《微积分》第一篇第二章讲义极限.ppt

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1、经济数学基础微积分,极限的求法，导数与微分的求法,难点：极限的概念，复合函数的求导法,第二章.极限、导数与微分,重点：,一.极限的概念,极限是微积分的一个基本概念，也是一个基本工具，微积分中许多概念都是由极限引入的。可以说没有极限，也就没有微积分。因此理解好极限概念，是学习后面课程的基础。,主要学习两方面的极限：数列极限函数极限,（一）数列极限1、一串数按照一定的顺序排成一列叫做一个数列.,数列也可看作是自变量取正整数（定义在正整数上的）的函数,看下列数列：,变化趋势：,2、数列极限,极限描述的是变量在某个变化过程中的变化“趋势”。,人们研究变量的变化趋势，发现有三种可能：,变量越来越接近一个

2、数。,越来越接近于0,变量的绝对值越来越大。,a的绝对值:|a|,例如：,绝对值越来越大时，还可分两种情况：,变量的值左右摇摆不定。,这时没有记号只能说变量没有极限。,定义2.1（P58）,注意：数列存在极限，等价于数列收敛。,按照此定义，有：,极限不存在，或者称数列是发散的。,【例1.1】,解:,【课本P-59 例4】,（二）函数的极限,数列是一类特殊的函数，它的定义域是正整数，对于数列已经定义了极限。那么如果是一般的函数呢？即自变量是连续取值的函数，它的极限又是如何定义的？,解析：,主要看图像的“走势”,定义2.2(P-60),解析：,主要看图像的“走势”,定义2.2(P-60),当自变量

3、x本身既可以取正值，也可以取负值的时候，就可以当x趋于无穷的定义,定义2.2(P-61),解：,可以看出，当x在x=1点附近变化并且趋近于1时，,函数值y就充分的接近于y2这点。,定义2.3(P-62),注意：,解：,定义2.4(P-63),左极限,右极限,由此定义，知例2.3中的f(x)在x0处的左、右极限分别为：,由此定理，知例2.3中的f(x)在x0处的极限不存在。,【定理2.1】P-64,从上面可看出，极限实质是描述在自变量的某个变化过程中，函数是否有确定的变化趋势。如果有确定的变化趋势，就可能有极限，否则函数就一定没有极限。,（它的图象见P62的图23）,在x0点附近，函数的图象是不

4、断的跳跃的，即变化是不确定的。,当x趋近于0点时，函数没有确定的变化趋势，,【定义2.5】（P64）,定义2.6（P64）,注意：无穷大量和无穷小量互为倒数。,【例如】,定理2.2 无穷小量有界变量无穷小量,定义1.4(P-11)有界变量,【解】,1、用一句话来表述函数的“极限”？,“极限”实质是描述在自变量x的某个变化过程中，函数是否有确定的变化趋势。如果有确定的变化趋势，就可能有极限，否则函数就一定没有极限。,【复习】,（二）极限的运算,1、极限的四则运算法则（P-66）,2、一般函数极限的求法,求形如 的极限,就是求出x 趋向于 时 y 会趋向于什么。,【解】,解：,【情况三】就分解因式

5、，约去分子分母的公共零因子，得到新的函数，再回到情况一。,解：,下面一起做P72上的练习2.2,首先要“根式有理化”,这里我们只要求会求有理分式的极限：,解：,解：,解：,（三）两个重要的极限,注意：这个极限可以变形为：,重要的是这个变形的应用。,例3.1 求极限，见P72上的练习2.2，题14,例3.2 求极限，见P72上的练习2.2，题16,错误解法,例3.2 求极限，见P72上的练习2.2，题17,注意：它的两个变形,例题3.3 求极限，P72上的练习题19，20,（四）函数的连续性,定义2.6（P72）,连续是函数的重要形态之一，在几何图形上就表示一条不能断开的曲线。,相应于左右极限的概念，有：,类似定理2.1，有：,根据定义2.6，我们判断函数是否连续，要做三件事：,第一，计算函数值：,第二，求极限：,第三，判断是否有等式：,三件事都成立，函数就连续；,注意：对于分段函数，要考查左，右极限。,例4.1 P76 练习 2.3 题1,分析：,由定理2.1,解：,由定理2.1,（2）,函数的间断点,间断点包括三种情况：,练习,解：,作业：（中央）形考册,一、1、2；二、1、2、4；三、1题全部。,