模糊数学精品讲义3.4 模糊集合的扩张原理.ppt
《模糊数学精品讲义3.4 模糊集合的扩张原理.ppt》由会员分享,可在线阅读,更多相关《模糊数学精品讲义3.4 模糊集合的扩张原理.ppt(112页珍藏版)》请在三一办公上搜索。
1、1,定义:设 X,Y 是两个论域,若有一规则 f,使每一个 xX 唯一确定一个 yY 与之对应,则称 f 是从 X 到 Y 的一个映射,记为f:X Y,x yY,其中 x 称为 y 的原象;y 称为 x 的象,记作 y=f(x);X 称为映射 f 的定义域;记f(X)=y x X,使 y=f(x)Y,称 f(X)为映射 f 的值域。,2,定义:设 f 是从 X 到 Y 的一个映射。(1)对任意 A X,记f(A)=y xA,使 y=f(x)Y,这是 Y 的一个子集,称为 A 在 f 作用下的象(当 A=时,规定 f(A)=)。(2)对任意 B Y,记f-1(B)=xxX,使 f(x)B,这是
2、X 的一个子集,称为在 f 作用下的原象(当 B=时,规定 f-1(B)=)。,3,3.4 模糊集合的扩张原理,3.4.1 经典集合的扩张原理定义 3.4.1 设 X、Y 是经典集合,若给定 X 到 Y 的映射 f:XY,x|f(x)=y,则 f 可以诱导出两个映射:一个是P(X)到P(Y)的映射,一个是 P(Y)到 P(X)的映射,前者仍记为 f,后者记为 f 1,它们具体的定义如下:,4,f 诱导出的第一个映射 是一个P(X)到P(Y)的映射,仍记为 f,它的定义如下:f:P(X)P(Y),A f(A)P(Y),此处 f(A)=yY xA,使 y=f(x),我们称 f(A)为 A 的象。,
3、5,f 诱导出的第二个映射 是一个P(Y)到P(X)的映射,记为 f 1,它的定义如下:f 1:P(Y)P(X),B f 1(B)P(X),此处 f 1(B)=xX 使 f(x)B,我们称 f 1(B)为 B 的逆象(原象)。,6,由 y f(x)这一个映射诱导出两个集映射 f(A)及 f 1(B),这种情况称为经典扩张原理。参见图 3.25。例:f:R R,x|y=f(x)=x2,对 A=-1,1,f(A)=0,1;对 B=1,4,f 1(B)=-2,-1 1,2。,7,图 3.25 经典扩张原理示意图,8,命题 3.4.1 若用特征函数来表示集 f(A)与集 f 1(B),则有 f 1(B
4、)(x)=B(f(x),x X.(3.4.2(b)证明 先证(3.4.2(a)。yY,f(A)(y)=1 y f(A),9,xA 使 y=f(x)xX 使 A(x)=1 且 y=f(x)A(x)x f-1(y)=1,故有(约定=0)。,10,再证(3.4.2(b)。xX,f 1(B)(x)=1 x f 1(B)f(x)B B(f(x)=1,故有 f 1(B)(x)=B(f(x)。,11,3.4.2 模糊集合的扩张原理,进一步,我们能否将 f 的定义域和值域分别扩张到F(X)和F(Y)呢?定义 3.4.2 设 X、Y 是经典集合,给定 X 到 Y 的映射 f:XY,x|f(x)=y,则 f 可以
5、诱导出一个F(X)到 F(Y)的映射,f:F(X)F(Y),,12,A|f(A),以及一个F(Y)到F(X)的映射,称为逆映射f 1:F(Y)F(X),B|f 1(B)。这里 f(A)与 f 1(B)的隶属函数分别定义为:,13,以上两个映射常称为扩张映射,参见图3.26及图3.27。,14,15,例 3.4.1 设 X=x1,x2,x3,x4,x5,Y=a,b,c,d 给定映射如下:f:XY,x f(x);f(x)的定义为,16,现有 F(X),F(Y),按扩张原理求 f(A)、f-1(B)。解:分别对每个元素求隶属度。按扩张原理有,17,故,18,又所以,19,例 设 X,Y 为实数域,X
6、 上的模糊集A=0.4/-2+0.8/-1+1/0+0.7/1+0.5/2,从 X 到 Y 的映射 f:x x2,则 A f(A)B 为:B1/0+0.8/1+0.5/4。又f 1(B)0.5/-2+0.8/-1+1/0+0.8/1+0.5/2。,20,扩张原理可以用截集的形式表示。定理 3.4.1 设已知 f:XY,x|f(x),由扩张原理可得 f:P(X)P(Y)及 F(X)F(Y),f 1:P(Y)P(X)及 F(Y)F(X),(1)若 AF(X),则(2)若 BF(Y),则,21,证明(1)yY,有,22,23,下面来讨论扩张原理与 截集的相容性。命题 设 0,1,B()P(X),即
