2016届【世纪金榜】高三文科数学热点专题突破：数列的综合应用.ppt

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1、热点专题突破系列(三)数列的综合应用,考点一 等差数列与等比数列的综合问题【考情分析】等差、等比数列相结合的问题是高考考查的重点(1)综合考查等差数列与等比数列的定义、通项公式、前n项和公式、等差(比)中项、等差(比)数列的性质.(2)重点考查基本量(即“知三求二”,解方程(组)的计算以及灵活运用等差、等比数列的性质解决问题.,【典例1】(2014湖北高考)已知等差数列an满足:a1=2,且a1,a2,a5成等比数列.(1)求数列an的通项公式.(2)记Sn为数列an的前n项和,是否存在正整数n,使得Sn60n+800?若存在,求n的最小值;若不存在,说明理由.,【解题提示】(1)设an的公差

2、为d,由2,2+d,2+4d成等比数列可求得公差d,从而根据通项公式表示出数列an的通项.(2)根据数列an的通项公式表示出数列an的前n项和公式Sn,令Sn60n+800,解此不等式.,【规范解答】(1)设数列an的公差为d,依题意,2,2+d,2+4d成等比数列,故有(2+d)2=2(2+4d),化简得d2-4d=0,解得d=0或d=4.当d=0时,an=2;当d=4时,an=2+(n-1)4=4n-2,从而得数列an的通项公式为an=2或an=4n-2.,(2)当an=2时,Sn=2n.显然2n60n+800成立.当an=4n-2时,令2n260n+800,即n2-30n-4000,解得

3、n40或n60n+800成立,n的最小值为41.综上,当an=2时,不存在满足题意的n.当an=4n-2时,存在满足题意的正整数n,其最小值为41.,【规律方法】等差数列、等比数列综合问题的解题策略(1)分析已知条件和求解目标,确定为最终解决问题需要首先求解的中间问题,如为求和需要先求出通项、为求出通项需要先求出首项和公差(公比)等,确定解题的顺序.,(2)注意细节.在等差数列与等比数列综合问题中,如果等比数列的公比不能确定,则要看其是否有等于1的可能,在数列的通项问题中第一项和后面的项能否用同一个公式表示等,这些细节对解题的影响也是巨大的.提醒:在不能使用同一公式进行计算的情况下要注意分类讨

4、论,分类解决问题后还要注意结论的整合.,【变式训练】(2015石家庄模拟)已知数列an为前n项和Sn=1-kan(k0,nN*).(1)用n,k表示an.(2)若数列bn对任意正整数n,均有(bn+1-bn+2)lna1+(bn+2-bn)lna3+(bn-bn+1)lna5=0.求证:数列bn为等差数列.(3)在(1),(2)中,设k=1,bn=n+1,xn=a1b1+a2b2+anbn,试求数列xn的通项公式.,【解析】(1)由已知得a1=S1=1-ka1,所以a1=.又当n2时,an=Sn-Sn-1=kan-1-kan,所以 所以an是以 为首项,为公比的等比数列,所以,(2)由(1)令

5、等比数列an的公比为q,则q1,a3=a1q2,a5=a1q4代入等式化简,所以(bn+2+bn-2bn+1)lnq=0,因为q1,所以2bn+1=bn+2+bn,所以数列bn为等差数列.,(3)因为k=1,所以所以 所以所以xn=得-得所以,【加固训练】(2015南昌模拟)已知an是单调递增的等差数列,首项a1=3,前n项和为Sn,数列bn是等比数列,首项b1=1,且a2b2=12,S3+b2=20.(1)求an和bn的通项公式.(2)令cn=Sncos(an)(nN*),求cn的前n项和Tn.,【解析】(1)设数列an的公差为d,数列bn的公比为q,则a2b2=(3+d)q=12,S3+b

6、2=3a2+b2=3(3+d)+q=9+3d+q=20,3d+q=11,q=11-3d,则(3+d)(11-3d)=33+2d-3d2=12,即3d2-2d-21=0,(3d+7)(d-3)=0.因为an是单调递增的等差数列,所以d0,所以d=3,q=2,an=3+(n-1)3=3n,bn=2n-1.,(2)由(1)知当n是偶数时,Tn=c1+c2+c3+cn=-S1+S2-S3+S4-Sn-1+Sn=a2+a4+a6+an=6+12+18+3n=,当n是奇数时，Tn=Tn-1-Sn=,考点二 数列与函数的综合问题【考情分析】数列与函数的特殊关系,决定了数列与函数交汇命题的自然性,是高考命题的

