弹性力学 空间问题.ppt

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1、,第八章 空间问题,空间问题,第八章 空间问题,8-4 空间球对称问题,8-3 空间轴对称问题,8-2 直角坐标下的基本方程,8-1 概 述,1,本章首先给出空间问题直角坐标下的平衡方程、几何方程和物理方程。针对空间问题的解析解一般只能在特殊边界条件下才可以得到，我们着重讨论空间轴对称问题和空间球对称问题。,8-1 概 述,球对称问题,轴对称问题,空间问题,2,8-2 直角坐标下的基本方程,空间问题,一 平衡微分方程,在物体内任意一点 P，取图示微小平行六面体。微小平行六面体各面上的应力分量如图所示。,若以连接六面体前后两面中心的直线为ab，则由 得,化简并略去高阶微量，得,3,空间问题,同理

2、可得,这只是又一次证明了剪应力的互等关系。,由,立出方程，经约简后得,这就是空间直角坐标下的平衡微分方程。,二 几何方程,在空间问题中，形变分量与位移分量应当满足下列 6 个几何方程,其中的第一式、第二式和第六式已在平面问题中导出，其余三式可用相同的方法导出。,4,空间问题,三 物理方程,对于各向同性体，形变分量与应力分量之间的关系如下：,这就是空间问题的物理方程。,将应力分量用应变分量表示，物理方程又可表示为：,其中：,5,空间问题,四 相容方程,6,将几何方程第二式左边对z的二阶导数与第三式左边对y的二阶导数相加，得,将几何方程第四式代入，得,（a）,空间问题,7,将几何方程中的后三式分别

3、对x、y、z求导，得,并由此而得,空间问题,8,方程(a)、(b)、(c)、(d)称为变形协调条件，也称相容方程。,将物理方程代入上述相容方程，并利用平衡微分方程简化后，得用应力分量表示的相容方程：,空间问题,9,称其为密切尔相容方程。,空间问题,8-3 空间轴对称问题,10,空间问题,11,空间问题,这就是轴对称问题的柱坐标平衡微分方程。,二 几何方程,通过与平面问题及极坐标中同样的分析，可见，由径向位移引起的形变分量为：,由轴向位移引起的形变分量为：,由叠加原理，即得空间轴对称问题的几何方程：,12,空间问题,三 物理方程,由于圆柱坐标，是和直角坐标一样的正交坐标，所以可直接根据虎克定律得

4、物理方程：,应力分量用形变分量表示的物理方程：,其中：,13,空间问题,四 轴对称问题的求解,将几何方程代入应力分量用应变分量表示的物理方程，得弹性方程：,其中：,再将弹性方程代入平衡微分方程，并记：,得到,这就是按位移求解空间轴对称问题所需要的基本微分方程。,显然，上述基本微分方程中的位移分量是坐标r、z 的函数，不可能直接求解，为此介绍下列方法：,14,空间问题,五 位移势函数,为简单起见，不计体力。位移分量的基本微分方程简化为：,现在假设位移是有势的，把位移分量用位移势函数 表示为：,从而有,代入不计体力的基本微分方程，得,即,15,空间问题,16,空间问题,可见，对于一个轴对称问题，只

5、须找到恰当的重调和的拉甫位移函数，使得该位移函数给出的位移分量和应力分量能够满足边界条件，就得到该问题的正确解答。,17,空间问题,七 举例：半空间体在边界上受法向集中力,设有半空间体，体力不计，在其边界上受有法向集中力，如图所示。试求其应力与位移。,解：取坐标系如图。通过量纲分析，拉甫位移函数应是F乘以R、z、等长度坐标的正一次幂，试算后，设位移函数为,根据位移分量和应力分量与位移函数的关系：,18,空间问题,可以求得位移分量和应力分量,19,空间问题,由(d)及(e)二式的联立求解，得,20,空间问题,将得出的A1及A2回代，得,21,空间问题,在空间问题中，如果弹性体的几何形状、约束情况

6、以及所受的外来因素，都对称于某一点（通过这一点的任意平面都是对称面），则所有的应力、形变和位移也对称于这一点。这种问题称为空间球对称问题。,根据球对称的特点，应采用球坐标 表示。若以弹性体的对称点为坐标原点，则球对称问题的应力分量、形变分量和位移分量都将只是径向坐标 r 的函数，而与其余两个坐标无关。,显然，球对称问题只可能发生于空心或实心的圆球体中。,8-4 空间球对称问题,22,空间问题,23,空间问题,24,空间问题,25,四 位移法求解的基本微分方程,将几何方程代入物理方程，得弹性方程,再代入平衡微分方程，得,这就是按位移求解球对称问题时所需要用的基本微分方程。,空间问题,五 举例：空

7、心圆球受均布压力,设有空心圆球，内半径为a，外半径为b，内压为qa，外压为qb，体力不计，试求其应力及位移。,其解为,得应力分量,解：由于体力不计，球对称问题的微分方程简化为,26,空间问题,于是得问题的径向位移,应力表达式,27,空间问题,习题8.1 设有任意形状的等截面杆，密度为 上端悬挂。下端自由，如图所示。试证明应力分量,能满足所有一切条件。,z,y,解：已知应力分量为,体力分量为,28,空间问题,一 检验平衡微分方程,显然满足。,二.检验相容性,因为体力为常量，相容方程为：,29,空间问题,将应力分量代入，显然均能满足。,三.检验边界条件,下端面：,代入边界条件,30,空间问题,均满足。,左、右侧面：,前、后侧面：,代入(a)式显然满足。,综上所述，所给应力分量满足平衡方程、相容方程及外力边界条件。,31,空间问题,习题8.2 试用Love应力函数 求解圆柱杆的两端受均匀分布作用的各应力分量。,z,x,y,L,解：首先检查应力函数是否满足,相容条件,对函数 进行求导，得,32,空间问题,显然,应力分量,33,空间问题,应力分量中的常数由边界条件决定,将应力表达式代入边界条件，得,34,由式(7),(8)得,将c1,c2代入应力分量表达式(1),(2),(3)和(4)，得,空间问题,35,空间问题,结 束,36,