傅立叶变换分析.ppt

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1、1.傅立叶级数;2.典型周期信号的傅立叶级数;3.傅立叶变换及其性质;4.典型非周期信号的傅立叶变换;5.冲激函数和阶跃函数的傅立叶变换;6.卷积定理；7.周期信号与抽样信号的傅立叶变换；8.抽样定理;9.系统的频域分析。,第3章 傅立叶变换分析,3.1 引言,一、傅立叶分析方法发展的历史,傅立叶分析方法的建立经历了漫长的过程，涉及到许多人的工作和对许多不同物理现象的研究。,（1）1748 年，瑞士数学家欧拉（L.Euler,1707-1783）对振动弦问题的研究。用f(x,t)表示弦在时间t和沿着某一横向距离x处的垂直偏离，则对任意固定时刻t来说，所有这些振荡模式均为x的正弦函数，并成谐波关

2、系。,3.1 引言,一、傅立叶分析方法发展的历史,（2）1753 年，瑞士数学家丹尼尔.伯努利（D.Bernoulli,1700-1782）提出：一根弦的实际运动都可以用标准振荡模的线性组合来表示。但他并没有继续研究下去。当时，他的想法也未被广泛接受.（3）1759年，法国数学家拉格朗日（J.L.Lagrange,1736-1813）一直反对使用三角级数来研究振动弦振动问题。,丹尼尔.伯努利,3.1 引言,1822年，傅立叶发表著作热的分析理论，其著作中再次提到这一思想，即“每一个周期函数都可以表示成三角函数之和”的形式，但没有给出完全的证明。,3.1 引言,（5）1829年，法国数学家狄利克

3、雷（P.G.Dirichlet,1805-1859）以严密的方式给出傅立叶级数与积分的存在条件的完整证明。一个周期信号只有在满足这些条件的前提下，才可以用傅立叶级数表示。,狄利克雷,狄利克雷的工作使傅立叶分析方法得到应有的承认和广泛应用。,3.1 引言,（6）18和19世纪，德国数学家高斯(C.F.Gauss,1777-1885)为使傅立叶分析能在离散时间信号与系统中应用做了大量基础性的工作。（7）1965年,美国学者库利（Cooley）和图基（Tukey）独立提出了快速傅立叶变换（FFT）的算法。,高斯,（8）1984年，法国地球物理学家（Morlet）提出小波的概念，后经一批科学家的努力，

4、逐渐建立小波分析方法。目前，小波成为信号处理的前沿理论与方法。,3.1 引言,傅立叶分析方法在科学和工程中有着广泛的应用。正弦信号在其中起着重要作用。如在描述行星运动、反应地球气候的周期变化、交流电源产生的正弦电压和电流等等。海浪也是由不同波长的正弦波的线性组合所组成。,（一）三角形式的傅里叶级数,设周期信号为f(t),其周期是T1,角频率,3.2 周期信号的傅立叶级数分析,直流分量,谐波分量,3.2 周期信号的傅立叶级数分析,直流分量：,余弦分量的幅度：,正弦分量的幅度：,以上各式中的积分限一般取：或,3.2 周期信号的傅立叶级数分析,an为 的偶函数，为 的奇函数。,（1）在一个周期内只有

5、有限个间断点；（2）在一个周期内有有限个极值点；（3）在一个周期内函数绝对可积，即,狄利克雷条件：,一般周期信号都满足这些条件。,3.2 周期信号的傅立叶级数分析,3.2 周期信号的傅立叶级数分析,三角形式的傅里叶级数也可表示成如下形式：,3.2 周期信号的傅立叶级数分析,（2）,其中,上式（2）表明：一个周期信号可以表示直流分量（频率为0）和一系列正弦分量（谐波）之和。,cn为 的偶函数，为 的奇函数.,3.2 周期信号的傅立叶级数分析,（2）,正弦分量的频率为,幅度为,相位为,各个分量 和相位 都是 的函数。,系数对应关系,矢量图表示,3.2 周期信号的傅立叶级数分析,关系曲线，称为信号的

6、 相位频谱。,关系曲线，称为信号的 幅度频谱。,为了能既方便又明确地表示一个信号中含有哪些频率分量，各频率分量所占的比重怎样，就可以画出频谱图来直观地表示。,各个分量 和相位 都是 的函数。,3.2 周期信号的傅立叶级数分析,通过频谱可直观看出各分量的大小，各分量的频移。,（1）离散性 频谱是离散的而不是连续的，这种频谱 称为离散频谱。,（2）谐波性 谱线出现在基波频率 的整数倍上。,（3）收敛性 幅度谱反映了信号f(t)中各频率分量的 大小，其谱线幅度随着 而逐渐 衰减到零。,周期信号频谱的特点：,信号的周期T1决定着其离散频谱谱线的间隔大小。T1 越大，越小，谱线越密。,（二）指数形式的傅

