竹皮，用小竹棍从两端将竹皮撑起，敲击发音。这里作为发音体的竹皮条属于弦还是属于棒? 2除弦乐器的弦之外，再举一二个振动取决于张力的乐器振动体的例子。 3弦长增大1倍(其他条件不变)时，频率将如何

20、变化? 4弦长增大至原来的43倍(其他条件不变)时，频率将如何变化? 5弦长缩小至原来的23(其他条件不变)时，频率将如何变化? 6弦张力增大1倍(其他条件不变)时，频率将如何变化? 7将a1弦的频率由440Hz增大到445Hz(其他条件不变)时，其张力应如何变化? 8将一条弦的音升高一个平均律半音(其他条件不变)时，其张力应如何变化? 9将一条弦的音升高10音分(其他条件不变)时，其张力应如何变化? 10将一条弦的音降低10音分(其他条件不变)时，其张力应如何变化? 11举一个例子，说明弦分段振动的存在。 12初学小提琴的人，拉奏时往往会发出一种尖锐刺耳的声音，这是什么原因? 13所有构成八

21、度关系的两个谐音的序数，并比较它们的频率比。 14所有构成纯五度关系的两个谐音的序数，并比较它们的频率比。 15所有构成纯四度关系的两个谐音的序数，并比较它们的频率比。 16所有构成大三度关系的两个谐音的序数，并比较它们的频率比。 17所有构成大六度关系的两个谐音的序数，并比较它们的频率比。 18所有构成小三度关系的两个谐音的序数，并比较它们的频率比。 19所有构成小六度关系的两个谐音的序数，并比较它们的频率比。 20第8与第9谐音构成什么音程?第9与第10谐音构成什么音程?比较这两个音程并说明它们有何不同。 21观察各种弦乐器实际演奏中的击(擦、弹)弦点，指出其共性。 22演奏小提琴时，琴弓

22、与琴弦的摩擦点总是不断随着音高变化而变化的，拉高把位时琴弓更靠近弦马，这是为什么? 23钢琴的88个音采用同样直径的裸弦时，为何A2弦会比c5弦长150多倍? 24结合各种弦乐器之实际，思考一下缠弦发明、应用的重要意义。第二章 声音与听觉第一节 声 音 一切弹性物体受到外力冲击时都会发生振动。弹性体因大小、形状、长短、粗细、薄厚、密度、张力、弹性、劲度及构成的不同，振动情况(状态)也会不同，振动有快的和慢的，有简单的和复杂的，有较规律的和不太规律的，有能产生声觉的和不能产生声觉的等等。 1声音的产生 声音的产生须具备三个条件： (1)物体振动(要达到一定的振动能量，并在一定的频率范围之内)；

23、(2)媒质传播，如气体、固体、液体物质； (3)入耳接收。 三者缺一不可。 声音是客观物理现象所引起的人的一种生理反应，是听觉现象的总称。它包括了尖锐的与低沉的、强烈的与微弱的、单调的与丰满的、纯净的与粗糙的、厚实的与空洞的、圆润的与干瘪的、光彩的与黯淡的、动听的与刺耳的等各种听觉感受。 2复音与纯音 前面提到的弦振动所产生的声音，是一种复杂的声音。因为它包含很多频率不同的振动成分，声音中包含很多谐音。这种较为复杂的由一些频率不同的简谐成分(瞬时值为一简单正弦式时间函数的声波)合成的声音在音乐声学中称为“复音”。它是指具有一个以上音调的声觉。现实中，大多数乐器所发出的声音都可归于复音的范畴。弦

24、振动的钢琴、提琴、二胡、琵琶，棒振动的木琴、管钟、三角铁，簧振动的手风琴、笙，板振动的锣、钹、钟，膜振动的各种鼓，空气柱振动的笛、箫，发出的声音都具有多种频率和强度不同的成分。正因为如此，才各自有着互不相同的音色特征。 物体做简谐振动所产生的单一频率的声音，音乐声学中称为“纯音”，是指只有单一音调的声觉。敲击音叉，其音头部分含有尖锐的高次泛音，但很快便会消失。因此，人们通常把音叉清纯的中后段余音视为纯音。与复音不同，纯音听起来很单调，缺乏生气和色调感。 3乐音与噪声 乐音是指有较为明确音调感的声音，或者说是由规律性振动产生的有调声。各种乐器正常情况下发出来的声音，其中绝大多数应被视为乐音，只有