7、B()是与 有关的 X 上的一个普通集合。如果 AF(X),且则有B()A。,24,推论 模糊子集的 截集的象包含在模糊子集的象的 截集之中,即f(A)f(A),0,1。定理(Nguyen 定理)对任意 0,1,f(A)f(A)的充分必要条件是:对任意 yY,存在 xf 1(y)使得,25,3.4.3 多元扩张原理1.经典集的笛氏积 定义 3.4.3 设 X1,X2,Xn 是 n 个经典集合,它们的笛卡尔(Descartes)积定义为X1X2 Xn=(x1,x2,xn)xiXi,1in,笛卡尔积 X1X2 Xn 又可记为,26,如用特征函数来表示笛卡尔(Descartes)积集,则有 x=(x
8、1,x2,xn)X=,故有,27,2.模糊集的笛氏积 将上述特征函数推广成隶属函数,便可定义模糊集的笛氏积集。定义 3.4.4 设 AiF(Xi)(i=1,2,n),(x1,x2,xn)则 A1A2An F(X1X2Xn),称 A1 A2An 为 A1,A2,An 的笛氏积集,记为,28,命题 3.4.2证明,29,所以同理可证由命题 3.4.2 及分解定理立即可得推论,30,3.多元扩张原理定义 3.4.5 设f:X=X1 X2 Xn Y1 Y2 Ym=Y,x=(x1,x2,xn)f(x1,x2,xn)=(y1,y2,ym)=y。那么,由 f 可诱导出映射,31,f:F(X1)F(X2)F(
9、Xn)F(Y1Y2 Ym),(A1,A2,An)f(A1,A2,An)其中 f(A1,A2,An)的隶属函数规定如下:,32,以及映射f-1:F(Y1)F(Y2)F(Ym)F(X1X2Xn),(B1,B2,Bm)f-1(B1,B2,Bm),其中 f 1(B1,B2,Bm)的隶属函数规定如下:,33,以上两个映射称多元扩张映射。参见图 3.28。,34,由定义 3.4.5、定义 3.4.2 及定义 3.4.4 立即可得 f(A1,A2,An)=f(A1 A2 An),f-1(B1,B2,Bm)=f-1(B1 B2 Bm)。,35,命题 3.4.3 设 f:X1 X2 Xn Y1 Y2 Ym,又设
10、 f 与 f 1 是两个多元扩张映射,则有下述类似分解定理的形式:,36,证明 只证(1)的第一个等式又由经典扩张原理有,37,故将(3.4.12)式代入(3.4.11)式即证得(1)的第一等式成立。其余等式类似可证。,38,二元扩张原理隶属函数形式:设 f 是 X1 X2 到 Y 的映射,A1,A2 分别是 X1,X2 上的两个模糊集,则由 f 可以诱导出 F(X1)F(X2)到 F(Y)的映射,仍记为 ff:F(X1)F(X2)F(Y),A1 A2 f(A1 A2)=B其隶属函数为,(y Y),39,其隶属函数还可以表示为,(约定=0)(y Y),40,二元扩张原理的截集形式:设 f 是
11、X1 X2 到 Y 的映射,A1,A2 分别是 X1,X2 上的两个模糊集,则由 f 可以诱导出 F(X1)F(X2)到 F(Y)的映射,仍记为 ff:F(X1)F(X2)F(Y),A1 A2 f(A1 A2)=B,,41,4.实数集 R上的二元运算“*”扩张成相应的模糊集运算,有了多元扩张原理,就可以把实数集 R 上的任意二元运算“*”扩张成 R 上模糊集间相应的运算。参见图 3.29。,42,43,设是实数域 R 上的二元运算,即:R R R,(x,y)x y,根据二元扩张原理,由这个映射可诱导出F(R)F(R)到F(R)的映射,即:F(R)F(R)F(R),(A,B)AB,其隶属函数为(
12、A B)(z)=x y=z A(x)B(y)。,44,特别,当 为,时,A B 分别为:zR(A+B)(z)=x+y=z A(x)B(y),(AB)(z)=xy=z A(x)B(y),(A B)(z)=x y=z A(x)B(y),(AB)(z)=x y=z A(x)B(y),(y0)(A B)(z)=x y=z A(x)B(y),(A B)(z)=x y=z A(x)B(y)。,45,或者,对 zR,46,47,例 3.4.2 设 X=Y=Z=0,1,2,n(n 7),求 A+B=“近似于5”。,F(X),,F(Y),,48,解:(A+B)(0)=A(0)B(0)=0;(A+B)(1)=(A
