p4转动惯量表.ppt

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1、,圆环(转轴沿几何轴),R,圆环(转轴沿直径),圆柱,细棒,圆盘和圆柱,圆盘(转轴沿直径),(转轴过中心与几何轴线垂直),(转轴过中心与棒垂直),(转轴过端点与棒垂直),球壳(转轴沿直径),球体(转轴沿直径),R,R,L,L,L,L,2R,2R,R2,R1,圆圈和圆筒,R2,R1,R,常见物体的转动惯量,(转轴沿几何轴),(转轴沿几何轴),细棒,L,L,(转轴过中心与板面垂直),及薄板,薄板,N,试求质量为M,长和宽分别为L和N的匀质矩形的转动惯量,其转轴是L边的中垂线.,解矩形的面积为 S=LN,取一矩形面积元 dS=Ndx,矩形元的转动惯量为 dJ=x2dm=Nx2dx,质量的面密度为=M

2、/S=M/LN.,其质量为 dm=dS=Ndx,矩形的转动惯量为,M,讨论:(1)转动惯量与N边的大小无关,当N边很小的时候,矩形就变成细棒,转动惯量不变.,L,N,(2)如果转轴是N边的中垂线,则转动轴量为,试求质量为M,长和宽分别为L和N的匀质矩形的转动惯量,其转轴通过中心且与板面垂线.,解矩形的面积为S=LN,质量的面密度为=M/S=M/LN.,在矩形上取一矩形面积元 dS=dxdy,质量元的转动惯量为dJ=r2dm=(x2+y2)dxdy,其质量为 dm=dS=dxdy,矩形绕z轴的转动惯量为,y,o,M,dS,L,N,x,r,方法一:质点法.,z,在矩形上取一质量元dm,绕z轴的转动

3、惯量为,dJ=r2dm=(x2+y2)dm=x2dm+y2dm,矩形绕z轴的转动惯量为,y,o,M,dm,L,N,x,r,方法二:正交轴定理.,z,其中x2dm是dm绕y轴的转动惯量dJy,y2dm是dm绕x轴的转动惯量dJx,所以dJ=dJy+dJx,而矩形绕x轴的转动惯量为Jx=MN2/12,因此J=Jx+Jy,矩形绕y轴的转动惯量为 Jy=ML2/12,在矩形上取一长为N,宽为dx的面积元dm,y,o,M,dS,L,N,x,方法三:平行轴定理.,z,根据平行轴定理,面积元绕z轴的转动惯量为,矩形绕z轴的转动惯量为,绕z轴的转动惯量为,其面积为 dS=Ndx,其质量为 dm=dS,z,试求

4、质量为M,半径为R的匀质圆环的转动惯量,其转轴沿着直径.,解方法一:质点法.圆环的周长为C=2R,在圆环上取一弧元,长度为 ds=Rd,弧元的转动惯量为dJ=D2dm=R2cos2Rd,质量的线密度为=M/C=M/2R;,其质量为 dm=ds=Rd,整个圆环绕直径的转动惯量为,R,D,o,M,ds,弧元到轴线的距离为 D=Rcos,=R3cos2d,方法二:正交轴定理.由于对称,圆环绕x轴和绕y轴的转动惯量相等,即Jx=Jy,其中x2dm是dm绕y轴的转动惯量dJy,y2dm是dm绕x轴的转动惯量dJx,所以dJz=dJy+dJx,而圆环绕z轴的转动惯量为Jz=MR2,在圆环上取一质量元dm,

5、绕z轴的转动惯量为dJz=R2dm,由于R2=x2+y2,可得dJz=(x2+y2)dm=x2dm+y2dm,所以圆环绕x轴或y轴的转动惯量为,这就是圆环绕直径的转动惯量.,R,o,M,dm,x,y,z,因此Jz=Jx+Jy=2Jx=2Jy,试求质量为M,半径为R的均匀圆盘的转动惯量,其转轴沿着直径.,解圆盘的面积为S=R2,方法一:质点法.在圆盘上取一面元,面积为dS=rddr,质量元的转动惯量为 dJ=D2dm=cos2dr3dr,质量的面密度为=M/S=M/R2.,其质量为 dm=dS=rddr,整个圆盘绕直径的转动惯量为,D,o,M,dS,质量元到轴线的距离为D=rcos,r,方法二:

