近轴条件下厚透镜成像的研究.doc

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1、本科学生毕业论文（设计）题目(中 文):近轴条件下厚透镜成像的研究(英 文):Research for Paraxial Imageof Thick Lens姓 名肖稳成学 号200906001122院 （系）电子工程系专业、年级物理学 2009级指导教师朱湘萍2013年 5 月 8 日湖南科技学院本科毕业论文（设计）诚信声明本人郑重声明：所呈交的本科毕业论文（设计），是本人在指导老师的指导下，独立进行研究工作所取得的成果，成果不存在知识产权争议，除文中已经注明引用的内容外，本论文不含任何其他个人或集体已经发表或撰写过的作品成果。对本文的研究做出重要贡献的个人和集体均已在文中以明确方式标明。本

2、人完全意识到本声明的法律结果由本人承担。 本科毕业论文（设计）作者签名： 年 月 日 毕业论文（设计）任务书课题名称：近轴条件下厚透镜成像的研究学生姓名：肖稳成系 别：电子工程系专 业：物理学指导教师：朱湘萍2012年11月30日湖南科技学院本科毕业论文（设计）任务书1、主题词、关键词： 厚透镜、焦距、成像2、 毕业论文（设计）内容要求：1）要保证论文的科学性，即要求论文内容的合理行和正确性；2）具有创新性，内容必须有自己的观点；3）应尽可能多的阅读参考文献。3、文献查阅指引：1姚启钧光学教程M北京：高等教育出版社，2008：114-159.2苟学强厚透镜成像的基点及物象公式公式的简化推导J甘

3、肃教育学院学报（自然科学版），2003，17(1):69-71.3路文柱，刘国志对光学教程中厚透镜焦距公式推导的商榷J张掖师专学报（综合版），1992， 9(2):133-136.4蓝海江厚透镜的汇聚性和发散性与其厚度的关系J柳州师专学报，1999，14（1）：100-102.5孙桂华ABCD定理在厚透镜中的应用J张掖师专学报（综合版），1995，12(1): 73-76.6母国光，占元龄光学M北京：人民教育出版社，1978：15-78.7叶玉堂，肖峻，饶建珍光学教程M北京：清华大学出版社，2011：36-58.8同济大学数学系高等数学下册M北京，高等教育出版社，2009：281-282.9同

4、济大学数学系工程数学线性代数M北京，高等教育出版社，2010：33-41.10胡玉禧，安连生应用光学M合肥：中国科技大学出版社，1996：16-56.4、毕业论文（设计）进度安排：1、2012年11月30日指导教师给学生下达任务书，2012年12月26日前完成开题。开题时间：2012年12月22日-26；2、第8期第7周（2013.4.7-4.13）中期检查，指导教师填写好中期检查表；3、第9周拿出初稿；4、第11周，正式答辩前，学生根据自身完成的情况提出答辩申请，并填写“学生答辩申请及资格审查表”；5、第11周（2013年5月8日）学生毕业论文(设计)定稿，准备答辩；6、答辩时间：2013年

5、5月18日。教研室意见： 负责人签名： 注：本任务书一式三份，由指导教师填写，经教研室审批后一份下达给学生，一份交指导教师，一份留系里存档。湖南科技学院本科毕业论文（设计）开题报告书论文（设计）题目近轴条件下厚透镜成像的研究作 者 姓 名肖稳成所属系、专业、年级 电子工程系 物理学专业 2009年级指导教师姓名、职称朱湘萍、高级实验师预计字数10000开题日期2012.12.22选题的根据：1）说明本选题的理论、实际意义2）综述国内外有关本选题的研究动态和自己的见解1.理论意义：根据球面折射定律，以及基本的几何知识，推导出介质中厚透镜焦距公式，为对厚透镜成像的进一步研究提供理论基础，加强我们对

6、厚透镜在理论层面上的理解。2.实际意义：本文可以为学生学习厚透镜以及教师教学提供参考，为工程设计提供理论依据。3.研究动态：目前有很多学者正在研究厚透镜的性质，对已有的观点做出的更为新颖的看法，并做出了相应的解释，作为一种简单的光具组，厚透镜的实用价值显得尤为重要，因此，也有很多学者试着将其理论知识应用到实践中。4.自己的见解：在均匀介质中研究厚透镜的成像问题，一方面，可以将理论更贴近实际，为厚透镜的应用提供理论依据；另一方面，可以为学生学习厚透镜的知识，以及教师教学提供参考。主要内容： 一、推导在近轴条件下，均匀介质中厚透镜的焦距公式1 推导均匀介质中厚透镜的焦距公式2 探讨介质中厚透镜的发

