空间力系.ppt

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1、第4章 空 间 力 系,返回总目录,空间汇交力系 力对点之矩和力对轴之矩 空 间 力 偶 空间任意力系向一点的简化主矢和主矩空间任意力系的简化结果分析 空间任意力系的平衡方程 重 心 习题集思考题,本章内容,4.1 空间汇交力系,若空间力系中各力的作用线汇交于一点，称为空间汇交力系。同平面任意力系一样，我们需要在力在坐标轴上投影的基础之上来研究其合成和平衡问题。一、力在空间直角坐标轴上的投影及分解 1.力在空间直角坐标轴上的投影 如图4.1(a)所示，若力F与三个直角坐标轴的夹角分别为、，则力在各坐标轴上的投影可由力的大小与该坐标轴的夹角余弦的乘积来计算，即,(4.1),图4.1 力F的投影,

2、利用式(4.1)计算投影的方法称为直接投影法。而若力F与坐标轴Ox和Oy的夹角、不易确定时，可先将力F投影到oxy平面上，得到一力在平面上的投影量Fxy，然后再将Fxy投影到x轴、y轴上。如图4.1(b)所示，当已知、角时，力在坐标轴上的投影量可由下式计算：,4.1 空间汇交力系,(4.2),由式(4.2)计算投影的方法又称为二次投影法。但需注意，由第2章可知，力在坐标轴上的投影为一代数量，而力在一平面上的投影应为一矢量，这是因为在平面上的投影量不能简单由坐标轴的正负来确定其方向。一、力沿坐标轴的正交分解 同力在坐标轴上的投影类似，可将力矢沿三个坐标轴方向分解为三个正交分力Fx、Fy、Fz，如

3、图4.2所示，则有,4.1 空间汇交力系,图4.2 力F的正交分解,由力在坐标轴上的投影和分解的形式可知，其正交分力应与其在坐标轴上相应的投影值有如下关系：,(4.3),式中i、j、k分别为沿三个坐标轴x、y、z的单位矢量，则力矢F沿直角坐标轴的解析表达式为 即力矢F可由在直角坐标轴上的投影来表示。若已知力在坐标轴上的投影Fx、Fy、Fz，则力的大小和方向余弦可由下式确定：,4.1 空间汇交力系,(4.4),(4.5),必须注意，由式(4.5)只能确定力矢的大小和方向，不能确定其作用线位置。而由力矢的三个分量可确定力的三要素。,二、空间汇交力系的合成与平衡 1.空间汇交力系的合成 同平面汇交力

4、系相同，空间汇交力系的合成方法亦有两种，即几何法和解析法。但在用几何法合成时，由于所作出的力多边形不在同一平面内，所以实际运用起来较困难，故一般不使用该方法。但由几何法可知，若有F1、F2、Fn组成一空间汇交力系，则力系的合力FR应等于力系中各力的矢量和，即,4.1 空间汇交力系,(4.6),且合力FR的作用线通过力系的汇交点。在解决空间力系实际问题时，一般采用解析法进行分析。由式(4.4)可知，力系中任一力Fi均可表示为,(4.7a),将式4.7(a)代入(4.6)式中，得若合力FR在各轴上的投影分别为FRx、FRy、FRz，则,4.1 空间汇交力系,(4.7),上式表明：合力在某一轴上的投

5、影，等于力系中各力在同一轴上的投影的代数和。这就是空间的合力投影定理。由式(4.5)可知，合力的大小和方向可由下式确定：,(4.8),式中、分别为合力FR与x、y、z三个直角坐标轴的夹角。因为已知力系为一汇交力系，所以合力作用线一定通过汇交点。,4.1 空间汇交力系,【例4.1】已知空间汇交力系的四个力中(N)，(N)，(N)，合力(N)，求第四个力F4的大小和方向。,解：设F4的解析表达式为 则由式(4.7)可知解得：即,(1)(2)(3),所以，力F4的大小力F4的方向 其中、为第四个力F4与x、y、z三个坐标轴的夹角。,4.1 空间汇交力系,2.空间汇交力系的平衡条件 由上述讨论可知，空

