83 时间序列的协整和误差修正模型.ppt

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1、3.2 协整与误差修正模型Cointegration and Error Correction Model,一、长期均衡与协整分析二、协整检验三、误差修正模型,一、长期均衡与协整分析Equilibrium and Cointegration,1、问题的提出,经典回归模型（classical regression model）是建立在平稳数据变量基础上的，对于非平稳变量，不能使用经典回归模型，否则会出现虚假回归等诸多问题。由于许多经济变量是非平稳的，这就给经典的回归分析方法带来了很大限制。但是，如果变量之间有着长期的稳定关系，即它们之间是协整的（cointegration)，则是可以使用经典回归

2、模型方法建立回归模型的。例如，中国居民人均消费水平与人均GDP变量的例子,从经济理论上说，人均GDP决定着居民人均消费水平，它们之间有着长期的稳定关系，即它们之间是协整的。,经济理论指出，某些经济变量间确实存在着长期均衡关系，这种均衡关系意味着经济系统不存在破坏均衡的内在机制，如果变量在某时期受到干扰后偏离其长期均衡点，则均衡机制将会在下一期进行调整以使其重新回到均衡状态。假设X与Y间的长期“均衡关系”由式描述,2、长期均衡,该均衡关系意味着:给定X的一个值，Y相应的均衡值也随之确定为0+1X。,在t-1期末，存在下述三种情形之一：Y等于它的均衡值：Yt-1=0+1Xt；Y小于它的均衡值：Yt

3、-1 0+1Xt；,在时期t，假设X有一个变化量Xt，如果变量X与Y在时期t与t-1末期仍满足它们间的长期均衡关系，即上述第一种情况，则Y的相应变化量为:,vt=t-t-1,如果t-1期末，发生了上述第二种情况，即Y的值小于其均衡值，则t期末Y的变化往往会比第一种情形下Y的变化大一些；反之，如果t-1期末Y的值大于其均衡值，则t期末Y的变化往往会小于第一种情形下的Yt。可见，如果Yt=0+1Xt+t正确地提示了X与Y间的长期稳定的“均衡关系”，则意味着Y对其均衡点的偏离从本质上说是“临时性”的。一个重要的假设就是:随机扰动项t必须是平稳序列。如果t有随机性趋势（上升或下降），则会导致Y对其均衡

4、点的任何偏离都会被长期累积下来而不能被消除。,式Yt=0+1Xt+t中的随机扰动项也被称为非均衡误差（disequilibrium error），它是变量X与Y的一个线性组合：,如果X与Y间的长期均衡关系正确，该式表述的非均衡误差应是一平稳时间序列，并且具有零期望值，即是具有0均值的I(0)序列。,非稳定的时间序列，它们的线性组合也可能成为平稳的。称变量X与Y是协整的（cointegrated）。,3、协整,如果序列X1t,X2t,Xkt都是d阶单整，存在向量=(1,2,k)，使得Zt=XT I(d-b)，其中，b0，X=(X1t,X2t,Xkt)T，则认为序列X1t,X2t,Xkt是(d,b

5、)阶协整，记为XtCI(d,b)，为协整向量（cointegrated vector）。如果两个变量都是单整变量，只有当它们的单整阶数相同时，才可能协整；如果它们的单整阶数不相同，就不可能协整。,3个以上的变量，如果具有不同的单整阶数，有可能经过线性组合构成低阶单整变量。,（d,d）阶协整是一类非常重要的协整关系，它的经济意义在于：两个变量，虽然它们具有各自的长期波动规律，但是如果它们是（d,d）阶协整的，则它们之间存在着一个长期稳定的比例关系。例如，中国CPC和GDPPC，它们各自都是2阶单整，如果它们是(2,2)阶协整，说明它们之间存在着一个长期稳定的比例关系，从计量经济学模型的意义上讲，

6、建立如下居民人均消费函数模型是合理的。,尽管两个时间序列是非平稳的，也可以用经典的回归分析方法建立回归模型。,从这里，我们已经初步认识到：检验变量之间的协整关系，在建立计量经济学模型中是非常重要的。而且，从变量之间是否具有协整关系出发选择模型的变量，其数据基础是牢固的，其统计性质是优良的。,二、协整检验EG检验,1、两变量的Engle-Granger检验,为了检验两变量Yt,Xt是否为协整，Engle和Granger于1987年提出两步检验法，也称为EG检验。第一步，用OLS方法估计方程 Yt=0+1Xt+t并计算非均衡误差，得到：,称为协整回归(cointegrating)或静态回归(sta

