2016届【世纪金榜】高三文科数学热点专题突破：(二)三角函数与平面向量的综合应用.ppt

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1、热点专题突破系列(二)三角函数与平面向量的综合应用,考点一 三角函数的求值与平面向量的综合【考情分析】以平面向量为载体利用诱导公式、同角三角函数关系式、两角和与差的三角函数及倍角公式等解决三角函数的条件求值问题,是高考的重要考向,考查学生分析问题、解决问题的能力.,【典例1】(2015海滨模拟)已知m=(sinx,cosx),n=(sinx,sinx),f(x)=mn.(1)求 的值.(2)当x0,时,求函数f(x)的最大值与最小值.,【解题提示】(1)利用向量的坐标计算两向量的数量积,从而得f(x),把x=代入可得.(2)利用x的范围确定角的范围,从而得三角函数的最大值与最小值.,【规范解答

2、】(1)由已知得.f(x)=mn=(sinx,cosx)(sinx,sinx)=sin2x+cosxsinx=sin2x-cos2x+=sin(2x-)+.故,(2)当x0,时,故当2x-=,即x=时,f(x)max=1+=,当2x-=-,即x=0时,f(x)min=sin(-)+=-+=0.,【规律方法】平面向量在三角函数求值中的应用步骤(1)此类题目的特点是所给向量的坐标用关于某角的正、余弦给出,把向量垂直或共线转化为关于该角的三角函数的等式.(2)利用三角恒等变换进行条件求值.,【变式训练】(2015南京模拟)已知向量a=(sin,-2)与b=(1,cos)互相垂直,其中(0,).(1)

3、求cos,sin的值.(2)若5cos(-)=3 cos,0,求cos的值.,【解析】(1)因为ab,所以ab=sin-2cos=0,即sin=2cos.又sin2+cos2=1,所以4cos2+cos2=1,即cos2=.因为(0,),所以cos=,sin=2cos=.,(2)由5cos(-)=3 cos,得5(coscos+sinsin)=3 cos,即 cos+2 sin=3 cos,所以sin=cos.因为(0,),所以cos=.,【加固训练】设向量a=(4cos,sin),b=(sin,4cos),c=(cos,-4sin).(1)若a与b-2c垂直,求tan(+)的值.(2)求|b

4、+c|的最大值.(3)若tantan=16,求证:ab.,【解析】(1)因为b-2c=(sin-2cos,4cos+8sin),a与b-2c垂直,所以4cos(sin-2cos)+sin(4cos+8sin)=0,即sincos+cossin=2(coscos-sinsin),所以sin(+)=2cos(+),所以tan(+)=2.,(2)因为b+c=(sin+cos,4cos-4sin),所以|b+c|=所以当sin2=-1时,|b+c|取最大值,且最大值为,(3)因为tantan=16,所以=16,即sinsin=16coscos,所以(4cos)(4cos)=sinsin,即a=(4co

5、s,sin)与b=(sin,4cos)共线,所以ab.,考点二 三角函数的性质与平面向量的综合【考情分析】以平面向量的坐标运算为载体,引入三角函数,通过三角恒等变换化为一个角的三角函数,重点考查三角函数的单调性、周期性、最值、取值范围及三角函数的图象变换等.,【典例2】(2015沈阳模拟)已知向量m=(sinx,-1),n=(cosx,),f(x)=(m+n)m.(1)求f(x)的最小正周期及单调递增区间.(2)当x0,时,求f(x)的值域.(3)将f(x)的图象左移 个单位后得g(x)的图象,求g(x)在上的最大值.,【解题提示】(1)利用向量坐标运算得f(x)的解析式可求周期及增区间.(2

6、)利用已知求得角的范围后可求f(x)的值域.(3)利用图象平移变换可得g(x),再利用角的范围求解最大值.,【规范解答】(1)由已知可得m+n=(sinx+cosx,),故f(x)=(m+n)m=(sinx+cosx,)(sinx,-1)=sin2x+sinxcosx-=sin2x-cos2x=,故f(x)的最小正周期T=,由2k-2x-2k+,kZ,得k-xk+,kZ.故f(x)的单调递增区间是k-,k+(kZ).,(2)当x0,时,2x-故-sin(2x-)1,故-sin(2x-).所以当x0,时,f(x)的值域为,(3)由已知得g(x)=故当x 时,2x所以当2x=0即x=0时,g(x)