6、间汇交力系同平面汇交力系一样，其合成结果亦为一合力。所以空间汇交力系平衡的必要和充分条件是力系的合力等于零，即 或可用解析式表示为所以,4.1 空间汇交力系,(4.9),(4.10),上式表明，空间汇交力系平衡的充分和必要条件是：该力系中各力在三个坐标轴的每一坐标轴上的投影的代数和均等于零。式(4.10)亦称为空间汇交力系的平衡方程。,【例4.2】如图4.3所示简易三角架起重的装置，其中AB、AC、AD三杆的两端可视为球形铰链连接。三角架的三角B、C、D构成一等边三角形，且每根杆均与地面成 的倾角。已知起吊的重物重量为W=2kN，试求三根杆所受的压力。,4.1 空间汇交力系,图4.3 三角架,

7、解：由题意可知，AB、AC、AD三杆为二力杆，设三杆所受的压力分别为F1、F2、F3，且力系为一空间汇交力系。取节点A为研究对象，受力图如图4.3(b)所示，且建立如图所示坐标，可列出如下平衡方程：,(1)(2)(3),联立求解可得 将W=2kN、代入上式得 N,一、空间力系中力对点之矩的矢量表示 对于平面力系，只需用一代数量即可表示出力对点之矩的全部要素，即大小和转向，这是因为力矩的作用面是一固定平面。而在空间问题中研究力对点之矩时，不仅要考虑力矩的大小和方向，还要考虑力和矩心所在平面的方位。当该作用面的空间方位不同时，其对刚体的作用效果则完全不同。所以，在空间问题中，力对点之矩是由力矩的大

8、小、力矩在作用面内的转向及力矩作用面的方位这三个要素所决定的。而用一代数量是无法将这三要素表示出来的，故须用一矢量来表示，将该矢量称为力矩矢。力F对点O之矩记作M0(F)，如图4.4所示，该力矩矢通过矩心O，且垂直于力矩作用面(即OAB所在平面)，其方向可由右手螺旋法则确定：即右手四指与力F对点O之矩的转动方向一致，则拇指所指方向就为力矩矢的方向。而力矩的大小为 其中d为矩心O到力F作用线的垂直距离，OAB为三角形OAB的面积。若以r表示矩心O到力F作用点A的矢径(如图4.4所示)，则矢量 的大小为,4.2 力对点之矩和力对轴之矩,4.2 力对点之矩和力对轴之矩,且矢量 的方向也可由右手螺旋法

9、则确定，由图4.4可知，其方向与力矩矢M0(F)的方向一致，所以 上式为力对点之矩的矢积表达式。它表明：力对点的矩矢等于矩心到力的作用点的矢径与该力的矢积。必须指出，由于力矩矢的大小和方向均与矩心的位置有关，故力矩矢的矢端必须在矩心而不可任意移动，所以，力矩矢应为一定位矢量。,(4.11),图4.4 力F对点O之矩,在工程实际中，经常会遇到研究对象绕某一定轴转动的情况，这时需确定力对该定轴之矩的大小和方向。如图4.4所示，若欲求力F对于z轴之矩，可先作一与z轴垂直的xy平面，且z轴与xy平面相交于O点，Fxy为力F在xy平面内的投影。由图4.4的空间位置关系可知，力F对z轴的矩就是其投影Fxy

10、对z轴的矩，或者说是在xy平面内Fxy对O点的矩，即 设d1为矩心O到Fxy作用线的距离，则力F对z轴的矩可定义为,4.2 力对点之矩和力对轴之矩,二、空间力系中力对轴之矩,(4.12),上式表明：力对轴的矩为一代数量，其大小等于力在垂直于该轴平面内的投影对于轴与平面交点之矩；其转向可由式中正负决定，即从轴的正向观看，若力矩使刚体绕轴逆时针转动，则取正值，反之取负值，或者可按右手螺旋法则来确定正负号。它是力使刚体绕该轴转动效应的度量，其单位为牛顿米(Nm)。须注意，由式(4.12)可知，当力与某一 轴平行或相交时，或者说当力与轴在同一 平面内时，力对该轴的矩为零。,式中左边即为力矩矢 在z 轴