7、里叶级数,由前知:,由欧拉公式：,得到：,3.2 周期信号的傅立叶级数分析,得到f(t)的指数形式的傅立叶级数,令,考虑到 an是n的偶函数，bn是n的奇函数，则有,3.2 周期信号的傅立叶级数分析,引入负频率,令,则得f(t)的指数形式的傅立叶级数,指数形式的傅立叶级数的系数,考虑到,3.2 周期信号的傅立叶级数分析,将an和bn的表达式代入，即得到,两种傅氏级数的系数间的关系,3.2 周期信号的傅立叶级数分析,例3-1 求题图所示的周期矩形信号的三角形式与指数形式的傅里叶级数，并画出各自的频谱图。,解：一个周期内 的表达式为：,3.2 周期信号的傅立叶级数分析,因此,或,3.2 周期信号的

8、傅立叶级数分析,3.2 周期信号的傅立叶级数分析,3.2 周期信号的傅立叶级数分析,3.2 周期信号的傅立叶级数分析,3.2 周期信号的傅立叶级数分析,周期信号复指形式傅里叶变换的频谱图的特点：（1）引入了负频率变量，没有物理意义，只是数学推 导过程；（2）Cn 是实函数，Fn 一般是复函数；（3）当Fn 是实函数时，可用Fn的正负表示0和相 位，幅度谱和相位谱合一。,周期信号的平均功率与傅立叶系数间的关系,3.2 周期信号的傅立叶级数分析,3.2 周期信号的傅立叶级数分析,（三）波形的对称性与傅立叶系数的关系,四种对称形式：,偶函数：,奇函数：,奇谐函数：,偶谐函数：,1.偶函数（even

9、function）的傅立叶级数,偶函数,奇函数,信号波形关于纵轴对称：,3.2 周期信号的傅立叶级数分析,周期偶函数分解为傅氏级数时，只含有 和直流分量,各个系数为：,实数,3.2 周期信号的傅立叶级数分析,偶函数举例如下图所示的周期三角信号,3.2 周期信号的傅立叶级数分析,它的傅立叶级数为,由此可见，在周期偶函数的傅立叶级数中，只含有直流项和余弦项。,2.奇函数（odd function）的傅立叶级数,信号波形关于纵轴反对称：,3.2 周期信号的傅立叶级数分析,说明：在周期奇函数分解为傅立叶级数时，只包含正弦波分量,奇函数举例如下图所示的周期锯齿信号,可见，在周期奇函数的傅立叶级数中，只含

10、有正弦项！,它的傅立叶级数为,3.2 周期信号的傅立叶级数分析,3.奇谐函数（odd harmonic function）的傅立叶级数,若信号波形沿时间轴平移半个周期，并相对于该轴上下反转，此时波形并不发生变化，即满足：,3.2 周期信号的傅立叶级数分析,或,3.2 周期信号的傅立叶级数分析,可见，在奇谐函数的傅里叶级数中，只会含有奇次谐波的正弦、余弦分量，而不会包含直流和偶次谐波分量。,奇谐函数分解为傅立叶级数的各系数为：,3.2 周期信号的傅立叶级数分析,4.偶谐函数（even harmonic function）的傅立叶级数,3.2 周期信号的傅立叶级数分析,将余弦函数的负半周沿横轴反折

11、，即得到下列偶谐函数,4.偶谐函数（even harmonic function）的傅立叶级数,在偶谐函数的傅里叶级数中，只含有（直流）与偶次谐波的正弦、余弦分量，而不会包含奇次谐波分量。,3.2 周期信号的傅立叶级数分析,（四）傅立叶有限项级数误差,3.2 周期信号的傅立叶级数分析,如果完全逼近，则n=;实际中n=N,N是有限整数;如果N愈接近，则其均方误差愈小;若用前2N1项逼近，则,3.2 周期信号的傅立叶级数分析,误差函数：,下面方波信号为例，说明取傅立叶级数不同的项数对原函数的逼近程度。,3.2 周期信号的傅立叶级数分析,f(t)既是一个偶函数，又是奇谐函数，因此，在它的傅立叶级数项

