湖南省衡阳市高三第三次联考理科数学试题及答案.doc

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1、衡阳市2014届高中毕业班联考(三) 数学(理科)(试题卷) 2014.5.7.本试卷分第I卷(选择题)和第卷(非选择题)两部分.满分150分，考试时间120分钟第I卷 (选择题 共50分)一、选择题: 本大题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 设集合A= 0 ，a ，B =Z | | x | 0)与直线相交于两个不同点，则双曲线的离心率e的取值范围为 ( )A. B. C. D.9.已知点O是ABC所在平面内的一点 ( O不在直线BC上 )，且= +当=3 ，=，则ABC与OBC的面积之比为 ( )A . B. C . D. 4 10.

2、 设函数若ab1,且f (a)=f (b) ,则的取值范围为（ ） A.(-2,3) B.(-2,2) C.( 1,2 ) D.第卷(非选择题 共110分)二、选择题:本大题共6小题，考生只作答5小题，每小题5分，共25分(一)选做题(请考生在第10、11、12三题中任选两题作答，如果全做，则按前两题记分)11极坐标系中，圆：的圆心到直线的距离是_.12.若时，不等式恒成立，则实数的取值范围是 。13. 如右图，圆O的直径AB=8，C为圆周上一点，BC=4，过C作圆的切线，过A作直线的垂线AD，D为垂足，AD与圆O交于点E，则线段AE的长为 (二)必做题(14-16题)14. 已知为虚数单位，

3、复数，为其共轭复数，则等于 15.已知满足约束条件 ，则的最小值是 16. 设数列共有项,且，对于每个均有。（1） 当时，满足条件的所有数列的个数为_;（2） 当时，满足条件的所有数列的个数为_;三、解答题:本大题共6小题，共75分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤17. (本小题满分12分)已知函数 ()求的最小正周期和值域；()若为的一个零点，求的值 18.(本小题满分12分)某学校为响应省政府号召，每学期派老师到各个民工子弟学校支教，以下是该学校名老师上学期在某一个民工子弟学校支教的次数统计结果：支教次数人数根据上表信息解答以下问题：（1）从该学校任选两名老师，用表示这两人支教次数

4、之和，记“函数在区间上有且只有一个零点”为事件，求事件发生的概率；（2）从该学校任选两名老师，用表示这两人支教次数之差的绝对值，求随机变量的分布列及数学期望19.(本小题满分12分)如右图，在梯形中，四边形为矩形，平面平面，(1) 求证：平面(2) 若点在线段上移动，试问是否存在点，使得平面与平面所成的二面角为 ，若存在，求出点的坐标；若不存在，说明理由20.(本小题满分13分)某音乐喷泉喷射的水珠呈抛物线形，它在每分钟内随时间（秒）的变化规律大致可用（为时间参数，的单位：）来描述，其中地面可作为轴所在平面，泉眼为坐标原点，垂直于地面的直线为轴。（1）试求此喷泉喷射的圆形范围的半径最大值；（2

5、）若在一建筑物前计划修建一个矩形花坛并在花坛内装置两个这样的喷泉，则如何设计花坛的尺寸和两个喷水器的位置，才能使花坛的面积最大且能全部喷到水？21.(本小题满分13分)已知点和圆AB是圆O的直经，从左到右M、O和N依次是AB的四等分点，P(异于A、B)是圆0上的动点，交AB于D，直线PA与BE交于C，|CM|+|CN| 为定值。(1).求的值及点C的轨迹曲线E的方程.(2)若点Q、R是曲线E上不同的的点，且PQ、PR与曲线E相切,求OQR面积的最小值.22. (本小题满分13分)设函数，其图象与轴交于，两点，且x1x2（1）求的取值范围；（2）证明：（为函数的导函数）；（3）设点C在函数的图象

6、上，且ABC为等腰直角三角形，记，求的值衡阳市2014届高中毕业班联考(三) 数学(理科)参考答案及评分细则本试卷分第I卷(选择题)和第卷(非选择题)两部分.满分150分，考试时间120分钟第I卷 (选择题 共50分)一、选择题: 本大题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1 .【答案】C【解析】因B=-1，0 ，l ，a = 1 则A= O ，l 所以AB . 反之“AB”“ a= 1 ”2.【答案】D【解析】分析程序中各变量、各语句的作用，再根据流程图所示的顺序，可知：该程序的作用是计算分段函数：的函数值又输出的函数值在区间内，x-2，03

7、.【答案】D【解析】因为服从正态分布，故选D4.【答案】D【解析】试题分析：由三视图可知，该几何体是三分之一个圆锥，其体积为：5. 【答案】A【解析】因为6.【答案】B【解析】由题意，所以二项式为，设展开式中第项为所以，令，解得。代入得的系数为：11207.【答案】B【解析】视角一:观察载体图:重叠部分面积始终不为0，排除C。因圆的最初位置的重叠部分面积最大，故面积是由最大开始减少的，排除A。由最初位置，圆滚动时露在三角形外的弓形面积每相同前移动量增加就越多，是非线性的，排除D。故选B.视角一:函数图像应具以下特征:周期性变化，函数值不为0，从初始位置开始是先减少的，非线性变化，故选B。视角三