11、上的投影，用 表示。若考虑到正负号的关系，则上式可写成,4.2 力对点之矩和力对轴之矩,由上述分析及图4.4所示可知，力F对点O的矩的大小为 而力F对通过点O的z轴的矩的大小为在图4.4中，由几何学知识可知式中 为OAB和OA1B1所在两平面的夹角，因为力矩矢和z轴分别垂直于两平面，所以矢量和z轴的夹角亦为，则,三、力对点之矩与力对通过该点的轴之矩间的关系,(4.13),上式表明：力对一点之矩的力矩矢在通过该点的任一轴上的投影量等于力对于该轴之矩。它表明了力对点之矩与力对通过该点的轴之矩间的关系。,在图4.4中，若矢径r末端A点的坐标为(x、y、z)，可设力矢，矢径，则由式(4.11)可知力对

12、点O的矩矢为 式中单位向量i、j、k的系数即为力矩矢Mo(F)在x、y、z三个坐标轴上的投影，再由式(4.13)可知，力F对各坐标轴之矩的解析表达式为,4.2 力对点之矩和力对轴之矩,(4.14),(4.15),由平面力偶理论可知，在同一平面内两力偶等效的条件是：两力偶的力偶矩的代数值相等。而在空间问题中，两力偶若要等效除应满足平面力偶的等效条件外，还需要考虑力偶作用面改变时其对刚体作用效应的影响。首先，当力偶作用面在空间方位不同时，其对刚体的作用效应明显不同；其次，若力偶作用面方位相同时，即力偶作用面平行时，结果会如何呢？如图4.5所示，设平面内作用一力偶(F、F),其力偶臂为AB。现在与平

13、面平行的平面内作线段A1B1，使AB与A1B1平行且相等。在A1、B1两点处各加一对平衡力，且令,4.3 空 间 力 偶,一、空间力偶的等效定理,即所加各平衡力的大小均与原力偶中的力F相等，且各平衡力方向与力F平行。由加减平衡力系公理可知，两平面内的六个力所组成的力系应与原力偶(F、F)等效。若将力矢F和F2用其合力FR代替，由图示可知合力FR应作用于平行四边形ABB1A1的对角线交点O。同理，为力矢F和F2的合力，其亦作用于O点。,因为所以,4.3 空 间 力 偶,图4.5 空间力偶的等效条件,可知力矢 和 为一对平衡力，若去掉该平衡力，则两平面内的六个力只剩下了平面内的力矢F1和F1，且该

14、二力矢组成了新的力偶(F1、F1)，且其与原力偶(F、F)等效。也就是说，将平面内的力偶(F、F)平行移到平面内，不会影响其对刚体的作用效应。,综上所述，可得空间力偶的等效条件是：若两力偶的力偶矩大小相等、转向相同，且作用面平行，则两力偶等效。,由于空间力偶对刚体的作用效应取决于力偶的力偶矩的大小、转向以及力偶作用面的方位，即空间力偶的三要素，所以也可以用一矢量来表示力偶的三要素。如图4.6所示，矢量M称为表示力偶三要素的力偶矩矢。其与力偶的关系可由右手螺旋法则来确定，即右手四指与力偶的转向一致，拇指所指方向即为力偶矩矢的指向，而力偶矩的大小为 式中d为力偶的力偶臂。由空间力偶的等效条件可知，

15、力偶矩矢应为一自由矢量。,4.3 空 间 力 偶,图4.6 力偶的三要素,引入力偶矩矢概念后，空间力偶等效条件又可陈述为：凡力偶矩矢相等的力偶均为等效力偶。,4.3 空 间 力 偶,二、空间力偶系的合成与平衡,若将空间力偶系中各力偶均用其各力偶矩矢来表示，且其均为自由矢量，所以可将空间力偶系中的各力偶矩矢简化为交于一点的矢量系，而矢量的合成应符合平行四边形法则，故最终可将其合成为一合力偶矩矢。所以，空间力偶系可合成为一合力偶，且合力偶矩矢等于力偶系中所有各力偶矩矢的矢量和，即,(4.16),若空间力偶系处于平衡，则其合力偶矩矢必等于零，即 上式即为空间力偶系的平衡条件。若将其写成投影形式，则