7、tic regression)。,非均衡误差的单整性的检验方法仍然是DF检验或者ADF检验。需要注意是，这里的DF或ADF检验是针对协整回归计算出的误差项，而非真正的非均衡误差。而OLS法采用了残差最小平方和原理，因此估计量是向下偏倚的，这样将导致拒绝零假设的机会比实际情形大。于是对et平稳性检验的DF与ADF临界值应该比正常的DF与ADF临界值还要小。,MacKinnon(1991)通过模拟试验给出了协整检验的临界值。,例8.3.1 利用1978-2006年中国居民总量消费Y与总量可支配收入X的数据，检验它们取对数的序列lnY与lnX间的协整关系。分别对lnY与lnX进行单位根检验，结论：它

8、们均是I(1)序列。进行协整回归。对协整回归的残差序列进行单位根检验，结论：残差序列是平稳的。由此判断中国居民总量消费的对数序列lnY与总可支配收入的对数序列lnX是（1,1）阶协整的。验证了该两变量的对数序列间存在长期稳定的“均衡”关系。,2、多变量协整关系的检验扩展的E-G检验,多变量协整关系的检验要比双变量复杂一些，主要在于协整变量间可能存在多种稳定的线性组合。假设有4个I(1)变量Z、X、Y、W，它们有如下的长期均衡关系：,非均衡误差项t应是I(0)序列：,然而，如果Z与W，X与Y间分别存在长期均衡关系：,则非均衡误差项v1t、v2t一定是稳定序列I(0)。于是它们的任意线性组合也是稳

9、定的。例如,由于vt象t一样，也是Z、X、Y、W四个变量的线性组合，由此vt 式也成为该四变量的另一稳定线性组合。（1,-0,-1,-2,-3）是对应于t 式的协整向量，（1,-0-0,-1,1,-1）是对应于vt式的协整向量。,一定是I(0)序列。,检验程序：对于多变量的协整检验过程，基本与双变量情形相同，即需检验变量是否具有同阶单整性，以及是否存在稳定的线性组合。在检验是否存在稳定的线性组合时，需通过设置一个变量为被解释变量，其他变量为解释变量，进行OLS估计并检验残差序列是否平稳。如果不平稳，则需更换被解释变量，进行同样的OLS估计及相应的残差项检验。当所有的变量都被作为被解释变量检验之

10、后，仍不能得到平稳的残差项序列，则认为这些变量间不存在（d,d）阶协整。,检验残差项是否平稳的DF与ADF检验临界值要比通常的DF与ADF检验临界值小，而且该临界值还受到所检验的变量个数的影响。,MacKinnon(1991)通过模拟试验得到的不同变量协整检验的临界值。,3、重要讨论：协整方程等价于均衡方程？,协整方程具有统计意义，而均衡方程具有经济意义。时间序列之间在经济上存在均衡关系，在统计上一定存在协整关系；反之，在统计上存在协整关系的时间序列之间，在经济上并不一定存在均衡关系。协整关系是均衡关系的必要条件，而不是充分条件。例如：农场居民人均消费和城镇居民人均收入之间存在协整关系，但是它

11、们在经济上并不存在均衡关系。例如：经济增长率和通货膨胀率之间存在协整关系，但是它们在经济上并不存在均衡关系。,均衡方程中应该包含均衡系统中的所有时间序列，而协整方程中可以只包含其中的一部分时间序列。例如：在GDP使用系统中包括GDP使用额、消费额、资本形成额、净出口额。均衡关系存在于4个序列之间，而协整关系可以存在于任意2个、3个序列之间。协整方程的随机扰动项是平稳的，而均衡方程的随机扰动项必须是白噪声。结论：不能由协整导出均衡，只能用协整检验均衡。,补充：Johansen协整检验,26,（1）Johansen协整检验的基本思想其基本思想是基于VAR模型将一个求极大似然函数的问题转化为一个求特

12、征根和对应的特征向量的问题。EG检验是基于回归的残差序列进行检验，而Johansen协整检验基于回归系数的协整检验。,根据Stock和Watson（2001），对于宏观计量经济学家，有四个重要的研究项目：1.描述宏观经济时间序列的动态变化；2.预测宏观经济时间序列；3.刻画宏观经济时间序列的因果关系；4.宏观经济政策分析,Sims（1980）批评大型宏观计量模型并提出一个新的研究方法：向量自回归模型（Vector Autoregressions），简称VAR。Sims认为大型宏观计量模型有以下问题：（1）模型设定是任意设定的；（2）为了模型的识别，模型中有太多不可信的限制。,Hansen和We

13、st（2002）将VAR与非稳定序列分析（analysis of nonstationary time series）以及广义矩（generalized method-of-moments,GMM）为近25年来宏观时间序列分析最重要的三大发展。,Reduced-form VAR简化式VAR就是考虑变量均为其自身滞后项以及其它变量滞后项的函数，也就是说，多变量VAR与单一变量AR模型最大的不同之处在于VAR考虑了系统内各变量的动态行为。,假设VAR的落后期数为1期，称之为VAR(1)。以一个三变量的VAR(1)为例，,32,VAR模型范例,理论：经济体系中，政府经常利用短期利率作为货币政策工具之