25、少数的被排除在乐音之外。 噪声是无明确音调感的声音，由不规则的振动所产生。像爆炸声、机器的轰鸣、广场的嘈杂声等。民间喜庆活动用的发音不很讲究的锣、鼓，乐队中用的沙锤、拍板、碰钟等，有的大体上能比较出音调上的高或低，但音调感不明确，或制造时无这方面的要求。因此，以往常把它们称为“噪声乐器”。后来可能是考虑到“噪声”与“乐器”这两个词的组合不尽合理，听起来不舒服的缘故，又把它们改称为“效果乐器”、“色彩性乐器”，有的干脆称为“效果器”。 实际上我们所使用的各种体鸣及膜鸣乐器，因其振动中的非谐成分的干扰，听感上多不及弦鸣、气鸣乐器音高明确。其中，有一些是出于艺术表现上的需要，被制成“有固定音高乐器”

26、；另一些则是为产生特定音响效果或渲染某种气氛，而被制成“无固定音高乐器”。其实，有固定音高与无固定音高，其本质的差异并不仅仅在于各自音调感的明确与否，往往还在于(或是说反映出)制造及使用它的人的需要和追求。只要人们需要，既可以把一些无固定音高的打击乐器发展成为“有固定音高乐器”，也可以把一些有固定音高的打击乐器再做成“无固定音高乐器”。 此外，在音乐实践中，乐音与噪声往往是同时并存的，很难把它们绝对分开。如弹钢琴时总伴有击键声及各种机械传动件的碰撞声；拉提琴时总伴有弓与弦的摩擦声及手指与指板的碰击声；吹笛时总会伴有气息声及气流与笛体表面的摩擦声。一个乐队的合奏会伴有更多的噪声。第二节 乐音的性

27、质 乐音具有三种典型的性质(或称要素)，它们分别与三种物理量有关，即：音高与振动的频率相关；音量与振动的振幅相关；音色与振动的成分及其相对强度相关。 1音高 音高，即声音的高低。高音听起来尖锐，低音听起来有一种厚重感。振动频率快的发音就高，振动频率慢的发音就低。这是一种最基本的关系。更进一步的阐述见第三章。 2音量 音量，即声音的大小或强弱，也称响度。弹性体振动的振幅大，发出的声音就响；振幅小，声音也就相对弱一些。音乐中，音量的大小用力度来体现，以forte(有力、响亮)的第一个字母“f”代表“强”，用piano(轻地、微弱)的第一个字母“p”代表“弱”，通常把力度分为八个等级：PPP pp

28、p mp mf f ff fff极弱 很弱 弱 较弱 较强 强 很强 极强 在音乐声学中，体现声音大小的量有声压、声强、声压级、声强级、响度级、响度等。声压(单位“Pa)和声强(单位：Wm2)是纯粹客观物理量。声压级和声强级(可统称为“声级”，单位“dB”)是用对数换算而来的分别对应于声压和声强的量。响度级(单位“Phon)与响度(单位“sone”)的量则考虑到人的生理因素及主观感受。 3音色 音色，是一种可以类比于视觉上的色彩，以及味觉上的味道的感受。音色也称“音品”。音色是乐音的一种可以用来辨别其声源的性质。把一个乐音所包含的成分(分音)依次用坐标方式标出，即可做出一个线状声谱图(图21为

29、钢琴声谱的例子)。利用声谱图可以分析、研究、揭示出乐音的音色(主观感受)与振动成分及其相对强度(客观量)之间的某种对应关系。 此外，对于乐音来说，还有一个与时间有关的量，这就是声音的动态，也叫过渡性质。各种乐器发出的声音都有一个从建立到消失的过程。有的乐音有一段稳定过程，有的一经建立即开始衰减，直至消失。一般来说，在过渡过程中，有稳定过程的，衰减过程则不明显；有衰减过程的，无稳定过程，消失过程也不明显。 声音的过渡，也是一种能用以区分不同振动体的重要性质。实验证明：将一些乐器乐音的建立及消失过程去掉，只取其相对稳定的一段，录音后剪接并重放，结果使一些行家不仅分不清是单簧管还是双簧管的声音，甚至

