DSP04_IIR 数字滤波器设计和实现(1).ppt
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1、门爱东教授,数字信号处理Digital Signal Processing,第 4 章 IIR 数字滤波器设计和实现,2,主题概述,1-绪论2-离散时间信号和离散时间系统3-离散傅里叶变换及其快速计算方法4 IIR 数字滤波器设计和实现 4.1)概述 4.2)模拟滤波器设计 4.3)模拟滤波器的数字仿真 4.4)冲激响应不变法 4.5)双线性变换法 4.6)高通、带通和带阻 IIR DF 的设计(数字频率变换)4.7)IIR 数字滤波器的计算机辅助设计 4.8)IIR 数字滤波器的实现结构 4.9)IIR 数字滤波器的应用 4.10)本章小结5 FIR 数字滤波器设计和实现6 数字信号处理中的
2、有限字长效应,3,滤波器:选择所需的某一或某些频带的信号,而抑制不需要的其它频带的信号。通带:滤波器中使信号通过的频带,通带边缘所对应的频率称为通带截止频率。阻带:抑制信号或噪声通过的频带。过渡带:从通带到阻带的过渡频率范围。,4.1 IIR DF:概述,4,分类:输入输出信号:模拟和数字滤波器单位取样响应或实现网络结构:IIR DF 和 FIR DF 通频带:低通滤波器:只允许低频信号通过而抑制高频信号。例如,可用低通滤波器消除旧音乐录音带中的背景噪声。高通滤波器:只允许高频信号通过而抑制低频信号。例如,声纳系统可用高通滤波器消除信号中的船和海浪的低频噪声,保留目标特征。带通滤波器:允许某一
3、频带的信号通过。例如,数字电话双音多频(DTMF)信号的解码,每个电话键产生一对音频信号,其中一个信号对按键的行编码,另一个对列编码,接收端通过一组带通滤波器来识别每个按键。带阻滤波器:抑制某一频带的信号。例如,从复合电视信号中滤除频分复用的色度信号,以便得到亮度信号。,4.1.1 IIR DF 概述:分类,5,4.1.1 IIR DF 概述:分类,6,数字域性能指标通带截止频率 p通带波动Ap(dB,相对指标)或通带容限p(绝对指标)阻带起始频率 s阻带衰减 As(dB,相对指标)或阻带容限s(绝对指标)。,4.1.2 IIR DF 概述:性能指标,最重要的设计参数:频带容限(波动)和频带边
4、缘频率,7,由上图 所示,由于绝对指标|H(ej)|max=(1p),因此,存在如下定义:,4.1.2 IIR DF 概述:性能指标,8,模拟域性能指标:假定模拟滤波器的频率响应为 Ha(j),则基于平方幅度响应的低通滤波器技术指标为:,其中:为通带内波动系数,p:通带截止频率 A 为阻带衰减参数,s:阻带起始频率 c:3dB 截止频率,4.1.2 IIR DF 概述:性能指标,9,4.1.3 IIR DF 概述:设计过程,性能指标确定 按需要确定滤波器的性能要求,比如确定所要设计的滤波器类型是低通、高通、带通还是带阻,截止频率是多少,阻带的衰减有多大,通带的波动范围是多少等。系统函数确定 用
5、一个因果稳定的系统函数(或差分方程、冲激响应h(n)去逼近上述性能要求。此系统函数可分为两类,即 IIR 系统函数与 FIR 系统函数。算法设计 用一个有限精度的运算去实现这个系统函数(速度、开销、稳定性等)。这里包括选择算法结构,如级联型、并联型、正准型、横截型或频率取样型等;还包括选择合适的字长以及选择有效的数字处理方法等。实施方法 硬件实现、软件实现。,10,IIR DF 设计的目的就是确定滤波器的各系数 ak、bk,或者零极点 ci、di,使滤波器的性能满足要求。,S 平面逼近:模拟滤波器 H(s)Z 平面逼近:数字滤波器 H(z),4.1.3 IIR DF 概述:设计方法,用一因果稳