12、中只可能含有奇次谐波的余弦项，即,于是,3.2 周期信号的傅立叶级数分析,当用S1去逼近f(t)所引起的方均误差,当f(t)只取基波分量时：,当f(t)只取基波分量和3次谐波分量两项时：,当用S2去逼近f(t)所引起的方均误差,3.2 周期信号的傅立叶级数分析,当f(t)只取基波分量、3次、5次谐波分量3项时：,当用S3去逼近f(t)所引起的方均误差,3.2 周期信号的傅立叶级数分析,3.2 周期信号的傅立叶级数分析,结论：（1）傅立叶级数所取的项 n 越多，相加后的波形越 逼近原信号f(t);（2）当 f(t)是脉冲信号时，其低频分量主要影响脉 冲的顶部，而高频分量主要影响脉冲的跳变沿。（3

13、）当信号中任一频谱分量的幅度或相位发生相对 变化时，输出波形一般要发生失真。,吉布斯（Gibbs）现象：,当取的傅立叶级数的项数N越多，所合成的波形的形成的波峰越靠近f(t)的不连续点Gibbs现象。,3.2 周期信号的傅立叶级数分析,当项数N很大时，该峰值趋于一个常数，大约为总跳变值的9%左右，然后逐渐衰减下去。,（一）周期矩形脉冲信号的频谱,3.3 典型周期信号的傅立叶级数,3.3 典型周期信号的傅立叶级数,3.3 典型周期信号的傅立叶级数,周期矩形脉冲信号的三角形式傅里叶级数为,f(t)的指数形式的傅里叶级数为,画出频谱图如下：,3.3 典型周期信号的傅立叶级数,3.3 典型周期信号的傅

14、立叶级数,说明：,3.3 典型周期信号的傅立叶级数,1、周期信号的频谱是离散的，两谱线的间隔为，当周期T1越大，谱线越密集。,2、各条谱线的幅度按 包洛线规律变化。,3、周期信号包含无穷多条谱线，即它可以分解成无穷多 个频率分量。但主要能量集中在第一个零点内。,若,则,因此，第一个零值点之内或两个相邻的零值点之间有 3 根谱线。,第一个零值点之内或两个相邻的零值点之间有n-1根谱线。,3.3 典型周期信号的傅立叶级数,定义频带宽度：,或,结论：矩形脉冲的频带宽度与脉冲宽度成反比。,3.3 典型周期信号的傅立叶级数,周期矩形信号可以包含无穷多条谱线，也就是说可分解成无穷多个频率分量。但信号的能量

15、主要集中在第一个零点内。,在允许一定失真的情况下，可以舍弃第一个零点以外的分量。,波形参数与频谱结构的关系,1.若 不变，扩大一倍，即,3.3 典型周期信号的傅立叶级数,2.若 不变，减小一半，即,谱线间隔 与周期 成反比；零值点频率 与 成反比；而谱线幅度与 成反比，与 成正比。,3.3 典型周期信号的傅立叶级数,（二）周期锯齿脉冲信号的频谱,周期锯齿脉冲信号的频谱只包含正弦分量，谐波的幅度以1/n的规律收敛。,它是一奇函数，an=0,3.3 典型周期信号的傅立叶级数,（三）周期三角脉冲信号的频谱,周期三角脉冲的频谱只包含直流、奇次谐波的余弦分量，谐波的幅度以 的规律收敛。,3.3 典型周期

16、信号的傅立叶级数,t,它是一偶函数，bn=0,3.4 傅立叶变换,前面所讨论的是周期信号的傅立叶频谱分析。那么对非周期信号如何处理？本节，将周期信号傅立叶分析方法推广到非周期信号，得到非周期信号的频谱分析方法傅立叶变换。,引言,3.4 傅立叶变换,我们可以根据上面对周期函数的分析（）来推导非周期函数的傅立叶积分公式。,3.4 傅立叶变换,对上图所示的周期信号,3.4 傅立叶变换,对非周期信号,有限量，成为一连续函数,记为,3.4 傅立叶变换,单位频带的频谱值频谱密度,称为原函数 f(t)的频谱密度函数,在非周期信号的情况下，则有,即,由前分析知，对周期函数有,而,则,对一个非周期函数，则有,3

17、.4 傅立叶变换,谱线间隔 记为，,记为，,由 得到：,这是一个和式极限，根据积分定义，上式可进一步写为,3.4 傅立叶变换,则有,傅立叶正变换,傅立叶逆变换,称为 的像函数,称为 的原函数,3.4 傅立叶变换,也称为原函数的频谱密度函数,3.4 傅立叶变换,以上推导并为遵循严格的数学步骤，可以证明，函数f(t)傅立叶变换存在的充分条件是:,函数傅立叶变换存在的条件,3.4 傅立叶变换,在上式中，是 的偶函数，是 的奇函数,则上式为,奇函数,3.4 傅立叶变换,上式说明：非周期函数也是由许多不同频率的正、余弦分量合成。它包含了从0到无穷大的所有频率分量。,或者,3.4 傅立叶变换,振幅谱，,相