30、连音叉与小号、小提琴与双簧管也混淆了。第三节 音高的听觉生理 1人耳的听觉范围人耳对振动频率的接受能力是有一定限度的。一般来讲，低于20Hz、高于20000Hz的振动，不能产生声觉，即使强度很大也听不到声音。而对于2020000Hz以内的振动，也会因频率不同而感受不同，人耳最敏感的频率区域在1000Hz附近，很弱的声音也可听到。低于或高于此区域的声音，要听到它们就须加大强度，而且愈是向更低频、更高频区域延伸时愈是如此。图22(本节3张图均引自龚镇雄音乐声学引自龚镇雄音乐声学，北京：电子工业出版社，1995。)给出人耳的听觉范围。横坐标为频率，纵坐标为声压级。图中最小的区域为语言声域，略大的区域

31、为音乐声域，最大的区域为人耳的听觉总声域。 2人耳对音高变化的分辨力入耳对音高变化的分辨力，因频率、强度、音色以及听者、环境的不同而异。在1000Hz附近分辨力较强；往高频区，分辨力略下降；往低频区，分辨力的下降更趋明显，而且声压级愈小时分辨力愈差。 从人耳对纯音频率相对变化的分辨限图(图23)中可看出： 1000Hz、60dB时可察觉的频率变化小于001； 200Hz、60dB时可察觉的频率变化约为0012； 100Hz、60dB时可察觉的频率变化约为0026。 3强度变化对音高感受的影响 音高的听感虽然取决于频率，但也与音的强弱有一定关系，这主要体现在低于1000Hz的频率区域，超过100

32、0Hz时音强对音高的影响不大。具体来说，一个低于1000Hz的纯音其响度级从40Phon增加到60Phon、80Phon、90Phon、100Phon，这时我们会感到音高在不断地下降，而且在100200Hz附近下降更为明显。图中纵坐标表示的是一个纯音从40Phon响度级增加到图中所标的响度级时，听感音调下降的百分数。 从图24纯音强度增加听感下降图中可看出，当纯音从40Phon增加到图中所示的响度级时听感音调下降的百分率。如：一个1000Hz纯音当响度级由40Phon增大到120Phon时，听感音调下降约2；一个200Hz纯音当响度级由40Phon增大到110Phon时，听感音调下降约10；一

33、个100Hz纯音当响度级由40Phon增大到100Phon时，听感音调下降约10。 思考与练习题 1为什么说声音是一种生理反应? 2长笛的声音听起来比较纯净，试想这是什么原因? 3为什么复音听起来会有色调感? 4比较各种不同的乐器，体会其音调感的明确与否以及程度上的差异。 5分别在钢琴和扬琴上用“fff”力度弹奏，音量感受一样吗? 6人们在评价一个乐器时常说“高、中、低音区过渡自然”，这是什么意思? 7从图23中查出： (1)200Hz、20dB时可察觉的频率变化； (2)200Hz、10dB时可察觉的频率变化；(3)200Hz、5dB时可察觉的频率变化。 8从图24中查出： (1)一个300

34、H：纯音的响度级由40Phon增大到120Phon时听感下降的百分率； (2)一个300Hz纯音的响度级由40Phon增大到110Phon时听感下降的百分率； (3)一个300Hz纯音的响度级由40Phon增大到100Phon时听感下降的百分率。第三章 乐音的高低第一节音高与频率 1音高差与频率差 前面谈到，一个发音体发出的声音的高低取决于振动的频率。也就是说，频率值大，音就高，频率值小，音就低。但是，在人的听觉上，一个音比另一个音高多少，却是不宜用频率的差数来度量的。下面举几个例子。 钢琴的最低音A2是275Hz，比它高八度的A1音是55Hz，这两个音之间频率相差275Hz。 小字一组的a1