6、定的离散 LSI 系统函数逼近给定的性能要求:,11,4.1.3 IIR DF 概述:设计方法,直接设计累试(只适用于简单 DF 的设计);极点峰值;零点谷值设置其零极点以达到简单的性能要求特点:简单,但是需要经验。优化设计 CAD系统函数 H(z)的系数 ak,bk 或零极点 ci,di 等参数,可采用优化设计方法确定。步骤:优化原则:最小均方误差准则,绝对误差准则等;赋予初值;根据优化准则计算误差;改变参数赋值,再次计算误差,如此迭代下去,直至误差达到最小。,12,4.1.3 IIR DF 概述:设计方法,13,(模拟滤波器的设计理论已相当成熟,并可利用完备的图、表加快设计过程),模拟-数
7、字滤波器变换方法:冲激响应不变法和双线性变换法。也就是根据什么准则把 Ha(S)转换为 H(z)。,4.1.3 IIR DF 概述:设计方法,间接设计:用模拟滤波器的理论来设计数字滤波器(模拟原型法),14,本章主要讲述利用模拟原型设计 IIR DF 的方法 根据 IIR 滤波器设计的基本技术,引出两种设计方法:,4.1.3 IIR DF 概述:设计方法,15,在 Matlab 中提供了设计数字滤波器和模拟滤波器的函数(Bessel 滤波器除外,它仅有模拟形式),包括低通、高通、带通、带阻形式等,如下表所示。对大多数滤波器来讲,都可以得到满足指标要求的最低阶次滤波器。,4.1.3 IIR DF
8、 概述:设计方法,analog prototype,16,归一化频率需要注意:滤波器设计函数都是对归一化频率进行的。使用时不需要将系统取样频率作为额外的输入说明项。在 Matlab 中,数字滤波器使用的单位频率是奈奎斯特频率(定义为取样频率的一半),因此,归一化频率总是在区间 0f1 之内。对于一个取样频率为 1000Hz 的系统,300Hz 的归一化频率为 300/500=0.6 奈氏频率。本章内容:集中研究模拟原型法,遵循以下几个步骤:所要求的数字滤波器指标;设计性能相似的模拟滤波器的系统函数 Ha(S);进行滤波器变换(由s平面z平面),得到 DF 的系统函数H(z);模拟/数字滤波器变
9、换方法:冲激响应不变法和双线性变换法。也就是根据什么准则把Ha(s)转换为 H(z)。(重要!)进行数字频率变换,从数字低通滤波器中得到其它类型的数字滤波器。,4.1.3 IIR DF 概述:设计方法,17,主题概述,1-绪论2-离散时间信号和离散时间系统3-离散傅里叶变换及其快速计算方法4 IIR 数字滤波器设计和实现 4.1)概述 4.2)模拟滤波器设计 4.3)模拟滤波器的数字仿真 4.4)冲激响应不变法 4.5)双线性变换法 4.6)高通、带通和带阻 IIR DF 的设计(数字频率变换)4.7)IIR 数字滤波器的计算机辅助设计 4.8)IIR 数字滤波器的实现结构 4.9)IIR 数
10、字滤波器的应用 4.10)本章小结5 FIR 数字滤波器设计和实现6 数字信号处理中的有限字长效应,18,为什么要研究模拟滤波器?DF 是数字信号处理中极为重要的应用,但 DF 是近几十年发展起来的,它在很多方面要使用模拟滤波器的概念和知识;模拟滤波器本身也有用。因此,在研究 DF 之前,我们先讨论模拟滤波器的特性和用逼近方法求其系统函数。为什么设计滤波器必须用逼近的方法?这是由于滤波器的理想特性是不能实现的,而必须用逼近的方法。,4.2 模拟滤波器的设计,19,无失真传输,设一个模拟系统输入信号为 x(t),其输出为 y(t),系统的单位冲激响应为 h(t)。若 y(t)=kx(t-td),
