8、椭球大地测量学的理论基础.ppt.ppt

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1、椭球参数及其关系,椭球参数及其关系,椭球参数及其关系,椭球参数及其关系,椭球参数及其关系,椭球参数及其关系,1954年北京坐标系的椭球基准是克拉索夫斯基椭球；1980国家大地坐标系的椭球基准是1975 IUGG 国际椭球；GPS所采用的WGS-84坐标系的椭球基准是WGS-84椭球。,椭球参数及其关系,但在物理大地测量中研究地球重力场时，需要引入一个正常椭球所产生的正常重力场。需要引入一些物理参数：,椭球参数及其关系,1980年大地坐标系采用第16届 IAGIUGG 椭球，其椭球元素为：,垂线偏差,我们知道，测量工作是以测站点的铅垂线为基准。测量计算是以椭球面的法线为基准，各点铅垂线的方向变化

2、又是不规则的，结果使得各点铅垂线和法线之间不仅存在偏差，而且偏差的大小和方向随着点位不同发生不规则的变化。在地面一点上，铅垂线和相应的椭球面法线之间的夹角，叫做这个点的垂线偏差,垂线偏差,几何大地测量天文大地垂线偏差相对天文大地垂线偏差绝对天文大地垂线偏差物理大地测量重力垂线偏差相对重力垂线偏差绝对重力垂线偏差,垂线偏差,地面一点的天文经纬度是通过天文观测得到的，其依据是铅垂线；椭球上一点的大地经纬度是通过计算得到的，其依据是椭球面的法线通过比较一点的天文和大地经纬度，推证出垂线偏差公式以及天文方位角和大地方位角的关系式，就可以求取点的垂线偏差和大地方位角,垂线偏差,第二节 椭球面上法截线的曲

3、率半径,上节内容回顾：椭球及其参数；垂线偏差公式与拉普拉斯方程；椭球定位。本节重点：子午圈曲率半径；卯酉圈曲率半径。,椭球面法线与子午线主法线的同一性：即椭球面法线一定与椭球短半轴相交,如图为过M点的子午面。子午线的主法线MP位于子午面内，且垂直于子午线切线T；R为过M点的平行圈切线，显然R垂直于M点的子午面，因此R垂直于MP。所以，MP垂直于椭球面在M点的切平面，因此MP也是椭球面的法线,椭球面的法线必定与椭球短轴相交，且纬度越高，交点越靠下；纬度越低，交点越靠上。,高等数学中曾经讲过，包含曲面上一点法线的平面叫法截面，法截面与曲面的截线叫法截线。不包含法线的平面和椭球面的截线，称为斜截线。

4、平行圈是一条重要的斜截线。要研究如何处理测量计算问题首先要了解椭球面上法截线性质，其中法截线的曲率半径便是一个基本内容通过椭球面上一点的法线，可以有无穷多个法截面，相应就有无穷多个法截线，随着它们的方向不同，每条法截线的曲率半径也不同。以下首先讨论两个特殊方向上的法截线曲率半径，然后讨论任一方向上的法截线曲率半径和一点处的平均曲率半径,椭球面上法截线的曲率半径,椭球面上法截线的曲率半径,曲线的曲率是曲线弯曲程度的反映，它是用曲线上无限接近的两点的切向量的交角对弧长的变化率来度量的，曲线上任一点的曲率的倒数称为曲率半径，故而曲率越大曲率半径越小，曲线的弯曲程度越高。,子午圈曲率半径,子午圈曲率半

5、径,子午圈曲率半径,子午圈曲率半径,子午圈曲率半径,请注意Pn的值,子午圈曲率半径,卯酉圈曲率半径,过椭球面上一点的法线，可以做无限个法截面，其中一个与该点所在的子午面相垂直的法截面称为卯酉面，卯酉面与椭球面的交线称为卯酉圈卯酉圈的曲率半径用N表示,卯酉圈曲率半径,麦尼尔定理：假设通过曲面上一点引两条截弧，一为法截弧，一为斜截弧，且在该点上这两条截弧具有公共切线，这时斜截弧在该点处的曲率半径等于法截弧的曲率半径乘以两截弧平面夹角的余弦。,卯酉圈曲率半径,卯酉圈曲率半径,上式说明：卯酉圈的曲率半径恰好等于椭球体的法线介于椭球面和短轴之间的长度，亦即卯酉圈的曲率中心位于椭球的旋转轴上由N的计算公式