7、max=cos0=.,【规律方法】平面向量与三角函数性质的综合问题的解法(1)利用平面向量的数量积把向量问题转化为三角函数的问题.(2)利用三角函数恒等变换公式(尤其是辅助角公式)化简函数解析式.(3)根据化简后的函数解析式研究函数的性质.,【变式训练】(2015东营模拟)已知m=(bsinx,acosx),n=(cosx,-cosx),f(x)=mn+a,其中a,bR,且满足=2,f(0)=2.(1)求a,b的值.(2)若关于x的方程f(x)-=0在0,上总有实数解.求k的取值范围.,【解析】(1)由已知得,f(x)=mn+a=bsinxcosx-acos2x+a=由=2得a+b=8.又因为

8、f(x)=bcos2x+asin2x且f(0)=2,所以b=2,所以a=2.,(2)由(1)得f(x)=sin2x-cos2x+1=2sin(2x-)+1,所以x 时,2x-所以-12sin(2x-)2,所以f(x)0,3.,又因为f(x)-=0在 上总有实数解,即f(x)=有解,所以0 3,即-3log3k0,所以 k1.故k的取值范围是,【加固训练】已知向量a=(sin(-x),sin(-x),b=(cosx,cosx)(0),若f(x)=ab,且f(x)的最小正周期为.(1)求的值.(2)试述由y=sinx的图象经过怎样的平移和伸缩变换得到f(x)的图象.(3)求y=f(x)的值域.,【

9、解析】(1)f(x)=ab=sin(-x)cosx+sin(-x)cosx=sinxcosx+cos2x=sin2x+所以=,即=1.,(2)由(1),得f(x)=首先把y=sinx的图象向左平移 个单位,得y=sin(x+)的图象;其次把y=sin(x+)的图象纵坐标不变,横坐标变为原来的 倍,得y=sin(2x+)的图象;然后把y=sin(2x+)的横坐标不变,纵坐标变为原来的 倍,得y=的图象;最后,把y=的图象向上平移 个单位,得f(x)=的图象.,(3)因为f(x)min=f(x)max=所以f(x)的值域是,考点三 平面向量在三角形计算中的应用【考情分析】以平面向量的线性运算、数量

10、积为载体考查三角形中正、余弦定理的应用及简单的三角恒等变换,主要解决三角形中求边、求角及求三角形面积等.考查分析问题,解决问题的能力.,【典例3】(2015台州模拟)在ABC中,三内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,已知sinC=2sin(B+C)cosB.(1)判断ABC的形状.(2)设向量m=(a+c,b),n=(b+a,c-a),若mn,求A.【解题提示】(1)利用A+B+C=转化角后去掉角C,得角A,B的关系,可判断.(2)利用已知转化边的关系,利用余弦定理可解.,【规范解答】(1)在ABC中,因为sinC=sin(A+B),sinA=sin(B+C),故sinC=sin(A+B)

11、=2sin(B+C)cosB=2sinAcosB,所以sinAcosB+cosAsinB=2sinAcosB.即sinAcosB-cosAsinB=0,即sin(A-B)=0.又因为-A-B,所以A-B=0即A=B.故ABC为等腰三角形.,(2)由mn得(a+c)(c-a)=b(b+a),即b2+a2-c2+ab=0,即b2+a2-c2=-ab,从而cosC=又0C,所以C=又因为A=B,所以A+B=即A=,【规律方法】平面向量与三角形计算综合问题的解法(1)利用平面向量数量积的计算公式,把问题转化为三角形中的计算问题,在三角形中,结合三角形内角和公式、正余弦定理、三角形的面积公式进行相关计算

12、.(2)先在三角形中利用相关公式进行计算,再按要求求向量的数量积、夹角、模等.提醒:解决三角形中向量夹角问题的思维误区是不注意向量的方向,从而弄错向量的夹角.,【变式训练】(2015安庆模拟)已知ABC的面积是30,三内角A,B,C所对边长分别为a,b,c,cosA=(1)求(2)若c-b=1,求a的值.,【解析】(1)由cosA=,得sinA=SABC=bcsinA=bc=30,bc=156.(2)因为c-b=1,bc=156,所以a2=b2+c2-2bccosA=(c-b)2+2bc-=1+156=25,即a=5.,【加固训练】在ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,tanC=3.(1)求cosC的值.(2)若 且a+b=9,求c的长.,【解析】(1)因为tanC=3,所以又因为sin2C+cos2C=1,解得cosC=.因为tanC0,所以C是锐角.所以cosC=.(2)因为 所以abcosC=,解得ab=20.又因为a+b=9,所以a2+b2=41.所以c2=a2+b2-2abcosC=36,所以c=6.,