35、音的频率是440Hz，那么比440Hz多275Hz的音是不是也比a1音高八度呢?经计算或查表得知，这个4675Hz的音只比a1音高一个平均律半音多一点，即bb1+5音分。再看一下更高的音区，39901Hz为b4+17音分，39625Hz为b4+5音分，两者虽然相差276Hz(比275Hz还多一点)，而前者的音高只比后者高12音分，约18个平均律半音。情况为什么会是这样呢?本章在后面做专题论述。这里只希望通过上面的例子强调不要简单地把音高与频率联系在一起，甚至在音高差与频率差之间划等号。客观量的频率差数能够表明一个音比另一个音是高还是低，却不能明确而直接地体现出主观上“高多少”的感受。这是因为，

36、相同的频率差数在不同频率起点给人的音差感受是不一样的，与主观上的音高“尺度”直接关联的不是频率之差而是频率之比。 2音程与频率比 在调式体系中，两个音级在音高上的相互关系叫做“音程”。如c和g为纯五度音程关系，g和c1为纯四度音程关系，c1和e1为大三度音程关系等等。 构成音程的两个音中，上面的那个音称为音程的“冠音”，下面的那个音称为音程的“根音”。如e1和g1构成的小三度音程，e1为根音，g1为冠音。 若把某个音程的根音(或冠音)的位置向高八度(或低八度)翻转，那么构成的新音程称为“转位音程”，而把转位前的音程称“原位音程”。例如，把大三度音程c1e1转位，可构成ec1(小六度)、e1c2

37、(小六度)两个转位音程。(注意：音程的转位也可在复八度间进行)。 音程转位有如下规律： (1)纯音程转位为纯音程； (2)大音程转位为小音程； (3)小音程转位为大音程； (4)增音程转位为减音程； (5)减音程转位为增音程。 以上乐理知识在钢琴调律中常会用到，应当牢记，还应再学习一些和声知识，尽可能多欣赏一些乐曲，提高自身的音乐素养。 既然音程是由两个音构成的，自然就存在一个频率比的问题。由谐音系列可以知道：构成八度音程的两个音的频率之比为21；构成纯五度音程的两个音的频率比为32；构成纯四度音程的两个音的频率比为43换句话说，如果两个音的频率比为21，那么高的那个音就比低的那个音高八度；如

38、果两个音的频率比为32，那么高的那个音就比低的那个音高纯五度；如果两个音的频率为43，那么高的那个音就比低的那个音高纯四度显而易见，用频率差说明不了的问题(即一个音比另一个音高多少的问题)，用频率比就能很好地体现了。 以上是较为典型的例子。倘若两音的频率比为11时，说明两音的频率完全一样，也就是说这两音是同度(或者说是纯一度)关系。 如果两个音的频率比，即不是21、32、43也不是11，而是120110，它们在高度上的关系是：高的那个音比低的那个音相当于高出一个平均律半音再加上51音分。这种关系涉及到音分(微分音程)的计算及音律问题。对此，本章第三节及第四章将有介绍。 广义地讲，任何两个音之间

39、都存在一种音程关系，都存在一个能准确反映它们的音高关系的频率比。这样就可通过它们的频率比，直观地或稍加计算来确定出它们的音高之差，或用“度数”，或用“音分数”，或两者兼用。 后面还会讲到，不同律制中的同类(同名)音程，它们的频率比不尽相同，因此其宽窄也就不可能是一样的。第二节 音程计算 1音程相加时其频率比相乘 两个或更多互相邻接的音程是可以相加的，相加后形成新的音程。如：大二度加大二度成为大三度音程；大二度加小三度成为纯四度音程。 问题是音程相加时其对应的频率比将如何计算?频率比也是相加而得出新音程的频率比吗?看看下面的例子(参见谐音系列)： 大三度的频率比为54；小六度的频率比为85。 这

40、两个音程相加应该是八度音程。已知道八度音程的频率比是21。显然把54加85是不等于21的： 正确的计算方法是，将两个相加的音程的频率比相乘，所得出的即为新音程的频率比了： 2音程相减时其频率比相除 一个相对较宽的音程可以从中减去一个或数个较窄的音程，从而形成一个新的音程。如八度减纯五度成为纯四度音程；八度减纯五度，再减去小三度成为大二度音程。 计算时是将频率比相除，所得即为新音程的频率比。试将上述的第二个例子计算如下：八 纯 小 大度 五 三 二（小全音） 3等音程连加时频率比乘方 以上介绍了两个音程相加及音程相减(包括不同音程的连减)的算法。下面再进一步了解一下等音程连加时的情形。以便对问题