18、位谱,由上式有,若f(t)是实函数，则 是共轭复数，因此必有,关于 的偶函数,关于 的奇函数,非周期信号的频谱与周期信号频谱的区别:,3.5 典型非周期信号的频谱,2、周期信号的频谱Fn表示每个谐波分量的复振幅；而非 周期信号的频谱，表示合成谐波分量的复振幅；,1、周期信号的谱线是离散的，非周期信号的谱线是连续 的，其形状与周期信号离散频谱的包洛线相似；,3、离散频谱与连续频谱的关系为,3.5 典型非周期信号的频谱,一、单边指数信号的频谱,3.5 典型非周期信号的频谱,得,3.5 典型非周期信号的频谱,二、双边指数信号的频谱,3.5 典型非周期信号的频谱,（a为正实数）,即,三、对称矩形脉冲（

19、门形）信号的频谱,即,3.5 典型非周期信号的频谱,3.5 典型非周期信号的频谱,3.5 典型非周期信号的频谱,四、符号函数的频谱,该函数不满足绝对可积条件，构造一函数：,3.5 典型非周期信号的频谱,四、符号函数的频谱,即,3.6 冲激函数和阶跃函数的频谱,3.6 冲激函数和阶跃函数的频谱,一、冲激函数的频谱,物理意义：在时域中变化异常剧烈的冲激函数包含幅度相等的所有频率分量。因此，这种频谱常称为“均匀谱”或“白色谱”。,3.6 冲激函数和阶跃函数的频谱,二、冲激函数的傅立叶逆变换,表明：直流信号的频谱是冲激函数。,三、冲激偶的频谱,因为,上式两边求导,3.6 冲激函数和阶跃函数的频谱,也可

20、以根据傅立叶变换定义和冲激偶的性质来求：,五、常数1的频谱,3.6 冲激函数和阶跃函数的频谱,构造一函数,前已经求出,上式具有冲激函数的性质，求其强度须由下式：,五、常数1的频谱,3.6 冲激函数和阶跃函数的频谱,所以,求常数1的频谱的另一种方法,将 代入傅立叶反变换的定义式，有,将，则,根据傅立叶变换的定义，有,1的傅立叶变换式,3.6 冲激函数和阶跃函数的频谱,六、阶跃函数的频谱,3.6 冲激函数和阶跃函数的频谱,（1）借助符号函数求解,则,（此方法最简单）,（2）借助 函数求解，令 得到u(t)。,3.6 冲激函数和阶跃函数的频谱,注意：非奇函数也非偶函数，因而上变换式的实部和虚部不能为

21、0！,虚部,实部,实部具有冲激函数的性质，其强度由下式求：,3.6 冲激函数和阶跃函数的频谱,于是得到,（3）按矩形脉冲求解,归纳小结：,3.6 冲激函数和阶跃函数的频谱,常用函数F变换对,3.7 傅立叶变换的性质,一、线性特性,如果,则,3.7 傅立叶变换的性质,例题 求,二、对称性（互易性）,如果,则,如果f(t)为偶函数，则,对称关系，可以使问题得到简化。,例如：,3.7 傅立叶变换的性质,对称性举例,3.7 傅立叶变换的性质,例题3-7-1 求抽样函数 的频谱。,解：由前分析知宽度为,幅度为1的门函数的频谱为,则宽度为2，幅度为1/2的门函数的频谱为,3.7 傅立叶变换的性质,即,Sa

22、为偶函数，根据对称性，可得,3.7 傅立叶变换的性质,例题3-7-2 求函数 的频谱。,解：,当 时，,根据对称性,根据线性得,对称性举例,三、时移特性,3.7 傅立叶变换的性质,如果,则,例题3-7-3 如图所示的信号，求,例 3-7-3,解：,3.7 傅立叶变换的性质,四、频移特性,如果,则有,说明：（1）时间信号f(t)乘以 等效于f(t)的频谱沿频率轴 右移.,（2）频移技术在通信系统中得到广泛应用，如调幅、同步解调、变频等过程都是在频移的基础上完成.,3.7 傅立叶变换的性质,四、频移特性,3.7 傅立叶变换的性质,频谱移动的实现是将信号 乘以载频信号 或。,例题3-7-4,解：,根

