平面向量全部讲义.doc

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1、精选优质文档-倾情为你奉上第一节平面向量的概念及其线性运算1向量的有关概念(1)向量：既有大小，又有方向的量叫向量；向量的大小叫做向量的模(2)零向量：长度为0的向量，其方向是任意的(3)单位向量：长度等于1个单位的向量(4)平行向量：方向相同或相反的非零向量，又叫共线向量，规定：0与任一向量共线(5)相等向量：长度相等且方向相同的向量(6)相反向量：长度相等且方向相反的向量例1若向量a与b不相等，则a与b一定()A有不相等的模B不共线 C不可能都是零向量 D不可能都是单位向量例2.给出下列命题：若|a|b|，则ab；若A，B，C，D是不共线的四点，则等价于四边形ABCD为平行四边形；若ab，

2、bc，则ac；ab等价于|a|b|且ab；若ab，bc，则ac.其中正确命题的序号是()AB C DCA2向量的线性运算向量运算定义法则(或几何意义)运算律加法求两个向量和的运算三角形法则平行四边形法则(1)交换律：abba；(2)结合律：(ab)ca(bc)减法求a与b的相反向量b的和的运算叫做a与b的差三角形法则aba(b)数乘求实数与向量a的积的运算(1)|a|a|；(2)当0时，a的方向与a的方向相同；当0时，a的方向与a的方向相反；当0时，a0( a)()a；()aaa；(ab)ab例3：化简得() A. B. C. D0 例4：(1)如图，在正六边形ABCDEF中，()A0B C

3、D(2)设D，E分别是ABC的边AB，BC上的点，ADAB，BEBC.若12 (1，2为实数)，则12的值为_巩固练习：1将4(3a2b)2(b2a)化简成最简式为_ 2若|，则非零向量，的关系是() A平行 B重合 C垂直 D不确定3若菱形ABCD的边长为2，则|_4D是ABC的边AB上的中点，则向量等于()A B C D5若A，B，C，D是平面内任意四点，给出下列式子：；.其中正确的有() A0个 B1个 C2个 D3个6如图，在ABC中，D，E为边AB的两个三等分点，3a，2b，求，.DD 巩固练习 1。16a6b 2。C 3。2 4。A 5。C 6解：3a2b，D，E为的两个三等分点，

4、ab. 3aab2ab.2ababab.3共线向量定理：向量a(a0)与b共线等价于存在唯一一个实数，使得ba.例5已知a与b是两个不共线向量，且向量ab与(b3a)共线，则_例6设两个非零向量a与b不共线，(1)若ab，2a8b，3(ab)，求证：A，B，D三点共线(2)试确定实数k，使kab和akb共线巩固练习：1给出下列命题：两个具有公共终点的向量，一定是共线向量两个向量不能比较大小，但它们的模能比较大小a0(为实数)，则必为零，为实数，若ab，则a与b共线其中错误的命题的个数为()A1 B2 C3 D42.如图，已知a，b，3，用a，b表示，则()Aab B.ab C.ab D.ab3

5、已知向量a，b，c中任意两个都不共线，但ab与c共线，且bc与a共线，则向量abc()Aa Bb Cc D04如图，在ABC中，A60，A的平分线交BC于D，若AB4，且 (R)，则AD的长为()A2 B3 C4 D55在ABCD中，a，b，3，M为BC的中点，则_(用a，b表示)6设点M是线段BC的中点，点A在直线BC外，216，|，则|_.例5 例6解(1)证明：ab，2a8b，3(ab)，2a8b3(ab)2a8b3a3b5(ab)5.，共线，又它们有公共点B，A，B，D三点共线(2)kab与akb共线，存在实数，使kab(akb)，即kabakb.(k)a(k1)b.a，b是不共线的两

6、个非零向量，kk10，k210.k1.C B D B ab 24向量的中线公式: 若P为线段AB的中点，O为平面内一点，则()5三点共线等价关系A，P，B三点共线 (0)(1t)t (O为平面内异于A，P，B的任一点，tR)xy (O为平面内异于A，P，B的任一点，xR，yR，xy1)第二节 平面向量的基本定理及坐标表示1平面向量基本定理如果e1，e2是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任意向量a，有且只有一对实数1，2，使a1e12e2.其中，不共线的向量e1，e2叫做表示这一平面内所有向量的一组基底2平面向量的坐标运算(1)向量加法、减法、数乘向量及向量的模：设a(x1，y1

