数学建模A题论文葡萄酒评价的数学模型.doc

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1、2012高教社杯全国大学生数学建模竞赛承 诺 书我们仔细阅读了中国大学生数学建模竞赛的竞赛规则.我们完全明白，在竞赛开始后参赛队员不能以任何方式（包括电话、电子邮件、网上咨询等）与队外的任何人（包括指导教师）研究、讨论与赛题有关的问题。我们知道，抄袭别人的成果是违反竞赛规则的, 如果引用别人的成果或其他公开的资料（包括网上查到的资料），必须按照规定的参考文献的表述方式在正文引用处和参考文献中明确列出。我们郑重承诺，严格遵守竞赛规则，以保证竞赛的公正、公平性。如有违反竞赛规则的行为，我们将受到严肃处理。我们参赛选择的题号是（从A/B/C/D中选择一项填写）： A 我们的参赛报名号为（如果赛区设置

2、报名号的话）： 所属学校（请填写完整的全名）： 西安石油大学 参赛队员 (打印并签名) ：1. 2. 3. 指导教师或指导教师组负责人 (打印并签名)： 日期： 2012 年 9 月 10日赛区评阅编号（由赛区组委会评阅前进行编号）：2008高教社杯全国大学生数学建模竞赛编 号 专 用 页赛区评阅编号（由赛区组委会评阅前进行编号）：赛区评阅记录（可供赛区评阅时使用）：评阅人评分备注全国统一编号（由赛区组委会送交全国前编号）：全国评阅编号（由全国组委会评阅前进行编号）：葡萄酒评价的数学模型摘要葡萄酒作为一种养生保健的酒众所周知，而如何确定葡萄酒质量时一般是通过聘请有资质的评酒员进行品评，然后得到

3、葡萄酒的分类指标分值，进而得到总分。酿酒葡萄的好坏与所酿葡萄酒的质量有直接的关系，葡萄酒和酿酒葡萄检测的理化指标会在一定程度上反应葡萄酒和葡萄的质量。本文主要解决以下几个问题：对于问题1，采用软件SPSS18.0的一般线性模型的重复度量分析，可以得出显著性概率，通过比较得到红葡萄酒和白葡萄酒表中的显著性概率都比0.05小。我们得出两组数据具有显著性差异。再通过两组数据各自的置信区间差来比较可信度，发现第二组结果更可信。对于问题2，采用客观赋值法中的主成分分析方法，对酿酒葡萄的理化指标进行分析。借助SPSS18.0统计软件对指标进行标准化从而消除量纲的影响，确定主成分的个数及其表达式，然后加权计

4、算总分，最后得出综合主成分值并对其排名。对酿酒葡萄分为三级。对于问题3，对酿酒葡萄与葡萄酒的理化指标进行拟合，并通过散点图判断，借助Excel的线性拟合工具来对数据进行一元线性回归分析，再采用主成分分析法，得到酿酒葡萄和葡萄的理化指标的主成分的相关系数。即可说明这两个指标之间具有很强的正相关关系或负相关关系。对于问题4，利用SPSS18.0软件中的相关分析，给出酿酒葡萄和葡萄酒的理化指标对葡萄酒质量有着直接的影响，且可以用他们的理化指标累评价葡萄酒的质量。关键词： 感官评价；显著性差异；理化指标； 主成分分析 一、问题重述目前，葡萄酒因其特殊的营养价值和较好的保健效果，越来越受到广大消费者的欢

5、迎。但与一些先进国家相比, 我国葡萄酒的总体质量还比较差, 许多方面的研究仍是空白。在此形势下，葡萄酒认证和质量评价得到关注。质量评价是认证葡萄酒中的重要阶段，葡萄酒的质量分类既考虑理化性质分析(酒精度，柠檬酸和PH值等指标)，又要考虑品酒师的感官评价，使得问题变得比较复杂。现在给出了某一年份两组评酒员分别对一些红葡萄酒和白葡萄酒的评价结果，以及葡萄酒和酿酒葡萄的理化指标，还给出各样本中葡萄酒和酿酒葡萄的芳香物质的成分及含量。本文主要解决以下问题：1. 通过两组评酒员分别对红、白葡萄酒的打分，判定两组之间有无显著性差异，并确定哪个组的结果更有说服力、更可信；2.根据酿酒葡萄的理化指标和葡萄酒的

