结构动力学单自由度系统的振动.ppt
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1、2023/3/2,1,第二章 单自由度系统的振动,2023/3/2,2,强迫振动:结构在动荷载作用下的振动称为强迫振动或受迫振动(forced vibration)。由方程:可以得到单自由度体系强迫振动的微分方程:,1.1 单自由度系统简谐荷载作用下 的受迫振动,2023/3/2,3,其中,和 的定义与自由振动时相同。,2023/3/2,4,1、无阻尼受迫振动方程解 设单自由度体系承受简谐荷载:是简谐荷载的圆频率,是简谐荷载的最大值,称为幅值。可得(无阻尼):,2023/3/2,5,方程的解由两部分组成,即齐次解和特解。设特解的形式为:求得:特解为:,2023/3/2,6,微分方程的齐次解:全
2、解:振动由两部分组成:第一部分按荷载频率 振动,为纯粹的强迫振动;第二部分按自振频率 振动,为外力引起的自由振动。,由初始条件确定,2023/3/2,7,2、动力系数,(1)实际上,由于有阻尼力存在,自由振动项将随时间的推移而逐渐消失,该项称为瞬态响应(transient response)。(2)自由振动消失之前的这一段时间内的响应称为过渡阶段,这段过渡时间的长短取决于阻尼的大小。,2023/3/2,8,(3)阻尼小,过渡时间就长;阻尼大,过渡时间就短。(4)过渡时间结束后,只按荷载频率振动的阶段称为平稳阶段,对应的响应称为稳态响应(stationary response)。,(5)在振动计
3、算中,通常都不考虑自由振动部分尚未完全衰减掉时的过渡阶段,而只计算在这以后系统按荷载频率进行的纯强迫振动。,2023/3/2,9,即特解部分:,令:为最大静位移,表示将荷载最大值P当作静荷载作用时结构所产生的位移;为动力放大系数或动力系数,表示最大动位移 与最大静位移 的比值。,则有:,2023/3/2,10,动力系数 与频率比值的关系:动力系数 是频率比值 的函数,变化规律如图所示,其中横坐标为,纵坐标为 的绝对值。,2023/3/2,11,特性分析:(1)当 时,动力系数。简谐荷载的数值虽然随时间变化,但与结构固有频率相比变化得非常慢,因而可当静荷载处理。(2)当 时,动力系数,且 随 的
4、增大而增大。,2023/3/2,12,(3)当 时,。当荷载频率 接近于结构固有频率 时,振幅会无限增大。这种现象称为共振。实际结构由于有阻尼的影响,共振时不会出现振幅为无限大的情况,但共振时的振幅比静位移大很多倍的情况有可能发生。(4)当 时,的绝对值随 的增大而减小。,2023/3/2,13,例1:下图为一无重简支梁,在跨中有重 的电机,电机偏心所产生的离心力为 若机器每分钟的转数,梁的。在不计阻尼的情况下,试求梁的最大位移和弯矩。,2023/3/2,14,解:(1)梁的自由振频率 由机器重力作用下梁的最大静力位移,则梁的自振频率为:,(2)机器的扰力频率为:,2023/3/2,15,(3
5、)系统的动力系数,(4)梁跨中截面的最大位移和弯矩,2023/3/2,16,例2:图示跨中带有一质体的无重简支梁,动力荷载 作用在距离左端l/4处,若 及,试求在荷载F(t)作用下,质体的最大动力位移。,2023/3/2,17,解:(1)用图乘法先求出柔度系数 及。该梁的自由振频率:,2023/3/2,18,(2)按叠加原理建立运动方程:,变换得:,即把非直接作用于质体的荷载按照静力位移等效的条件转换成直接作用于质体的荷载。,。,位移协调,等效,2023/3/2,19,则运动方程的解为:,由此式代入 及 相应的便可求得质体的最大动力位移。,a)当,时,b)当,时,2023/3/2,20,3、有
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