湖北省襄阳市高三第一次调研考试（数学理）.doc

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1、2015年湖北省襄阳市高三第一次调研考试数学理【试卷综析】本试卷是高三理科试卷，以基础知识为载体，以基本能力测试为主导，重视学生科学素养的考查.知识考查注重基础、兼顾覆盖面.试题重点考查：集合、复数、导数、函数模型、函数的性质、命题，数列等；考查学生解决实际问题的综合能力，是份比较好的试卷一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。）【题文】1设全集U=R，M=x|x2，N=x|x1或x3都是U的子集，则图中阴影部分所表示的集合是Ax|-2x1 Bx|-2x2 Cx|1x2） Dx|x0，b0），若以C1的长轴为直径的圆与C2的一条渐

2、近线交于A、B两点，且C1与该渐近线的两交点将线段AB三等分，则C2的离心率为 A B5 C D【知识点】单元综合H10【答案】A【解析】双曲线C2：-=1（a0，b0）的一条渐近线方程为y=x，以C1的长轴为直径的圆的方程为x2+y2=11，联立渐近线方程和圆的方程，可得交点A（，），B（-，-），联立渐近线方程和椭圆C1：+y2=1，可得交点C（，），D（-，），由于C1与该渐近线的两交点将线段AB三等分，则|AB|=3|CD|，即有=，化简可得，b=2a，则c=a，则离心率为e=【思路点拨】求出一条渐近线方程，联立直线方程和圆的方程、椭圆方程，求得交点，再由两点的距离公式，将|AB|=3

3、|CD|，化简整理，即可得到b=2a，再由a，b，c的关系和离心率公式，即可得到结论【题文】1O若a、b是方程x+lgx=4，x+10x=4的解，函数f（x）= ，则关于x的方程，f（x）=x的解的个数是A1 B2 C3 D4【知识点】函数与方程B9【答案】C【解析】a满足x+lgx=4，b满足x+10x=4，a，b分别为函数y=4-x与函数y=lgx，y=10x图象交点的横坐标由于y=x与y=4-x图象交点的横坐标为2，函数y=lgx，y=10x的图象关于y=x对称a+b=4函数f（x）=当x0时，关于x的方程f（x）=x，即x2+4x+2=x，即x2+3x+2=0，x=-2或x=-1，满足

4、题意当x0时，关于x的方程f（x）=x，即x=2，满足题意关于x的方程f（x）=x的解的个数是3【思路点拨】先根据a满足x+lgx=4，b满足x+10x=4，可得a+b=4，进而可分类求出关于x的方程f（x）=x的解，从而确定关于x的方程f（x）=x的解的个数二填空题（本大题共6小题，考生共需作答5小题，每小题5分，共25分。请将答案填在答题卡对应题号的位置上。答错位置，书写不清，模棱两可均不得分。）（一）必考题（11-14题）【题文】11已知幂函数y=f（x）图象过点（2，），则，f（9）= 【知识点】幂函数与函数的图像B8【答案】3【解析】由题意令y=f（x）=xa，由于图象过点（2，），

5、得 =2a，a=y=f（x）=f（9）=3【思路点拨】先由幂函数的定义用待定系数法设出其解析式，代入点的坐标，求出幂函数的解析式，再求f（9）的值【题文】12已知=1+，则tan2= 【知识点】同角三角函数的基本关系式与诱导公式C2【答案】1【解析】=1+，即有=-1，即为tan=-1则tan2=1【思路点拨】运用同角的商数关系以及二倍角的正切公式，计算即可得到所求值【题文】13已知x-1，y0且满足x+2y=1，则+的最小值为 【知识点】基本不等式E6【答案】【解析】x-1，y0且满足x+2y=1，x+10，且（x+1）+2y=2，=+=当且仅当时取等号，故的最小值为【思路点拨】由题意可得x

6、+10，且（x+1）+2y=2，可得=+，由基本不等式可得【题文】14若函数y=f（x）在定义域内给定区间a，b上存在xo（axoa1）上的“平均值函数”，xo是它的一个均值点，则xo与的大小关系是 【知识点】单元综合B14【答案】(1) (0，2) (2)【解析】(1)函数f（x）=-x2+mx+1是区间-1，1上的平均值函数，关于x的方程-x2+mx+1=在（-1，1）内有实数根由-x2+mx+1=x2-mx+m-1=0，解得x=m-1，x=1又1（-1，1）x=m-1必为均值点，即-1m-110m2所求实数m的取值范围是0m2（2）解：由题知lnx0=猜想：lnx0，证明如下：，令t=1

7、，原式等价于t+lnt2t-2lnt-令h（t）=2lnt-t+，则h（t）=，h（t）=2lnt-t+h（1）=0，得证lnx0【思路点拨】（1）函数f（x）=x2-mx-1是区间-1，1上的平均值函数，故有x2-mx-1=在（-1，1）内有实数根，求出方程的根，让其在（-1，1）内，即可求出实数m的取值范围（2）（2）猜想判断，换元转化为h（t）=2lnt-t+，利用导数证明，求解出最值得出）=2lnt-t+ h（1）=0，（二）选考题（请考生在第15、16两题中任选一题作答，请先在答题卡指定位置将你所选的题目序号后的方框用2B铅笔涂黑如果全选，则按第15题作答结果计分。）【题文】15（选

