东南大学《线性代数》《几何与代数》复习要点 PPT.ppt.ppt

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1、线性代数几何与代数复习要点,张小向东南大学数学系http:/E-mail:版本号:2007.8,一.行列式,二.矩阵,三.向量,四.线性方程组,六.二次型,七.综合与提高,五.(小结)初等变换在线性代数中的地位,内容提要,一.行列式,线性代数几何与代数复习要点,一.行列式,行 列 式,定义,性质,计算,方程组,秩,秩,极大无关组,线性相关性,特征多项式,伴随矩阵,逆矩阵,面积/体积,叉积/混合积,一.行列式,行 列 式 的 定 义,低 阶,一 般,一阶,递推 公式,排列 组合,a11A11+a12A12+a1nA1n,a11A11+a21A21+an1An1,二阶,三阶,线性代数几何与代数复习

2、要点,二阶行列式,一.行列式,a11(1)1+1a22+a12(1)1+2a21,线性代数几何与代数复习要点,三阶行列式,一.行列式,=a11 a22 a33+a12 a23 a31+a13 a21 a32 a11 a23 a32 a12 a21 a33 a13 a22 a31,=a11A11+a12A12+a13A13,线性代数几何与代数复习要点,一.行列式,a11的余子式:,M11=,代数余子式:,A11=(1)1+1M11,a12的余子式:,M12=,代数余子式:,A12=(1)1+2M12,a13的余子式:,M13=,代数余子式:,A13=(1)1+3M13,线性代数几何与代数复习要点

3、,行列式的性质,一.行列式,性质1.互换行列式中的两列,行列式变号.,推论.若行列式 D 中有两列完全相同,则 D=0.,性质2.(线性性质)(1)det(1,kj,n)=kdet(1,j,n);(2)det(1,j+j,n)=det(1,j,n)+det(1,j,n).,线性代数几何与代数复习要点,一.行列式,推论.若行列式 D 中有两列元素成比例,则 D=0.,性质3.把行列式的某一列的k倍加到另一列 上去,行列式的值不变.,线性代数几何与代数复习要点,一.行列式,例1.,=14.,注:本题也可以用定义或对角线法则计算.,线性代数几何与代数复习要点,一.行列式,例2.设D=,证明:D=D1

4、D2.,证明:对D1施行ci+kcj 这类运算,把D1化为下三 角形行列式:,=p11 pmm,a11 a1m 0 0,am1 amm 0 0,c11 c1m b11 b1n,cn1 cnm bn1 bnn,线性代数几何与代数复习要点,一.行列式,对D2施行ci+kcj 这类运算,把D2化为下三角形行列式:,于是对D的前m列施行上述ci+kcj 运算,再对D的后n列 施行上述施行ci+kcj 运算,可得:,=p11 pmm q11 qnn=D1D2.,线性代数几何与代数复习要点,一.行列式,性质4.设A,B为同阶方阵,则|AB|=|A|B|.,性质5.设A方阵,则|AT|=|A|.,注:根据方

5、阵的性质5,前面几条关于列的性 质可以翻译到行的情形.例如:,性质1.互换行列式中的两行,行列式变号.,线性代数几何与代数复习要点,定理1.n阶行列式D等于它的任意一行(列)的各元素与其对应的代数余子式乘积 之和.即,D=a11A11+a12A12+a1nA1n=a21A21+a22A22+a2nA2n=an1An1+an2An2+annAnn=a11A11+a21A21+an1An1=a12A12+a22A22+an2An2=a1nA1n+a2nA2n+annAnn.,一.行列式,线性代数几何与代数复习要点,一.行列式,性质6.n阶行列式的某一行(列)元素与另一 行(列)的对应的代数余子式乘

6、积之和 为零.即 ai1Aj1+ai2Aj2+ainAjn=0(i j)a1iA1j+a2iA2j+aniAnj=0(i j).,定理2.设n阶行列式D=|aij|,则,注:克罗内克(Kronecker)记号,线性代数几何与代数复习要点,一.行列式,行列式的计算,1.二,三阶行列式对角线法则.,2.利用初等变换化为三角形.,(其中n 2,x a).,例3.计算n阶行列式,线性代数几何与代数复习要点,一.行列式,解:,=x+(n1)a(xa)n1.,线性代数几何与代数复习要点,一.行列式,3.按某一行(列)展开降阶.,4.递推/归纳.,(未写出的元素都是0).,例4.计算2n阶行列式,行列式的计