6、可知，N与B有关，且随B的增大而增大，其变化规律如下表所示,N,主曲率半径,子午圈的曲率半径M和卯酉圈的曲率半径N是两个互相垂直的法截弧的曲率半径，在微分几何中统称二者为主曲率半径,平均曲率半径,椭球面上任意一点的平均曲率半径R等于该点子午圈曲率半径M和卯酉圈曲率半径N的几何平均值,M、N、R三者的关系,任意法截弧的曲率半径,子午法截弧是南北方向，其方位角为0或180，卯酉法截弧是东西方向，其方位角为90或270，这两个法截弧在P点上是正交的，下面讨论在P点上方位角为A的任意法截弧的曲率半径根据微分几何中的欧拉公式，由曲面上一点主曲率半径计算该点任意方位角A的法截弧的曲率半径的计算公式为：,任

7、意法截弧的曲率半径,任意法截弧的曲率半径,主曲率半径的计算,子午线弧长公式,Distance along meridian,子午线弧长公式,子午线弧长公式,子午线弧长公式,子午线弧长公式,平行圈弧长公式,子午线弧长与平行圈弧长的比较,梯形图幅的面积,地面观测值归算到椭球面,前面讲过，如果认为测站点的铅垂线和法线重合，那么视准面就是法截面，它和椭球面的截线就是法截线。可是事实上，测站点的铅垂线一般不与法线重合；不同测站点的法线也不相交，使两个对向测站之间出现两条法截线。本节中，我们首先进一步研究有关法截线的性质，选择出两点间的单一曲线，以便将地面观测方向归算至椭球面，得到椭球面上以法线为准的单一

8、方向值，使各点测得的角度能够组成闭合的三角形,大地线,两点间的最短距离，在平面上是两点间的直线，在球面上是两点间的大圆弧，那么在椭球面上又是怎样的一条线呢?,相对法截线,相对法截线,正反法截线,相对法截线,大地线,椭球面上两点间的最短程曲线叫做大地线。在微分几何中，大地线(又称测地线)另有这样的定义：“大地线上每点的密切面(无限接近的三个点构成的平面)都包含该点的曲面法线”，亦即“大地线上各点的主法线与该点的曲面法线重合”。因曲面法线互不相交，故大地线是一条空间曲面曲线,大地线,大地线,根据大地线的性质，在椭球面上进行测量计算时，应当以两点之间的大地线为依据在地面上测得的方向、距离等元素，应该

9、归算成椭球面上相应的大地线的方向、距离,大地线的微分方程,克莱劳方程:大地线各点的平行圈半径与大地线在该点的大地方位角的正弦的乘积等于常数,地面方向值归算至椭球面,三个基本内容：1）将测站点铅垂线为基准的地面观测方向换算成椭球面上以法线为准的观测方向2）将照准点沿法线投影至椭球面，换算成椭球面上两点间的法截线方向3）将椭球面上的法截线方向换算成大地线方向,地面方向值归算至椭球面,三项基本改正（三差改正）垂线偏差改正标高差改正截面差改正地面上的方向观测值，经过这三项基本改正之后，就得到了椭球面上以法线为基准的各大地线的方向值,三差改正,通过垂线偏差改正，将以垂线为基准的两标石间的直线方向值归算到

10、以法线为基准的椭球面上的直线方向值；通过标高差改正，将以法线为基准的椭球面上的直线方向值归算为以法线为基准的椭球面上的法截线的方向值；通过截面差改正，将以法线为基准的椭球面上的法截线的方向值归算为以法线为基准的椭球面上的大地线的方向值。,地面观测距离归算到椭球面,将地面上所观测的以垂线方向为依据的水平距离归算成椭球面上以法线方向为依据的大地线长度,高程归化,通过两标石间高差或垂直角将两标石间的距离归算为平均高程面上的距离；根据几何原理将平均高程面上的距离归算为椭球面上相应两点间的弦长；将椭球面上两点间弦长归算为两点间弧长；将椭球面上两点间弧长归算为椭球面上两点间的大地线长度；,地面观测距离归算

11、到椭球面,上式右端第一项是测距仪与反光镜平均高程面上的水平距离；第二项是水平距离换算成椭球面上相应弦长的改正数；第三项是弦长换算成弧长的改正数。由于椭球面上法截弧与大地线长度相差甚微，二者可以不加区别，上式结果可以视为椭球面上的大地线的长度,椭球面上的三角形解算,将地面实测方向与长度元素归算到参考椭球面上之后，就可以在椭球面上进行解算由于地球椭球的扁率不大，三角锁网中的三角形边长不太长，经过计算证明：当边长小于200km时，椭球面上的三角形解算完全可以在球面上进行。此时，椭球面三角形与球面三角形各个对应角度的差异小于0.001”，边长的差异小于1mm。,椭球面上的三角形解算,补充内容：球面直角

