中考数学高分冲刺之二次函数.doc

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1、中考数学专题复习之二次函数一、二次函数的图像和性质1、二次函数的三种形式: 一般式: 顶点式:;交点式:.2、一般地,抛物线与的形状相同,位置不同.把抛物线向上(下)向左(右)平移,可得到抛物线.平移的方向、距离要根据,的值来决定. 抛物线有如下特点: (1)当时,开口向上,函数有最小值;当时,开口向下,函数有最大值; (2)对称轴是; (3)顶点是.3、二次函数的图像是抛物线.顶点是：，对称轴是：.开口方向：时，开口向上；时，开口向下.增减性：当，在时，随的增大而减小，在时,随的增大而增大；当时，在时，随的增大而增大，在时,随的增大而减小.最值:当时，函数有最小值,且当时，有最小值是；时，函

2、数有最大值,且当时，有最大值是.开口大小:越大抛物线的开口越小,反之越大.4、我们可以利用根的判别式来判断函数与轴交点的个数 (1)当时,抛物线与轴有两个交点; (2)当时,抛物线与轴有一个交点; (3)当时,抛物线与轴无交点.5、抛物线与轴的交点是.二、快速练习1、 (2009年四川省内江市)抛物线的顶点坐标是（ ）A（2，3） B（2，3） C（2，3） D（2，3）2、（2009年广州市）二次函数的最小值是（ ） A.2 （B）1 （C）-1 （D）-2 第3题3、（2009年深圳市）二次函数的图象如图所示，若点A（1，y1）、B（2，y2）是它图象上的两点，则y1与y2的大小关系是（）

3、ABCD不能确定4、抛物线向左平移5个单位,再向下移动2个单位得到抛物线 5、（2009湖北省荆门市）函数取得最大值时，_6、（2009年淄博市） 请写出符合以下三个条件的一个函数的解析式 过点； 当时，y随x的增大而减小；当自变量的值为2时，函数值小于27、 求函数的最小值及图象的对称轴和顶点坐标。三、 重点突破1、（2009湖北省荆门市）函数与的图象可能是（ ）A B C D2、（2009年济宁市）小强从如图所示的二次函数的图象中，观察得出了下面五条信息：（1）；（2） ；（3）；（4） ； （5）. 你认为其中正确信息的个数有A2个 B3个 C4个 D5个3、(2009年南充)抛物线的对

4、称轴是直线（ ）ABCD 4.已知抛物线y=-x2+mx+n的顶点坐标是（-1，- 3 )，则m和n的值分别是（ ） A.2,4 B.-2,-4 C.2,-4 D.-2,05二次函数y = ax2+bx+c的图像如图所示，则点（）在直角坐标系中的 A第一象限 B第二象限 C第三象限 D第四象限6、抛物线y=x2-(m+2)x+3(m-1)与x轴的交点有( ) A.一定有两个交点 B只有一个交点 C有两个或一个交点 D没有交点7、已知抛物线过点，且对称轴是直线（1）求该二次函数的解析式；（2）将该二次函数图象向右平移几个单位，可使平移后所得图象经过坐标原点？并直接写出平移后所得图象与轴的另一个交

5、点的坐标8、抛物线与轴相交于、两点（点在点的左侧），与轴相交于点，顶点为.直接写出、三点的坐标和抛物线的对称轴.ABPxyO（第10题）C（5,4）10、如图，抛物线与轴相交于点A、B，且过点（1）求的值和该抛物线顶点P的坐标；（2）请你设计一种平移的方法，使平移后抛物线的顶点落在第二象限，并写出平移后抛物线的解析式四、拔高训练1、（2009年娄底）如图7，O的半径为2，C1是函数y=x2的图象，C2是函数y=-x2的图象，则阴影部分的面积是 .2、 (2009年鄂州)把抛物线yax+bx+c的图象先向右平移3个单位，再向下平移2个单位，所得的图象的解析式是yx3x+5，则a+b+c=_3、（