7、)，b(x2，y2)，则ab(x1x2，y1y2)，ab(x1x2，y1y2)，a(x1，y1)，|a|.(2)向量坐标的求法：若向量的起点是坐标原点，则终点坐标即为向量的坐标设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则(x2x1，y2y1)，|.3平面向量共线的坐标表示设a(x1，y1)，b(x2，y2)，其中b0.abx1y2x2y10.例7若A(0,1)，B(1,2)，C(3,4)，则2_例8.已知点M(5，6)和向量a(1，2)，若3a，则点N的坐标为()A(2,0)B(3,6) C(6,2) D(2,0)例9已知A(2,4)，B(3，1)，C(3，4)设a，b，c.(1)求3ab3c；(

8、2)求满足ambnc的实数m，n.巩固练习：1若向量a(1,1)，b(1,1)，c(4,2)，则c() A3ab B3ab Ca3b Da3b2已知向量a(x，y)，b(1,2)，且ab(1,3)，则|a|等于() A. B. C. D.3已知向量a(3,2)，b(x，4)，若ab，则x() A4 B5 C6 D74设点A(2,0)，B(4,2)，若点P在直线AB上，且|2|，则点P的坐标为()A(3,1) B(1，1) C(3,1)或(1，1) D无数多个5已知a(1,2)，b(3,2)，当kab与a3b平行时，k() A. B C D.6已知向量a(cos，sin)，向量b(，1)，则|2

9、ab|的最大值、最小值分别是()DA4 ，0 B4 ，4 C16,0 D4,07已知向量a(1,2)，b(2,3)，c(4,1)，若用a和b表示c，则c_.8已知向量a(3,1)，b(1,3)，c(k,7)，若(ac)b，则k_.例7(3，3) 例8.A 例9解：由已知得a(5，5)，b(6，3)，c(1,8)(1)3ab3c3(5，5)(6，3)3(1,8)(1563，15324)(6，42)(2)mbnc(6mn，3m8n)，解得 B C C C C D 2ab 5平面向量基本定理及其应用：如果，那么对这一平面内的任一向量a，有且只有一对实数1，2，使a1e12e2，其中e1，e2是一组基

10、底特别注意：若e1，e2是同一平面内的两个不共线向量， 1e12e2，则例10：（1）如图，平面内有三个向量，其中与的夹角为120，与的夹角为30，且|1，|2，若(，R)，则的值为_（2）已知分别是的边上的中线,且,则可用向量表示为_（3）如图，已知C为边AB上一点，且,则=_变式训练：1.在中,已知是边上一点,若,则（）AABCD2.设D，E分别是ABC的边AB，BC上的点，ADAB，BEBC.若12(1，2为实数)，则12的值为_3.若为内一点,且满足,则与的面积之比为_. 4.若点M是ABC所在平面内的一点，且满足53，则ABM与ABC的面积比为() CA. B. C. D. 例10：

11、6 A 1:4 C 平面向量共线的坐标表示例11已知a(1,2)，b(3,2)，当实数k取何值时，ka2b与2a4b平行？练习：1已知向量a(2,3)，b(1,2)，若(manb)(a2b)，则等于()CA2 B2 C D.2已知A(1,1)，B(3，1)，C(a，b)(1)若A，B，C三点共线，求a，b的关系式；(2)若2，求点C的坐标3平面内给定三个向量a(3,2)，b(1,2)，c(4,1)(1)求满足ambnc的实数m，n；(2)若(akc)(2ba)，求实数k；例11解法一：2a4b0，存在唯一实数，使ka2b(2a4b)将a，b的坐标代入上式，得(k6,2k4)(14，4)，得k6