6、圆环法.在圆盘上取一细圆环,面积为dS=2rdr,其质量为 dm=dS=2rdr,圆环的转动惯量为dJ=r2dm/2=rdr,圆盘的转动惯量为,讨论:在质点法中,质量元的转动惯量可表示为,对圆括号中的从0到2的积分值为,方括号中就是圆环的面积dS,这时dJ表示圆环的转动惯量,可见:圆环法的基础仍然是质点法.,R,方法三:细棒法之一.在圆盘上取一平行于轴的细棒,其长度为l=2Rsin,R,l,o,M,dS,y,x,由于x=Rcos,其宽度为|dx|=Rsind,其质量为 dm=dS=2R2sin2d,细棒的转动惯量为,圆盘绕直径的转动惯量为,其面积为 dS=l|dx|=2R2sin2d,方法四:

7、细棒法之二.在圆盘上取一垂直于轴的细棒,其长度为l=2Rcos,其质量为 dm=dS=2R2cos2d,细棒的转动惯量为,圆盘绕直径的转动惯量为,R,l,o,M,dS,由于y=Rsin,其宽度为dy=Rcosd,y,其面积为 dS=ldy=2R2cos2d,根据公式,可得,x,n为偶数.,方法五:正交轴定理.圆盘绕x轴和绕y轴的转动惯量相等Jx=Jy,可得dJz=(x2+y2)dm=dJy+dJx,因此得Jz=Jy+Jx=2Jx=2Jy,而圆盘绕z轴的转动惯量为,在圆盘上取一质量元dm,绕z轴的转动惯量为dJz=r2dm,y,由于r2=x2+y2,x,R,o,M,r,z,所以圆盘绕x轴或y轴的

8、转动惯量为,这就是圆盘绕直径的转动惯量.,dm,试求质量为M,半径为R的均匀球壳的转动惯量,其转轴沿着直径.,解球壳的面积为S=4R2,方法一:质点法.在球壳上取一面积元,其大小为,质量的面密度为=M/S=M/4R2.,o,M,dS,z,y,R,x,转动惯量为 dJ=D2dm=R4dsin3d,到转动轴z的距离为 D=Rsin,球壳绕z轴的的转动惯量为,dS=R2sindd,其质量为 dm=dS=R2sindd,D,方法二:圆环法之一.在球壳上取一细圆环,其轴线是球壳的转动轴.,细环的转动惯量为dJ=r2dm=2R4sin3d,其质量为 dm=dS=2R2sind,球壳绕直径的转动惯量为,R,

9、r,o,M,dS,d,其弧宽为 ds=Rd,其面积为 dS=2rds=2R2sind,细环半径为 r=Rsin,ds,方法三:圆环法之二.在球壳上取一细圆环,其轴线与转动轴垂直.,R,r,o,M,dS,D,细环绕过半径的转动惯量为 dJc=r2dm/2,根据平行轴定理得 dJ=dJc+D2dm,由于左右对称,球壳绕直径的转动惯量为,其质量为 dm=dS=2R2cosd,其弧长为 ds=Rd,其面积为 dS=2rds=2R2cosd,细环半径为 r=Rcos,细环到轴线的距离为 D=Rsin,=R4cos3d+2R4sin2cosd,=R4(1+sin2)cosd,方法四:正交轴定理.在球壳上取

10、一质量元dm,绕过z轴的转动惯量为 dJz=D2dm=(x2+y2)dm,即dJo=dJz+dJy+dJx/2,所以Jo=(Jx+Jy+Jz)/2.,由于dJo=(x2+y2+z2)dm,o,M,dm,z,y,R,x,D,同理,绕过y轴的转动惯量为 dJy=(z2+x2)dm,绕过x轴的转动惯量为 dJx=(y2+z2)dm.,该质量元绕o点的转动惯量为 dJo=R2dm,积分得球壳绕o点的转动惯量为Jo=MR2.,=(x2+y2)dm+(y2+z2)dm+(z2+x2)dm/2,由对称可得Jx=Jy=Jz,所以Jo=3Jz/2.,因此Jz=2Jo/3,即,这种方法避免了积分运算.,试求质量为

11、M,半径为R的均匀球体的转动惯量,其转轴沿着直径.,解球体的体积为V=4R2/3,方法一:质点法.在球体中取一体积元,其体积为,转动惯量为 dJ=D2dm=dsin3dr4dr,质量的体密度为=M/V.,到转动轴z的距离为 D=rsin,球体的转动惯量为,o,M,dv,dv=r2sinddrd,r,z,y,R,x,其质量为 dm=dv=r2sinddrd,D,方法二:圆盘法之一.在球体上取一薄圆盘,其轴线是球体的转动轴.,圆盘的转动惯量为dJ=y2dm/2=R5sin5d/2,其质量为 dm=dv=R3sin3d,球体的转动惯量为,o,M,dv,由于z=Rcos,其厚度为|dz|=Rsind,