7、散性与焦距正负的关系 二、综述了矩阵法在厚透镜成像中的应用 三、厚透镜求像的两种方法 1 综述了解析法求像 2详细讨论了作图法在求像中的应用研究方法： 文献法,查找资料法，理论推导法完成期限和采取的主要措施：本文从2012年11月30日开始准备，在2012年3月底写好初稿，期间经过多次修正和改进。计划在2013年4月底初完成论文全部内容。 论文主要通过对各种研究资料和相关知识进行分析推导，在导师朱湘萍老师的指导帮助下，了解了国内外很多有关文献的研究成果，并以自己的观点出发，大胆又谨慎的采用逻辑思维由专家和学者的部分实验推出本人的论点，并通过各种理论、定律来完善和补充论文。主要参考资料：1姚启钧

8、光学教程M北京：高等教育出版社，2008：114-159.2苟学强厚透镜成像的基点及物象公式公式的简化推导J甘肃教育学院学报（自然科学版），2003，17(1):69-71.3路文柱，刘国志对光学教程中厚透镜焦距公式推导的商榷J张掖师专学报（综合版），1992， 9(2):133-136.4蓝海江厚透镜的汇聚性和发散性与其厚度的关系J柳州师专学报，1999，14（1）：100-102.5孙桂华ABCD定理在厚透镜中的应用J张掖师专学报（综合版），1995，12(1): 73-76.6母国光，占元龄光学M北京：人民教育出版社，1978：15-78.7叶玉堂，肖峻，饶建珍光学教程M北京：清华大学出

9、版社，2011：36-58.8同济大学数学系高等数学下册M北京，高等教育出版社，2009：281-282.9同济大学数学系工程数学线性代数M北京，高等教育出版社，2010：33-41.10胡玉禧，安连生应用光学M合肥：中国科技大学出版社，1996：16-56.指导教师意见： 指导教师签名： 教研室意见：签 名： 年 月 日开 题 报 告 会 纪 要时间2012年12月22日地点三教106与会人员姓 名职务（职称）姓 名职务（职称）姓 名职务（职称）熊文元教 授谢一民副教授付喜副教授朱湘萍高级实验师李爱华讲师刘旭辉讲师会议记录摘要：会议主持人：记 录 人：年 月 日指导小组意见负责人签名： 年

10、月 日系部 意 见负责人签名：年月日注：此表由学生本人填写，一式三份，一份留系里存档，指导老师和本人各保存一份湖南科技学院毕业论文（设计）中期检查表毕业论文（设计）题 目近轴条件下厚透镜成像的研究学生姓名肖稳成学 号200906001122系 别电子工程专 业物理学指导教师朱湘萍检查日期2013.4.7指导教师检查情况记载及修改意见：1、 初稿基本上完成了，但是没有达到预期的要求。出现的问题：前面的开题报告没有做好，选题的理论意义和实际意义没有明确；目录有些乱；绪论部分没有突出自己所写论文的观点；第一章在论述透镜的基本知识时，层次不够分明；推导均匀介质中厚透镜的焦距公式这个证明过程不严谨；“矩

11、阵法在厚透镜成像中的应用”，这种说法不行。公式编辑以及作图比较规范，内容较丰富。修改意见：理论意义和实际意义要明确，比如说，为工程设计提供理论依据，为学生学习以及教师教学提供参考等等；目录要根据内容来定，并且层次要分明，并且内容也要有较强的逻辑性；绪论部分介绍光学的发展史是不行的，这些可有可无，重点要突出别人做了什么工作，有什么贡献，还存在什么不足，这就是写这篇文章的依据；推导均匀介质中厚透镜的焦距公式这一过程，自己要回去整理一下，然后对这个公式讨论一下；把“矩阵法在厚透镜成像中的应用”改成“综述矩阵法在厚透镜成像中的应用”，因为是别人已经做来的。2、经过一次修改，有些进步，但还存在一些小问题