12、14且2k44，解得k1.解法二：同法一有ka2b(2a4b)，即(k2)a(24)b0.a与b不共线，k1.1C 2解：(1)由已知得(2，2)，(a1，b1)，A，B，C三点共线，.2(b1)2(a1)0，即ab2.(2)2，(a1，b1)2(2，2)解得点C的坐标为(5，3)3解(1)由题意得(3,2)m(1,2)n(4,1)，所以得(2)akc(34k,2k)，2ba(5,2)，由题意得2(34k)(5)(2k)0.k平面向量的数量积及应用知识梳理1两个向量的夹角(1)定义：已知两个_向量a和b，作a，b，则_称作向量a与向量b的夹角，记作a，b(2)范围：向量夹角a，b的范围是_，且

13、_b，a(3)向量垂直：如果a，b_，则a与b垂直，记作_2平面向量的数量积(1)平面向量的数量积的定义：_叫作向量a和b的数量积(或内积)，记作ab_.可见，ab是实数，可以等于正数、负数、零其中|a|cos (|b|cos )叫作向量a在b方向上(b在a方向上)的投影(2)向量数量积的运算律ab_(交换律) (ab)c_(分配律) (a)b_a(b)(数乘结合律)3平面向量数量积的性质：已知非零向量a(a1，a2)，b(b1，b2)性质几何表示坐标表示定义ab|a|b|cosa，baba1b1a2b2模aa|a|2或|a|若A(x1，y1)，B(x2，y2)，则(x2x1，y2y1)ab的

14、等价条件ab0a1b1a2b20夹角cosa，b(|a|b|0)cosa，b|ab|与|a|b|的关系|ab|a|b|一、平面向量数量积的运算例1(1)在等边三角形ABC中，D为AB的中点，AB5，求，；(2)若a(3，4)，b(2,1)，求(a2b)(2a3b)和|a2b|.变式训练1已知下列各式：|a|2a2；(ab)2a2b2；(ab)2a22abb2，其中正确的有()A1个 B2个 C3个 D4个2.下列命题中： ； ； ； 若，则或； 若则； 其中正确的是_（答：）3.4.已知，与的夹角为，求。5已知a(1，3)，b(4,6)，c(2,3)，则(bc)a等于()A(26，78) B(

15、28，42) C52 D78二、求平面向量的模例2（1）设向量满足及，求的值 （2）设平面向量a(1,2)，b(2，y)，若ab，则|3ab|等于()A B C D变式训练1已知|=2,|=5,=-3,则|+|= ,|-|= 2. 若向量a，b满足|a|1，|b|2且a与b的夹角为，则|ab|_.3.ABC中，则_（答：9）；4.已知向量a，b，且x.(1) 求ab及|ab|；(2)若f(x)ab|ab|，求f(x)的最大值和最小值三、求夹角例3已知|a|4，|b|3，(2a3b)(2ab)61.(1)求a与b的夹角；变式训练：1. 2若是非零向量且满足， ，则与的夹角（ ）A. B. C.

16、D. 3.已知是两个非零向量，且，则的夹角为_（答：）4、已知，则与的夹角为（ ） A、 B、 C、 D、5.已知，与的夹角为，则等于_（答：1）；6.已知，且，则向量在向量上的投影为_（答：）四。利用数量积解决垂直问题例4 若非零向量、满足，证明:变式训练： 1.已知，若，则 （答：）；2.以原点O和A(4,2)为两个顶点作等腰直角三角形OAB，则点B的坐标是_ （答：(1,3)或（3，1）；3.已知向量，且，则的坐标是_ （答：）4已知a，b是平面内两个互相垂直的单位向量，若向量c满足(ac)(bc)0，则|c|的最大值是() 答案：BA. B. C. D.5.在ABC中，=(2, 3)，

17、=(1, k)，且ABC的一个内角为直角， 求k值五：求夹角范围例5 （1）已知,且关于的方程有实根,则与的夹角的取值范围是 ( )A.0, B. C. D.（2）已知，,如果与的夹角为锐角,则的取值范围是 变式训练1. 设平面向量=(2，1)，=(，1)，若与的夹角为钝角，则的取值范围是（ ）答案：A A、 B、 C、 D、2.已知的面积为，且，若，则夹角的取值范围是_（）；六、向量与三角综合应用例6设是平面上的两个向量，若向量与互相垂直.(）求实数的值；(）若，且，求的值.变式训练设，其中，与的夹角为，与的夹角为，且，求的值。【答案】因为，所以， ，故， 因为，所以，又所以，故，所以。专心-专注-专业