大学数学一元微积分函数的连续性.ppt

《大学数学一元微积分函数的连续性.ppt》由会员分享，可在线阅读，更多相关《大学数学一元微积分函数的连续性.ppt（69页珍藏版）》请在三一办公上搜索。

1、 一元微积分学,大 学 数 学（一）,六讲 函数的连续性,主讲:岑利群,第一章 函数与极限与连续性,函数的连续性及其性质,一、连续函数的概念,二.函数的间断点(了解),三、连续函数的运算,四.初等函数的连续性,五.最大值和最小值定理,六.介值定理,极限形式,增量形式,一、连续函数的概念,设 f(x)在 U(x0)内有定义,若,则称函数 f(x)在点 x0 处是连续的.,1.函数连续性的定义(极限形式),可减弱：x0 为聚点,函数的连续性是一个局部性的概念,是逐点定义的.,定义,是整个邻域,函数 f(x)在点 x0 处连续,应该满足以下三点：,函数 y=x2 在点 x=0 处是否连续?,函数 y

2、=x2 在点 x=0 处连续.,又,且,y=x 2 在 U(0)内有定义,解,函数的连续性是通过极限定义的,当然可以 运用 语言描述它.,2.连续性的 语言形式,设函数 f(x)在 U(x0)内有定义.,若,当|x x0|时,有,则称函数 f(x)在点 x0 处是连续的.,|f(x)f(x0)|,成立,定义,3.连续性概念的增量形式,在某过程中,变量 u 的终值 u2 与它的,初值 u1 的差 u2 u1,称为变量 u 在 u1处的,增量,记为 u=u2u1.,定义,设函数 f(x)在 U(x0)内有定义,xU(x0),则称x=x x0 为自变量 x 在 x0 点处的增量.,=f(x0+x)f

3、(x0),y=f(x)f(x0),x,y,O,x0,x,x,y,y=f(x),此时,x=x0+x,相应地,函数在点 x0 点处,有增量 y,连续性概念的增量形式,则称 f(x)在点 x0 处连续.,设 f(x)在 U(x0)内有定义.若,定义,4.函数的左、右连续性,设函数 f(x)在 x0,x0+)内有定义.若,则称 f(x)在 x0 点处右连续.,设函数 f(x)在(x0,x0 内有定义.若,则称 f(x)在 x0 点处左连续.,其中,为任意常数.,定义,定理,讨论 y=|x|,x()在点 x=0 处,y=|x|在点 x=0 处连续.,x,y,y=|x|,O,的连续性.,解,讨论 y=sg

4、n x 在点 x=0 处的连续性.,sgn x,1,x 0,sgn x|x=0=sgn 0=0,故符号函数 y=sgn x 在点 x=0 处不连续.,0,x=0,1,x 0.,解,讨论函数 f(x)=,x2,x 1,在 x=1 处的连续性.,函数 f(x)在点 x=1 处不连续.,故函数 f(x)在点 x=1 处是左连续的.,x+1,x 1,但由于,解,5.函数在区间上的连续性,设函数 f(x)在开区间(a,b)内有定义.,若 x0(a,b),f(x)在点 x0 处连续,则称 f(x)在开区间(a,b)内连续,记为,f(x)C(a,b).,定义,若 f(x)C(a,b),且 f(x)在 x=a

5、 处,右连续,在端点 x=b 处左连续,则称函数,f(x)在闭区间 a,b 上连续,记为,f(x)C(a,b).,对半开闭区间和无穷区间可类似定义连续性,定义,一般地,如果函数 f(x)在区间 I,上连续,则记为 f(x)C(I).,二.函数的间断点,函数 f(x)在点 x0 处连续,应该满足以下三点：,1.函数间断点的定义,满足下述三个条件中的任何一个,则称函数 f(x),在点 x0 处间断,点 x0 称为函数 f(x)的一个间断点：,定义,2.函数间断点的分类,函数的间断点,在 x=0 处的连续性.,y,x,O,1,y=sinx,yx+1,由图可知,函数在点 x0跳跃间断点.,讨论,函数在

6、 x=1 无定义,故 x=1 为函数的第一类间断点.,x=1 为函数的间断点.,y,x,O,1,1,P(1,2),y x+1,x=1 为可去间断点.,解,讨论函数,x,y,O,在 x=0 无定义,x=0为函数的间断点,故 x=0为函数,的第二类间断点.,解,在 x=0 处无定义,又,不存在,故 x=0 为函数的第二类间断点.,看看该函数的图形.,解,O,1,1,x,y,第二类间断点,左右极限至少有一个不存在,左右极限至少有一个为无穷,左右极限至少有一个振荡,三、连续函数的运算,回忆函数极限的四则运算,则,1.连续函数的四则运算,设函数 f(x)、g(x),fi(x)在点 x0 处连续,则,即,