11、k 为常数,则系统可以无失真传输。,频率响应定义为:,4.2.1 AF 设计:理想滤波器的频率响应,x(t),y(t)=kx(t-td),线性系统,所以,这个系统是线性相位,而且对所有频率分量有相同的放大倍数,是全通滤波器,可以使信号无失真地传输。,20,4.2.1 AF 设计:理想滤波器的频率响应,理想滤波器通带内输出、输入信号的幅度成正比,即对所有频率分量的放大倍数是相同的:|H(j)|=k线性相位:argH(j)=-td在阻带范围内|H(j)|=0过渡带的宽度为 0。可实现性?理想低通滤波器的冲激响应可以直接由它的频率响应进行傅立叶反变换得到。我们知道,矩形函数和 Sinc 函数是一对傅
12、立叶变换。因此,理想低通滤波器的冲激响应为一个 Sinc(x)函数,具有无穷长的持续时间。在实际应用中,我们如何构建一个理想滤波器?也就是能否得到一个具有因果冲激响应的理想滤波器?答案是否定的。如果我们所要求的滤波器是因果的和实际可实现的,则它就不是理想的。在离散时间系统中,有类似的理想数字滤波器定义。,21,分析证明:在因果系统中,式中 P()是的偶函数,Q()是 的奇函数。,(1)|H(j)|是 的偶函数,4.2.1 AF 设计:理想滤波器的频率响应,频率响应的性质,在模拟滤波设计中 采用不同的多项式去逼近给定的滤波器幅度频率响应 然后由设计的幅度频率响应,得到模拟滤波器的系统函数 H(s
13、)。如何由幅度频率响应求系统函数 H(s)呢?下面的频率响应的性质回答了这个问题。,22,4.2.1 AF 设计:理想滤波器的频率响应,P2()和 Q2()都是 的偶函数,故|H(j)|是 的偶函数,若要求稳定且因果,则 将左半平面的极点作为 Ha(s)的极点;若要求最小相位,则 将左半平面的零点作为 Ha(s)的零点;,(幅度平方函数),S 平面的虚轴 j,即s=j,对应于傅里叶变换。,23,(2)系统函数 H(s)的确定因为冲激响应 h(t)是实函数的,因而 H(s)的极点(或零点)必成共轭对存在。H(s)H(-s)的极、零点分布如图所示,成象限对称,虚轴上零点上的“2”表示二阶零点。H(
14、s)H(-s)在虚轴上的极点或零点一定是二阶的,但对于稳定系统,H(s)H(-s)在虚轴上没有极点。,4.2.1 AF 设计:理想滤波器的频率响应,24,由幅度平方函数|H(j)|2 确定 H(s)的方法如下:由 得到象限对称的 s 平面函数;求零极点:将 H(s)H(-s)因式分解,得到各个零点和极点;极点选择:任何可实现的滤波器都是稳定的,因此将左半平面的极点归于 H(s),右半平面的极点归于 H(-s);零点选择:如果要求最小相位延时特性,则 H(s)应取左半平面上的零点;如果没有特性要求,则可将对称零点的任一半(应为共轭对)取为 H(s)的零点;j轴上的零点或极点都是偶次的,其中一半(
15、应为共轭对)属于 H(s);增益:按照 H(j)和 H(s)的低频特性的对比,即 H(j)|=0=H(s)|s=0,或高频特性的对比,确定系统的增益常数 K0;由求出的 H(s)的零点、极点和增益常数,确定系统函数 H(s)。,4.2.1 AF 设计:理想滤波器的频率响应,25,例4.1 根据以下幅度平方函数确定系统函数 H(s)解:由|H(j)|2 的表达式,可得 其极点为:其零点为:,4.2.1 AF 设计:理想滤波器的频率响应,26,为了系统稳定,选择:左半平面极点 一对共轭零点作为 H(s)的零、极点,并设增益常数为 K0,则 H(s)为:按着 H(j)和 H(s)的低频特性或高频特性