6、质量，找出主要的影响因子，将这些酿酒葡萄进行分类，选出不同的等级；3. 分析酿酒葡萄和葡萄酒的理化指标，找出主成分，确定葡萄和葡萄酒之间的联系；4.根据酿酒葡萄和葡萄酒的理化指标，建立模型，分析理化指标对葡萄酒质量的影响，并论证能否用理化指标来来评价葡萄酒的质量。二、模型假设针对四个问题，建立如下合理的假设：1. 假设每组中10个评酒员是相互独立的，他们之间不相互制约，评酒员之间没有影响；2. 假设每个小组内的10个评酒员评酒技术差不多；3. 假设每组酿酒葡萄样本之间没有相互影响；4. 假设每组酿酒葡萄样本与葡萄酒是一一对应的；5. 假设只考虑一级指标的影响，而不考虑二级指标的影响；6. 假设

7、对酿酒葡萄进行分级时，只考虑葡萄的理化指标，而不考虑葡萄酒的理化指标；7.假设葡萄的理化指标和葡萄酒的理化指标呈线性关系；8.同时假设葡萄酒的质量与葡萄的级别只和理化指标有关，而与葡萄的产地等外界因素和葡萄酒的加工无关。三、符号说明符号说明time葡萄酒样品编号group两组各品酒员对分类指标打分的总和Sig显著性概率Cj酿酒葡萄的理化指标主成分的特征值Bij酿酒葡萄的理化指标主成分的成分矩阵Aij酿酒葡萄的8个主成分中30个指标所对应的特征向量Fi酿酒葡萄的理化指标主成分的表达式i酿酒葡萄的理化指标主成分的个数j酿酒葡萄的理化指标主成分的特征值的个数方差贡献率是原始变量经过标准化处理的值四、

8、问题分析4.1 问题一的分析为了分析两组评酒员的评价结果有无显著性差异，现通过F检验，利用方差分析对数据进行定性分析。我们用第一组和第二组分别对每个样品重复十次，将两个小组作为组间因素变量。为此采用统计分析软件SPSS18.0的一般线性模型的重复度量分析，从表中得出显著性概率，通过比较得到红葡萄酒和白葡萄酒表中的显著性概率都比0.05小。我们得出两组数据具有显著性差异。为了比较哪组结果更可信，我们需要知道两组间各单元原始数据的95%的置信区间。通过两组数据各自的置信区间差来比较可信度，采用SPSS18.0的一般线性模型的重复度量分析，发现第二组红葡萄酒和白葡萄酒表中的置信区间都比较小，则说明第

9、二组数据更可信。4.2问题二的分析 在附表二中给出了大量关于理化指标的数据，而这些众多的理化指标又具有一定的相关性，如果直接应用这些数据，就增加了问题分析的复杂性，我们通过降维来简化数据结构，重新组合成一组新的相互无关的综合指标来代替原来的指标。因此我们采用客观赋值法中的主成分分析方法，对理化指标进行分析。通过SPSS18.0统计软件对相关原始数据消除量纲的影响，再将数据标准化处理，确定主成分的个数及其表达式，根据指标体系采集原始数据，通过原始数据计算指标权重，然后加权计算总分，最后得出综合主成分值并对其排名。对酿酒葡萄分为一、二、三等级。4.3 问题三的分析 根据附表给出的数据，我们需要对成

10、对数据进行拟合，涉及到的任务有线性描述，趋势预测和残差分析等等，并通过散点图判断，我们发现数据具有线性分布特征，则可以用Excel的线性拟合工具来对数据进行一元线性回归分析。为了得出酿酒葡萄的理化指标中最能影响葡萄酒理化指标的因子，我们首先采用主成分分析法，得出几组比较重要的酿酒葡萄的理化指标。再对这些因子进行标准化处理，以消除量纲的影响，最后利用Excel2000进行一元线性回归分析，来探讨酿酒葡萄与葡萄酒的理化指标之间的联系。4.4 问题四的分析根据第3问葡萄酒和酿酒葡萄的理化指标有必然联系。设葡萄的一级理化指标为X1.X2.X30,葡萄酒的一级理化指标为Y1.Y2.Y9.由第3问葡萄酒和