6、2009年烟台市）二次函数的图象如图所示，则一次函数与反比例函数在同一坐标系内的图象大致为（ ）1OxyyxOyxOBCyxOAyxOD4、（2009年江苏省）如图，已知二次函数的图象的顶点为二次函数的图象与轴交于原点及另一点，它的顶点在函数的图象的对称轴上（1）求点与点的坐标；（2）当四边形为菱形时，求函数的关系式 5、（2009年浙江省绍兴市）定义一种变换：平移抛物线得到抛物线，使经过的顶点设的对称轴分别交于点，点是点关于直线的对称点（1）如图1，若：，经过变换后，得到：，点的坐标为，则的值等于_；四边形为（ ）A平行四边形 B矩形 C菱形 D正方形（2）如图2，若：，经过变换后，点的坐标

7、为，求的面积；（3）如图3，若：，经过变换后，点是直线上的动点，求点到点的距离和到直线的距离之和的最小值五、即学即练1、（2009年遂宁）把二次函数用配方法化成的形式 A. B. C. D. 2、(2009年上海市)抛物线（是常数）的顶点坐标是（ ）ABCD3、（2009威海）二次函数的图象的顶点坐标是（）ABCD4(2007广州)抛物线与x轴交点的个数是（ ）（A）0 （B）1 （C）2 （D）35、（2009年嘉兴市）已知，在同一直角坐标系中，函数与的图象有可能是（ ）ABCD6.抛物线y=-2x+x27的开口向 ，对称轴是 ，顶点是 , 所在象限是 .7.若二次函数y=mx2-3x+2m

8、-m2的图像过原点，则m的值是 .8.如果把抛物线y=2x2-1向左平移l个单位，同时向上平移4个单位，那么得到的新的抛物线是 .9（2007广州）COABxy9题如图6，一个二次函数的图象经过点A、C、B三点，点A的坐标为（），点B的坐标为（），点C在y轴的正半轴上，且AB=OC（1）求点C的坐标；（2）求这个二次函数的解析式，并求出该函数的最大值10、（2009年贵州省黔东南州）已知二次函数。（1）求证：不论a为何实数，此函数图象与x轴总有两个交点。（2）设a0则与x轴有两个交点，可由方程x2bxc=0求出若=0则与x轴有一个交点，可由方程x2bxc=0求出若0则与x轴有无交点。确定图象与

9、y轴的交点情况,令x=0得出y=c，所以交点坐标为（0，c）由以上各要素出草图。练习：作出以下二次函数的草图：（1） (2) (3) 例2 某种产品的成本是120元/件，试销阶段每件产品的售价x（元）与产品的日销售量y（件）之间关系如下表所示：若日销售量y是销售价x的一次函数，那么，要使每天所获得最大的利润，每件产品的销售价应定为多少元？此时每天的销售利润是多少？分析：由于每天的利润日销售量y(销售价x120)，日销售量y又是销售价x的一次函数，所以，欲求每天所获得的利润最大值，首先需要求出每天的利润与销售价x之间的函数关系，然后，再由它们之间的函数关系求出每天利润的最大值。解：由于y是x的一

10、次函数，于是，设ykxb，将x130，y70；x150，y50代入方程，有 解得。 yx200。设每天的利润为z（元），则z(x+200)(x120)x2320x24000 (x160)21600，当x160时，z取最大值1600。答：当售价为160元/件时，每天的利润最大，为1600元。例3 把二次函数yx2bxc的图像向上平移2个单位，再向左平移4个单位，得到函数yx2的图像，求b，c的值。解法一：yx2bxc(x+)2，把它的图像向上平移2个单位，再向左平移4个单位，得到的图像，也就是函数yx2的图像，所以， 解得b8，c14。解法二：把二次函数yx2bxc的图像向上平移2个单位，再向左

11、平移4个单位，得到函数yx2的图像，等价于把二次函数yx2的图像向下平移2个单位，再向右平移4个单位，得到函数yx2bxc的图像。由于把二次函数yx2的图像向下平移2个单位，再向右平移4个单位，得到函数y(x4)22的图像，即为yx28x14的图像，函数yx28x14与函数yx2bxc表示同一个函数，b8，c14。说明：本例的两种解法都是利用二次函数图像的平移规律来解决问题，所以，同学们要牢固掌握二次函数图像的变换规律。这两种解法反映了两种不同的思维方法：解法一，是直接利用条件进行正向的思维来解决的，其运算量相对较大；而解法二，则是利用逆向思维，将原来的问题等价转化成与之等价的问题来解，具有计