12、。修改意见：文献指引里面要写规范，该加点的要加点，页码不能具体到某一页，要写一个范围；在论文进度序号要用括起来，意义的格式要规范，行距为20磅，摘要要写明自己所做的工作，要有层次：首先、然后、最后；第一章第一节的两个小节1.1.1、1.1.2与1.2节应该是并列的，改成1.1、1.2、1.3；写“牛顿公式”、“高斯公式”不够完美，改成“牛顿公式求像”、“高斯公式求像”；要学会导入模版，用模版规范最方便了。 签名 签名： 注：此表用于指导教师在学生毕业论文（设计）初稿完成后对学生执行任务书情况进行中期检查时用，由指导教师填写。湖南科技学院毕业设计（论文）指导过程记录表毕业论文(设计)题目近轴条件

13、下厚透镜成像的研究学生姓名肖稳成学号200906001122专业班级物理学0901班指导教师朱湘萍职称高级实验师系（教研室）电子工程系、理论物理指导过程记录指导内容记录(一)介绍当今厚透镜研究的理论动态，及其用途。学 生 签 名：肖稳成 2012年12月25日 指导教师签名：朱湘萍 2012年12月25日指导内容记录(二)指导在空气中厚透镜焦距公式的推导过程。学 生 签 名：肖稳成 2013年01月6日 指导教师签名：朱湘萍 2013年01月6日指导内容记录（三)检查均匀介质中厚透镜焦距公式的推导过程并加以指导。学 生 签 名：肖稳成 2013年01月17日 指导教师签名：朱湘萍 2013年0

14、1月17日指导内容记录(四)指导了矩阵法在研究厚透镜成像中的应用。学 生 签 名：肖稳成 2013年03月2日 指导教师签名：朱湘萍 2013年03月2日指导过程记录指导内容记录(五)修改论文推导过程的电子稿，推荐红蜻蜓软件作图。学 生 签 名：肖稳成 2013年03月16日 指导教师签名：朱湘萍 2013年03月16日指导内容记录(六)指出论文中存在的问题：纸版推导比较详细、具体、正确，但电子文档里，论文内容中输入要改正。学 生 签 名：肖稳成 2013年03月30日 指导教师签名：朱湘萍 2013年03月30日指导内容记录(七)检查论文初稿，给予论文写作模板，要求根据论文写作规范将论文进行

15、修改。学 生 签 名：肖稳成 2013年04月13日 指导教师签名：朱湘萍 2013年04月13日指导内容记录(八)验收论文，对论文进行排版，保证其整洁、美观。学 生 签 名：肖稳成 2013年05月1日 指导教师签名：朱湘萍 2013年05月1日答辩小组组长意见(对情况是否属实做出意见)组长(签名)： 200 年 月 日注：本表与毕业论文一起装订存档。湖南科技学院本科毕业论文（设计）评审表论文题目近轴条件下厚透镜成像的研究作者姓名肖稳成所属系、专业、年级物理与电子工程 系 物理学 专业 2009年级指导教师姓名、职称朱湘萍、高级实验师字 数10000定稿日期2013.5.8中文摘要本文采用文

16、献索引法、推导法、查阅资料法，以双凸厚透镜为例，首先，推导出了厚透镜在均匀介质中的焦距公式，以及主点到相邻顶点的距离公式: 其次，利用厚透镜在均匀介质中的焦距公式详细探讨了厚透镜的发散性与焦距正负的关系，再次，综述了矩阵法在厚透镜成像中的应用，并利用该结论证明了厚透镜在均匀介质中焦距公式的正确性，最后综述了解析法求像，并对作图法求像做了详细的讨论。关键词（3-5个）厚透镜，焦距，成像。英文摘要In this thesis, we take the thick biconvex lens for example and deduce the formula of focal length for

17、 thick lens and the formula of distance between the principal point and adjacent vertices under the condition of homogeneous medium, with the method of document index, derivation and consulting. Secondly, we probe into the relationship between divergence and plus-minus focal length with the formula

18、of focal length of thick lens (homogeneous medium). Then we generalize the application of matrix method for imaging of thick lens, and with the conclusion, prove the validity of the formula of focal length for thick lens. Finally, we draw a conclusion for analysis of image, and make an elaborate dis

19、cussion on construction of image.关键词(3-5个)thick lens, focal length, image formation指导教师评定成绩评审基元评审要素评审内涵满分指导教师实评分选题质量25%目的明确符合要求选题符合专业培养目标，体现学科、专业特点和教学计划的基本要求，达到毕业论文（设计）综合训练的目的。10理论意义或实际价值符合本学科的理论发展，有一定的学术意义；对经济建设和社会发展的应用性研究中的某个理论或方法问题进行研究，具有一定的实际价值。10选题恰当题目规模适当，难易度适中；有一定的科学性。5能力水平40%查阅文献资料能力能独立查阅相关文