11、酿酒葡萄之间必然存在关于系数M和N的表达M(X1,X1.X30)=N(Yi,Y2.Y9)的关系式。葡萄酒的理化指标相对葡萄的理化指标较少，我们就用葡萄酒的理化指标来衡量葡萄酒的质量。五、模型的建立与求解5.1问题一的求解5.1.1问题一中第1问的建立与求解 当考虑两个小组中各个评酒员对酒的评价，并分析两组评酒员的评价结果有无显著性差异时，我们建立一般线性模型，来解决两个组在相同条件下的重复量度，将两个组作为组内因素变量，用第一组和第二组分别对每个样品重复十次，来进行重复分析。在重复测量的方差分析中，总偏差平方和被分解为处理间的偏差平方和、两个小组间的偏差平方和、每次重复的偏差平方和，这些偏差平

12、方和除以各自的自由度得到相应均方，它们与误差均方之商即为f检验的f值。我们通过软件SPSS18.0的一般线性模型的重复度量分析，分别得出了红葡萄酒和白葡萄酒关于显著性概率（Sig值）的数据表格。表5.1 白葡萄酒多变量检验b效应值F假设 df误差 dfSig.groupPillai 的跟踪.0318.100a1.000252.000.005Wilks 的 Lambda.9698.100a1.000252.000.005Hotelling 的跟踪.0328.100a1.000252.000.005Roy 的最大根.0328.100a1.000252.000.005group * timePill

13、ai 的跟踪.1551.715a27.000252.000.018Wilks 的 Lambda.8451.715a27.000252.000.018Hotelling 的跟踪.1841.715a27.000252.000.018Roy 的最大根.1841.715a27.000252.000.018a. 精确统计量b. 设计 : 截距 + time 主体内设计: group表5.2 白葡萄酒两组间对比的检验度量:MEASURE_1源groupIII 型平方和df均方FSig.group线性715.5161715.5168.100.005group * time线性4089.53427151.46

14、41.715.018误差 (group)线性22261.45025288.339表5.3 红葡萄酒多变量检验b效应值F假设 df误差 dfSig.groupPillai 的跟踪.07519.738a1.000243.000.000Wilks 的 Lambda.92519.738a1.000243.000.000Hotelling 的跟踪.08119.738a1.000243.000.000Roy 的最大根.08119.7381.000243.000.000group * timePillai 的跟踪.2593.268a26.000243.000.000Wilks 的 Lambda.7413.2

15、68a26.000243.000.000Hotelling 的跟踪.3503.268a26.000243.000.000Roy 的最大根.3503.268a26.000243.000.000a. 精确统计量b. 设计 : 截距 + time 主体内设计: group表5.4 红葡萄酒两组间对比的检验度量:MEASURE_1源groupIII 型平方和df均方FSig.group线性871.4741871.47419.738.000group * time线性3751.42626144.2863.268.000误差 (group)线性10729.10024344.153表5.1、表5.3分别为两

16、个组对白葡萄酒和红葡萄酒采用四种不同的算法，但从F的显著性概率分析均小于0.05.表5.2、表5.4分别为两组对白葡萄酒和红葡萄酒均数对比方差检验结果，其中显著性概率也小于0.05。说明两组评酒员的评价结果有显著性差异。5.1.2问题一中第2问的建立与求解为了判断哪一组更可信，我们同样用软件SPSS18.0的一般线性模型的重复度量分析，用同样的方法分别得出了红葡萄酒和白葡萄酒关95%置信区间的数据表格，并得出了置信区间差。表5.5 白葡萄酒time * group度量:MEASURE_1timegroup均值标准 误差95% 置信区间置信区间差下限上限1182.0003.59474.92189