12、算量小的优点。今后，我们在解题时，可以根据题目的具体情况，选择恰当的方法来解决问题。例4 已知函数yx2，2xa，其中a2，求该函数的最大值与最小值，并求出函数取最大值和最小值时所对应的自变量x的值。 分析：本例中函数自变量的范围是一个变化的范围，需要对a的取值进行讨论。解：（1）当a2时，函数yx2的图象仅仅对应着一个点(2，4)，所以，函数的最大值和最小值都是4，此时x2；（2）当2a0时，由图226可知，当x2时，函数取最大值y4；当xa时，函数取最小值ya2；（3）当0a2时，由图226可知，当x2时，函数取最大值y4；当x0时，函数取最小值y0；（4）当a2时，由图226可知，当xa

13、时，函数取最大值ya2；当x0时，函数取最小值y0。xyO2axyO2aa24图2.26xyOa224a22xyOaa24说明：在本例中，利用了分类讨论的方法，对a的所有可能情形进行讨论。此外，本例中所研究的二次函数的自变量的取值不是取任意的实数，而是取部分实数来研究，在解决这一类问题时，通常需要借助于函数图象来直观地解决问题。练习 1选择题：（1）下列函数图象中，顶点不在坐标轴上的是（ ）（A）y2x2 （B）y2x24x2 （C）y2x21 （D）y2x24x （2）函数y2(x1)22是将函数y2x2（ ） （A）向左平移1个单位、再向上平移2个单位得到的（B）向右平移2个单位、再向上平

14、移1个单位得到的（C）向下平移2个单位、再向右平移1个单位得到的（D）向上平移2个单位、再向右平移1个单位得到的2填空题（1）二次函数y2x2mxn图象的顶点坐标为(1，2)，则m ，n 。（2）已知二次函数yx2+(m2)x2m，当m 时，函数图象的顶点在y轴上；当m 时，函数图象的顶点在x轴上；当m 时，函数图象经过原点。（3）函数y3(x2)25的图象的开口向 ，对称轴为 ，顶点坐标为 ；当x 时，函数取最 值y ；当x 时，y随着x的增大而减小。3求下列抛物线的开口方向、对称轴、顶点坐标、最大（小）值及y随x的变化情况，并画出其图象。（1）yx22x3； （2）y16 xx2。4已知函

15、数yx22x3，当自变量x在下列取值范围内时，分别求函数的最大值或最小值，并求当函数取最大（小）值时所对应的自变量x的值：；。2.2 二次函数的三种表示方式通过上一小节的学习，我们知道，二次函数可以表示成以下两种形式：1一般式：yax2bxc(a0)；2顶点式：ya(xh)2k (a0)，其中顶点坐标是(h，k)。除了上述两种表示方法外，它还可以用另一种形式来表示。为了研究另一种表示方式，我们先来研究二次函数yax2bxc(a0)的图象与x轴交点个数。当抛物线yax2bxc(a0)与x轴相交时，其函数值为零，于是有ax2bxc0。 ，并且方程的解就是抛物线yax2bxc(a0)与x轴交点的横坐

16、标（纵坐标为零），于是，不难发现，抛物线yax2bxc(a0)与x轴交点个数与方程的解的个数有关，而方程的解的个数又与方程的根的判别式b24ac有关，由此可知，抛物线yax2bxc(a0)与x轴交点个数与根的判别式b24ac存在下列关系：（1）当0时，抛物线yax2bxc(a0)与x轴有两个交点；反过来，若抛物线yax2bxc(a0)与x轴有两个交点，则0也成立。（2）当0时，抛物线yax2bxc(a0)与x轴有一个交点（抛物线的顶点）；反过来，若抛物线yax2bxc(a0)与x轴有一个交点，则0也成立。（3）当0时，抛物线yax2bxc(a0)与x轴没有交点；反过来，若抛物线yax2bxc(