23、据频移特性，则有,所以得到,3.7 傅立叶变换的性质,频移特性举例,例题3-7-5,由于,由对称性,得,而,所以,3.7 傅立叶变换的性质,五、尺度变换特性,如果,当 时，上式变成如下形式,3.7 傅立叶变换的性质,a=1,a=0.5,a=2,频域扩展,频域压缩,3.7 傅立叶变换的性质,尺度变换特性举例,或者：,3.7 傅立叶变换的性质,尺度变换特性举例,例题3-7-7,由于,由对称性,得,而,所以,3.7 傅立叶变换的性质,六、微分特性,如果,则有,同样,3.7 傅立叶变换的性质,解：因为,所以,时域微分特性举例,3.7 傅立叶变换的性质,根据对称特性，则有,例题3-7-9,函数 波形如图

24、，求,解：由前分析知,时域微分特性举例,3.7 傅立叶变换的性质,则有,解：因为,所以,根据微分特性，则得,频域微分特性举例,3.7 傅立叶变换的性质,3.7 傅立叶变换的性质,七、积分特性,如果,则,同样，可得到频域积分,其中,时域积分,其中,3.7 傅立叶变换的性质,例3-7-11,函数 波形如图，求,八、奇偶性,3.7 傅立叶变换的性质,如果 为实函数，则,3.7 傅立叶变换的性质,（1）,（2）若，则,（3）若，则,如果 为实函数，则有以下结论：,3.8 卷积定理,3.8 卷积定理,一、时域卷积定理,如果给定两个时间函数，已知,则,即两个时间函数的卷积的频谱等于各个时间函数频谱的乘积。

25、,二、频域卷积定理,如果给定两个时间函数，已知,则,3.8 卷积定理,其中,频域卷积定理举例,3.8 卷积定理,例题3-8-1,解：,根据频域卷积定理，可以得到所求函数的频谱为,即,3.8 卷积定理,3.9 周期信号的傅立叶变换,3.9 周期信号的傅立叶变换,周期信号,傅里叶级数,非周期信号,傅里叶变换,3.9 周期信号的傅立叶变换,3.9 周期信号的傅立叶变换,一、正、余弦信号的傅立叶变换,由欧拉公式,3.9 周期信号的傅立叶变换,3.9 周期信号的傅立叶变换,二、一般周期信号的傅立叶变换,对周期信号,两边取傅立叶变换,则得周期信号f(t)的傅立叶变换为,表明：周期信号f(t)的傅立叶变换由

26、一些冲激函数组成。它们位于 处。,3.9 周期信号的傅立叶变换,周期脉冲序列的傅立叶级数与 单脉冲的傅立叶变换有怎样的关系？,对周期信号,比较（1）和（2），可以得到,3.9 周期信号的傅立叶变换,或,表明：周期脉冲序列的傅立叶级数的系数Fn，等于单脉冲的傅立叶变换 在频率点 的值乘以。,根据这一特点，可以利用单脉冲的傅立叶变换式方便地求出周期性脉冲序列的傅立叶级数的系数。反之，亦然。,3.9 周期信号的傅立叶变换,例题3-9-1 求周期单位冲激函数的傅立叶变换,解:将其展开成傅立叶级数,则得到,3.9 周期信号的傅立叶变换,傅立叶级数,3.9 周期信号的傅立叶变换,因，则周期单位冲激序列的傅

27、立叶变换为,由前知,傅立叶变换,例题3-9-2 周期信号如图所示，求其傅立叶变换。,3.9 周期信号的傅立叶变换,解：先求单脉冲的傅立叶变换,周期矩形脉冲信号的傅立叶系数为,周期矩形脉冲信号的傅立叶级数为,3.9 周期信号的傅立叶变换,则f(t)的傅立叶变换为,即,3.10 抽样信号的傅立叶变换,3.10 抽样信号的傅立叶变换,所“抽样”就是利用抽样脉冲序列p(t)从连续信号f(t)中“抽取”一系列的离散样值,这种离散信号通常称为“抽样信号”。,一、什么是抽样信号？,3.10 抽样信号的傅立叶变换,TS采样周期，如果TS大小相等，则为均匀采样。,采样频率,采样角频率,3.10 抽样信号的傅立叶