17、.07914.157 277.9002.36873.23782.5639.326 2174.2003.59467.12181.27914.157 275.8002.36871.13780.4639.326 3185.3003.59478.22192.37914.157 275.6002.36870.93780.2639.326 4179.4003.59472.32186.47914.157 276.9002.36872.23781.5639.326 5171.0003.59463.92178.07914.157 281.5002.36876.83786.1639.326 6168.4003.5

18、9461.32175.47914.157 275.5002.36870.83780.1639.326 7177.5003.59470.42184.57914.157 274.2002.36869.53778.8639.326 8171.4003.59464.32178.47914.157 272.3002.36867.63776.9639.326 9172.9003.59465.82179.97914.157 280.4002.36875.73785.0639.326 10174.3003.59467.22181.37914.157 279.8002.36875.13784.4639.326

19、11172.3003.59465.22179.37914.157 271.4002.36866.73776.0639.326 12163.3003.59456.22170.37914.157 272.4002.36867.73777.0639.326 13165.9003.59458.82172.97914.157 273.9002.36869.23778.5639.326 14172.0003.59464.92179.07914.157 277.1002.36872.43781.7639.326 15172.4003.59465.32179.47914.157 278.4002.36873.

20、73783.0639.326 16174.0003.59466.92181.07914.157 267.3002.36862.63771.9639.326 17178.8003.59471.72185.87914.157 280.3002.36875.63784.9639.326 18173.1003.59466.02180.17914.157 276.7002.36872.03781.3639.326 19172.2003.59465.12179.27914.157 276.4002.36871.73781.0639.326 20177.8003.59470.72184.87914.157

21、276.6002.36871.93781.2639.326 21176.4003.59469.32183.47914.157 279.2002.36874.53783.8639.326 22171.0003.59463.92178.07914.157 279.4002.36874.73784.0639.326 23175.9003.59468.82182.97914.157 277.4002.36872.73782.0639.326 24173.3003.59466.22180.37914.157 276.1002.36871.43780.7639.326 25177.1003.59470.0

22、2184.17914.157 279.2002.36874.53783.8639.326 26181.3003.59474.22188.37914.157 274.3002.36869.63778.9639.326 27164.8003.59457.72171.87914.157 277.0002.36872.33781.6639.326 28181.3003.59474.22188.37914.157 279.6002.36874.93784.2639.326 表5.6 红葡萄酒time * group度量:MEASURE_1timegroup均值标准 误差95% 置信区间置信区间差下限上限

23、1162.7002.42157.93167.4699.538 268.1001.83864.47971.7217.242 2180.3002.42175.53185.0699.538 274.0001.83870.37977.6217.242 3180.4002.42175.63185.1699.538 274.6001.83870.97978.2217.242 4168.6002.42163.83173.3699.538 271.2001.83867.57974.8217.242 5173.3002.42168.53178.0699.538 272.1001.83868.47975.7217

24、.242 6172.2002.42167.43176.9699.538 266.3001.83862.67969.9217.242 7171.5002.42166.73176.2699.538 265.3001.83861.67968.9217.242 8172.3002.42167.53177.0699.538 266.0001.83862.37969.6217.242 9181.5002.42176.73186.2699.538 278.2001.83874.57981.8217.242 10174.2002.42169.43178.9699.538 268.8001.83865.1797

25、2.4217.242 11170.1002.42165.33174.8699.538 261.6001.83857.97965.2217.242 12153.9002.42149.13158.6699.538 268.3001.83864.67971.9217.242 13174.6002.42169.83179.3699.538 268.8001.83865.17972.4217.242 14173.0002.42168.23177.7699.538 272.6001.83868.97976.2217.242 15158.7002.42153.93163.4699.538 265.7001.

