D8考研基础班.ppt

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1、1,一、基本概念,二、多元函数微分法,三、多元函数微分法的应用,第八章 多元函数微分法,推广,一元函数微分学,多元函数微分学,注意:善于类比,区别异同.,2,(1)区域,邻域:,区域,连通的开集,(2)多元函数概念,n 元函数,常用,二元函数,(图形一般为空间曲面),三元函数,一、基本概念,1.多元函数,定义域及对应规律,3,解:,所求定义域为:,例2.设,解:,4,则称常数A为函数,2.多元函数的极限,(1)定义：,是D,的聚点.,如果对于任意给定的正数,总存在正数,使,得对于适合不等式,的一切点,都有,成立，,当,时的极限.,记为：,或,或记为,这里,5,(2)二元函数的极限与一元函数的极

2、限的区别与联系,不同点：,二元函数极限,的方式（路径）不同,一元函数 的方式有两种，故有,的方式是任意的，有无数个.,确定二元函数极限不存在的方法：,令P(x,y)沿y=kx趋向于,若极限值与k有关，,则可断言极限不存在；,找两种不同趋近方式，,但两者不相等，,此时也可断言f(x,y),或有的极限不存在，,6,共同点：,即有定义,与有极限不能互相推出.,定义方式相同.,故一元函数中凡是用定义证明的结论均可推广到,多元函数中.,用定义只能证明极限.,在点 是否有定义并不影响极限是否存在，,联系：,由于一元函数与二元函数极限的定义方式相同.,所以一元函数极限的性质如惟一性、保号性、局部有界性及极限

3、的四则运算法则，夹逼准则；无穷小的概,念与性质，两个重要极限及求极限的变量代换法，等价,无穷小代换法等都可直接推广到多元函数极限上来.,但一元函数极限的充要条件及洛必达法则不能用于多元函数极限上.,7,例3.考察函数,在原点的二重极限.,解:,8,例4.求极限,解:,其中,(或用等价无穷小代换),9,3.多元函数的连续,若令,记,则,设函数z=f(x,y)的定义域为D，聚点,若,(1)定义：,(2)间断点：,10,例如,函数,在点(0,0)极限不存在,又如,函数,上间断.,故(0,0)为其间断点.,在圆周,(3)多元初等函数：,如：,所表示的多元函数，,有限次的四则运算和复合步骤所构成的可用一

4、个式子,由常数及具有不同自变量的一元基本初等函数经过,叫多元初等函数.,11,(4)多元函数连续性的应用-求极限,如果f(P)是初等函数，,定义域的内点，,定理:,定义区域是指包含在定义域内的区域或闭区域,一切多元初等函数在其定义区域内是连续的,例5.,求,解:,函数,是二元初等函数，,12,4.多元函数的偏导数,(1)定义：,13,(2)多元函数的偏导数与一元函数导数的不同点：,(3)多元函数的偏导数与一元函数导数的共同点：,故多元函数偏导的求法与一元函数类似.,可以把一元函数的求导公式和法则拿过来用.,因此,定义方式相同.,(4)偏导及高阶偏导的记号：,纯偏导,混合偏导,14,例6.,解:

5、,由定义可知：,提示：求分界点、不连续点处的偏导数要用定义求.,(08数学三),15,5.多元函数的全微分,对于二元函数,(1)可微的定义:,微分：,全微分的实质：,可微,能,是,是,16,(2)多元函数连续、可导、可微的关系,极限存在,连续,可微分,偏导数存在,偏导数连续,(3)判定函数可微的方法:,不连续,不可微.,不可导,不可微.,可微,定义法:,偏导连续,可微.,是,17,函数,在,可微的充分条件是(),的某邻域内存在;,时是无穷小量;,时是无穷小量.,能,是,是,例7.,18,(12数学一),(12数学三),19,(4)几个需要记住的重要函数(反例):,1)函数,它在(0,0)处可导

6、,不可微,不连续.,2)函数,它在(0,0)处不可微、因不可导、连续.,3)函数,它在(0,0)处连续,可导,不可微.,20,例8.讨论函数,在原点处连续、可导、不可微.,所以，所给函数在(0,0)处连续.,解:,(2),21,可微,例8.讨论函数,解:(2)由导数的定义知,在原点处连续、可导、不可微.,则,22,1.求具体显函数的偏导数,把x看成变量，,其余变量均看成常量；,把y看成变量，,其余变量均看成常量；,2)求一点处偏导数的方法：,先代后求,先求后代,利用定义,3)求高阶偏导数的方法:,逐次求导法,混合偏导数连续,与求导顺序无关,1)求偏导(函)数的方法：,二、多元函数微分法,23,