28、变换,信号抽样过程,1、抽样信号 的傅立叶变换是怎样的？它与原信 号 的傅立叶变换有什么关系？,2、连续信号被抽样后，是否保留了原信号 的全 部信息，也就是说，在什么样的条件下，可以从 抽样信号 中无失真地恢复出原信号？,主要探讨的问题:,3.10 抽样信号的傅立叶变换,二、抽样信号的傅立叶变换,（一）时域抽样,连续信号 f(t)的傅里叶变换为,取样脉冲 p(t)的傅里叶变换为,取样信号 fs(t)的傅里叶变换为,均匀采样频率为,由前分析知,3.10 抽样信号的傅立叶变换,3.10 抽样信号的傅立叶变换,其中，傅立叶级数的系数为：,根据频域卷积定理,所以得到,说明：信号在时域被抽样后，其频谱

29、是连续信号频谱 的形状，以抽样频率 为时间间隔重复地得到。,3.10 抽样信号的傅立叶变换,3.10 抽样信号的傅立叶变换,（1）矩形脉冲抽样,抽样脉冲序列为矩形脉冲，脉冲幅度为E，脉冲宽度为，抽样角频率为。,自然抽样,即得,3.10 抽样信号的傅立叶变换,则得到矩形抽样信号的频谱为：,将Pn代入下式：,显然：在以 为周期的重复过程中，幅度以 的规律变化。,3.10 抽样信号的傅立叶变换,3.10 抽样信号的傅立叶变换,（2）冲激序列抽样,抽样脉冲序列 为冲激序列冲激抽样或理想抽样。,冲激间隔为Ts，强度等于连续信号的抽样值,抽样信号 是由一系列冲激函数组成；,3.10 抽样信号的傅立叶变换,

30、冲激抽样序列的傅立叶系数为:,则得到冲激抽样信号的频谱为:,可见：由于冲激序列的傅立叶系数为常数，则 是以 为周期等幅重复。如下图所示。,3.10 抽样信号的傅立叶变换,3.10 抽样信号的傅立叶变换,（二）频域抽样,连续频谱函数 对应的时间函数为。如果 在频域中被间隔为 的冲激序列 抽样，即为频域抽样。,那么，抽样后的频谱函数 所对应的时间函数 与原函数 有怎样的关系？,3.10 抽样信号的傅立叶变换,已知,抽样过程满足,其中,周期脉冲序列的傅立叶变换为,上式的傅立叶逆变换为,3.10 抽样信号的傅立叶变换,根据时域卷积定理知,则有,（二）频域抽样,周期脉冲序列的傅立叶逆变换：,即得 被抽样

31、后 所对应的时间函数为,3.10 抽样信号的傅立叶变换,3.10 抽样信号的傅立叶变换,3.10 抽样信号的傅立叶变换,其中：,解:矩形单脉冲的傅立叶变换为,则周期信号 的傅立叶变换为,以T1为周期重复便构成,3.10 抽样信号的傅立叶变换,所以,如果 被间隔为 的冲激序列所抽样，便得到矩形抽样信号。,根据时域抽样特性，是 以 为间隔重复得到，即,3.10 抽样信号的傅立叶变换,3.10 抽样信号的傅立叶变换,3.11 抽样定理,3.11 抽样定理,如何从抽样信号中恢复原连续信号？,问题：用抽样脉冲对连续信号进行抽样，抽样周期Ts取多大合适？,结论：只有满足 才不会产生频谱混叠，即 保留了原连

32、续时间信号的全部信息。,3.11 抽样定理,例如,3.11 抽样定理,通常把最低允许的抽样率称为“奈奎斯特取样率”，把最大允许的取样间隔称为奈奎斯特间隔。即,或：,时域取样定理：一个频谱受限的信号 f(t)，如果频谱只占据-mm的范围，则信号 f(t)可以用等间隔的抽样值来惟一地表示.而取样间隔必须不大于1/(2fm)（其中m=2fm），或者说，最低取样频率为2fm。,3.11 抽样定理,其中：,3.11 抽样定理,解:矩形单脉冲的傅立叶变换为,则周期信号 的傅立叶变换为,以T1为周期重复便构成,所以,3.11 抽样定理,如果 被间隔为 的冲激序列所抽样，便得到矩形抽样信号。,根据时域抽样特性

33、，是 以 为间隔重复得到，即,3.11 抽样定理,解:（1）,奈奎斯特取样率为：,例3.11.2已知信号 用 对其进行取样。(1)确定奈奎斯特取样率；(2)若取 求取样信号 并画出波形图；(3)求 并画出频谱图；,3.11 抽样定理,（2）,3.11 抽样定理,（3）,3.11 抽样定理,周期信号,本章小结,3.12 LTI系统的频域分析,3.11 LTI系统的频域分析,在讨论了信号的傅立叶分析方法的基础上，本节讨论系统的激励与响应在频域中的变化规律频域分析法。,频域分析法（frequency-domain analysis method）将信号分解为一系列等幅正弦函数(或虚指数函数),在求取