26、83862.07969.3217.242 16174.9002.42170.13179.6699.538 269.9001.83866.27973.5217.242 17179.3002.42174.53184.0699.538 274.5001.83870.87978.1217.242 18159.9002.42155.13164.6699.538 265.4001.83861.77969.0217.242 19178.6002.42173.83183.3699.538 272.6001.83868.97976.2217.242 20178.6002.42173.83183.3699.538

27、 275.8001.83872.17979.4217.242 21177.1002.42172.33181.8699.538 272.2001.83868.57975.8217.242 22177.2002.42172.43181.9699.538 271.6001.83867.97975.2217.242 23185.6002.42180.83190.3699.538 277.1001.83873.47980.7217.242 24178.0002.42173.23182.7699.538 271.5001.83867.87975.1217.242 25169.2002.42164.4317

28、3.9699.538 268.2001.83864.57971.8217.242 26173.8002.42169.03178.5699.538 272.0001.83868.37975.6217.242 27173.0002.42168.23177.7699.538 271.5001.83867.87975.1217.242 通过表5.5、表5.6中分别对两组数进行置信区间差分析，发现对白葡萄酒和红葡萄酒都有第二组的置信区间差比较小，说明第二组的评价比较集中，所以第二组更可信。5.2问题二的求解 其中A1i ，A2i ，Ani (i=1，2，3m)为X的协方差阵的特征值对应的特征向量，ZX1

29、，ZX2， ZXn，是原始变量经过标准化处理的值，因为各理化指标量纲不同，所以在计算之前须先消除量纲的影响，再将原始数据标准化。进行主成分分析主要步骤如下：1.求出各理化指标无量纲后的相关系数矩阵R，进行指标之间的相关性判定；2.确定主成分的个数i，在这里按照特征值大于1的原则提取主成分因子，并得出i个主成分中每个指标所对应的特征向量Aij；3.对酿酒葡萄的理化指标数据进行标准化处理，以消除量纲不同的影响；4.确定主成分Fi表达式；5.计算各主成分和综合主成分值并进行评价与研究。红葡萄的分析过程如下：我们从SPPS18.0得出的相关系数矩阵分析，一些指标之间有极显著的关系，一些指标之间存在显著

30、关系，由此可见许多变量之间直接的相关性比较强。表5.7 解释的总方差 图5.1 碎石图 表5.8成分矩阵我们选择特征值大于1的前m个主成分纳入标准，通过表5.7（解释的总方差）和图5.1可知，可以提取8个主成分（即m=8），所提取的8个主成分可以基本反映全部指标的信息，所以我们可以用现在的两个新变量来代替原来的30个变量。通过表5.8（成分矩阵）中的数据除以主成分相应的特征值开平方（Aij=Bij/SQR(Cj)），便得到8个主成分中30个指标所对应的特征向量。为消除量纲不同的影响，我们对酿酒葡萄的理化指标数据进行标准化，将27个样品中的30个一级理化指标通过SPSS18.0中的描述统计中的描

31、述进行标准化，得到一个标准化矩阵。再将标准化矩阵与前面得到的特征向量相乘，就可以得出主成分表达式Fi。通过特征值Ci得出方差贡献率，以方差贡献率为权数计算主成分综合分值:根据主成分综合模型即可计算综合主成分分值，并对其按综合主成分值进行打分和排序，即可对各红葡萄样品进行综合评价比较，得出表5.9。表5.9 红葡萄综合主成分值的分数和排名白葡萄的分析过程如下：分析方法与处理红葡萄的过程相同，同样可以得出白葡萄样品按综合主成分的分数和排名，再对各白葡萄样品进行综合评价比较，得出表5.10。表5.10 白葡萄综合主成分值的分数和排名 我们对葡萄的综合得分进行区间数据统计，如下表5.11：表5.11葡

32、萄样品得分区间统计分析综合得分区间（-,-1（-1,-0.5（-0.5,0（0,0.5(0.5,1(1,+)白葡萄样品个数4441042红葡萄样品个数429606 我们再对葡萄按照3:5:2的原则分成三个等级，如下表5.12表5.12葡萄分等级后统计三等品二等品一等品综合得分区间（-,-1（-1,0.5(0.5,+)白葡萄统计个数4186红葡萄统计个数4176分析数据得：红葡萄等级一等品：样品3，样品9，样品11，样品1，样品2，样品21；二等品：样品23，样品22，样品8，样品16，样品14，样品12，样品6，样品17，样品5，样品24，样品19，样品7，样品18，样品13，样品15，样品4