16、式(4.17)表明，空间力偶系平衡的必要和充分条件是：力偶系中各力偶矩矢在三个坐标轴各轴上的投影的代数和等于零。式(4.17)又称为空间力偶系的平衡方程。,(4.17),对空间任意力系的简化可以采用平面任意力系的简化方法，即首先将其向一已知点简化，所以空间任意力系简化的理论依据仍为力的平移定理。如图4.7所示，将空间任意力系中各力F1、F2、Fn分别平移到简化中心O点，原力系将与一空间汇交力系F1、F2、Fn和空间附加力偶系M1、M2、Mn等效。空间汇交力系可以合成为一作用于简化中心O的合力FR，即因为，所以,4.4 空间任意力系向一点的简化主矢和主矩,(4.18),图4.7 空间任意力系的简

17、化,4.4 空间任意力系向一点的简化主矢和主矩,矢量FR为原空间任意力系中各力的矢量和，将 称为空间任意力系的主矢。同平面问题一样，空间任意力系的主矢与简化中心位置无关。空间附加力偶系可合成为一合力偶，其合力偶矩矢等于各附加力偶矩矢的矢量和，即 而各附加力偶的力偶矩矢分别等于原力系中各力对简化中心O点的矩的力矩矢，即：所以,(4.19),将 称为该力系对简化中心O的主矩，其合力矩矢等于原空间力系中各力对简化中心之矩的矢量和。且同平面问题相同，主矩一般与简化中心的位置有关。所以，说到主矩时一般必须指出是力系对哪一点的主矩。,综上所述：空间任意力系向一已知点简化的结果一般可以得到一个力和一个力偶。

18、该力作用于简化中心，它的矢量等于原力系中各力的矢量和，即等于原力系的主矢，且主矢与简化中心的位置无关；该力偶的力偶矩矢等于原力系中各力对简化中心的矩的矢量和，即等于原力系对简化中心的主矩，且主矩一般与简化中心的位置有关。在计算力系的主矢和主矩时，常采用其解析计算式进行计算。如图4.7(c)所示，以简化中心O为坐标原点，建立图示坐标系Oxyz。设、分别为主矢 在三个坐标轴上的投影，由式(4.7)可知，主矢在各轴上的投影值应等于力系中各力在同一轴上投影的代数和，即,4.4 空间任意力系向一点的简化主矢和主矩,(4.20),所以，主矢的大小和方向可由下式确定：,4.4 空间任意力系向一点的简化主矢和

19、主矩,(4.21),式中、分别为主矢与三个坐标轴x、y、z正向间的夹角。同理，若设主矩 在三个坐标轴上的投影分别为、，由式(4.13)及式(4.19)可得,(4.22),则主矩的大小和方向可由下式确定：,(4.23),式中、分别为主矩与三个坐标轴x、y、z正向间的夹角。,将空间任意力系向一已知点简化时，可得一力和一力偶，即主矢FR和主矩M0。而其最终的合成结果可有以下几种情况：1、，,4.5 空间任意力系的简化结果分析,说明原力系与一力偶等效，该力偶的力偶矩矢与原力系对简化中心O的主矩相等。在这种情况下，主矩与简化中心位置无关。2、说明原力系与一力等效，该力矢与原力系的主矢相等，且该力矢即为原

20、力系的合力。3、此为将力系向一点简化时的一般形式。可有以下三种情况：(1)当FR M0时，如图4.8(a)所示，主矩M0可由一力偶(FR、FR)表示，其作用面与主矢在同一平面内，如图4.8(b)所示，若组成力偶的力矢与主矢相等，即,则其力偶臂d为 最终原力系可合成为一作用于A点的力矢FR，该力矢FR即为原力系的合力(如图4.8(c)所示)。另外，由上述讨论可知，力系的合力FR对O点的矩应等于原力系对O点的主矩M0，即 而由式(4.19)可知所以,4.5 空间任意力系的简化结果分析,(4.24),上式表明：空间任意力系的合力对任一点的矩等于力系中各力对同一点的矩的矢量和。这就是空间任意力系的合力