20、献资料，归纳总结本论文所涉及的有关研究状况及成果。10综合运用知识能力能运用所学专业知识阐述问题；能对查阅的资料进行整理和运用；能对其科学论点进行论证。10研究方案的设计能力整体思路清晰；研究方案合理可行。5研究方法和手段的运用能力能运用本学科常规研究方法及相关研究手段（如计算机、实验仪器设备等）进行实验、实践并加工处理、总结信息。10外文应用能力能阅读、翻译一定量的本专业外文资料、外文摘要和外文参考书目（特殊专业除外）体现一定的外语水平。5论文质量35%文题相符较好地完成论文选题的目的要求。5写作水平论点鲜明；论据充分；条理清晰；语言流畅。15写作规范符合学术论文的基本要求。用语、格式、图表

21、、数据、量和单位、各种资料引用规范化、符合标准。10论文篇幅10000字左右。5实评总分 成绩等级 指导教师评审意见： 指导教师签名： 说明：评定成绩分为优秀、良好、中等、及格、不及格五个等级，实评总分90100分记为优秀，8089分记为良好，7079分记为中等，6069分记为及格，60分以下记为不及格。评阅教师评定成绩评审基元评审要素评审内涵满分评阅教师实评分选题质量25%目的明确符合要求选题符合专业培养目标，体现学科、专业特点和教学计划的基本要求，达到毕业论文（设计）综合训练的目的。10理论意义或实际价值符合本学科的理论发展，有一定的学术意义；对经济建设和社会发展的应用性研究中的某个理论或

22、方法问题进行研究，具有一定的实际价值。10选题恰当题目规模适当，难易度适中；有一定的科学性。5能力水平40%查阅文献资料能力能独立查阅相关文献资料，归纳总结本论文所涉及的有关研究状况及成果。10综合运用知识能力能运用所学专业知识阐述问题；能对查阅的资料进行整理和运用；能对其科学论点进行论证。10研究方案的设计能力整体思路清晰；研究方案合理可行。5研究方法和手段的运用能力能运用本学科常规研究方法及相关研究手段（如计算机、实验仪器设备等）进行实验、实践并加工处理、总结信息。10外文应用能力能阅读、翻译一定量的本专业外文资料、外文摘要和外文参考书目（特殊专业除外）体现一定的外语水平。5论文质量35%

23、文题相符较好地完成论文选题的目的要求。5写作水平论点鲜明；论据充分；条理清晰；语言流畅。15写作规范符合学术论文的基本要求。用语、格式、图表、数据、量和单位、各种资料引用规范化、符合标准。10论文篇幅10000字左右。5实评总分 成绩等级 评阅教师评审意见： 评阅教师签名： 说明：评定成绩分为优秀、良好、中等、及格、不及格五个等级，实评总分90100分记为优秀，8089分记为良好，7079分记为中等，6069分记为及格，60分以下记为不及格。湖南科技学院本科毕业论文（设计）答辩记录表论文题目厚透镜成像的研究及应用作者姓名肖稳成所属系、专业、年级电子工程系 物理学专业 2009年级指导教师姓名、

24、职称朱湘萍，高级实验师答 辩 会 纪 要时间2013年5月18日地点三教106答辩小组成员姓 名职务（职称）姓 名职务（职称）姓 名职务（职称）熊文元教授谢一民副教授付喜副教授朱湘萍高级实验师李爱华讲师刘旭辉讲师答辩中提出的主要问题及回答的简要情况记录：会议主持人：记 录 人： 年 月 日答辩小组意见评语：评定等级： 负责人（签名）： 年 月 日系学位委员会意见评语：论文（设计）最终评定等级：负责人（签名）： 系部（公章） 年月 日校学位委员会意见评语：评定等级： 负责人（签名）： 年月 日目 录绪 论11 透镜的基本知识21.1 透镜的定义21.2 透镜的分类21.3 透镜的属性31.3.1

25、 透镜的焦点、焦距，实像、虚像31.3.2 厚透镜的主点，焦点，以及焦平面42 探讨厚透镜焦距与周围介质的关系52.1 符号法则52.2 近轴条件下球面折射物象公式的推导52.3 推导均匀介质中厚透镜的焦距公式62.4 探讨介质中厚透镜的发散性与焦距正负的关系93 综述矩阵法在厚透镜成像中的应用114 处理厚透镜成像的两种方法154.1 解析法求像154.1.1 牛顿公式求像154.1.2 高斯公式求像164.2 作图法求像17总结与展望20参考文献21致 谢22近轴条件下厚透镜成像的研究摘 要本文采用文献索引法、推导法、查阅资料法，以双凸厚透镜为例，首先，推导出了厚透镜在均匀介质中的焦距公式