33、，样品20；三等品：样品27，样品26，样品10，样品25；白葡萄等级一等品：样品27，样品24，样品5，样品28，样品3，样品7；二等品：样品6，样品20，样品15，样品18，样品25，样品10，样品26，样品9，样品23，样品12，样品14，样品2，样品4，样品21，样品11，样品22，样品13，样品19；三等品：样品1，样品17，样品8，样品6；5.3问题三的求解为了得出酿酒葡萄的理化指标中最能影响葡萄酒理化指标的因子，我们首先采用主成分分析法，方法与问题二一样，最终得出了八组比较重要的酿酒葡萄的理化指标，这八个指标分别为：氨基酸总量、VC含量、总酚、单宁、黄酮醇、总糖、固酸比、果皮色a

34、。然后对这些因子进行标准化处理，来消除量纲的影响，方法也和问题二的处理方法一样。最后利用Excel2000进行一元线性回归分析，来探讨酿酒葡萄与葡萄酒的理化指标之间的联系。对红葡萄与红葡萄酒分析的主要步骤如下：1. 录入上面分出来的八组数据，并作出散点图，见图5.2。 图5.2从图中可以发现，数据都离坐标轴很近，则可以推断数据具有线性分布特征，验证了我们可以采用线性回归分析方法。2. 对数据进行回归分析，将酿酒红葡萄的八个重要指标分别对红葡萄酒的九个一级指标一一拟合，通过Excel2000得出九组回归结果，现以其中一组数据为例来分析。先进行方差分析，通过表5.13，可以看出SS的残差比较小，则

35、说明拟合的效果比较好。Significance F对应的是在显著性水平下的F临界值，其实等于P值，在这儿得出的P值为2.29466584E-07，显然数据比较小，则表明拟合的效果比较好。表5.13方差分析dfSSMSFSignificance F回归分析817.7010272042.212628400519.4253717312.29466584E-07残差182.05027279580.11390404421总计2619.7513 再进行回归参表分析，通过表5.14，可以看出标准误差值比较小，说明参数的准确性比较高。表中Pvalue对应的是参数的P值，在这里为0.09可以认为模型在=0.1的

36、水平上显著，或者置信度达到90%。表5.14Coefficients标准误差t StatP-valueLower 95%Upper 95%Intercept-4.10492337772.292771333-1.79037626590.090228273465-8.92185719660.71201044121X Variable 11.03442002430.134478025177.69211194954.2662128866E-070.751892177791.3169478709X Variable 2-0.00661825140690.018904054388-0.3500969300

37、60.73032915531-0.0463341958560.033097693042X Variable 3-0.453459148230.26608610474-1.70418199280.105547845-1.01248530940.10556701292X Variable 40.36763705530.255853097931.43690679640.16789980873-0.169890356350.90516446694X Variable 50.0575246185910.0644160799330.893016443270.38363247047-0.0778085432

38、690.19285778045X Variable 60.487159872340.672881209630.723990899690.47837621227-0.926511089151.9008308338X Variable 70.0728278299240.407637151540.178658470280.86020136236-0.783586044790.92924170464X Variable 83.54689832141.95631569211.81305007970.086535295375-0.563168427187.6569650699最后进行残差输出结果分析，见图

39、5.3，图中残差点列的分布没有趋势（没有规则，即越是随机），说明回归的结果就比较可靠。图5.3综合上面对回归结果的分析，我们可以判定酿酒红葡萄的指标一对红葡萄酒的九个指标拟合得比较好。用同样的方法可以分析出，其他七个指标对红葡萄酒的九个一级指标都拟合的比较好。说明酿酒红葡萄的八个主要指标分别与红葡萄酒的九个一级指标之间存在线性关系。对白葡萄与白葡萄酒的分析方法与上面一样。白葡萄的八个主要理化指标与红葡萄的八个主要理化指标相同，八个白葡萄的主要指标分别对白葡萄酒的九个一级指标都拟合的较好。说明酿酒白葡萄的八个主要指标分别与白葡萄酒的九个一级指标之间存在线性关系。参考图5.4。图5.45.4问题四的求解利用SPSS18.0软件中的相关分析，从表5.15得出葡萄酒的