21、矩定理。,即空间任意力系的合力对任一轴的矩等于力系中各力对同一轴的矩的代数和。,4.5 空间任意力系的简化结果分析,图4.8 空间任意力系的简化结果分析,若将式(4.24)投影到通过O点的任一轴上(以z轴为例)，由力对点的矩和力对轴的矩的关系可得,(4.25),(2)当FRM0时，力矢FR将垂直于力偶的作用面，如图4.9所示，这时力系将不能进一步简化，而为一最简单的力系。由一力和一作用面与力的作用线垂直的力偶组成的力系，称为力螺旋。若力偶的转向与力的指向符合右手螺旋法则，称为右螺旋(如图4.9(a)所示)；而若二者符合左手螺旋法则，称为左螺旋(如图4.9(b)所示)。力的作用线称为力螺旋的中心

22、轴。例如钻床的钻头对工件作用、螺旋桨对一流体的作用等都为力螺旋。,4.5 空间任意力系的简化结果分析,图4.9 最简力系,(3)当FR与M0成任意夹角时，此为力系向已知点简化的最一般的形式。在此情况下，可将主矩沿力的作用线和与力的作用线垂直的两个方向分解为两个分力偶矩矢，再由上述两种情况的讨论可知，最后可将力系简化为一力螺旋。但需注意，这时力螺旋的中心轴并不过简化中心，其具体位置可自行分析。,4.5 空间任意力系的简化结果分析,4、说明原力系为一平衡力系，将于下节中详细讨论。,【例4.3】如图4.10所示边长为a的立方体，在其四个角上作用有大小均为F的四个力，方向如图所示。求：力系向O点简化的

23、结果以及简化的最后结果。,解：(1)求力系向O点简化的结果，可先求出其主矢和主矩的大小及方向，由图4.10(a)可知,图4.10 作用于正方体力系的简化,所以由式(4.21)可求出主矢的大小为且可知其方向如图4.10(b)所示，FR 在xOy平面内，与x轴夹角为45。又因为,则由式(4.23)可得主矩的大小为,4.5 空间任意力系的简化结果分析,主矩的力偶矩矢的方向沿y轴正向，如图4.10(b)所示。所以将原力系向O点简化时，可得一力和一力偶，且该力矢与力偶矩矢在Oxy平面内的夹角为45。(2)求力系简化的最后结果 力系向O点简化的结果并不是最后结果。将主矩沿主矢方向及与主矢垂直方向分解为两分

24、力偶矩矢M1和M2，如图4.10(b)所示，可知：分力偶矩矢与主矢可合成为一力矢，且该力矢的作用点距O点的距离为 所以，力系简化的最后结果为一力螺旋，且力螺旋的中心轴在水平面内并通过A点，如图4.10(c)所示。,由上节的讨论可知，当空间任意力系向已知点简化时，可得一力和一力偶，即力系的主矢和对简化中心的主矩。而当其主矢和主矩均为零时，则该空间任意力系为一平衡力系。故也可以说，空间任意力系平衡的必要和充分条件是：该力系的主矢和对任一点的主矩均为零。即 由式(4.21)、(4.23)可知，上式可表示为投影形式：,4.6 空间任意力系的平衡方程,(4.26),所以，空间任意力系平衡的必要和充分条件

25、又可表述为：力系中所有各力在三个坐标轴上的投影的代数和分别为零，且力系中各力对三个坐标轴的矩的代数和分别为零。式(4.26)又称为空间任意力系的平衡方程。空间任意力系为所有力系中最一般的力系，所有其他形式的力系均可看作是它的特殊形式。所以，由空间任意力系又可导出其他力系的平衡方程。例如空间平行力系，若假设力系中各力与z轴平行，则不论该力系是否平衡，在式(4.26)中，及 三式将恒为零，即为恒等式，则空间平行力系只有三个平衡方程，即,4.6 空间任意力系的平衡方程,(4.27),同理，对于空间汇交力系、空间力偶系以及平面任意力系的平衡方程亦可由此而得，可自行分析。,同平面任意一样，在应用式(4.