14、一，透过短期利率的调整来控制失业率及通货膨胀率。(taiwan_var_data.wf1)期间：1981M012007M06变数：物价上涨率(pi)、失业率(due)、短期利率(r),33,VAR模型Eviews操作步骤,步骤1：确认VAR系统中之变量是否均为平稳序列,34,VAR模型Eviews操作步骤,步骤2：建立VAR模型在workfile中，将变量pi、due、r选取，点右键，选择openas VAR选择unrestricted VAR，并将落后期数改为1 1(1空格1：代表滞后期数由第1期至第1期)，点选确定。,35,VAR模型Eviews操作步骤,右侧为三变量VAR(1)模型估计结

15、果。右则三个回归式看似为联立方程式，但事实上整个VAR就是似不相关回归模型(seemingly unrelated regression;SUR)，也就是三个方程式分别用OLS估计，亦可得到相同的结果。,36,VAR模型Eviews操作步骤,步骤3：记录不同滞后期之下的AIC及SIC，以利判断最适落后期数。由表中数值可以发现，SIC最适落后期数为1，但AIC最适滞后期数为12个月。若依统计最佳估计而言，应选择滞后1期，但若就经济观点来看，由于货币政策施行直到总体经济产生反应，中间的递延日期应该超过1个月，因此12个月应该是一个合理的货币政策递延长度。,如果VAR模型 Yt=1 Yt-1+2 Y

16、t-1+k Yt-k+ut,ut IID(0,)的内生变量都含有单位根，那么可以用这些变量的一阶差分序列建立一个平稳的VAR模型。Yt=1*Yt-1+2*Yt-2+k*Yt-k+ut*然而，当这些变量存在协整关系时，这种建模方法不是最好的选择。如果Yt I(1)，且非平稳变量间存在协整关系。那么非平稳变量的由协整向量组成的线性组合则是平稳的。这时，采用差分的方法构造VAR模型虽然是平稳的，但不是最好的选择。建立单纯的差分VAR模型将丢失重要的非均衡误差信息。因为变量间的协整关系给出了变量间的长期关系。同时用这种非均衡误差以及变量的差分变量同样可以构造平稳的VAR模型。从而得到一类重要的模型，这

17、就是向量误差修正模型。,下面推导向量误差修正（VEC）模型的一般形式。对于k=1的VAR模型，Yt=1 Yt-1+ut，两侧同减Yt-1，得 Yt=(1 I)Yt-1+ut 对于k=2的VAR模型，Yt=1 Yt-1+2 Yt-2+ut，两侧同减Yt-1，在右侧加、减 2 Yt-1，并整理得 Yt=(1+2-I)Yt-1-2 Yt-1+ut 对于k=3的VAR模型，Yt=1 Yt-1+2 Yt-2+3 Yt-3+ut，两侧同减Yt-1，在右侧加、减 2 Yt-1和3 Yt-1并整理得Yt=(1+2+3-I)Yt-1-2 Yt-1-3 Yt-1+2 Yt-2+3 Yt-3+ut=(1+2+3-I

18、)Yt-1 2 Yt-1-3 Yt-1+3 Yt-3+ut 在右侧加、减 3 Yt-2并整理得 Yt=(1+2+3-I)Yt-1-2 Yt-1-3 Yt-1+3 Yt-2-3 Yt-2+3 Yt-3+ut=(1+2+3-I)Yt-1-2 Yt-1-3 Yt-1-3 Yt-2+ut=(1+2+3-I)Yt-1(2+3)Yt-1-3 Yt-2+ut,40,我们所感兴趣的是 系数矩阵，它可以看作是一个代表变量间长期关系的系数矩阵。因为在长期达到均衡时，所有的差分变量都是零向量，中随机误差项的期望值为零，因此我们有=0，表示的是长期均衡时变量间的关系 因为 Yt I(0)，所以除了 Yt-k，模型中各

19、项都是平稳的。,若rank()=0或是rank()=N（满秩），则Yt不存在协整关系。rank()=rk，则Yt存在协整关系。,42,Johansen协整检验有两个检验统计量：迹检验统计量：，其中r为假设的协整关系的个数，为 的第i个特征值的估计值（下同）。对应的零假设是：H0：协整关系个数小于等于r；被择假设：H1：协整关系个数大于r。最大特征值检验统计量：对应的零假设：H0：协整关系个数等于r；相应的被择假设：H1:协整关系个数为r+1。,43,首先看，迹检验实际上是一个联合检验：，因为当 时，也为零，且在 范围内，越大，越小，越大。如果 大于临界值，则拒绝零假设，说明存在的协整个数大于r