41、有个更透彻的认识。 以八度连加为例： 一个八度的频率比为，可写成；八度加八度的频率比为，可写成；八度加八度再加八度的频率比为，可写成 显而易见，等音程连加时频率比可用乘方计算。此外，从上例还不难看出：当音高这个主观量以等差级数变化时，其对应的客观量频率则是以等比级数变化的。这一点应牢记。 4音程等分时其频率比开方 反过来把一个二十二度的复八度(三个八度)音程等分为三个较窄的音程。自然，等分后的每一个音程当为八度。等分的方法是利用乘方的逆运算开方。一个音程等分为几份，就将其频率比开几次方，把二十二度音程等分为三份即为： 在乐律学中，音程等分的例子有不少，较为典型的是平均律生律法及音分求法。其间常

42、用到开方和对数(乘方的另一种逆运算)，调律人员应熟悉这些运算方法。第三节 音 分 前面讲到，频率虽然决定发音的高低，却不具有任何音程的意义，不能用它度量音程的宽窄，也不能用其差数比较出不同律制所生成的律音之间的异同。 正因为如此，英国人埃利斯(JA.Ellis，18141890)于1884年提出把一个十二平均律半音均分为100份，即把八度音程均分为1200份，每一份定为一个音分。音分是一种微小的音程单位，有了它可以有效地完成乐律学和比较音乐学研究，在音高测量中它也是一种非常实用的“尺度”。通过频率比可以看出各种音程的大小，但是大多少，有时就很难说清楚。有了音分就可以把频率比换算成音分值，一目了

43、然。 1音分的频率比 音分既然是一种音程，自然也有其频率比。1个音分的频率比值为 2个音分的频率比值为3个音分的频率比值为 n个音分的频率比值为。 有了音分的频率比值，我们就可以求出某音高或低若干音分时的频率来。 例：求a音加10音分时的频率。已知a的频率为220Hz，10个音分的频率比值为，故将a的频率乘以10音分的频率比值即得a10音分的频率： 式中表示频率，表示a+10音分的频率。下同。 例：求a音减10音分时的频率。 注意：这里不再是加，而是减10音分，计算时应将a的频率除以10音分的频率比值： 2求两音间音分数的公式 已知构成八度音程的两个音的频率关系可表示为： 根据音分的定义可将上

44、式写成： 两边取对数则为： 至此，我们就能推出一个非常实用的公式： 式中的“”表示音分数；“”表示音程中较高的那个音的频率；“”表示音程中较低的那个音的频率。为便于记忆和计算，通常将3986314略去小数部分，取其整数。利用这个公式，不仅可以求出各种音程的音分数，而且可以求任意两频率间的音分数。如果求解的对象不是频率，而是两个音的频率比，只需把比数直接代人式中即可。 下面列举三个不同例子： 例：已知a1音为440Hz，b1音为49388Hz，求此二音间的音分数。 将两音的频率数代人公式，得： 这是平均律大二度的音分数。 例：求任意两频率间相应的音分数。设定为500Hz，为400Hz。 将两个频

45、率数代人公式，得： (500Hz的音对应于b1+21音分；400Hz的音对应于g135音分)。 例：求谐音系列中第3与第4谐音间的音分数。 已知这两个谐音的频率比为43，代人式中，得： 从这一计算结果可看出：由这两个谐音构成的纯四度(498音分)比十二平均律纯四度(500音分)窄2个音分。这就是在钢琴调律中，把四度调纯后要宽出2个音分的原因了。第四节 国际标准音高 几个乐器一起演奏或乐队合奏时，如果没有一种为各个乐器所共同遵循的定音标准的话，不难想象会是一种什么样的情景。因此说，确定标准音高是合奏、合唱的需要，是音乐艺术发展到一定阶段的必然产物。 指定一个乐音，并以它的频率(古时是以发音体的长度)作为音律、乐器的定音标准时，这个乐音就是(或称为)标准音