8、:从最多共性入手，从初始位置开始函数值是先减少的有B、C、D，非线性的有A、B、C，函数值不为0的有A、B、D，可见共性最全的只有B，故选B.8. 【答案】A【解析】依题由有两个不同的的解，消去y整理得,又解得且 ,又且即离心率e的取值范围为 9.【答案】C 【解析】设直线AO交直线BC于点P，且因为点B、C、P共线，所以可设=+ (l-x) 又因为点A、O、P三点共线，可设=t所以由= +及=+ (lx) 得解得t =+ ,所以=(+) 。又因为 = = (+) = ，所以|=|.| 。所以 ,故选C . 10.【答案】D【解析】作出函数f(x)的图象，得由ab1,且f(a)=f(b),得整

9、理得,设则=1=,，,所以第卷(非选择题 共110分)二、选择题:本大题共6小题，考生只作答5小题，每小题5分，共25分(一)选做题(请考生在第10、11、12三题中任选两题作答，如果选做，则按前两题记分)11.【答案】【解析】：圆O：，圆心O：，直线：圆心到直线的距离：12.【答案】【解析】因为(|x|+|x-1|)的最小值为l，所以，13.【答案】4【解析】连接AC，则ACBC由条件得AC4,DCA=60，所以DC2,，DA=6由切割线定理，求得DE2，可得AE=AD-DE=4(二)必做题(13-16题)14. 【答案】15.【答案】【解析】解法一：令则问题转化为在条件下求的最小值。如图所

10、示 则解法二：由柯西不等式，由可知，当且仅当即时取“”号。16.【答案】（1）3个 （2）393个【解析】（1）当时，因为，所以，所以或或所以满足条件的所有数列的个数为3个；(2)令，则对每个符合条件的数列满足条件，且反之符合上述条件的7项数列，可唯一确定一个符合条件的8项数列记符合条件的数列的个数为显然中有个2，个，个1当给定时，的取法有种，易得的可能值为0,1,2,3故,所以满足条件的所有数列的个数为393个三、解答题:本大题共6小题，共75分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤17. 【解析】：（1）-2分 -4分 周期，值域为；-6分 （2）由得， 又由得-8分 故， -10分 此

11、时， -12分18. 【解析】：() 函数过点，在区间上有且只有一个零点，则必有即：，解得：所以， -3分当时， -6分 () 从该学校任选两名老师，用表示这两人支教次数之差的绝对值，则的可能取值分别是， -7分于是， ， -10分 从而的分布列：0123的数学期望： 12分19【解析】：(1) 证明：在梯形ABCD中，ABCD，AD=DC=CB=1，ABC=， ， ， ，又平面平面，是交线，平面， 平面 5分（2）由(1)知，、两两垂直，以为原点，、所在的直线为、轴建立空间直角坐标系（如图），ABCDFEMxyz则，设， 则，设是平面的法向量，则取，得，显然是平面的一个法向量，于是，化简得，

12、此方程无实数解， 线段上不存在点使得平面与平面所成的二面角为 12分20【解析】：（1）当时， 因时，故，从而当，即当时，有最小值5，所以此喷泉喷射的圆形范围的半径最大值是；6分（2）设花坛的长、宽分别为xm，ym，根据要求，矩形花坛应在喷水区域内，顶点应恰好位于喷水区域的边界，依题意得：，（）问题转化为在，的条件下，求的最大值。9分法一：，由和及得： 13分法二：，=当，即，由可解得：。 13分答：花坛的长为，宽为，两喷水器位于矩形分成的两个正方形的中心，符合要求。21【解析】： (1)易得，设则直线PA与BE交于C，故，且， 2分相乘得又因为点P(异于A，B)是圆O上的动点，故即， 要使为

13、定值，则解得 此时即时，点C的轨迹曲线E的方程为5分（2）.设又因为点P(异于A，B) 是圆O上的动点，故直线QR斜率存在，设直线QR的方程为 则PQ、PR的方程分别为所以故直线QR的方程为比较系数，得即 7分另一方面，由与椭圆联立，得，于是得 9分所以又因为O到QR的距离为所以的面积将代入消去k，得其中。11分易知在是减函数，于是当时，。 13分 22. 【解析】（1）若，则，则函数是单调增函数，这与题设矛盾所以，令，则当时，是单调减函数；时，是单调增函数；于是当时，取得极小值 因为函数的图象与轴交于两点，(x1x2)，所以，即.此时，存在；存在，又由在及上的单调性及曲线在R上不间断，可知为所求取值范围. 5分 （2）因为 两式相减得 记，则，设，则，所以是单调减函数，则有，而，所以9分 （3）依题意有，则于是，在等腰三角形ABC中，显然C = 90，记C点坐标为所以，即，由直角三角形斜边的中线性质，可知，所以，即，所以，即 因为，则，又，所以， 即，所以 13分