17、a0)与x轴没有交点，则0也成立。于是，若抛物线yax2bxc(a0)与x轴有两个交点A(x1，0)，B(x2，0)，则x1，x2是方程ax2bxc0的两根，所以x1x2，x1x2，即(x1x2)， x1x2。所以，yax2bxca()= ax2(x1x2)xx1x2a(xx1)(xx2)。 由上面的推导过程可以得到下面结论：若抛物线yax2bxc(a0)与x轴交于A(x1，0)，B(x2，0)两点，则其函数关系式可以表示为ya(xx1)(xx2)(a0)。这样，也就得到了表示二次函数的第三种方法：3交点式：ya(xx1)(xx2)(a0)，其中x1，x2是二次函数图象与x轴交点的横坐标。今后

18、，在求二次函数的表达式时，我们可以根据题目所提供的条件，选用一般式、顶点式、交点式这三种表达形式中的某一形式来解题。例1 已知某二次函数的最大值为2，图像的顶点在直线yx1上，并且图象经过点（3，1），求二次函数的解析式。分析：在解本例时，要充分利用题目中所给出的条件最大值、顶点位置，从而可以将二次函数设成顶点式，再由函数图象过定点来求解出系数a。解：二次函数的最大值为2，而最大值一定是其顶点的纵坐标，顶点的纵坐标为2。又顶点在直线yx1上，所以，2x1，x1。顶点坐标是（1，2）。设该二次函数的解析式为，二次函数的图像经过点（3，1），解得a2。二次函数解析式为，即y2x28x7。说明：在解

19、题时，由最大值确定出顶点的纵坐标，再利用顶点的位置求出顶点坐标，然后设出二次函数的顶点式，最终解决了问题。因此，在解题时，要充分挖掘题目所给的条件，并巧妙地利用条件简捷地解决问题。例2 已知二次函数的图象过点(3，0)，(1，0)，且顶点到x轴的距离等于2，求此二次函数的表达式。分析一：由于题目所给的条件中，二次函数的图象所过的两点实际上就是二次函数的图象与x轴的交点坐标，于是可以将函数的表达式设成交点式。解法一：二次函数的图象过点(3，0)，(1，0)，可设二次函数为ya(x3)(x1)(a0)，展开，得：yax22ax3a， 顶点的纵坐标为 ，由于二次函数图象的顶点到x轴的距离2，|4a|

20、2，即a。所以，二次函数的表达式为y，或y。分析二：由于二次函数的图象过点(3，0)，(1，0)，所以，对称轴为直线x1，又由顶点到x轴的距离为2，可知顶点的纵坐标为2，或2，于是，又可以将二次函数的表达式设成顶点式来解，然后再利用图象过点(3，0)，或(1，0)，就可以求得函数的表达式。解法二：二次函数的图象过点(3，0)，(1，0)，对称轴为直线x1。又顶点到x轴的距离为2，顶点的纵坐标为2，或2。于是可设二次函数为ya(x1)22，或ya(x1)22，由于函数图象过点(1，0)，0a(11)22，或0a(11)22。a，或a。所以，所求的二次函数为y(x1)22，或y(x1)22。说明：

21、上述两种解法分别从与x轴的交点坐标及顶点的坐标这两个不同角度，利用交点式和顶点式来解题，在今后的解题过程中，要善于利用条件，选择恰当的方法来解决问题。例3已知二次函数的图象过点(1，22)，(0，8)，(2，8)，求此二次函数的表达式。解：设二次函数为。由函数图象过点(1，22)，(0，8)，(2，8)，可得，解得故所求二次函数为y2x212x8。通过上面的几道例题，同学们能否归纳出：在什么情况下，分别利用函数的一般式、顶点式、交点式来求二次函数的表达式？练习1.选择题:（1）函数yx2x1图象与x轴的交点个数是（ ）（A）0个 （B）1个 （C）2个 （D）无法确定（2）函数y(x1)22的