7、算,1.二,三阶行列式对角线法则.,2.利用初等变换化为三角形.,线性代数几何与代数复习要点,一.行列式,解:D2n=,=a,+(1)2n+1b,线性代数几何与代数复习要点,一.行列式,=ad D2(n1)bc D2(n1)=(ad bc)D2(n1)=(ad bc)2D2(n2)=(ad bc)3D2(n3)=(ad bc)n1 D2=(ad bc)n.,线性代数几何与代数复习要点,一.行列式,例5.证明n阶级(n2)范德蒙(Vandermonde)行列式,证明:当n=2时,D2=(a2 a1).现设等式对于(n1)阶范德蒙行列式成立,则,线性代数几何与代数复习要点,一.行列式,Dn=,1

8、1 1a1 a2 ana12 a22 an2 a1n-1 a2n-1 an n-1,(a1),(a1),(a1),线性代数几何与代数复习要点,一.行列式,=(a2a1)(a3a1)(ana1),线性代数几何与代数复习要点,一.行列式,5.升阶.,(其中a1a2an 0).,例6.计算n阶行列式,3.按某一行(列)展开降阶.,4.递推/归纳.,行列式的计算,1.二,三阶行列式对角线法则.,2.利用初等变换化为三角形.,线性代数几何与代数复习要点,一.行列式,解:Dn=,1+a1 1 1 1 1+a2 1 1 1 1+an,线性代数几何与代数复习要点,一.行列式,I lveit!,线性代数几何与代

9、数复习要点,一.行列式,=,1 1 1 11 a1 0 0 1 0 a2 0 1 0 0 an,注意已知条件:a1a2an 0,否则不能1/a1,1/an!,线性代数几何与代数复习要点,二.矩阵,二.矩阵,矩 阵,运算,分块运算,初等变换,线性 方程组,向量 空间,向量组,二次型,特征值,特征向量,相似,秩,线性代数几何与代数复习要点,二.矩阵,矩阵的运算,线性代数几何与代数复习要点,二.矩阵,行矩阵,列 矩 阵,零矩阵,初等 矩阵,对称 矩阵,对角 矩阵,单位矩阵,反对称 矩阵,正交 矩阵,正定 矩阵,可逆 矩阵,线性代数几何与代数复习要点,二.矩阵,行矩阵A1n:只有一行,又名行向量.,列

10、矩阵An1:只有一列,又名列向量.,零矩阵:每个元素都是0,常记为Omn或O.,初等矩阵:由单位矩阵经过一次初等变换所得.,方阵:行数=列数.,对称矩阵:AT=A.,对角矩阵:diag1,2,n,常用表示.,数量矩阵:kE,kI,其中k为常数.,单位矩阵:主对角线元素都是1,其余元素都是0,常记为E或I.,反对称矩阵:AT=A.,正交矩阵:QTQ=QQT=E.,正定矩阵:AT=A且x 有xTAx 0.,可逆矩阵:AB=BA=E.,线性代数几何与代数复习要点,二.矩阵,矩 阵 的 乘 积,向量组之间的线性表示(系数矩阵),线性变换的合成(z=By=BAx),二次型的矩阵表达式(f(x)=xTAx

11、),不满足消去律,结合律的妙用,不满足交换律,线性方程组的矩阵表达式(Ax=b),两组基之间的联系(过渡矩阵),有非平凡的零因子,(T)k,(P1AP)k,向量的内积(,=T),线性代数几何与代数复习要点,二.矩阵,例.某厂家向三个代理商发送四种产品.,线性代数几何与代数复习要点,二.矩阵,值得注意的现象:,(1)AB和BA未必相等.,线性代数几何与代数复习要点,二.矩阵,值得注意的现象:,(1)AB和BA未必相等.,(2)(AB)2和A2B2未必相等.,线性代数几何与代数复习要点,二.矩阵,值得注意的现象:,(1)AB和BA未必相等.,(2)(AB)2和B2A2未必相等.,(3)(A+B)2

12、和A2+2AB+B2未必相等,(A+B)(A B)和A2 B2未必相等.,线性代数几何与代数复习要点,二.矩阵,值得注意的现象:,(1)AB和BA未必相等.,(4)“AB=O”推不出“A=O或B=O”.,(2)(AB)2和B2A2未必相等.,(3)(A+B)2和A2+2AB+B2未必相等,(A+B)(A B)和A2 B2未必相等.,线性代数几何与代数复习要点,二.矩阵,值得注意的现象:,(1)AB和BA未必相等.,(4)“AB=O”推不出“A=O或B=O”.,(5)“AB=AC且A O”推不出“B=C”.,(2)(AB)2和B2A2未必相等.,(3)(A+B)2和A2+2AB+B2未必相等,(

