结构动力学多自由度系统的振动.ppt

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1、2023/3/1,1,第三章 多自由度系统的振动,2023/3/1,2,多层房间的侧向振动、不等高排架的振动、块式基础的水平回转振动等，作为多自由度体系进行分析。（multi-degree of freedom system）,2023/3/1,3,对具有无限个自由度的弹性结构，精确地处理其振动问题：,有时是非常困难的，在某些情况下也并不必要。,在某些特定条件下可对问题作一些简化假定，使一个无限自由度体系离散为有限多个自由度体系，,使原来的问题变得容易求解，能获得原结构体系的主要属性和特征。,2023/3/1,4,3.1 两个自由度体系的自由振动,针对两个自由度体系；介绍三种常用的方法：平衡力

2、系法 刚度法 柔度法,2023/3/1,5,1、平衡力系法 如图，两集中质量 和 通过三个弹簧、和 相互联结，在任意一时刻它们偏离其平衡位置的水平位移分别为 和,2023/3/1,6,根据两质量块的平衡条件，可以得到：,2023/3/1,7,表示成矩阵形式：,式中：,整理：,2023/3/1,8,写成一般形式：,对于图中结构体系，有,2023/3/1,9,假设两个质点为简谐振动，上式的解设为：,位移振幅 和，以及频率 和相位角 均为待定参数。,2023/3/1,10,1）、在振动过程中，两个质点具有相同的频率 和相同的相位角。,2）、在振动过程中，两个质点的位移在数值上随时间而变化，但两者的比

3、值始终保持不变：,2023/3/1,11,主振型:结构位移形状保持不变的振动形式称为主振型或振动模态（normal mode）。,2023/3/1,12,齐次方程有非零解的条件为其系数行列式等于零，即:,确定了固有频率应满足的条件，称为频率方程或特征方程。（eigen equation or characteristic equation）,利用这个方程可计算固有频率,2023/3/1,13,展开上式，求得 的两个根为:,正实根，仅依赖于结构体系的物理性质，即质量和弹簧刚度。,2023/3/1,14,2023/3/1,15,比值所确定的振动形式就是与第一圆频 率 相应的振型，称为第一振型或基本

4、振型（fundamental mode）,分析频率各自对应的振型,2023/3/1,16,和 表示第二振型中质点1和2的振幅。,下标与质量 和 相对应，上标表示模态号码。,由于模态方程是齐次的，所以 及 只有相对关系。,2023/3/1,17,主振动:结构体系以某一阶固有频率按其相应的主振型作振动，称为体系的主振动。,各点同时经过静平衡位置，并同时到达最大偏移位置，以确定的频率和振型作简谐振动。,一般情况下，体系的自由振动不是主振动，而是两种不同频率及其振型的组合振动:,2023/3/1,18,方程的全解:,其中，、和 由初始条件确定。,2023/3/1,19,2、刚度法(a)具有两个集中质量

5、的结构体系，两个自由度，(b)为 和 的隔离体图。,根据达朗伯原理，平衡方程为：,2023/3/1,20,2023/3/1,21,弹性力 和 是质量 和 与结构之间的相互作用力，图(b)中的 和 是质点所受的力，图(c)中的 和 是结构所受的力，两者的方向相反。结构所受的力 和 与结构的位移 和 之间应满足如下刚度方程:,2023/3/1,22,是结构的刚度系数。如 是使质点2产生单位位移而质点1保持为零时在质点所需施加的作用力。,2023/3/1,23,2023/3/1,24,3、柔度法以两个自由度体系为例进行分析:,2023/3/1,25,用柔度法建立自由振动微分方程的思路:在自由振动过程

6、中的任一时刻，质量 和 的位移 和 应当等于体系在惯性力 和 作用下所产生的静力位移。,2023/3/1,26,是结构体系的柔度系数(flexibility coefficient)，即体系在点j承受单位力时，在点i产生的位移。,设解的形式为:,2023/3/1,27,2023/3/1,28,令系数行列式等于零，可得到 和 的非零解，即:,用柔度系数表示的频率方程或特征方程。,2023/3/1,29,求得固有圆频率的两个值为:,解出 的两个根,2023/3/1,30,体系的第一阶主振型:,2023/3/1,31,体系的第二阶主振型:,2023/3/1,32,总结：在多自由体系自由振动问题中,4

7、）体系的自振频率和主振型是体系本身的固有性质。自振频率只与体系本身的刚度系数和质量分布有关，与外荷无关。,3）每个自振频率有其相应的主振型；,2）振动频率个数与自由度个数一致，自振频率可通过特征方程计算；,1）主要问题是确定体系全部自振频率及其相应主振型,2023/3/1,33,例3-1 试分析图示结构体系的固有频率和振型。已知：。,解：体系的运动方程为：,2023/3/1,34,体系的运动方程为：,设方程的解为：,2023/3/1,35,上式有非零解的条件是系数行列式为零：,展开行列式，可以求得,2023/3/1,36,计算振型：,其中 对应于第一阶频率 对应于第二阶频率。,2023/3/1

8、,37,第一模态（振型）为两个质量一起振动，无相对位移，中间一个弹簧不起作用，只有第一和第三个弹簧起作用，其结果类似于质量为2m、弹簧系数为2k的单自由度体系的振动；,以横坐标表示系统的静平衡位置，纵坐标表示各点的振幅，体系的主振型图。,第二模态（振型）为两个质量作相反振动，中间一个弹簧的中点始终不动。,2023/3/1,38,例3-2 图示两层刚架，其横梁EI=。设质量集中在横梁上，第一和第二层的质量分别为 和。层间侧移刚度分别为 和。试求刚架水平振动时的自振频率和主振型。,2023/3/1,39,解：求结构的刚度系数:,2023/3/1,40,解：将刚度系数代入频率方程,则可求得:,2023/3/1,41,两个主振型:,主振型,