22、顶点坐标是（ ）（A）(1，2) （B）(1，2) （C）(1，2) （D）(1，2)2.填空：（1）已知二次函数的图象经过与x轴交于点(1，0)和(2，0)，则该二次函数的解析式可设为ya (a0) 。（2）二次函数yx2+2x1的函数图象与x轴两交点之间的距离为 。3.据下列条件，求二次函数解析式。（1）图象经过点(1，2)，(0，3)，(1，6)；（2）当x3时，函数有最小值5，且经过点(1，11)；（3）函数图象与x轴交于两点(1，0)和(1，0)，并与y轴交于(0，2)。2.3 二次函数的简单应用一、函数图象的平移变换与对称变换1平移变换问题1 在把二次函数的图象进行平移时，有什么特

23、点？依据这一特点，可以怎样来研究二次函数的图象平移？我们不难发现：在对二次函数的图象进行平移时，具有这样的特点只改变函数图象的位置、不改变其形状，因此，在研究二次函数的图象平移问题时，只需利用二次函数图象的顶点式研究其顶点的位置即可。例1 求把二次函数yx24x3的图象经过下列平移变换后得到的图象所对应的函数解析式：（1）向右平移2个单位，向下平移1个单位；（2）向上平移3个单位，向左平移2个单位。 分析：由于平移变换只改变函数图象的位置而不改变其形状（即不改变二次项系数），所以只改变二次函数图象的顶点位置（即只改变一次项和常数项），所以，首先将二次函数的解析式变形为顶点式，然后，再依据平移变

24、换后的二次函数图象的顶点位置求出平移后函数图像所对应的解析式。解：二次函数y2x24x3的解析式可变为y2(x1)21，其顶点坐标为(1，1)。（1）把函数y2(x1)21的图象向右平移2个单位，向下平移1个单位后，其函数图象的顶点坐标是(3，2)，所以，平移后所得到的函数图象对应的函数表达式就为 y2(x3)22。（2）把函数y2(x1)21的图象向上平移3个单位，向左平移2个单位后，其函数图象的顶点坐标是(1， 2)，故平移后所得到的函数图象对应的函数表达式就为y2(x1)22。2对称变换问题2 在把二次函数的图象关于与坐标轴平行的直线进行对称变换时，有什么特点？依据这一特点，可以怎样来研

25、究二次函数的图象平移？xyOy1A(1,1)B(1，3)图2.28我们不难发现：在把二次函数的图象关于与坐标轴平行的直线进行对称变换时，具有这样的特点只改变函数图象的位置或开口方向、不改变其形状，因此，在研究二次函数图象的对称变换问题时，关键是要抓住二次函数的顶点位置和开口方向来解决问题。xyOx1A(1,1)A1(3,1)图2.27例2 求把二次函数y2x24x1的图象关于下列直线对称后所得到图象对应函数解析式：（1）直线x1；（2）直线y1。解：（1）如图227，把二次函数y2x24x1的图象关于直线x1作对称变换后，只改变图象的顶点位置，不改变其形状。由于y2x24x12(x1)21，可

26、知，函数y2x24x1图象的顶点为A(1,1)，所以，对称后所得到图象的顶点为A1(3，1)，所以，二次函数y2x24x1的图象关于直线x1对称后所得到图象的函数解析式为y2(x3)21，即y2x212x17。（2）如图228，把二次函数y2x24x1的图象关于直线x1作对称变换后，只改变图象的顶点位置和开口方向，不改变其形状。由于y2x24x12(x1)21，可知，函数y2x24x1图象的顶点为A(1,1)，所以，对称后所得到图象的顶点为B(1，3)，且开口向下，所以，二次函数y2x24x1图象关于直线y1对称后所得到图象的函数解析式为y2(x1)23，即y2x24x1。中考真题讲解1（20

27、10江苏泰州）如图，二次函数的图象经过点D，与x轴交于A、B两点求的值；如图，设点C为该二次函数的图象在x轴上方的一点，直线AC将四边形ABCD的面积二等分，试证明线段BD被直线AC平分，并求此时直线AC的函数解析式；设点P、Q为该二次函数的图象在x轴上方的两个动点，试猜想：是否存在这样的点P、Q，使AQPABP？如果存在，请举例验证你的猜想；如果不存在，请说明理由（图供选用）2（2010福建福州）如图，在ABC中，C45，BC10，高AD8，矩形EFPQ的一边QP在BC边上，E、F两点分别在AB、AC上，AD交EF于点H （1）求证：； （2）设EFx，当x为何值时，矩形EFPQ的面积最大?