26、，以及主点到相邻顶点的距离公式: 其次，利用厚透镜在均匀介质中的焦距公式详细探讨了厚透镜的发散性与焦距正负的关系，再次，综述了矩阵法在厚透镜成像中的应用，并利用该结论证明了厚透镜在均匀介质中焦距公式的正确性，最后综述了解析法求像，并对作图法求像做了详细的讨论。【关键词】：厚透镜，焦距，成像。Research for Paraxial Image of thick lensAbstractIn this thesis, we take the thick biconvex lens for example and deduce the formula of focal length for th

27、ick lens and the formula of distance between the principal point and adjacent vertices under the condition of homogeneous medium, with the method of document index, derivation and consulting. Secondly, we probe into the relationship between divergence and plus-minus focal length with the formula of

28、focal length of thick lens (homogeneous medium). Then we generalize the application of matrix method for imaging of thick lens, and with the conclusion, prove the validity of the formula of focal length for thick lens. Finally, we draw a conclusion for analysis of image, and make an elaborate discus

29、sion on construction of image.【Key words】 thick lens, focal length, image formation绪 论在我们学习厚透镜的过程中经常发现这样一些问题，同学们对一些典型透镜(双凸厚透镜，双凹厚透镜)的焦距的正负产生误解，通常他们以为厚透镜的焦距的正负只有厚透镜本身的特性决定的，即给定一个厚透镜，根据符号的规定法则，那么我们就可以判定其物方焦距和像方焦距的正负。其实这种认识是错误的，厚透镜的焦距正负不仅由厚透镜本身的性质所决定，同时也与其周围介质的折射率有很大的关系，本文详细推导出了厚透镜焦距的正负与其周围介质的关系，在此之前，已

30、有很多学者对其中的部分工作作出了很大贡献，其中参考文献1根据球面折射理论，对厚透镜的两个球面分别进行分析，从而得出了厚透镜的焦距公式；文献2在既避免繁琐演算，又不依赖于复杂作图的情况下，对有关厚透镜成像的公式进行了新的推导；文献3从厚透镜焦距的定义出发，完善了对厚透镜焦距公式的推导；文献4详细讨论了厚透镜的发散性与厚透镜厚度的关系；文献5应用ABCD定理对厚透镜成像问题进行了计算，给出了一种处理厚透镜问题的直观方法。以上文献有个共同的不足之处，他们只是讨论了厚透镜在空气中的成像问题，而在学习中，我们遇到的很多都是非空气中的厚透镜成像问题，本人将所讨论的问题一般化，推导出了厚透镜在均匀介质中的焦

31、距公式，在推导过程中注意到他们的不足之处，并借用了他们的优点，使该推导过程更加严谨，在得出焦距公式之后，根据其焦点的位置，详细讨论了常见的两种厚透镜（双凸厚透镜和双凹厚透镜）的发散性。文献5在处理厚透镜成像问题的时候，具有很大的思维跳跃，只是借用了一些结论，本文通过文献6和文献7对矩阵方法在厚透镜成像问题中的应用进行了归纳，对一些结论来龙去脉进行了详细的描述。在厚透镜求像的问题中，很多学生都受到纯理论知识的束缚，习惯于用牛顿公式和高斯公式求像，忽视作图法这一很简单直观的方法，本文在对解析法求像进行综述时，同时对作图法做了详细的讨论，在作图过程中应当注意的问题，也做了详细的分析。本文将要详细推导

32、出均匀介质中厚透镜焦距公式，并讨论常见厚透镜的发散性与周围介质的关系，为同学们在学习该部分知识的时候，和教师在该部分的教学提供参考。1 透镜的基本知识1.1 透镜的定义透镜是一块透明物质，被两个抛光面包围。两面可同为曲面，或一面是曲面，另一面是平面。曲面可为不同的形状，如球面、圆柱面、抛物面等。但最普遍的是球面。1.2 透镜的分类根据透镜的形状，可将透镜分为正透镜（凸透镜或汇聚透镜）和负透镜（凹透镜或发散透镜）两大类。正透镜特点是中心厚边缘薄，起汇聚光束作用；负透镜的特点是中心薄边缘厚，起发散光束作用正透镜 负透镜1 平凸透镜（图1a） 平凹透镜（图2a）2 厚凸透镜（图1b） 厚凹透镜（图2