26、26)求解空间力系问题时，还可采用其他形式的平衡方程，如四矩式、五矩式及六矩式方程，且各种形式的方程对投影轴和力矩轴均有一定的限制条件，但在应用时只需保证所列出的方程彼此独立即可。,4.6 空间任意力系的平衡方程,【例4.4】如图4.11所示AB杆长l=1m，自重不计，其A端用球形铰支承，并在D、H处分别用绳子拉住，使杆保持水平。B端作用力F=5kN。已知AD=0.4m，AH=0.6m。试求CD、EH两绳的拉力。,解：取AB杆为研究对象，其受力图如图4.11(b)所示。而A点处的约束反力不需求出，所以在选择方程时应尽量避免其出现。,图4.11 求拉力,由平衡方程 由式由式,在对工程实际中的物体

27、进行分析研究时，经常需要确定研究对象的重力的中心，即重心。我们知道，重力是地球对物体的引力，也就是说，若将物体看作是由无穷多个质点所组成，则每个质点都会受到地球重力的作用，这些力均应汇交于地心，构成一空间汇交力系。但物体在地面附近时，由于物体几何尺寸远小于地球，所以，组成物体的各质点所受的重力可近似看作是一平行力系。而这一同向的平行力系的合力即为物体的重心，且相对物体而言其重心的位置是固定不变的。假设如图4.13所示一刚体是由n个质点所组成，C点为刚体的重心。为研究该刚体的坐标，建立图示与刚体固定的空间直角坐标系Oxyz，刚体内一质点Mi为组成刚体的n个质点中的任一质点。设刚体和该质点的重力分

28、别为G和Gi，且刚体的重心和质点的坐标分别为 因为刚体的重力G等于组成刚体的各个质点的重力Gi的合力，即 应用对y轴的合力矩定理，则有所以,4.7 重心,C(xc、yc、zc)和 Mi(xi、yi、zi)。,同理，若应用对x轴的合力矩定理，则有即 因为物体的重心位置与物体如何放置无关，所以可将物体连同坐标系一起绕x轴转动90，如图4.14所示，再应用合力矩定理对x轴取矩，则可得,4.7 重心,图4.13 刚体重心,图4.14 绕x轴旋转坐标系,因为物体的重心位置与物体如何放置无关，所以可将物体连同坐标系一起绕x轴转动90，如图4.14所示，再应用合力矩定理对x轴取矩，则可得,4.7 重心,综上

29、所述，可知物体重心坐标计算公式为,(4.28),或可将上式写成矢径形式,(4.29),对匀质物体而言，若设其单位体积的重量为，体积为V，在物体内任取一微小部分的体积为，则有,4.7 重心,将上式代入式(4.29)中，可得,(4.30a),或用投影形式表示为,(4.30b),4.7 重心,或用投影形式表示为,对于质量连续分布的物体，可令趋于零，则在极限的情况下可得到积分形式为,(4.31a),(4.31b),4.7 重心,由上式可知，对于匀质物体，其重心的位置与其重量无关，而仅与其几何形状有关。物体的几何形状的中心又称为物体的形心。式(4.30)及式(4.31)又称为物体的形心坐标计算公式。也就

30、是说，对于匀质物体，其重心和形心位置是重合的。对于一般较为复杂的物体，确定其重心位置的方法一般有以下三种。,一、积分法,积分法是求重心位置的基本方法。对于质量连续分布的物体均可利用积分法求解。,4.7 重心,【例4.6】试求半径为R、圆心角为2 的匀质扇形面积的重心坐标。,解：可建立如图4.15所示的坐标，取x 轴为扇形的对称轴，则重心必在x 轴上，即yc=0，故只需求xc。可任取一微扇形，如图中阴影面积所示，其可近似看作一等腰三角形，由三角形的性质可知其重心A应距坐标原点O的距离为，则该三角形的微面积和对x轴的坐标为,图4.15 匀质扇形重心坐标,由公式(4.31)可得,4.7 重心,所以，

