利用直角坐标系计算二重积分.ppt

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1、1,一、利用直角坐标系计算二重积分,二、利用极坐标计算二重积分,第二节 二重积分的计算法,三、小结,2,1）如果积分区域为：,其中函数、在区间 上连续.,一、利用直角坐标系计算二重积分,X型,X型区域的特点：穿过区域且平行于y轴的直线与区域边界相交不多于两个交点.,1、积分域 D:,3,2）Y-型域：,Y型,Y型区域的特点：a、穿过区域且平行于 x 轴的直线与区域边界的交点不多于两个.b、,4,2、X-型域下二重积分的计算:由几何意义，若(x,y)0，则,此为应用计算“平行截面面积为已知的立体的体积”的方法.,截面为曲边梯形，其面积为：,5,6,注:若(x,y)0 仍然适用.,注意:1）上式说

2、明:二重积分可化为二次定积分计算;,2）积分次序:X-型域 先Y后X;,3）积分限确定法:域中一线插,内限定上下，域边两线夹，外限依靠它。,为方便,上式也常记为：,“域中一线插”,须用平行于 轴的射线穿插区域.,7,3、Y-型域下二重积分的计算：同理：,Y型域下,8,1）积分次序:Y-型域,先x后Y;,注意:,2）积分限确定法:域中一线插,内限定上下，域边两线夹，外限依靠它。,“域中一线插”,须用平行于X轴的射线穿插区域。,9,注意：二重积分转化为二次定积分时，关键在于正确确定积分限,一定要做到熟练、准确。,4、利用直系计算二重积分的步骤,（1）画出积分区域的图形,求出边界曲线交点坐标；,（3

3、）确定积分限，将二重积分化为二次定积分；,（2）根据积分域类型,判定积分区域是X型，Y型或必须分块处理；,（4）计算两次定积分，即可得出结果.,10,解,积分区域如图,11,解,积分区域如图,12,解,原式,13,解：,X型,14,Y型,15,例5,解：,X-型,16,例6,解：（如图）将D作Y型,17,解,18,解,19,5、若区域为组合域，如图，则：,6、如果积分区域既是X型，又是Y型,则有,20,例9,解：,先去掉绝对值符号，如图,21,X型,7、小结,22,Y型,23,有些二重积分，积分区域的边界曲线或被积函数用极坐标变量来表示比较简单，则可以考虑用极坐标来计算二重积分,二、利用极坐标

4、系计算二重积分,24,1 直系与极系下的二重积分关系（如图）,（1）面积元素变换为极系下：,（2）二重积分转换公式：,25,（3）注意：将直角坐标系的二重积分化为极坐标系下的二重积分需要进行“三换”：,26,2 极系下的二重积分化为二次积分,用两条过极点的射线夹平面区域，由两射线的倾角得到其上下限,任意作过极点的半射线与平面区域相交，由穿进点，穿出点的极径得到其上下限,将直系下的二重积分化为极系后，极系下的二重积分仍然需要化为二次积分来计算,27,（1）区域如图1,具体地（如图）,图1,28,（2）区域如图2,图2,29,（3）区域如图3,图3,30,（4）区域如图4,图4,31,解,32,解

5、,33,解,34,35,36,解,37,38,解,在极系下：,（如图）,39,40,(1)二重积分化为累次积分的方法,直角坐标系情形:,若积分区域为,则,若积分区域为,则,三、小结,41,则,极坐标系情形:若积分区域为,42,(2)计算步骤及注意事项,画出积分域,选择坐标系,确定积分序,写出积分限,计算要简便,域边界应尽量多为坐标线,被积函数关于坐标变量易分离,积分域分块要少,累次积好算为妙,图示法,不等式,(先积一条线,后扫积分域),充分利用对称性,应用换元公式,43,1.设,且,求,提示:,交换积分顺序后,x,y互换,练习题,44,2.交换积分顺序,提示:积分域如图,45,P411 2(1),(3);3(2),(4);6(2),(4);12(1),(2);,作业,