13、A+B)(A B)和A2 B2未必相等.,线性代数几何与代数复习要点,二.矩阵,逆矩阵,存在方阵B使AB=I,存在方阵B使BA=I,|A|0,Ax=只有零解,Ax=b 有唯一解,秩(A)=n,A的行(列)向量组 线性无关,A与 I相抵(等价),A为有限多个初等 矩阵的乘积,A的特征值全非零,利用伴随矩阵,利用初等变换,(A1)1=A,唯一性,(A1)m=(Am)1,(AT)1=(A1)T,(kA)1=k1A1,(AB)1=B1A1,|A1|=|A|1,若A可逆,则秩(AB)=秩(B)秩(CA)=秩(C),是A的特征值 1是A1的特征值,线性代数几何与代数复习要点,二.矩阵,例7.求下列方阵的逆

14、矩阵.,解:(1),(2)|B|=2 0,B21=6,B31=4,B12=3,B22=6,B32=5,B13=2,B23=2,B33=2.,线性代数几何与代数复习要点,二.矩阵,设A可逆,则A可以经过有限次初等行变换化为 行最简形单位矩阵E.,A E,(A E)(E?),?=A1,线性代数几何与代数复习要点,二.矩阵,例8.设 A=,求A1.,1 2 3 2 2 13 4 3,线性代数几何与代数复习要点,二.矩阵,设A可逆,则A可以经过有限次初等行变换化为 行最简形单位矩阵E.,下面用初等变换解矩阵方程AX=B.注意到X=A1B.,(A B)(E?),?=A1B=X,线性代数几何与代数复习要点

15、,二.矩阵,加法,逆矩阵,乘法,数乘,转置,行列式,用初等行变换求A1(A,E)(E,A1)解AX=B(A,B)(E,A1B),Ax=b的增广矩阵(A,b),向量组矩阵,矩阵的相似标准形(Jordan标准形),分块矩阵,线性代数几何与代数复习要点,二.矩阵,矩阵的分块运算,注:分块之前A与B是同类型的,分块之后,与Aij对应的Bij是 同类型的(否则加不起来).,加法,逆矩阵,乘法,数乘,转置,行列式,线性代数几何与代数复习要点,二.矩阵,矩阵的分块运算,加法,逆矩阵,乘法,数乘,转置,行列式,k 为一个数,Easy!,线性代数几何与代数复习要点,二.矩阵,矩阵的分块运算,注:分块之前A的列数

16、等于B的 行数;分块之后,各Aik的列 数分别等于对应的Bkj的行 数(否则乘不起来).,乘法,逆矩阵,转置,行列式,加法,数乘,线性代数几何与代数复习要点,二.矩阵,求AB.,解:,于是AB=,线性代数几何与代数复习要点,二.矩阵,线性代数几何与代数复习要点,二.矩阵,矩阵的分块运算,转置,加法,数乘,逆矩阵,行列式,乘法,线性代数几何与代数复习要点,二.矩阵,矩阵的分块运算,行列式,其中A,B都是方阵.,也未必成立,例如,但即使A,B,C,D都是方阵,=1.,=|A1|At|.,加法,数乘,乘法,逆矩阵,转置,线性代数几何与代数复习要点,二.矩阵,矩阵的分块运算,逆矩阵,若A1,At都是可

17、逆方阵,(不必是同阶的),则,加法,数乘,乘法,转置,行列式,线性代数几何与代数复习要点,二.矩阵,与初等矩阵 的联系,解矩阵方程,求逆矩阵,可逆性,解线性方程组,求L(1,s)的基和维数,求矩阵的秩,保矩阵的秩,求合同标准形,求极大无关组,矩阵的初等变换,求向量组的秩,线性代数几何与代数复习要点,二.矩阵,矩阵的初等变换,1/2,1/2,增广矩阵的 初等变换,线性代数几何与代数复习要点,二.矩阵,线性代数几何与代数复习要点,二.矩阵,矩阵的秩,最高阶非零子式的阶数,行向量组的秩,列向量组的秩,r(A)=r(AT),A与B等价r(A)=r(B),P与Q可逆r(A)=r(PAQ),maxr(A)