31、在图示坐标系下，该扇形的重心坐标为,4.7 重心,二、组合法 若可将一均质形体分割为几个已知其重心位置的简单图形，则可应用分割法求解该形体的重心坐标。【例4.7】有一槽形匀质薄板，几何尺寸如图4.16所示，求它的重心坐标。,解：建立如图4.16所示的坐标，可将图形用虚线分割为三个矩形I、II、III，设其面积分别为A1、A2、A3，其形心坐标分别为C1(x1，y1)、C2(x2，y2)、C3(x3，y3)，则有,图4.16 槽形匀质薄板,截面的总面积,4.7 重心,由匀质薄板的离散形式的重心坐标计算公式可得,三、实验法,当物体的外形较复杂而不易由公式求其重心位置时，可利用实验的方法测出其重心的

32、位置，一般通过实验手段得到物体重心的方法有悬挂法和称重法两种。1、悬挂法 对于边界较复杂的如图4.17所示的薄板，可先将薄板悬挂于任一点A，根据二力平衡公理，重心C必在通过A点的铅垂线上，可先画出此铅垂线，如图4.17(a)中虚线所示。再将薄板悬挂于另一点B，同理又得一过B点的铅垂线，如图4.17(b)所示，这两铅垂线的交点C即为该薄板的重心。,4.7 重心,图4.17 悬挂法测重心,2、称重法 对于某些形状复杂或体积庞大的物体，可用称重法确定其重心位置。例如图4.18所示一具有对称轴的构件，可先称出其重量W，将其如图所示放置，且一端置于磅秤之上，并使其对称轴AB保持水平。测出值后，由平衡方程

33、可得 可得 在对称轴AB线上量取，而C点即为构件的重心。,图4.18 称重法测重心,4.8 习题及思考题,一、思 考 题,1.力在空间直角坐标轴上的投影和此力沿该坐轴的分力有何区别和联系？2.如图4.19中所示的四个力大小都等于F，尺寸a为已知，试问哪个力对哪个坐标轴之矩为零？3.在正方体的顶角A和B处，分别作用力Q和P，如图4.20所示。求此两力在x、y、z轴上的投影和对x、y、z轴的矩。,图4.19 四个等力的矩,图4.20 力Q和P的投影和矩,4.设有一力F，试问在什么情况有：(1)，；，；，；，。,5.三个共点力成平衡时，是否一定在同一平面内？为什么？6.位于两相交平面内的两力偶能否等

34、效？能否组成平衡力系？7.试分析下列空间任意力系的独立平衡方程数：(1)各力作用线均与一直线相交；(2)各力作用线均平行于一确定平面；(3)各力作用线分别汇交于两个固定点。8.物体的重心是否一定在物体上？为什么？,4.8 习题及思考题,4.8 习题及思考题,图4.22 曲拐手柄受力分析,图4.21 正方体受力投影,1.在边长为a的正方体上作用有三个力，如图4.21所示，已知F1=6kN，F2=2kN，F3=4kN。试求各力在三个坐标轴上的投影。2.曲拐手柄如图4.22所示，已知作用于手柄上的力F=100N，AB=100mm，BC=400mm，CD=200mm，a=30。试求力F对x、y、z轴之

35、矩。,二、习 题,4.8 习题及思考题,3.重物M放在光滑的斜面上，用沿斜面的绳AM和BM拉住，已知物重，斜面的倾角a=60，绳与铅垂面的夹角分别为=30和r=60。如物体尺寸可不计，求重物对于斜面的压力和两绳的拉力。4.墙角处吊挂支架由两端铰接杆OA、OB和软绳OC构成，二杆分别垂直于墙面且由绳OC维持在水平面内，如图4.24所示。结点O处悬挂重物，其重为W=500N，若OA=300mm，OB=400mm，OC绳与水平面的夹角为30，不计杆重。试求绳子拉力和二杆所受的压力。,图4.24 吊挂支架受力分析,图4.23 压力和拉力分析,4.8 习题及思考题,5.如图4.25所示无重曲杆ABCD有

36、两个直角，且平面ABC与平面BCD垂直。杆的D端为球铰链，A端受轴承支承。在曲杆的AB、BC、CD上作用三个力偶，力偶所在平面分别垂直于AB、BC和CD三线段。已知力偶矩M2和M3，求使曲杆处于平衡的力偶矩M1和A、D处的约束反力。6.一重量W=1000N的匀质薄板用止推轴承A、B和绳索CE支持在水平面上，可以绕水平轴AB转动，今在板上作用一力偶矩为M的力偶，并设薄板平衡。已知a=3m，h=5m，M=2000N.m，试求绳子的拉力和轴承A、B的约束力。,图4.25 曲杆ABCD受力分析,图4.26 求绳拉力和轴承的约束力,4.8 习题及思考题,7.长方体的顶角A、B分别作用力F1、F2，如图4