12、三角形的球面三角公式 任一元素的余弦等于不相邻两元素的正弦之积,椭球面上的三角形解算,任一元素的余弦等于相邻两元素的余切之积,椭球面上的三角形解算,勒让德定理：对于较小的球面三角形，对其进行改化，使各个平面角等于相应的球面角减去球面角超的三分之一，而边长保持不变，使其改化为平面三角形，就可以用平面三角形公式进行解算勒让德定理的实质就是将球面三角形改化为对应边相等的平面三角形，以便于应用平面三角形进行解算,椭球面上的三角形解算,椭球面上的三角形解算,椭球面上的三角形解算,勒让德定理表明：如果将球面三角形的每个角度减去其球面角超的三分之一，就得到对应的平面三角形按照平面三角形正弦公式解算，即可得到

13、球面三角形的边长,大地主题解算,大地坐标系是椭球面上基本的坐标系。根据大地测量观测成果（角度、距离），计算点在椭球面上的大地坐标，或者根据两点的大地坐标，计算它们之间的大地线长和大地方位角，该类问题称为大地主题解算,大地主题解算,大地主题解算依据推算的大地元素不同，分为大地问题正解和反解按距离分类：短距离（小于400km）中距离（4001000km）长距离（10002000km）按所求量的形式分类：直接解法和间解解法,大地主题解算,由于大地主题解算的复杂性，不同的目的要求以及不同的技术工具和技术发展的变化，一百多年以来，许多大地测量学者提出了种类繁多的公式和方法，据不完全统计，目前已有70余种

14、。多余这些不同的解法的理论基础，大致可以归纳为以下5类：,大地主题解算,1、以大地线在大地坐标系中的微分方程为基础。此时可以直接在椭球面上进行积分运算，由大地线的微分方程：,大地主题解算,这三个方程通过将大地线长度S作为独立变量，将四个变量B、L、A、S紧密联系在一起，它们通常是常一阶微分方程，沿P1和P2点之间的大地线弧长S积分之后得到：,大地主题解算,2、以白塞尔大地投影为基础。我们知道，地球椭球的形状与圆球区别不大。在球面上解算大地主题问题可借助于球面三角学公式简单而严密地进行。因此，如将椭球面上的大地线长度投影到球面上为大圆弧，大地线上的每个点都与大圆弧上的相应点一致，也就是说实现了所

15、谓的大地投影，那么给解算工作带来方便。,大地主题解算,如果我们已经找到了大地线上某点的数值B、L、A、S与球面上大圆弧相应点的数值 的关系式亦即实现了下面的微分方程；,大地主题解算,积分后，我们就找到了从椭球面向球面过渡的必要公式。因此，按这种思想，可得大地主题解算的步骤：(1)按椭球面上的已知值计算球面相应值，即实现椭球面向球面的过渡；(2)在球面上解算大地问题；(3)按球面上得到的数值计算椭球面上的相应数值，即实现从圆球向椭球的过渡。,大地主题解算,白塞尔首先提出并解决了投影条件，使这一解法得以实现。这类公式的特点是：计算公式展开e2或e2的幂级数，解算精度与距离长短无关。因此，它既适用于

16、短距离解算，也适用于长距离解算。依据白塞尔的这种解法，派生出许许多多的公式，有的是逐渐趋近的解法，有的是直接解法。这些公式大多可适应20000km或更长的距离，这对于国际联测、精密导航、远程导弹发射等都具有重要意义。,大地主题解算,3、利用地图投影理论解算大地问题如在地图投影中，采用椭球面对球面的正形投影和等距离投影以及椭球面对平面的正形投影(如高斯投影)，它们都可以用于解算大地主题，这类解法受距离的限制，只在某些特定情况下才比较有利。,大地主题解算,4、对大地线微分方程进行数值积分的解法这种解法既不采用勒让德级数，也不采用辅助面，而是直接对大地线微分方程式进行数值积 分计算以解决大地主题的解

17、算。常用的数值积分算法有高斯法，龙格-库塔法，牛顿法以及 契巴雪夫法等。这种算法易于编写程序，适用于任意长度距离。其缺点是随着距离的增长，计算工作旦大，且精度降低，而在近极地区，这种方法无能为力。,大地主题解算,5、依据大地线外的其他线为基础连接椭球面两点的媒介除大地线之外，当然还有其他一些有意义的线，比如弦线、法截线等。利用弦线解决大地主题实质是三维大地测量问题，由电磁波测距得到法截线弧长。所以对三边测量的大地主题面言，运用法截弧进行解法有其优点。当然，这些解算结果还应加上归化至大地线的改正。,大地主题解算,常用的方法主要是前两种，分别介绍如下：1、勒让得级数式2、高斯平均引数公式3、白塞尔方法,大地主题解算,大地主题解算,大地主题解算,大地主题解算,白塞尔方法思想：将椭球面上的大地元素按照白塞尔投影条件投影到辅助椭球上，继而在球面上进行大地问题解算，最后再将球面上的计算结果换算到椭球面上核心在于寻找椭球面上的大地元素与球面上相应元素之间的对应关系，同时也要解决在球面上进行大地问题解算,