18、,r(B)r(A,B)r(A)+r(B),A与B相似r(A)=r(B),A与B合同r(A)=r(B),r(A+B)r(A)+r(B),r(AB)minr(A),r(B),行空间的维数,列空间的维数,线性代数几何与代数复习要点,二.矩阵,并找出A的一个最高阶非零子式.,线性代数几何与代数复习要点,二.矩阵,可见秩(A)=3.B的第1,2,4列(是由A的第1,2,4列变来的)中有一个3阶非零子式.,因而A的第1,2,4列中必然有一个3阶非零子式.,不难找到,这个子式就是A的一个最高阶非零子式.,线性代数几何与代数复习要点,二.矩阵,特 征 值 和 特 征 向 量,|EA|=|E(P1AP)|,i=

19、tr(A),i=|A|,A可逆A的特征值 全不为零,此时A=A1=1,|EA|=|EAT|,A=f(A)=f(),对应于不同特征值的 特征向量线性无关,AT=AR且对应于不同特征值的特征向量正交,线性代数几何与代数复习要点,二.矩阵,A=,(EA)=0,|EA|=0,特征方程,特征多项式,EA,特征矩阵,特征值,特征向量,n阶方阵,非零向量,线性代数几何与代数复习要点,二.矩阵,例11.求A=,的特征值和特征向量.,解:,所以A的特征值为1=2,2=4.,解之得,A的对应于1=2的特征向量为,对于1=2,(2EA)x=0 即,3 11 3,=(2)(4).,(0 k R).,线性代数几何与代数

20、复习要点,二.矩阵,例11.求A=,的特征值和特征向量.,解:,所以A的特征值为1=2,2=4.,解之得,A的对应于2=4的特征向量为,对于2=4,(4EA)x=0 即,3 11 3,=(2)(4).,(0 k R).,线性代数几何与代数复习要点,二.矩阵,解:|EA|=(2)(1)2.所以A的特征值为1=2,2=3=1.对于1=2,求得(2EA)x=0 的基础解系:p1=(0,0,1)T.对应于1=2的特征向量为kp1(0kR).对于2=3=1,求得(EA)x=0 的基础解系:p2=(1,2,1)T.对应于2=3=1的特征向量为kp2(0kR).,例12.求,的特征值和特征向量.,线性代数几

21、何与代数复习要点,二.矩阵,解:|EA|=(+1)(2)2.所以A的特征值为1=1,2=3=2.(EA)x=0的基础解系:p1=(1,0,1)T.对应于1=1的特征向量为kp1(0kR).(2EA)x=0的基础解系:p2=(0,1,1)T,p3=(1,0,4)T.对应于2=3=2的特征向量为k2p2+k3p3(k2,k3不同时为零).,例13.求,的特征值和特征向量.,线性代数几何与代数复习要点,二.矩阵,相 似 矩 阵,反身性,对称性,传递性,AB AB(相抵/等价),AB|A|=|B|,AB r(A)=r(B),AB 多项式 f(A)f(B),AB|EA|=|EB|,AB tr(A)=tr

22、(B),线性代数几何与代数复习要点,二.矩阵,求|IA|=0的根,A可以相似对角化,秩(iIA)=nni?,A不能相似对角化,线性代数几何与代数复习要点,二.矩阵,例14.把,正交相似对角化.,解:|IA|=(2)(4)2.所以A的特征值为1=2,2=3=4.(2IA)x=的基础解系1=(0,1,1)T.(4IA)x=的基础解系2=(1,0,0)T,3=(0,1,1)T.由于1,2,3已经是正交的了,将它们单位化即 可得,线性代数几何与代数复习要点,二.矩阵,注:对于2=3=4,若取(4IA)x=的基础解系 2=(1,1,1)T,3=(1,1,1)T,则需要将它们正交化.取1=2,再单位化,即

23、得,线性代数几何与代数复习要点,二.矩阵,例15.设3阶实对称矩阵A的特征多项式为,(1)2(10),且3=1,2,2T是对应于=10的特征向量.(1)证明:是对应于=1的特征向量 与3正交;(2)求A.,证明(1)()因为A是实对称矩阵,和3是对应于A,()因=1是A的二重特征值,故A有两个 线性无关的特征向量1,2对应于=1.,由于1,2,3线性无关,而,1,2,3 线性相关,可设=k11+k22+k33,故=k11+k22是对应于=1的特征向量.,由3,=3,1=3,2=0得k3=0,的不同特征值的特征向量,所以3.,线性代数几何与代数复习要点,二.矩阵,解(2):由(1)可知对应于=1

