工程力学梁的变形教学PPT(2).ppt
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1、1,第十章 梁的变形,工程力学,2,第十章 弯曲变形,10-5 梁的刚度校核及提高弯曲刚度的措施,3,10-1 梁的转角和挠度,直梁在对称平面xy内弯曲时其原来的轴线AB将弯曲成平面曲线AC1B。梁的横截面形心(即轴线AB上的点)在垂直于x轴方向的线位移w称为挠度(deflection),横截面对其原来位置的角位移q 称为横截面的转角(angle of rotation)。,4,弯曲后梁的轴线挠曲线(deflection curve)为一平坦而光滑的曲线,它可以表达为w=f(x),此式称为挠曲线方程。由于梁变形后的横截面仍与挠曲线保持垂直,故横截面的转角q 也就是挠曲线在该相应点的切线与x轴之
2、间的夹角,从而有转角方程:,5,在图示坐标系中,挠度w向下为正,向上为负;顺时针转向的转角为正,逆时针转向的转角为负。,6,10-2 用积分法求梁的位移,.梁的挠曲线近似微分方程,在前面学习中曾得到梁在线弹性范围内纯弯曲情况下中性层的曲率为,这也就是位于中性层内的挠曲线的曲率的表达式。,7,在横力弯曲下,梁的横截面上除弯矩M=M(x)外,还有剪力,剪力产生的剪切变形对梁的变形也会产生影响。但工程上常用的梁其跨长l 往往大于横截面高度h的10倍,此时剪力对梁的变形的影响可略去不计,而有,8,从几何方面来看,平面曲线的曲率可写作,式中,等号右边有正负号是因为曲率1/r为度量平面曲线(挠曲线)弯曲变
3、形程度的非负值的量,而w是q=w 沿x方向的变化率,是有正负的。,9,再注意到在图示坐标系中,负弯矩对应于正值w,正弯矩对应于负值的w,故从上列两式应有,由于梁的挠曲线为一平坦的曲线,上式中的w2与1相比可略去,于是得挠曲线近似微分方程,10,.用积分法求梁的位移,求梁的挠曲线方程时可将上式改写为,后进行积分,再利用边界条件(boundary condition)确定积分常数。,11,当全梁各横截面上的弯矩可用一个弯矩方程表示时(例如图中所示情况)有,以上两式中的积分常数C1,C2由边界条件确定后即可得出梁的转角方程和挠曲线方程。,12,边界条件(这里也就是支座处的约束条件)的示例如下图所示。
4、,13,若由于梁上的荷载不连续等原因使得梁的弯矩方程需分段写出时,各段梁的挠曲线近似微分方程也就不同。而对各段梁的近似微分方程积分时,都将出现两个积分常数。要确定这些积分常数,除利用支座处的约束条件(constraint condition)外,还需利用相邻两段梁在交界处的连续条件(continuity condition)。这两类条件统称为边界条件。,14,连续条件,15,例题1 试求图示等直梁的挠曲线方程和转角方程,并求自由端截面的挠度和转角。,16,解:该梁的弯矩方程为,挠曲线近似微分方程为,以x为自变量进行积分得,于是得,该梁的边界条件为:在 x=0 处,w=0,17,挠曲线方程,当x
5、=L时:,18,例题2 试求图示等直梁的挠曲线方程和转角方程,并确定其最大挠度wmax和最大转角qmax。,19,解:约束力为,两段梁的弯矩方程分别为,为了后面确定积分常数的方便,右边那段梁的弯矩方程M2(x)仍取x截面左边的梁为分离体,使方程M2(x)中的第一项与方程M1(x)中的项相同。,20,两段梁的挠曲线近似微分方程亦需分段列出,并分别进行积分:,挠曲线近似微分方程,积分得,21,该梁的两类边界条件为,支座约束条件:在x=0处 w1=0,在 x=l 处 w2=0,连续条件:在x=a处,w1=w2,由两个连续条件得:,由支座约束条件 w1|x=0=0 得,从而也有,22,由另一支座约束条
6、件 w2|x=l=0 有,即,从而也有,23,从而得两段梁的转角方程和挠曲线方程如下:,左段梁,右段梁,24,左、右两支座处截面的转角分别为,25,将上列x1的表达式代入左段梁的挠曲线方程得:,求得 的位置值。,由,26,由上式还可知,当集中荷载F作用在右支座附近因而b值甚小,以致 b2 和 l2 相比可略去不计时有,它发生在 处。而此时 处(跨中点C)的挠度wC为,简支梁最大挠度的近似计算:,27,当集中荷载F作用于简支梁的跨中时(b=l/2),最大转角qmax和最大挠度wmax为,可见在集中荷载作用于右支座附近这种极端情况下,跨中挠度与最大挠度也只相差不到3%。因此在工程计算中,只要简支梁
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