7、24,2.复合函数求导的链式法则:,3.全微分形式不变性:,不论 u,v 是自变量还是因变量,都有：,25,例1.,解:,26,例2.,解:,27,(09数学一),28,法1：公式法：,法3：微分法：,法2：直接法：,两边求导，这时若对 求导，把 数,谁是自变量，,把 均看成变量用一阶微分形式不变性及微分法则.,求隐函数 的偏导数也有类似的方法.,请选用恰当的方法.,3.求隐函数 的偏导数的三个方法,29,隐函数的求导公式：,对,两边对 x 求导得,解这个关于 的方程组即可.,即,30,定理1.设函数,则方程,单值连续函数 y=f(x),并有连续,(隐函数求导公式),具有连续的偏导数;,的某邻

8、域内可唯一确定一个,在点,的某一邻域内满足,满足条件,导数,31,定理2.,若函数,的某邻域内具有连续偏导数,则方程,在点,并有连续偏导数,定一个单值连续函数 z=f(x,y),满足,在点,满足:,某一邻域内可唯一确,32,根据隐函数存在定理，,存在,点 的一个邻域，在此邻域内，该方程,(A)只能确立一个具有连续偏导的隐函数,(B)可以确立具有连续性偏导的隐函数,(C)可以确立具有连续性偏导的隐函数,(D)可以确立具有连续性偏导的隐函数,设,则,例3.,提示:,33,例4.设,解法1:直接求导法,再对 x 求导,注意：对x求导时,应把y看成常量,把z看成x,y的函数.,34,例4.设,解法2:

9、利用公式,设,则,解法3:利用微分法求导,35,(10数学一,二),36,解:,方程两边求微分,得,即,例5.设,是由方程,和,所确定的函数,求,(99考研),分析:,自变量个数=变量总个数 方程总个数,自变量与因变量由所求对象判定,函数的个数=方程的个数,37,一、基本概念,二、多元函数微分法,三、多元函数微分法的应用,第八章 多元函数微分法,推广,一元函数微分学,多元函数微分学,注意:善于类比,区别异同.,38,1.在几何中的应用,求曲面的切平面及法线(关键:抓住法向量),三、多元函数微分法的应用,曲面,曲面 在点,1)隐式情况：,的法向量：,切点,曲面,2)显式情况：,法线的方向余弦：,

10、法向量：,切点,39,求曲线的切线及法平面,(关键:抓住切向量),1)参数式情况.,切向量,2)一般式情况.,切点,切向量,其指向与t 的增长方向一致.,40,已知平面光滑曲线,切点,该曲线在 处的切向量为：,若平面光滑曲线方程为,特别的：,其指向与t 的增长方向一致.,若平面光滑曲线方程为,41,思考:平面曲线的切线(切向量)与法线(法向量).,1.已知平面光滑曲线,在点,有切线方程:,在 处的切向量为：,42,2.若平面光滑曲线方程为,故在点,有法线方程,43,3.已知平面光滑曲线,切线方程：,法线方程：,在点,有,44,例1.,解:,切向量为：,所求切线方程为：,法平面为：,求曲线,上对

11、应于,的点处的切线,与法平面方程.,45,例2.求曲线,在点M(1,2,1),处的切线方程与法平面方程.,解:令,则,切向量,切线方程,即,法平面方程,即,46,2.极值与最值问题,1)定义:,(1)由定义知:极值点应在定义区域内部(内点),而不能在边界上.,(3),在点(0,0)有极小值;,在点(0,0)有极大值;,(2)该极值的概念可推广到三元以上的多元函数上.,说明：,在点(0,0)有极大值;,47,2)极值的必要条件与充分条件,定理1(必要条件),函数,偏导数,且在该点取得极值,练习:(2003研)设可微函数 在点 取得极小值,则下列结论正确的是(),C,48,49,定理1简述为：驻点

12、,极值点(可导函数),注1,几何意义：,注2,逆命题不成立,即驻点不一定是极值点.,故驻点,极值点,但在该点不取极值.,1)驻点,2)偏导中至少有一个不存在的点.,50,令,A0 时取极大值;,A0 时取极小值.,1)驻点,2)偏导中至少有一个不存在的点.,51,例3.求函数,解:,解方程组,得驻点(1,1),(0,0),故所求函数的极值为:,对驻点(1,1):,所以,对驻点(0,0):,所以函数在(0,0)处无极值.,52,3)求函数,的极值的一般步骤：,求出在定义区域内部的实数解,第一步:解方程组,得驻点.,53,(12数学一,二),(09数学二),(09数学一,三9分),54,(11年数