24、两个线性无关的,将正交向量组1,2,3单位化得正交矩阵,例15.设3阶实对称矩阵A的特征多项式为,(1)2(10),且3=1,2,2T是对应于=10的特征向量.(1)证明:是对应于=1的特征向量 与3正交;(2)求A.,特征向量可取为x1+2x22x3=0的基础解系:,1=2,1,2T,2=2,2,1T,线性代数几何与代数复习要点,二.矩阵,Q=,由此可得A=QQT,线性代数几何与代数复习要点,三.向量,三.向量,线性 运算,度量,内积,线性 映射,向量,向量组,矩阵,线性方程组,线性代数几何与代数复习要点,三.向量,n维向量的概念,n 维向量,线性代数几何与代数复习要点,三.向量,列向量组:

25、1,2,s,矩阵A=(1,2,s),矩阵A的秩,向量组1,2,s的秩,r(1,2,s),线性代数几何与代数复习要点,三.向量,行向量组:1,2,s,矩阵A的秩,向量组1,2,s的秩,r(1,2,s),线性代数几何与代数复习要点,三.向量,r(1,2,s)s,r(1,2,s)s,r(1,2,s)=s,线性代数几何与代数复习要点,三.向量,A=,a11 a12 a1sa21 a22 a2s an1 an2 ans,=(1,2,s),线性代数几何与代数复习要点,三.向量,=,Ax=,x11+x22+xss,Ax=有解 能由 1,2,s 线性表示,Ax=有非零解 1,2,s 线性相关,线性代数几何与代

26、数复习要点,三.向量,简记为A:1,2,s,C:1,2,n.,若j=b1j1+b2j2+bsjs,j=1,2,n,即,=,1,2,n,1,2,s,线性代数几何与代数复习要点,三.向量,简记为B:1,2,s,C:1,2,m.,若i=ai11+ai22+aiss,i=1,2,m,即,B:,C:,=,1,2,s,m,1,2,线性代数几何与代数复习要点,三.向量,矩阵的乘积Cmn=Ams Bsn,=,行向量i=ai11+ai22+aiss,i=1,2,m.,列向量j=b1j1+b2j2+bsjs,j=1,2,n,向量组的线性表示:,向量组的线性表示与矩阵乘积,线性代数几何与代数复习要点,三.向量,线性

27、表示的传递性,A=(1,2),B=(1,2,3),C=(1,2),1=1+2,2=1+22,3=1+2,1=21+2,2=1 2+3,=2(1+2)+(1+22),=31+42,=(1+2)(1+22)+(1+2),=1,线性代数几何与代数复习要点,三.向量,B能由A线性表示,A=(1,2),B=(1,2,3),C=(1,2),=A(DF).,C能由B线性表示,一般地,C能由A线性表示.,线性代数几何与代数复习要点,三.向量,矩阵等价与向量组等价,矩阵A与B的行向量组等价,B的行向量组能由 A的行向量组 线性表示,A的行向量组能由 B的行向量组 线性表示,线性代数几何与代数复习要点,三.向量,

28、矩阵A与B的列向量组等价,B的列向量组能由 A的列向量组线性表示,A的列向量组能由 B的列向量组线性表示,线性代数几何与代数复习要点,三.向量,注:,矩阵A与B的行向量组等价,但列向量组不等价.,矩阵C与B的列向量组等价,但行向量组不等价.,线性代数几何与代数复习要点,三.向量,设A与B是同类型的矩阵,但是反过来,都未必成立.例如:,(1)若它们的行向量组等价,则r(A)=r(B),从而可得A与B等价(相抵).,(2)若它们的列向量组等价,则r(A)=r(B),从而可得A与B等价(相抵).,则A与B等价(相抵),但它们的行向量组不等价,列向量组也不等价.,线性代数几何与代数复习要点,三.向量,

29、其中1,s是维数相同的列向量(1,2,s也是维数 相同的列向量),则1,s也是线性相关的.,一些常用的结论,(1)含有零向量的向量组一定线性相关.,(2)单个向量 构成的向量组线性相关=.,(3)两个向量,线性相关 与的分量成比例.,(4)若1,s线性相关,则1,s,s+1,t也线性相关.,若1,s,s+1,t线性无关,则1,s也线性无关.,(5)任意n+1个n维向量线性相关.,线性代数几何与代数复习要点,三.向量,则I0与I等价.,(7)向量组1,s(s2)线性相关的充分必要条件是:,其中至少有某一个向量可由其余的向量线性表示.,(8)若向量组1,s线性无关,而1,s,线性相关,则 一定能由

