信号与系统分析PPT电子教案-离散系统的z域分析.ppt

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1、离散系统的z域分析,引言,求解差分方程的工具，类似于拉普拉斯变换；z变换的历史可是追溯到18世纪；20世纪5060年代抽样数据控制系统和数字计算机的研究和实践，推动了z变换的发展；70年代引入大学课程；今后主要应用于DSP分析与设计，如语音信号处理等问题。本章主要讨论：z变换的定义、收敛域、性质、与傅氏变换和拉氏变换的关系；z逆变换；利用z变换解差分方程；利用z平面零极点的分布研究系统的特性。,z变换的导出,抽样信号的拉氏变换离散信号的z变换,对 取拉氏变换,引入复变量,Z变换的定义与收敛域,对z变换式的理解,若x(k)为因果序列，则单边、双边z 变换相等，否则不等。,X(z)=Zx(k),x

2、(k)=Z-1X(z)；x(k)X(z),称为序列x(k)的双边z变换,称为序列x(k)的单边z变换,收敛域,z变换定义为一无穷幂级数之和，显然只有当该幂级数收敛，即,时，其z变换才存在。上式称为绝对可和条件，它是序列x(k)的z变换存在的充分必要条件。,收敛域的定义：,对于序列x(k)，满足,所有z值组成的集合称为z变换X(z)的收敛域。,ROC:Region of convergence,不同x(k)的z变换，由于收敛域不同，可能对应于相同的z变换，故在确定z变换时，必须指明收敛域。,对单边z变换，其收敛域比较简单，一定是某个圆以外的区域。,两种判定法,1比值判定法,若有一个正项级数，,则

3、：1：发散,即令正项级数的一般项,的n次根的极限等于，,则 1：发散,2根值判定法,求序列Z变换的方法,级数求和法,例,常用序列Z变换,单位阶跃序列,ROC：,指数序列,单位序列,单位延时序列,ROC：全平面,ROC：,斜变序列,已知,两边同时乘以z-1，可得,（用间接方法求）,Z变换的几个定理,ROC：一般情况下，取二者的重叠部分,某些线性组合中某些零点与极点相抵消，则收敛域可能扩大。,线性定理(表现为叠加性和均匀性）,则,例,零极点相消，收敛域扩大为整个z平面,例,解：,变换,右移位性质,移序定理,j为正整数,则,ROC：,证明,根据单边z变换的定义，可得,左移位性质,j为正整数,证明,根

4、据单边z变换的定义，可得,例:,解：,证明：,z域尺度变换,则,例,解:,方程两边取z变换,带入边界条件,某离散系统差分方程为：,整理为,乘k定理,共求导m次,例：求f(k)=k(k)的z变换F(z).,解：,初值定理,证明,把x（z）足够大时的动态特性与x（k）的初值联系起来,推理 x(1)？,终值定理,注意：当 收敛，才可用终值定理。,例：,解：,例：,求f(0)，f(1)，f()。,解：,例题,卷积定理,描述：两序列在时域中的卷积的z变换等效于在z域中两序列z变换的乘积。,则,证明时域卷积定理,因为,所以,逆z变换,部分分式展开法幂级数展开法留数法(删去),幂级数展开法,z变换式一般是z

5、的有理函数，可直接用长除法进行反变换。,是一个z的幂级数，级数的系数就是序列x(k)。,例,将F(z)以z的降幂排列,然后进行长除运算。,部分分式展开法,式中mn,（1）X(z)均为单极点,可展开为：,例 已知象函数,其收敛域分别为：z2,解 部分分式展开为,(2)X(z)有一个重极点p1 和单极点,则逆变换为,Z变换与拉氏变换的关系,Z变换与拉氏变换相互关系示意图,差分方程z变换解法,描述离散时间系统的数学模型为差分方程。求解差分方程是分析离散时间系统的一个重要途径。,求解线性时不变离散系统的差分方程有两种方法：时域方法，烦琐z变换方法,差分方程经z变换代数方程；可以将时域卷积频域（z域）乘

6、积；部分分式分解后将求解过程变为查表；求解过程自动包含了初始状态（相当于0-的条件）。,应用z变换求解差分方程步骤,(1)对差分方程进行z变换（移位性质）,(2)由z变换方程求出响应Y(z),(3)求Y(z)的反变换，得到y(k),单边z变换将系统的初始条件自然地包含于其代数方程中，可求得零输入、零状态响应和全响应。,差分方程的变换解,取单边z变换得,例：若某系统的差分方程为 y(k)y(k 1)2y(k 2)=f(k)+2f(k 2)已知y(1)=2，y(2)=1/2，f(k)=(k)。求系统的yzi(k)、yzs(k)、y(k)。,解,方程取z变换,Y(z)-z-1Y(z)+y(-1)-2

7、z-2Y(z)+y(-1)z-1+y(-2)=F(z)+2z-2F(z),离散系统的系统函数,定义：,H(z)求法,1、h(k)H(z)2、零状态下差分方程 H(z)3、模拟框图 H(z),系统函数H(z)的应用,2）求系统零状态响应yzs(k):,1）求系统单位冲激响应 h(k):,3）求系统差分方程:,4）系统零极点分析,5）判断系统稳定性,例：某系统，已知当输入f(k)=(1/2)k(k)时，其零状态响应,求系统的单位序列响应h(k)和描述系统的差分方程。,解,h(k)=3(1/2)k 2(1/3)k(k),系统函数的零、极点分析,例：,极点：,零点：,极点决定系统的固有频率或自然频率。,零极点图：,例：,（2）,在z平面上，画出H(z)的零极点图：极点用表示，零点用表示。,系统的稳定性分析,定义:若一个系统对于有界激励信号产生有界的响应，则该系统是稳定的。,稳定性准则（充要条件）,其中：M为有限正数,即：系统的单位序列响应绝对可和，则系统稳定。,稳定性判断,极点判断：,（1）H(z)极点全部位于z平面单位圆内：系统稳定（2）含有单位圆单极点，其余位于单位圆内：系统临界稳定（3）含有单位圆外或单位圆上重极点：系统不稳定,由系统极点判断,例：,例:,A满足什么条件，系统稳定？,稳定条件：-3/4 A 3/4,(系统稳定),极点对h(k)的影响,（2）,