12、其体积为 dv=y2|dz|=R3sin3d,圆盘的半径为 y=Rsin,y,R,z,y,设u=cos,则du=-sind,可得转动惯量,注:利用积分公式可以直接计算转动惯量:,n是奇数.,方法三:圆盘法之二.在球体上取一薄圆盘,其轴线与球体的转动轴垂直.,其质量为 dm=dv=R3cos3d,由于对称,可得球体的转动惯量为,o,M,dv,由于y=Rsin,其厚度为 dy=Rcosd,其体积为 dv=z2dy=R3cos3d,圆盘的半径为 z=Rcos,z,R,z,y,y,圆盘绕半径的转动惯量为 dJc=z2dm/4,根据平行轴定理得圆盘的转动惯量 dJ=dJc+y2dm,即:,方法四:球壳法

13、.在球体上取一半径为r,厚度为dr薄球壳,其质量为 dm=dv=4r2dr,球体的转动惯量为,o,M,dv,R,z,y,球壳绕半径的转动惯量为,其体积为 dv=4r2dr,r,由此可见:用球壳法求球体的转动惯量最简单.,方法五:正交轴定理.在球体内取一体积元dv,绕过z轴的转动惯量为 dJz=d2dm=(x2+y2)dm,即dJo=dJz+dJy+dJx/2,所以Jo=(Jx+Jy+Jz)/2.,由于dJo=(x2+y2+z2)dm=(x2+y2)dm+(y2+z2)dm+(z2+x2)dm/2,同理,绕过y轴的转动惯量为 dJy=(z2+x2)dm,绕过x轴的转动惯量为 dJx=(y2+z2

14、)dm.,该质量元绕o点的转动惯量为 dJo=r2dm,积分得球壳绕o点的转动惯量为,由对称可得Jx=Jy=Jz,所以Jo=3Jz/2.,因此Jz=2Jo/3,即,这种方法避免了繁杂的积分运算.,o,M,dv,r,z,y,R,x,D,即dJo=r4sinddrd,其质量为 dm=dv=r2sinddrd,试求质量为M,半径为R,长为L的匀质圆柱体的转动惯量,其转轴垂直轴线.,解圆柱体的体积为V=R2L,质量的体密度为=M/V=M/R2L.,方法一:质点法.在圆柱体内取一厚度为dx的体积元,到y轴的距离为r,则r2=x2+z2;到x轴的距离为r,则z=rcos.,绕y轴的转动惯量为,其质量为 d

15、m=dv=rddrdx,整个圆柱体绕y轴的转动惯量为,其体积为 dv=rddrdx,dJ=r2dm=(x2+z2)dm,=(x2+r2cos2)rddrdx,方法二:平板法.在圆柱上取一垂直于y轴的薄板,其长为L,宽为2z,厚为dy,其体积为dv=2Lzdy.,绕y轴的转动惯量为,其质量为 dm=dv=2LR2cos2d,整个圆柱体绕y轴的转动惯量为,利用积分公式,R,M,L,x,z,y,o,由于y=Rsin,所以dy=Rcosd;,又由于z=Rcos,可得dv=2LR2cos2d.,y,z,o,n为偶数.,R,过板的中心且垂直y轴有一轴,过此轴的转动惯量为dJc=L2dm/12,整个圆柱体绕

16、y轴的转动惯量为,根据平行轴定理,薄板绕y轴的转动惯量为,方法三:平行轴定理之一.在圆柱上取一垂直于z轴的薄板,其长为L,宽为2y,厚为dz,其体积为dv=2Lydz.,其质量为 dm=dv=2LR2sin2d,由于z=Rcos,所以dz=-Rsind;,又由于y=Rsin,可得dv=2LR2sin2d.,R,M,L,x,z,y,o,y,z,o,R,dJc,方法四:平行轴定理之二.在圆柱上取一圆盘,其体积为dv=R2dx,绕半径的转动惯量为,其质量为 dm=dv=R2dx,整个圆柱体绕y轴的转动惯量为,R,根据平行轴定理,圆盘绕y轴的转动惯量为,M,L,x,dx,y,dJc,方法五:正交轴定理.在圆柱体内取一厚度为dx的体积元,到y轴的距离为r,则 r2=x2+z2;,绕y轴的转动惯量为dJy=r2dm=(x2+z2)dm,其质量为 dm=dv=rddrdx,其体积为 dv=rddrdx,同理可得绕z轴的转动惯量为dJz=(x2+y2)dm,到x轴的距离为r,则 r2=y2+z2.,两式相加得 dJy+dJz=(y2+z2)dm+2x2dm,其中,积分得 Jy+Jz=Jx+2Jyz,Jx是圆柱体绕x轴的转动惯量,Jyz是圆柱体绕yz平面的转动惯量.,由对称性可知:Jy=Jz,所以圆柱体绕y轴的转动惯量为:,