30、1,s线性表示,且表示的方式是唯一的.,(9)若向量组I:1,s可由向量组II:1,t 线性表示,并且s t,则向量组I是线性相关的.,(10)若1,s线性无关,且可由1,t线性表示,则s t.,(11)若向量组1,s和1,t都线性无关,并且这两个,向量组等价,则s=t.,(12)设I0:1,r是向量组I:1,s的一个极大无关组,一些常用的结论,线性代数几何与代数复习要点,三.向量,这两个向量组的秩都是2,但它们不等价.事实上,I中的,不能由II线性表示.),例如:,一些常用的结论,(13)若向量组I:1,s可由向量组II:1,t线性表示,则秩(I)秩(II);,若这两个向量组等价,则秩(I)

31、=秩(II).,(注:一般情况下,两个向量组的秩相等时,它们未必等价!,线性代数几何与代数复习要点,三.向量,例16.设A=,3 2 0 5 03 2 3 6 12 0 1 5 31 6 4 1 4,求A的列向量,组的一个极大无关组.,可见A的第1,2,4列构成A的列向量组的一个极大无关组.,线性代数几何与代数复习要点,三.向量,例17.设1=1+22,2=2+23,3=3+21.,证明:1,2,3线性无关1,2,3线性无关.,证明:由条件可知1,2,3能由1,2,3线性表示,所以1,2,3线性无关 r(1,2,3)=3 r(1,2,3)=3 1,2,3线性无关.,即1,2,3能由1,2,3线

32、性表示.,因而1,2,3与1,2,3等价.,从而r(1,2,3)=r(1,2,3).,线性代数几何与代数复习要点,三.向量,例18.证明:n个n维列向量1,2,n线性无 关的充分必要条件是:任何一个n维列向 量都能由1,2,n线性表示.,证明:(充分性)任何一个n维列向量 都能由 1,2,n线性表示,都能由1,2,n线性表示,n=r(1,n)r(1,n)n,线性代数几何与代数复习要点,三.向量,证明:(必要性)对于任意的n维列向量,因而都能由1,2,n线性表示.,例18.证明:n个n维列向量1,2,n线性无 关的充分必要条件是:任何一个n维列向 量都能由1,2,n线性表示.,所以1,2,n,线

33、性相关.,由于n+1个n维列向量总是线性相关的,又因为1,2,n线性无关,线性代数几何与代数复习要点,三.向量,求L(A1,A2,A3,A4)的一组基和维数.,1 0 1,2 1 0,1 1 1,1 1 1,解:,可见dim L(A1,A2,A3,A4)=2,A1,A2是L(A1,A2,A3,A4)的一组基.,注:此外A1,A3也是L(A1,A2,A3,A4)的一组基.还有A1,A4.,线性代数几何与代数复习要点,四.线性方程组,四.线性方程组,基本概念,基本理论,应用,线性代数几何与代数复习要点,四.线性方程组,定理1.设ARmn.若mn(方程的个数小于未知量的,个数),则齐次线性方程组Ax

34、=有非零解,且 其通解中至少含nm个自由未知量.,性质1.若,都是Ax=的解向量,则+也是Ax=的解向量.,性质2.若是Ax=的解向量,kR,则k也是Ax=的解向量.,定理2.设ARmn,秩(A)=r.,(1)若r=n,则Ax=没有基础解系;(2)若r n,则Ax=确有基础解系,且任一基础解系中均含有nr个解向量.,线性代数几何与代数复习要点,四.线性方程组,解齐次线性方程组Amn x=的一般步骤,性质3.与基础解系等价的线性无关向量组也是基础 解系.,性质4.若ARmn,秩(A)=r,则Ax=的任意nr个 线性无关的解向量都是Ax=的基础解系.,A,行阶梯形,秩(A)n?,行最简形,线性代数

35、几何与代数复习要点,四.线性方程组,定理3.设ARmn,bRm,则,(1)Ax=b有解秩(A,b)=秩(A);(2)当秩(A,b)=秩(A)=n时,Ax=b有唯一解;(3)当秩(A,b)=秩(A)n时,Ax=b有无穷多 解,且通解中含有n秩(A)个自由未知量.,性质5.设1,2都是 Ax=b 的解,则12是Ax=的解.,性质6.是Ax=b的解,是Ax=的解,则+是 Ax=b的解.,线性代数几何与代数复习要点,四.线性方程组,定理4.设*是Ax=b的一个解,1,nr是Ax=的基础解系,则Ax=b的结构式通解为 x=k11+knrnr+*.,解非齐次线性方程组Amn x=b的一般步骤,A b,行阶