13、学一),55,4)求条件极值的方法(消元法,拉格朗日乘数法),极值问题,无条件极值:,条 件 极 值:,条件极值的求法:,方法1 代入法.,求一元函数,的无条件极值问题.,对自变量只有定义域内限制.,对自变量除定义域内限制外,还有其它限制条件.,例如,56,方法2 拉格朗日乘数法.,如方法 1 所述,则问题等价于一元函数,的极值问题,故极值点必满足,设,例如,极值点必满足,引入辅助函数,57,拉格朗日乘数法:,就是可能的极值点的坐标.,辅助函数F 称为拉格朗日(Lagrange)函数.,利用拉格,朗日函数求极值的方法称为拉格朗日乘数法.,58,推广:拉格朗日乘数法可推广到多个自变量和多个约束

14、条件的情形.,例如,求函数,下的极值.,解方程组,可得到条件极值的可疑点,59,(1)最值的存在性：,如函数,(2)有界闭区域D上连续函数的最值的求法与步骤：,.找最值可疑点,D内的驻点及不可导点,边界上的可能极值点,.比较以上各点处的函数值,最大(小)者即为所求的 最大(小)值.,需求函数,(假定函数在D有有限个可疑点),定理：若 f(P)在有界闭域 D 上连续,则,在 D 上可取得最大值 M 及最小值 m.,5)求解闭域上连续函数最值问题,60,解:,如图,例4.求二元函数,61,设,解方程组,得条件极值的可疑点为：,另解 求,提示:,3.比较以上各点处的函数值,最大(小)者即为所求的最大

15、(小)值.,答案:,62,求多元函数在闭区域D上的最值,往往比较复杂.但如果根据问题的实际意义,知道函数在D内存在最值,又知函数在D内可微,且只有唯一驻点,则该点处的函数值就是所求的最值.,特别,当区域内部最值存在,且只有一个极值点P 时,函数的最值应用问题的解题步骤：,第二步 判别,比较驻点及边界点上函数值的大小,根据问题的实际意义确定最值.,第一步 找目标函数,确定定义域(及约束条件);,6)函数的最值应用问题,63,例5.,求曲面,与平面,解：,设,为抛物面,上任一点，,则 P,的距离为,问题归结为,约束条件:,目标函数:,到平面,之间的最短距离.,令,得唯一驻点：,根据问题的实际意义,

16、知,64,(08数学一,11分),(10数三),65,在山坡上沿不同方向行走时陡缓不一样.,空气沿不同方向流动的快慢不一样.,在数学上，即设函数 当(x，y)沿不同方向改变时的变化率决定着陡缓与快慢.,如图：,3.方向导数与梯度,问题的提出:,66,方向导数,1)定义:,则称,记作,67,的方向导数为：,68,2)方向导数的存在性及其计算方法:,定理,那么函数在,该点沿任一方向 的方向导数存在,且有,说明:,(1)可微,沿任一方向的方向导数存在.,反之不一定成立.,如：在 点处沿任一方向,的方向导数为1，,但它在 处不可微（因不可导）.,69,(3)若计算,，只需在题设中找到,(4)几个关系：

17、,连 续,可微分,偏导数存在,一阶偏导数连续,有定义,注：,反之不成立.,70,(5)推广可得三元函数方向导数的定义及计算公式,1)定义：函数 在点 处沿方向,的方向导数.,71,例6.,解:,方向余弦为,而,同理得,72,方向导数公式,记向量,方向导数取最大值：,这说明,方向：f 变化率最大的方向,模:f 的最大变化率之值,1)定义：,记作,梯度,73,即,同样可定义二元函数,函数 f(x,y,z)在点 P 处的梯度,在点,处的梯度,2)梯度与方向导数的关系:,(1)区别：,(2)联系：,梯度是向量，方向导数是数量.,函数在某点的梯度是这样一个向量，它的方向与取得,方向导数的最小值？,最大方向导数的方向一致,而它的模为方向导数的最大值.,即,74,例7.求函数,由梯度计算公式得,梯度,并求该函数在点 处的方向导数的最大值.,解：,则该函数在点 处的方向导数的最大值为：,75,3.(05数1),