20、，这时应继续检验新的零假设：协整关系个数小于等于r+1直至 小于临界值。,44,再来看。当 大于临界值时，我们拒绝协整关系个数等于r的原假设，然后继续检验新的假设：协整关系个数为r+1，直到 小于临界值。,Johansen协整检验的临界值已由Johansen给出。在实际应用中，上述两个检验可以同时使用，一般而言，两种检验给出的结果是相同的，但也可能会给出不同的结论。,45,（2）Johansen协整检验模型形式的确定。Johansen协整检验方程形式的确定包括两部分：一是确定VECM模型和 是否应包含常数项和时间趋势项；二是确定滞后项数（即k值）。对于前者，我们可以根据变量的数据图形来检验（同

21、ADF检验）；对于后者，我们可以利用前面ADF检验中提到的渐进t检验和信息准则法。,46,步骤1：将workfile中欲检验协整关系的变量标示，点右键，选择Openas group。步骤2：两变量组合group之后，点选数据窗口之view，选取cointegration test。,协整检验：Johansen程序Eviews步骤,47,步骤3：在协整选项设定中，选择summary列出5种共协整模式的摘要，并在lags intervals输入1 2（即p=3），并点选确定。,协整检验：Johansen程序Eviews步骤,48,在5种不同的检验估计式中，AIC及SIC建议选用模式1或模式2。,协

22、整检验：Johansen程序,模式2：intercept(no trend)in CE,no trend in VAR,49,协整检验：Johansen程序,步骤4：若选择以模式2为检验方程式的估计式，重新设定协整选项设定为模式2，并得到估计结果。从迹检验及最大特性根检验，都拒绝没有协整向量的原假设，但无法拒绝最多只有1个协整向量的原假设，因此推论此两变量之间应存在一个协整向量。,四、误差修正模型Error Correction Model,ECM,1、一般差分模型的问题,对于非稳定时间序列，可通过差分的方法将其化为稳定序列，然后才可建立经典的回归分析模型。,模型只表达了X与Y间的短期关系，而

23、没有揭示它们间的长期关系。关于变量水平值的重要信息将被忽略。,误差项t不存在序列相关，t是一个一阶移动平均时间序列，因而是序列相关的。,2、误差修正模型,是一种具有特定形式的计量经济学模型，它的主要形式是由Davidson、Hendry、Srba和Yeo于1978年提出的，称为DHSY模型。,由于现实经济中很少处在均衡点上，假设具有（1,1）阶分布滞后形式,Y的变化决定于X的变化以及前一时期的非均衡程度。一阶误差修正模型(first-order error correction model)的形式：,若(t-1)时刻Y大于其长期均衡解0+1X，ecm为正，则(-ecm)为负，使得Yt减少；若(

24、t-1)时刻Y小于其长期均衡解0+1X，ecm为负，则(-ecm)为正，使得Yt增大。体现了长期非均衡误差对短期变化的控制。,复杂的ECM形式，例如：高阶、多变量,误差修正模型的优点：如：a）一阶差分项的使用消除了变量可能存在的趋势因素，从而避免了虚假回归问题；b）一阶差分项的使用也消除模型可能存在的多重共线性问题；c）误差修正项的引入保证了变量水平值的信息没有被忽视；d）由于误差修正项本身的平稳性，使得该模型可以用经典的回归方法进行估计，尤其是模型中差分项可以使用通常的t检验与F检验来进行选取；等等。,3、误差修正模型的建立,Granger 表述定理（Granger representaio

25、n theorem）Engle 与 Granger 1987年提出 如果变量X与Y是协整的，则它们间的短期非均衡关系总能由一个误差修正模型表述。,模型中没有明确指出Y与X的滞后项数，可以是多阶滞后；由于一阶差分项是I(0)变量，因此模型中允许采用X的非滞后差分项Xt。,建立误差修正模型：首先对经济系统进行观察和分析，提出长期均衡关系假设。然后对变量进行协整分析，以发现变量之间的协整关系，即检验长期均衡关系假设，并以这种关系构成误差修正项。最后建立短期模型，将误差修正项看作一个解释变量，连同其它反映短期波动的解释变量一起，建立短期模型，即误差修正模型。,Engle-Granger两步法 第一步，进行协整回归（OLS法），检验变量间的协整关系，估计协整向量（长期均衡关系参数）；第二步，若协整性存在，则以第一步求到的残差作为非均衡误差项加入到误差修正模型中，并用OLS法估计相应参数。需要注意的是：在进行变量间的协整检验时，如有必要可在协整回归式中加入趋势项，这时，对残差项的稳定性检验就无须再设趋势项。另外，第二步中变量差分滞后项的多少，可以残差项序列是否存在自相关性来判断，如果存在自相关，则应加入变量差分的滞后项。,直接估计法用打开误差修正项括号的方法直接估计误差修正模型。一般不采用。,