13、(1)B(0)(A(0)B(1)=0;(A+B)(2)=(A(0)B(2)(A(1)B(1)(A(2)B(0)=0;(A+B)(3)=(A(0)B(3)(A(1)B(2)(A(2)B(1)(A(3)B(0)=0.2;(A+B)(4)=(A(1)B(3)(A(2)B(2)略去为0的项(0.3 1)(10.2)=0.3;,49,(A+B)(5)=(A(1)B(4)(A(2)B(3)(A(3)B(2)=0.2 1 0.2=1;(A+B)(6)=(A(3)B(3)=0.3;(A+B)(7)=(A(3)B(4)=0.2。故得,50,例(随机变量和的分布律),一个仪器由两个主要部件组成,其总长度为这两个部
14、件长度的和,已知这两个部件的长度 和 为两个相互独立的随机变量,其分布律如下表。求此仪器长度的分布律。,51,解:设仪器总长度为=+,其可能取值如下表:P(=15)=P(=9,=6)=P(=9)P(=6)=0.30.4=0.12,P(=16)=P(=9,=7)+P(=10,=6)=P(=9)P(=7)+P(=10)P(=6),52,=0.30.6+0.5 0.4=0.38,P(=17)=P(=10,=7)+P(=11,=6)=P(=10)P(=7)+P(=11)P(=6)=0.50.6+0.2 0.4=0.38,P(=18)=P(=11,=7)=P(=11)P(=7)=0.20.6=0.12,
15、因而 的分布律如表:,53,例(模糊集和的隶属度),一个仪器由两个主要部件组成,其总长度为这两个部件长度的和,已知这两个部件的长度 A 和 B 为两个模糊集,其隶属度如下表。求此仪器长度的隶属度。,A,B,54,解:设仪器总长度为 C=A+B,其可能取值如下表:(C=15)=(A=9,B=6)=(A=9)(B=6)=0.30.4=0.3,(C=16)=(A=9,B=7)(A=10,B=6)=(A=9)(B=7)(A=10)(B=6),55,=0.30.6 0.50.4=0.4,(C=17)=(A=10,B=7)(A=11,B=6)=(A=10)(B=7)(A=11)(B=6)=0.50.6 0
16、.20.4=0.5,(C=18)=(A=11,B=7)=(A=11)(B=7)=0.20.6=0.2,因而 C 的隶属度如表:,56,当 为,时,二元扩张运算“*”用截集的形式表示为:,57,另外,关于除法,可视其为:R(R0)R,故AB=0,1(AB),其中 B 的论域为 R0。,58,模糊数和模糊算术,定义 3.4.6 设 N 是定义在实数域 R 上的模糊集,如果:(1)x0R,使得 N(x0)=1;(2)(0,1,N=xxR,N(x)为有限闭区间,则称 N 为(R 上的)模糊数。根据上述定义和分解定理,模糊数 N 可以表示为,59,定理 设 N 为 R 上的模糊集,则 N 为模糊数 存在
17、实数 m,n(m n)使得式中 L(x)是右连续的单调不减函数,0 L(x)1,且 lim x-L(x)=0;R(x)是左连续的单调不增函数,0 R(x)1,且 lim x R(x)=0。,60,如果 L(x)和 R(x)均为线性函数,且 m n,则称 N 为梯形模糊数,简记为 N=(l,m,n,r)。如果 L(x)和 R(x)均为线性函数,且 m=n,则称 N 为三角模糊数,简记为 N=(l,m,r)。,61,梯形模糊数 N=(l,m,n,r)的隶属函数,62,梯形模糊数 N=(l,m,n,r)的隶属函数图形,63,三角模糊数 N=(l,m,r)的隶属函数,64,三角模糊数 N=(l,m,r
- 配套讲稿:
如PPT文件的首页显示word图标,表示该PPT已包含配套word讲稿。双击word图标可打开word文档。
- 特殊限制:
部分文档作品中含有的国旗、国徽等图片,仅作为作品整体效果示例展示,禁止商用。设计者仅对作品中独创性部分享有著作权。
- 关 键 词:
- 模糊数学精品讲义 3.4 模糊集合的扩张原理 模糊 数学 精品 讲义 集合 扩张 原理
链接地址:https://www.31ppt.com/p-2909743.html