16、的对比可以确定增益常数。在这里我们采用低频特性,即由 H(j)|=0=H(s)|s=0 的条件可得增益常数为:K0=2最后得到 H(s)为:,4.2.1 AF 设计:理想滤波器的频率响应,27,问题的提出:滤波器的理想特性无法实现,只能是近似实现。,模拟滤波器的幅频特性,4.2.2 AF 设计:模拟滤波器特性的逼近,28,4.2.2 AF 设计:模拟滤波器特性的逼近,技术要求LPF 的技术要求包括:截止频率(或通带的频率上限)p 通带内所允许的最大衰减或波动 p 阻带下限频率 s 阻带内所要求的最小衰减 s,29,注意:这里只提到幅频特性而没有相位问题。因为数字滤波器的设计中用到的是模拟滤波器
17、的幅频特性,而不考虑其相频特性或群时延。如果对于相位有高要求,可通过全通滤波器来校正其相位。,4.2.2 AF 设计:模拟滤波器特性的逼近,衰减特性 衰减特性()是单调变化的或者是波纹状变化。假设P1、P2 分别为滤波器输入、输出功率,则定义:,30,则有:,4.2.2 AF 设计:模拟滤波器特性的逼近,特征函数 上式不易直接用多项式和有理式来逼近。因此,需要找一个能够用多项式或有理式逼近的函数,以 K(j)表示,称之为特征函数。,31,4.2.2 AF 设计:模拟滤波器特性的逼近,逼近方法 若给定了衰减()或|Hd(j)|,则找某种方法逼近()或|Hd(j)|。使|k(j)|2 等于一个以
18、2 为自变量的多项式或有理式。由此,根据逼近函数(多项式或有理式)的不同,有多种不同类型的滤波器:,巴特沃思逼近切比雪夫逼近逆切比雪夫逼近椭圆逼近.,32,式中 c 和 a1,.aN 都为常数。以上式|k(j)|2 的形式来逼近|H(j)|2,以此方法导出的滤波器称为巴特沃思 Filter。N 为滤波器的阶数。,4.2.2 AF 设计:模拟滤波器特性的逼近,巴特沃思逼近(最平响应逼近),33,最平响应逼近最平响应:N 阶 Filter 在=0 处,衰减特性及其第一阶到第 N-1 阶导数皆为 0。即要求有:由前面有:于是在=0,有:,4.2.2 AF 设计:模拟滤波器特性的逼近,同理可得:,特征
19、函数 K(j)的最平响应条件,34,因此,巴特沃斯最平响应逼近的特征函数有:它使衰减()在=0 处最平,而|k(j)|2 又具有非常简单的表达式。给定了 Filter 的技术要求,就可求出式中 c 和 N。剩下的问题就是 H(s)。,4.2.2 AF 设计:模拟滤波器特性的逼近,由于巴特沃斯的特征函数 K(j)为:,得,即,35,式中2 为一待定的常数,N 为正整数。,切比雪夫 Filter,或者切比雪夫 I 型 Filter(通带内有等波纹特性),4.2.2 AF 设计:模拟滤波器特性的逼近,切比雪夫逼近,N 阶切比雪夫多项式,36,逆切比雪夫Filter,或者切比雪夫型 Filter(阻带
20、内有等波纹特性),4.2.2 AF 设计:模拟滤波器特性的逼近,逆切比雪夫逼近 另一种切比雪夫逼近,37,其中:1)J()为雅可比椭圆函数(Jacobian elliptic function)2)此类滤波器的通带、阻带内都有等波纹特性3)在相同的性能指标下,具有最小的阶数 N3)1932年 W.Cauer 首先提出了通带和阻带都具有等波纹特性的滤波器,故此类滤波器也称为考尔滤波器(Cauer Filter)。但因为 Cauer 滤波器的推导严重依赖椭圆函数理论,它更广泛地被称为椭圆滤波器(Elliptic filter)。,4.2.2 AF 设计:模拟滤波器特性的逼近,Cauer 逼近,38