8、修4-1：几何证明选讲）如图，圆O的直径AB与弦CD交于点P，CP=，PD=5，AP=1，则DCB= 【知识点】选修4-1 几何证明选讲N1【答案】45【解析】由相交弦定理可得：CPPD=APPB，PB=5=7直径2R=AP+PB=1+7=8，半径R=4OP=OA-AP=4-1=3连接DO，在ODP中，OP2+OD2=32+42=52=PD2，POD=90连接BD，由等腰直角DOB可得：DB=R由正弦定理可得：=2R，sinDCB= ，由图可知：DCB为锐角，DCB=45【思路点拨】利用相交弦定理可得：CPPD=APPB，可得PB=7由直径2R=AP+PB=1+7=8，可求得半径R=4，OP=

9、OA-AP=4-1=3连接DO，在ODP中，OP2+OD2=32+42=52=PD2，利用勾股定理的逆定理可得POD=90连接BD，由等腰直角DOB可得DB=R利用正弦定理可得：=2R，由图可知：DCB为锐角，即可求出【题文】16（选修4-4：坐标系与参数方程）在直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为（t为参数）；以原点O为极点，以x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为，则直线l和曲线C的公共点有 【知识点】选修4-4 参数与参数方程N3【答案】1【解析】由直线l的参数方程（t为参数），消去参数t可得：直线的普通方程为x-y+4=0由曲线C的极坐标方程为，化为2=4(sin+co

10、s)，x2+y2=4x+4y，配方为（x-2）2+（y-2）2=8，圆心为C（2，2），半径r=2圆心C到直线的距离为d=2=r，直线l和曲线C相切，公共点只有1个【思路点拨】把参数方程极坐标方程分别化为普通方程，再利用点到直线的距离公式得出圆心到直线的距离与半径的关系即可得出三解答题（本大题共6小题，满分75分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。）【题文】17（本大题满分l2分）定义在区间-，上的函数y=f（x）的图象关于直线x=对称，当x-，时函数f（x）=Asin（）（AO，0，Om成立，求实数m的取值范围【知识点】导数的应用B12【答案】(1) f (x)的单调递增区间为(0，+

11、)；单调递减区间为(，0) （2）m0【解析】(1)解：，a = 1令得：x 0；令得：x 0 f (x)的单调递增区间为(0，+)；单调递减区间为(，0) (2)解：当x1 x2时，有：令，则F(x)在R上单调递增，即在R上恒成立而(当且仅当x = 0时取“=”)m0【思路点拨】求出导数确定单调性，根据单调性求出 最值求出m的范围。【题文】20（本大题满分12分）在三棱锥P-ABC中，PA底面ABC，AD平面PBC，其垂足D落在直线PB上，（1）求证：BCPB；（2）若AD=，AB=BC=2，Q为AC的中点，求二面角Q-PB-C的余弦值【知识点】单元综合G12【答案】(1)略（2）【解析】(

12、1)证：PA平面ABC，BC在平面ABC内，PABC又AD平面PBC，BC在平面ABC内，ADBCPA、AD在平面PAB内且相交于A，BC平面PAB而PB在平面PAB内，BCPB(2)解：由(1)知BC平面PAB，AB在平面PAB内，BCABAD平面PBC，其垂足D落在直线PB上，ADPB设PA = x，则BxPACDQzy以为x轴、z轴建立空间直角坐标系，则B(2，0，0)，Q(1，1，0)，P(0，0，)，C(2，2，0)设平面PBQ的法向量为n = (x，y，z)，则在RtABD中，AB = 2，则BD = 1 由已知是平面PBC的法向量二面角QPBC的余弦值为 【思路点拨】根据线面垂直

13、证明线线垂直，建立空间坐标系求出法向量在求出余弦值。【题文】21（本大题满分13分） 已知曲线x2=-y+8与x轴交于A、B两点，动点P与A、B连线的斜率之积为-（1）求动点P的轨迹C的方程；（2）MN是动点P的轨迹C的一条弦，且直线OM、ON的斜率之积为-求OMON的最大值；求OMN的面积【知识点】椭圆及其几何性质H5【答案】(1) （2）【解析】(1)解：在方程中令y = 0得：A(，0)，B(，0)设P(x，y)，则整理得：动点P的轨迹C的方程为(2)解：设直线MN的方程为：y = kx + m，M(x1，y1)，N(x2，y2)由 得： ，即 当直线MN的斜率不存在时，设M(x1，y1

14、)，则N(x1，y1)则又， 的最大值为2当直线MN的斜率不存在时， OMN的面积为 【思路点拨】利用动点P与A、B连线的斜率之积为-求出方程，由 得：根据根与系数的关系求出面积。【题文】22（本大题满分14分）已知函数f（x）=ln（x+1），g（x）=x2+bx+1（b为常数），h（x）=f（x）-g（x）（1）若存在过腰点的直线与函数f（x）、g（x）的图象相切，求实数b的值；（2）当b=-2时，、x20，1使得h（x1）-h（x2）M成立，求M的最大值；（3）若函数h（x）的图象与x轴有两个不同的交点A（x1，0）、B（x2，0），且0x1x2，求证：h（）0【知识点】导数的应用B12

15、【答案】(1) b =1或b = 3（2）1 + ln2（3）略【解析】(1)解：， f (x)在点(0，f (0)处的切线方程为y = x由得： y = x与函数g (x)的图象相切，b =1或b = 3(2)解：当b =2时，当x0，1时，h (x)在0，1上单调递增$x1、x20，1使得h (x1)h (x2)M成立M的最大值是1 + ln2(3)证：因为h (x)的图象与x轴交于两个不同的点A (x1，0)、B(x2，0)所以方程的两个根为x1、x2，故两式相减得：要证：，即也就是令，则在(0，1)上恒成立又0 t 1， 因此u (t)在(0，1)上是增函数，则u (t) u (1) = 0，即故，即成立【思路点拨】根据导数的几何意义求出方程，根据单调性求出最大值再证明结果。