36、梯形,行最简形,线性代数几何与代数复习要点,四.线性方程组,例20.求,的基础解系与通解.,解:,该方程组的基础解系可取为,通解为,线性代数几何与代数复习要点,四.线性方程组,注:若依次取,则,于是得基础解系,通解,容易验证1,2与1,2等价.,线性代数几何与代数复习要点,四.线性方程组,另解:,该方程组的基础解系可取为,通解为,故原方程化为,线性代数几何与代数复习要点,四.线性方程组,解:,可见原方程组有解,且,例21.求方程组,的通解.,线性代数几何与代数复习要点,四.线性方程组,由此可得原方程组的结构式通解,可见原方程组有解,且,线性代数几何与代数复习要点,五.初等变换在线性代数中的地位

37、,五.初等变换在线性代数中的地位,计算行列式,求矩阵的秩与最高阶非零子式,求向量组的秩与极大无关组,求向量组生成的空间的维数与基,求逆矩阵,解线性方程组,解矩阵方程,化矩阵为阶梯形/最简形/标准形,化二次型(对称矩阵)为合同标准形,线性代数几何与代数复习要点,六.二次型,六.二次型,实二次型,xTAx,不变性:正定性,不变量:秩,正惯指数,线性代数几何与代数复习要点,六.二次型,f(x1,x2,xn)=a11x12+a22x22+annxn2+2a12x1x2+2a13x1x3+2an-1,nxn-1xn,n元实二次型,aij=aji,n aijxixj i,j=1,线性代数几何与代数复习要点

38、,六.二次型,n f(x1,x2,xn)=aijxixj i,j=1,xTAx,f 的矩阵,A的二次型,f 的秩:r(A),线性代数几何与代数复习要点,六.二次型,n f(x1,x2,xn)=aijxixj i,j=1,k1y12+k2y22+knyn2,?,f 的标准形,(y1,y2,yn),=,k1 0 00 k2 0 0 0 kn,y1y2yn,线性代数几何与代数复习要点,六.二次型,f(x)=xTAx=(Py)TA(Py)=yT(PTAP)y=g(y),寻求可逆矩阵P,使得,寻求可逆的线性变换x=Py,使得,线性代数几何与代数复习要点,六.二次型,例22.写出下列二次型的矩阵,(1)f

39、(x1,x2,x3)=x12 2x32+4x1x2+x2x3;,(2)f(x1,x2,x3)=,(x1,x2,x3),1 2 34 5 67 8 9,x1 x2 x3,.,线性代数几何与代数复习要点,六.二次型,(2)实二次型f(x)=xTAx总可以通过Rn中的可逆线性 变换将其化为规范形,且规范形是唯一的.,基本结论,(1)实二次型f(x)=xTAx总可以通过Rn中的可逆线性 变换将其化为标准形,f=k1y12+knyn2,其中k1,kn中非零的个数r=秩(f),且正项的个 数 p与负项的个数q(p+q=r)都是在可逆线性变换下的不变量.,线性代数几何与代数复习要点,六.二次型,基本结论,(

40、3)设n实阶对称矩阵A的秩为r,则存在可逆阵P,使,其中p+q=r.,A是正定矩阵;A的正惯性指数为n;A的特征值均大于零;A与单位矩阵相合;存在可逆矩阵P,使得A=PTP;A的各阶顺序主子式均大于零.,(4)同阶正定矩阵的和仍为正定矩阵.,(5)可逆线性变换不改变二次型的正定性.,(6)设A为n阶实对称矩阵,则下列叙述等价:,线性代数几何与代数复习要点,六.二次型,例23.用正交变换把将二次型 f(x1,x2,x3)=x12+x22+x322x1x3 化为标准形.,|EA|=(1)(2).所以A的特征值为1=0,2=1,3=2.代入(EA)x=0求得对应的特征向量 1=(1,0,1)T,2=