21、,目的:相应于特定的逼近方法,制定图表以概括所有的逼近结果,从而简化滤波器的设计。优点:归一化后,Filter 的计算方法不因频率的绝对高低而异,因此,归一化后的图表曲线都能统一使用。,例如:(1),以 p 为参考频率,以 表示归一化频率。,(2),以 p 为参考频率,以 表示归一化频率。,4.2.2 AF 设计:模拟滤波器特性的逼近,归一化:按某一特定频率(参考频率)实施标称化,39,c:3dB 截止频率,单位为 rad/sN:待确定的滤波器阶数,特点:(1)3dB 点及其不变性;(2)单调下降性;(3)最大平坦性;,N 越大,越逼近于理想低通滤波器,4.2.3 AF 设计:巴特沃思滤波器,
22、巴特沃思(Butterworth)滤波器的幅度平方函数表达式为:,Butterworth.On the theory of filter amplifiers.Experimental Wireless&The WirelessEngineer,7:536541,October 1930.,40,因此,称 c 为 3dB 带宽(或半功率点截止频率)3dB 点与 N 值无关,称为 3dB 不变性。,3dB 带宽,4.2.3 AF 设计:巴特沃思滤波器,41,最平坦函数前面证明过此 Butterworth 幅度平方函数在=0 处具有最平响应特性。因此,此类 B 型滤波器也称为最平响应 Filter
23、。N 的影响 N 越大,B 型滤波器的特性 越接近理想的矩行形状(越陡峭)。有限平面只有极点。零点全部在 s=。(“全极点型”滤波器),4.2.3 AF 设计:巴特沃思滤波器,42,设计过程 性能指标 求滤波器阶数 N;性能指标 3dB 频率点 c 计算极点或查表 归一化系统函数 H(p);计算或反归一化 系统函数 H(s);,LPF 技术要求包括:通带频率p 通带内衰减 Ap 阻带下限频率 s 阻带内最小衰减 As,4.2.3 AF 设计:巴特沃思滤波器,43,4.2.3 AF 设计:巴特沃思滤波器,由给定的通带指标p、Ap 和阻带s、As,求得滤波器的阶数 N:,LPF 技术要求包括:通带
24、频率p 通带内最大衰减 Ap 阻带下限频率 s 阻带内最小衰减 As,滤波器阶数,44,4.2.3 AF 设计:巴特沃思滤波器,如果给定的是其它频率处(例如p)的指标,则由下列公式求得 3dB 截止频率 c:,由此式确定的滤波器在阻带处正好满足设计要求。,由此式确定的滤波器通带截止频率处正好满足设计要求。类似地,也可由阻带起始频率s 处的衰减 As 求得 3dB 截止频率 c:,得到滤波器阶数 N 后,由 Ap 或 As 求得 3dB 截止频率 c,由通带截止频率p 处的衰减 Ap 求得 3dB 截止频率 c:,45,求归一化系统函数 H(p)得到了巴特沃思滤波器的阶数 N 后,就可以确定零极
25、点形式的传输函数 H(s)。,把拉普拉斯变量 s 归一化为 p=s/c,则,4.2.3 AF 设计:巴特沃思滤波器,46,令上式分母多项式等于零,得到 2N 个极点:,极点的分布特性2N 个极点均匀地分布在 S 平面上半径为 1 的圆周上(非归一化时半径为 c);极点之间相距/N 弧度;这些极点一半位于 S 平面的左半平面,另一半位于 S 平面的右半平面;极点不落在虚轴上,从/2+/2N 弧度开始。N 为奇数,实轴上有极点,N 为偶数,实轴上无极点,4.2.3 AF 设计:巴特沃思滤波器,47,求系统函数 H(s)把 p=s/c 带入 H(p)得到实际需要的 H(s)为:,为了使得系统稳定,取
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