34、系统对每一单元信号的响应后，将各个单元信号的响应叠加，再转换到时域，就可以得到系统的总响应。,在时域分析中，不经任何变换直接求解微分方程，所涉及的函数变量都是时间t。,3.12 LTI系统的频域分析,傅立叶分析是将信号分解为无穷多项不同频率的虚指数函数之和。,对周期信号,对非周期信号,基本信号为,本节首先研究虚指数函数作用于系统所引起的响应。,一、系统的频率响应,3.12 LTI系统的频域分析,（一）基本信号 作用于LT I系统的响应,设LT I系统的冲激响应为，当激励是 时，其零状态响应为,h(t)的傅立叶变换,定义,3.12 LTI系统的频域分析,则有,上式说明：虚指数信号 作用与LT I

35、系统时，系统的零状态响应仍然为同频率的虚指数信号，其幅度和相位由系统的频率响应 确定。,反映了连续LT I系统对不同频率信号的响 应特性。,3.12 LTI系统的频域分析,（二）一般信号 作用于LT I系统的响应,根据LT I系统特性，可推得f(t)作用于系统的零状态响应y(t)。,3.12 LTI系统的频域分析,则系统响应,系统响应的频谱函数为,冲激响应 反映了系统的时域特性，频率响应 反映了系统的频域特性,频率响应也称为系统函数，定义为系统响应（零状态响应）的傅立叶变换与激励的傅立叶变换之比，即,也可写为,幅频特性,相频特性,关于 的偶函数,关于 的奇函数,3.12 LTI系统的频域分析,

36、也称系统的传递函数,频域分析方法：,3.12 LTI系统的频域分析,3.12 LTI系统的频域分析,解：,设,对原微分方程两端进行傅立叶变换，得,系统频率响应为,微分方程表示的LTI系统的频率响应的求解,3.12 LTI系统的频域分析,故有,将上式两边取傅立叶逆变换得,部分分式展开,而,3.12 LTI系统的频域分析,电路基本元件的时域特性：,实际电路系统的频率响应的求解,一是通过电路定律（KVL、KCL）建立微分方程，然后利用傅立叶变换求出系统的频率响应；另一种简单的方法是对电路中的基本元件建立频域模型，然后利用电路原理求出电路系统的频率响应。,3.12 LTI系统的频域分析,例题3-11-

37、2 如图所示的RC 电路，若激励电压源 为单位阶跃函数，求电容电压 的零状态响应。,解：RC网络的频率响应,（其中）,激励的傅立叶变换为,3.12 LTI系统的频域分析,则网络的零状态响应为,由冲激函数的抽样特性,将上式取傅立叶逆变换，得输出电压为,即,3.12 LTI系统的频域分析,解：方法1傅立叶变换法,（1）求输入信号的傅立叶变换,基波角频率,已知LT I系统频率响应的频域分析,（2）求系统频谱函数,由给出的频响曲线可以写出,（3）求系统响应的频谱函数,即,3.12 LTI系统的频域分析,（4）由输出响应的频谱函数经过傅立叶逆变换求时域响应,可见，输入信号中的二次谐波被滤除，只有直流与基

38、波分量。输入输出频谱图如下。,3.12 LTI系统的频域分析,3.12 LTI系统的频域分析,方法2傅立叶级数法,（1）将输入信号展开为傅立叶级数,直流分量,基波分量系数,二次谐波分量系数,3.12 LTI系统的频域分析,（2）求系统对各次谐波分量所呈现的系统函数,对应直流分量的系统函数,对应基波分量的系统函数,对应二次谐波分量的系统函数,3.12 LTI系统的频域分析,（3）求系统响应的各频率分量,（4）将输出各分量经过傅立叶逆变换，转换成时域各分量 的响应，并叠加得,对应直流分量的系统输出,对应基波分量的系统输出,对应二次谐波分量的系统输出,即,3.12 LTI系统的频域分析,通过以上两个

39、例题可以看出：在LTIS分析中，无论是时域，还是频域及后面将要讲到的复频域分析，其方法原理都是将信号分解为复指数函数之和的形式，求出各部分的响应，后再叠加。,以上是信号作用于系统以后，输入与输出关系的频域分析，下面将简单介绍信号在系统中传输的几个基本问题。,3.12 LTI系统的频域分析,二、无失真传输,系统对于信号的作用大体分为两类：一类是信号的传输；一类是滤波。传输就要求信号尽量不失真，而滤波则要求滤除或削弱不需要的成分。滤波的同时必然伴随着失真。,1、无失真传输,定义：指系统的输出信号与输入信号相比，只在幅度的大小和出现时间上不同，两者波形没有变化。,线性系统,3.12 LTI系统的频域