41、(0,1,0)T,3=(1,0,1)T.它们是两两正交的.,线性代数几何与代数复习要点,六.二次型,所以A的特征值为1=0,2=1,3=2.代入(EA)x=0求得对应的特征向量 1=(1,0,1)T,2=(0,1,0)T,3=(1,0,1)T.它们是两两正交的.,把它们单位化可得正交矩阵,令x=Qy,得该二次型的标准形为,f=y22+2y32.,线性代数几何与代数复习要点,六.二次型,例24.求f(x)=3x12+3x22+2x1x2+4x1x34x2x3在 条件x12+x22+x32=1下的最大,最小值.,由此可得A的对应于特征值=4的一个特 征向量:1=(1,1,0)T,|EA|=(4)2

42、(+2).,线性代数几何与代数复习要点,六.二次型,此外A的对应于特征值=2的一个特征向量 为3=(1,1,2)T,得2=(1,1,1)T,由此可得A的对应于特征值=4的一个特征向量:1=(1,1,0)T,4EA=,1 1 2,1 1 2,2 2 4,初等 行变换,1 0 0,1 0 0,2 0 0,为了求对应于=4 的另外一个与 1 正交的特 征向量,再解方程组,线性代数几何与代数复习要点,六.二次型,f=4y12+4y22 2y32,由此可得正交矩阵Q=,且x12+x22+x32=1化为y12+y22+y32=1,此时,令x=Qy,得该二次型的标准形为,f=4y12+4y22 2y32.,

43、=4(y12+y22+y32)6y32=4 6y32,最大值为4,最小值为2.,=6(y12+y22)2(y12+y22+y32)=6(y12+y22)2,线性代数几何与代数复习要点,六.二次型,例25.AT=A,A2 3A+2E=O A正定.,例26.A正定|A+E|1.,例28.AT=A,BT=B.证明:,不是正定的,因为,线性代数几何与代数复习要点,七.综合与提高,七.综合与提高,线性空间与线性变换,方阵的Jordan标准形,广义逆矩阵与最小二乘法,矩阵的几种分解法,线性代数几何与代数复习要点,七.综合与提高,物理背景:力,位移,线性代数几何与代数复习要点,七.综合与提高,几何向量,坐标

44、系,坐标,代数向量,基,坐标,直角坐标系,France,Ren Descartes,1596.3.31-1650.2.11,线性代数几何与代数复习要点,七.综合与提高,线性代数几何与代数复习要点,七.综合与提高,线性代数几何与代数复习要点,七.综合与提高,线性代数几何与代数复习要点,七.综合与提高,向量的内积,过原点:Ax+By+Cz=0,平面方程,向量的混合积,/x轴:By+Cz+D=0,/y轴:Ax+Cz+D=0,/z轴:Ax+By+D=0,x轴:Ax+D=0,y轴:By+D=0,z轴:Cz+D=0,线性代数几何与代数复习要点,七.综合与提高,向量的叉积,直线方程,两平面相交,线性代数几何

45、与代数复习要点,七.综合与提高,点,线,面的位置关系,两直线之间的夹角(方向向量的夹角),点到直线:,点到平面:,异面直线:,两平面之间的夹角(法向量的夹角),直线与平面的夹角(方向向量与法向量 夹角的余角),线性代数几何与代数复习要点,七.综合与提高,Rn及其子空间,向 量 空 间,“硬件”部分:Rn非空子集V,“软件”部分:线性运算,注意“向量空间的维数”与“向量的维数”之间的区别与联系,线性代数几何与代数复习要点,七.综合与提高,线性代数几何与代数复习要点,七.综合与提高,Rn,Rm,线性代数几何与代数复习要点,七.综合与提高,向量空间,向量,线性代数几何与代数复习要点,七.综合与提高,

46、(6)Rn的正交变换y=Qx不改变向量的内积,因而也不改变向,基本结论,(1)设1,2,s是正交向量组,则1,2,s线性无关.,(2)设1,2,s是标准正交向量组,且=k11+kss,则ki=,i,i=1,2,s.,(3)设1,2,s线性无关(s2),则存在一个正交向量组,1,2,s满足1,2,t与1,2,t等价(1 t s).,(4)设Q为n阶实方阵,则Q是正交矩阵的充分必要条件是Q的,列向量组构成Rn的一组标准正交基.,(5)设Q为n阶实方阵,则Q是正交矩阵 QT是正交矩阵,Q的行向量组转置后构成成Rn的一组标准正交基.,量的长度和夹角.,线性代数几何与代数复习要点,七.综合与提高,矩阵之间的三种等价关系,线性代数几何与代数复习要点,七.综合与提高,Ir OO O,Ip Iq O,线性代数几何与代数复习要点,七.综合与提高,线性代数几何与代数复习要点,