28、并求其最大值；（3）当矩形EFPQ的面积最大时，该矩形EFPQ以每秒1个单位的速度沿射线QC匀速运动(当点Q与点C重合时停止运动)，设运动时间为t秒，矩形EFFQ与ABC重叠部分的面积为S，求S与t的函数关系式 (第21题)3（2010福建福州）如图1，在平面直角坐标系中，点B在直线y2x上，过点B作x轴的垂线，垂足为A，OA5若抛物线yx2bxc过O、A两点（1）求该抛物线的解析式；（2）若A点关于直线y2x的对称点为C，判断点C是否在该抛物线上，并说明理由；(第22题图1) (第22题图2)（3）如图2，在（2）的条件下，O1是以BC为直径的圆过原点O作O1的切线OP，P为切点(点P与点C

29、不重合)抛物线上是否存在点Q，使得以PQ为直径的圆与O1相切?若存在，求出点Q的横坐标；若不存在，请说明理由4（2010江苏无锡）如图，矩形ABCD的顶点A、B的坐标分别为（-4，0）和（2，0），BC=设直线AC与直线x=4交于点E（1）求以直线x=4为对称轴，且过C与原点O的抛物线的函数关系式，并说明此抛物线一定过点E；（2）设（1）中的抛物线与x轴的另一个交点为N，M是该抛物线上位于C、N之间的一动点，求CMN面积的最大值5（2010湖南邵阳）如图（十四），抛物线y与x轴交于点A、B，与y轴相交于点C，顶点为点D，对称轴l与直线BC相交于点E，与x轴交于点F。（1）求直线BC的解析式；（

30、2）设点P为该抛物线上的一个动点，以点P为圆心，r为半径作P。当点P运动到点D时，若P与直线BC相交 ，求r的取值范围；若r=，是否存在点P使P与直线BC相切，若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由提示：抛物线y的顶点坐标，对称轴x. 图（十四）6（2010年上海）如图8，已知平面直角坐标系xOy，抛物线yx2bxc过点A(4,0)、B(1,3) .（1）求该抛物线的表达式，并写出该抛物线的对称轴和顶点坐标；（2）记该抛物线的对称轴为直线l，设抛物线上的点P(m,n)在第四象限，点P关于直线l的对称点为E，点E关于y轴的对称点为F，若四边形OAPF的面积为20，求m、n的值.图87（2

31、010重庆綦江县）已知抛物线yax2bxc（a0）的图象经过点B（12,0）和C（0，6），对称轴为x2（1）求该抛物线的解析式；（2）点D在线段AB上且ADAC，若动点P从A出发沿线段AB以每秒1个单位长度的速度匀速运动，同时另一动点Q以某一速度从C出发沿线段CB匀速运动，问是否存在某一时刻，使线段PQ被直线CD垂直平分？若存在，请求出此时的时间t（秒）和点Q的运动速度；若不存在，请说明理由；（3）在（2）的结论下，直线x1上是否存在点M使，MPQ为等腰三角形？若存在，请求出所有点M的坐标，若不存在，请说明理由8（2010山东临沂）如图，二次函数的图象与轴交于,两点，且与轴交于点.（1）求该抛物线的解析式，并判断的形状；（2）在轴上方的抛物线上有一点,且以四点为顶点的四边形是等腰梯形，请直接写出点的坐标；（3）在此抛物线上是否存在点,使得以四点为顶点的四边形是直角梯形？若存在，求出点的坐标；若不存在，说明理由.第26题图9（2010四川宜宾）将直角边长为6的等腰RtAOC放在如图所示的平面直角坐标系中，点