37、.27所示，已知F1=500N，F2=700N。试求该力系向O点简化的主矢和主矩。8.有一空间力系作用于边长为a的正六面体上，如图4.28所示，已知各力的大小均为F。试求此力系的简化结果。,图4.27 长方体所受力系简化,图4.28 简化空间力系,4.8 习题及思考题,9.如图4.29所示电线杆AB长10m，在其顶端受一8.4kN的水平力作用。杆的底端A可视为球形铰链，并由BD、BE两钢索维护杆的平衡，试求钢索的拉力和A点的约束力。10.如图4.30所示三脚圆桌的半径r=500mm，重W=600N，圆桌的三脚A、B和C构成一等边三角形。若在中线CD上距离圆心为a的点M处作用铅垂力F=1500N

38、，试求使圆桌不致翻倒的最大距离a。,图4.29 电线杆,图4.30 三脚圆桌,4.8 习题及思考题,11.长方形匀质板ABCD的宽度为a，长度为b，重量为W，在A、B、C三角用三个铰链杆悬挂于固定点，使板保持水平位置。求此三杆的内力(如图4.31所示)。12.如图4.32所示，作用在踏板上的铅垂力P使位于铅垂位置的连杆上产生拉力F=400N。求铅垂力P的值和轴承A、B的约束反力。,图4.32 踏板受力分析,图4.31 求挂杆内力,4.8 习题及思考题,13.如图4.33所示匀质长方形薄板重，用光滑球铰链A和蝶形铰链B固定在墙上，并用绳子CE维持在水平位置。求绳子的拉力和A、B处的约束反力。14

39、.均质长方形板重260N，通过球形铰链A，蝶形铰链B以及不计自重的杆CE支持在水平位置上，如图4.34所示。试求A、B、C三处的约束力。(图中尺寸单位为cm),图4.33 固定薄板的拉力和约束反力,图4.34 长方形板的约束平衡,4.8 习题及思考题,15.如图4.35所示传动轴以A和B轴承支承，圆柱直齿轮的节圆直径d=17.3cm，压力角a=20，在法兰盘上作用一力偶矩M=1030N.m的力偶。如轮轴的重量和摩擦不计，试求传动轴匀速转动时，A和B轴承的约束力。16.如图4.36所示装置，使重为W1=10kN的小车沿斜面匀速上升。已知W=1kN，d=24cm，四根杠杆长均为1m，且均垂直于轮轴

40、。如鼓轮轴用止推轴承A和轴承B支承于铅垂位置，试求垂直加在每根杠杆上的力F的大小和方向以及A、B的约束反力。,图4.35 传动轴,图4.36 鼓轮轴受力分析,4.8 习题及思考题,17.正方形板ABCD由六根直杆支撑于水平位置，若在点A沿AD方向作用水平力F，尺寸如图4.37所示，不计板重和杆重。试求各杆的受力。18.匀质杆AB长l，重为G，一端A用光滑球铰链固定于地面，另一端B搁在铅垂的墙壁上，铰链A到墙的距离OA=a。设杆的端点B和墙之间的静滑动摩擦系数为。问当OB对铅直线的偏角a多大时，杆AB将开始沿墙壁滑动(如图4.38所示)。,图4.37 支撑杆受力分析,图4.38 匀质杆AB受力分析,4.8 习题及思考题,19.试求如图4.39所示截面形心的位置。20.试求如图4.40所示截面形心的位置。,(a)(b),(a)(b),图4.39 求截面形心,图4.40 求截面形心位置,4.8 习题及思考题,21.试求如图4.41所示截面形心的位置。22.试求如图4.42所示截面形心的位置。,图4.41 求截面形心位置,图4.42 求截面形心位置,4.8 习题及思考题,23.求如图4.43所示匀质块重心的位置。,图4.43 求匀质块重心位置,