33、b）3 等双凸透 镜等双凹透镜4 正 新月透镜 负新月透镜图1 凸透镜，或正透镜图2 凹透镜，或负透镜1.3 透镜的属性1.3.1 透镜的焦点、焦距，实像、虚像图3由图3A可以看到，自物点发出的光，经过光学系统（凸面或是凹面）后，如果仍然保持为单心光束（由同一发光点发出的许多光线构成的光束），则这个经过系统后的光束的心称为光学系统对该物点成的像点。当光线实际通过心时，则为实像（图3A）；而如果是光线延长线的交点与该单心光束的心重合，则为虚像（图3B）。若物点不在点，而在点，则点就变成像点，即若和其中一为物点，则另一个为相应的像，这样一对相应的点为共轭点或共轭焦点，之而物距与相距成为共轭距离。如

34、图3所示，以单个球面为例，当物点在无穷远处，即以平行于主光轴的平行光入射时，折射光线将会聚合到一实像点（图3A），或发散于一虚像点（图3B），该像点与无穷远处的物点共轭，是第二主焦点，即，该点至镜面的距离称为第二焦距（像距），即，当物点移近至某一适当位置时，其像点移至无穷远处，即折射后光线平行，即光线从实物点发出（图3A）；若为凹面，该物点位置为虚物位置，入射光聚合在该点，该物点位置就是第一主焦点，即，该点到镜面的距离称为第一焦距（物距），即。对于凸面而言，两个主焦点都是实际存在的，而对于凹面，则是不存在的。 1.3.2 厚透镜的主点，焦点，以及焦平面图4如图4所示：和点分别称为物方主点和像方

35、主点；在近轴条件下，通过和点垂直于主轴的平面分别称为物方主平面和像方主平面；若一束平行于主轴的入射光，通过光具组后所形成的像，即为像方焦点；在近轴条件下，通过点和点并垂直于主轴的平面分别称为物方焦平面和像方焦平面。2 探讨厚透镜焦距与周围介质的关系2.1 符号法则在计算任意一条光线的线段长度和角度时，对符号作如下规定：线段长度都从顶点算起，凡光线和主轴的焦点在顶点右方的，线段长度的数值为正；凡光线和主轴的焦点在顶点左方的，线段长度的数值为负。物点或像点至主轴的距离，在主轴上方为正，下方为负。光线方向的倾斜角度都从主轴（或球面法线）算起，并取小于的角度。由主轴（或球面法线）转向有关光线时，若沿顺

36、时针方向转动，则该角度为正；若沿逆时针方向转动，则该角度为负（在考虑角度的符号时，不必考虑组成该角度线段的符号）。在图3中出现的长度和角度（几何量）只用正值。比如表示的某线段的值是负的，则应用表示该线段的几何长度。2.2 近轴条件下球面折射物象公式的推导如图5所示，是折射率分别为和的两种介质的球面界面，为球面半径，为球心，为球面顶点，的延长线为球面的主轴。设，光线从点光源出发，经球面点折射后与主轴相交于。令 ， ， ， 图5半径与主轴的夹角为。则光线的光程为 （2-1）在和中应用余玄定理，并注意 （2-2）可得 （2-3）以及 （2-4）因此，光线的光程可写成 （2-5）由于当点在球面上移动时

37、，半径是常量，而角度才是位置的变量。根据费马原理，物象间的光程应取极值或常量。因此，把（2-5）式对求导，并令导数等于零，即 （2-6）由此可得 （2-7）在近轴条件下，值很小，在一级近似下，8,因此 （2-8）以及 （2-9）将（2-8）、（2-9）代入（2-7）式，可得 （2-10）（2-10）式即为近轴光线条件下球面折射的物象公式。2.3 推导均匀介质中厚透镜的焦距公式如图4表示至于介质中的轴厚度为的厚透镜，介质的折射率为，和分别为物点和像点，和分别为物方焦点和像方焦点。在近轴条件下，厚透镜的物像关系可以通过对曲率半径为和两个折射球面逐次成像求得，设物点离球面的距离为-，像点离球面的距离为，则由厚透镜的两个折射球面逐次成像可得： （2-11）令： （2-12）则（2-11）可化成 （2-13）消去两式中的记得透镜的厚度： （2-14）整理得： （2-15）上