7、有限个在点 x0 处连续函数的和仍是一个 在点 x0 处连续的函数.即,(2)有限个在点 x0 处连续的函数之积仍是一个在点 x0 处的连续函数.即,(3)两个在点 x0 处连续函数的商,当分母不为 零时,仍是一个在点 x0 处连续函数.即,2.几个重要定理,这些定理与极限中的定理类似,x,y,y=f(x),y=|f(x)|,O,若 f(x)在区间 I 上连续,则|f(x)|仍,在 I 上连续.,定理 1,x0I,由 f(x)在 x0 的连续性:,当|x x0|时,有,|f(x)f(x0)|,此时,由绝对值不等式得,|f(x)|f(x0)|f(x)f(x0)|,由 x0 的任意性,|f(x)|

8、在区间 I 上连续.,(若 I 为闭区间,则对区间端点时指的 左,右极限.),证,该定理的逆命题不成立.,例如,f(x)=,1,x 为有理数,1,x 为无理数.,注意：,反函数的连续性,y=f 1(x)的图形只是 y=f(x)的图形绕直线 y=x 翻转 180 而成,故单调性、连续性仍保持.,设函数 y=f(x)在区间 I 上严格单调增加,区间 I*=y|y=f(x),xI 上严格单调增加,(减少)且连续.,定理 3,(反函数连续性定理),设函数 u=(x)在点 x0 处连续,且,这个条件有必要吗？,定理 4,(复合函数连续性定理),u=cos x 1 是在定义域内,的定义域是一个孤立点集,D

9、=x|x=2k,kZ,每一点均不连续.,在定理 4 的条件下,在定理4 的条件下,极限符号可与连续函数 符号交换顺序.,推论,求,解,设函数 u=(x)的极限存在：,函数 y=f(u)在点 u=a 处连续.,复合函数 f(x)当 x x0 时的极限存在,且,若复合函数 f(x)在,内有定义,则,定理 5,求,y=ln u 在其定义域内连续,故,（y=ln u 在 u=1 处连续）,解,由定理 5 容易得到下面几个幂指函数的极限公式：,函数 g(x)h(x)称为幂指函数,它的定义域,一般应要求 g(x)0.,时,幂指函数 g(x)h(x)也是连续函数.,当 g(x)与 h(x)均为连续函数,且

10、g(x)0,(3),(2),(1),基本初等函数在其定义域内是连续的.,初等函数在其有定义的区间内连续.,注意两者的区别！,四.初等函数的连续性,求,连续性给极限运算带来很大方便.,解,设 f(x)C(a,b),则,(i)f(x)在 a,b 上为以下四种单调函数时,五、最大值和最小值定理,y=f(x)a,b,y=f(x)a,b,则,则,(ii)y=f(x)为一般的连续函数时,x,y,a,a1,a2,a3,a4,a5,a6,b,ma,mb,y=f(x),O,(最大值和最小值定理),若 f(x)C(a,b),则它在该闭区间,上,至少取到它的最大值和最小值各一次.,定理,a,x,y,y=f(x),f

11、(a),b,f(b),O,f(x)C(a,b),f(a)f(b)0,f()0.,先看一个图,描述一下这个现象,六、介值定理,(根存在定理或零点定理),则至少存在一点(a,b),使得 f()0.,设 f(x)C(a,b),且 f(a)f(b)0,如何证明？,定理1,f()=C,下面看看,坐标平移会产生什么效果.,(介值定理),设 f(x)C(a,b),f(a)A,f(b)B,且 A B,则对于 A,B 之间的任意一个数 C,至少存在一点(a,b),使得 f()=C.,定理2,令(x)=f(x)C,故由根存在定理,至少存在一点(a,b)使,则(x)C(a,b),C 在 A,B 之间,(a)(b)=

12、(f(a)C)(f(b)C),=(A C)(B C)0,证,()=0,即 f()=C.,最大、最小值定理,介质定理,？,引入,设 f(x)C(a,b),证明:至少存在一点 x1,xn,使得,a x1 x2 xn b,证,由介值定理,至少存在一点(x1,xn),使,证明方程 x5 3x=1,在 x=1 与 x=2 之间,令 f(x)=x5 3x 1,x1,2,则 f(x)C(1,2),又 f(1)=3,f(2)=25,f(1)f(2)0,即 方程在 x=1 与 x=2 之间至少有一根.,故 至少存在一个(1,2),使得 f()=0,至少有一根.,证,至少有一个不超过 a+b 的正根.,证明方程 x=a sin x+b(a 0,b 0),设 f(x)=x a sin x b,x 0,a+b,则 f(x)C(0,a+b),而 f(0)=0 a sin 0 b=b 0,f(a+b)=(a+b)a sin(a+b)b,=a(1 sin(a+b)0,证,1)如果 f(a+b)0,则=a+b 就是方程的根.,即方程至少有一个不超过 a+b 的正根.,定理,至少存在一个(0,a+b),使得 f()=0.,2)如果 f(a+b)0,则 f(0)f(a+b)0,由根存在,综上所述,方程在(0,a+b 上至少有一个根,例4:见书上例4.,