40、分析,将上式取傅立叶变换，得输出与输入信号频谱的关系为,无失真传输系统的频率响应为,其幅频特性和相频特性分别为,设输入信号为，则经无失真传输后，输出信号为,3.12 LTI系统的频域分析,无失真传输系统的两个条件：,1、系统的幅频响应 在整个频率范围内应为常数 K，即系统的带宽无穷大,2、系统的相位响应 在整个频率范围内应与 成 正比。,3.12 LTI系统的频域分析,例题3-11-4 已经一LT I 系统的频率响应为,（1）判断该系统是否为无失真传输系统,解：由给出的频率响应，得,系统的相位响应不是 的线性函数，所以系统不是无失真传输系统。,全通系统,（2）当输入 求稳态响应,3.12 LT

41、I系统的频域分析,稳态响应：,3.12 LTI系统的频域分析,三、理想低通滤波器,1、什么是滤波器？2、它的作用？可以使信号中的一部分频率分量通过，而使另一部分频率分量很少通过。3、分类：按照允许通过的信号的频率分：高通、低通、带通、带阻4种。,3.12 LTI系统的频域分析,3.12 LTI系统的频域分析,三、理想低通滤波器,具有右图所示的幅频、相频特性的系统称为理想低通滤波器。,它将低于某一角频率 的信号无失真地传送，而阻止角频率高于 的信号通过。,3.12 LTI系统的频域分析,一、理想低通滤波器的冲激响应,3.12 LTI系统的频域分析,二、理想低通滤波器的阶跃响应,则,奇函数,3.1

42、2 LTI系统的频域分析,即有,正弦积分,记,3.12 LTI系统的频域分析,画出其时域波形如图。,结论：阶跃响应的上升时间与系统的截止频率成反比,（也称截止频率）,3.12 LTI系统的频域分析,四、系统模型的物理可实现性,右图为一个简单的低通滤波器电路。,各元件满足关系,3.12 LTI系统的频域分析,具有近似理想低通滤波器的特性！,3.12 LTI系统的频域分析,什么样的系统数学模型可以在物理上实现？,幅度函数必须满足以下条件：,Paley-Wiener准则,3.13 相关函数与相关定理,一、相关函数的概念,比较一个信号与另一时延信号的相似程度。被广泛应用于雷达回波信号识别、信号噪声检测

43、、通信同步信号的识别等领域。,如果信号 为能量有限信号，且为实函数，则互相关函数定义为:,（1）实函数的相关,一般地，,容易验证,3.13 相关函数与相关定理,如果，则,自相关函数,3.13 相关函数与相关定理,对自相关函数有,即：实函数的自相关函数是关于时移 的偶函数。,（2）复函数的相关,如果信号 为能量有限信号，且为复函数，则互相关函数定义为:,3.13 相关函数与相关定理,复函数的自相关函数,具有如下性质,3.13 相关函数与相关定理,二、相关与卷积的比较,函数 的卷积为,互相关函数,而,3.13 相关函数与相关定理,卷积,相关,3.13 相关函数与相关定理,相乘,3.13 相关函数与

44、相关定理,例题3-12-1 求下图所示的两个信号的互相关函数,解：,3.13 相关函数与相关定理,时,时,3.13 相关函数与相关定理,波形如下图,波形如下图,3.13 相关函数与相关定理,三、相关定理,3.13 相关函数与相关定理,如果,则有,如果,则,能量谱,3.14 能量谱和功率谱,幅度谱和相位谱：反映了信号所含分量的幅度和相位随频率分布的情况 能量谱和功率谱：表示信号的能量或功率密度在频域中随频率变化的情况.常用于随机信号分析。,3.13 能量谱和功率谱,3.14 能量谱和功率谱,一、能量谱,如门函数、三角形脉冲、单边或双边指数率减函数。,由（1）、（2）可得信号能量与频谱函数的关系：,（2）,帕塞瓦方程,3.14 能量谱和功率谱,反映了信号的能量在频域内分布的情况，称为能量谱密度。,可见，信号的能量谱是 的偶函数，它只决定于频谱函数的模量。,进一步可得到,3.14 能量谱和功率谱,二、功率谱(自学),