7、易考点,主要考查方式有:(1)以函数为载体,考查函数解析式的求法,或者利用函数解析式给出数列的递推关系、数列前n项和的计算方法(2)根据数列是一种特殊的函数这一特点命题,考查利用函数的单调性来确定数列的单调性、最值或解决某些恒成立问题,【典例2】(2015哈尔滨模拟)已知二次函数y=f(x)的图象经过坐标原点,其导函数为f(x)=6x-2,数列an的前n项和为Sn,点(n,Sn)(nN*)均在函数y=f(x)的图象上.(1)求数列an的通项公式.(2)设 Tn是数列bn的前n项和,求使得Tn 对所有nN*都成立的最小正整数m.,【解题提示】(1)先用待定系数法求出y=f(x)的解析式,再得出S

8、n的表达式,最后用an与Sn的关系式求出数列an的通项公式.(2)先用裂项相消法求出Tn,再用不等式的恒成立问题求出最小正整数m.,【规范解答】(1)设二次函数f(x)=ax2+bx(a0),则f(x)=2ax+b.由于f(x)=6x-2,得a=3,b=-2,所以f(x)=3x2-2x.又因为点(n,Sn)(nN*)均在函数y=f(x)的图象上,所以Sn=3n2-2n.当n2时,an=Sn-Sn-1=3n2-2n-3(n-1)2-2(n-1)=6n-5;当n=1时,a1=S1=312-2=61-5,所以an=6n-5(nN*).,(2)由(1)得故Tn因此，要使 对nN*恒成立，则m必须且仅需

9、满足 即m10.所以满足要求的最小正整数为10.,【规律方法】1.数列与函数的综合问题的常见类型及解题策略(1)已知函数条件,解决数列问题,此类问题一般利用函数的性质、图象研究数列问题.(2)已知数列条件,解决函数问题,解决此类问题一般要充分利用数列的范围、公式、求和方法对式子化简变形.另外,解题时要注意数列与函数的内在联系,灵活运用函数的思想方法求解,在问题的求解过程中往往会遇到递推数列,因此掌握递推数列的常见解法有助于该类问题的解决.,2.解决数列与函数综合问题的注意点(1)数列是一类特殊的函数,其定义域是正整数集,而不是某个区间上的连续实数,所以它的图象是一群孤立的点.(2)转化以函数为

10、背景的条件时,应注意题中的限制条件,如函数的定义域,这往往是非常容易忽视的问题.(3)利用函数的方法研究数列中相关问题时,应准确构造函数,注意数列中相关限制条件的转化.,【变式训练】(2015济南模拟)已知函数f(x)=x2+bx为偶函数,数列an满足an+1=2f(an-1)+1,且a1=3,an1.(1)设bn=log2(an-1),求证:数列bn+1为等比数列.(2)设cn=nbn,求数列cn的前n项和Sn.,【解析】(1)因为函数f(x)=x2+bx为偶函数,所以b=0,所以f(x)=x2,所以an+1=2f(an-1)+1=2(an-1)2+1,所以an+1-1=2(an-1)2.又

11、a1=3,an1,bn=log2(an-1),所以b1=log2(a1-1)=1,所以所以数列bn+1是首项为2,公比为2的等比数列.,(2)由(1)得,bn+1=2n,所以bn=2n-1,所以cn=nbn=n2n-n.设An=12+222+323+n2n,则2An=122+223+324+n2n+1,所以-An=2+22+23+2n-n2n+1=-n2n+1=2n+1-n2n+1-2,所以An=(n-1)2n+1+2.设Bn=1+2+3+4+n,则Bn=所以Sn=An-Bn=(n-1)2n+1+2-,【加固训练】设函数f(x)的定义域为R,当x1,且对任意的实数x,yR,有f(x+y)=f(

12、x)f(y).(1)求f(0),判断并证明函数f(x)的单调性.(2)数列an满足a1=f(0),且f(an+1)=(nN*),数列bn满足bn=an-8.求数列an的通项公式;求数列bn的前n项和Tn的最小值及相应的n的值.,【解析】(1)x,yR,f(x+y)=f(x)f(y),x1,令x=-1,y=0,则f(-1)=f(-1)f(0),因为f(-1)1,所以f(0)=1.若x0,则f(x-x)=f(0)=f(x)f(-x),故f(x)=(0,1),故xR,f(x)0,任取x10,所以0f(x2-x1)1,所以f(x2)f(x1),故f(x)在R上是减函数.,(2)a1=f(0)=1,f(

13、an+1)=f(2+an),由f(x)单调性an+1=an+2.故an是等差数列,所以an=2n-1.bn=2n-9,Tn=n2-8n,当n=4时,(Tn)min=-16.,考点三 数列与不等式的综合问题【考情分析】数列与不等式的综合问题是高考考查的热点.考查方式主要有三种:(1)判断数列问题中的一些不等关系,如比较数列中的项的大小关系等.(2)以数列为载体,考查不等式的恒成立问题,求不等式中的参数的取值范围等.(3)考查与数列问题有关的不等式的证明问题.,【典例3】(2014上海高考)已知数列an满足 anan+13an,nN*,a1=1.(1)若a2=2,a3=x,a4=9,求x的取值范围

14、.(2)若an是等比数列,且am=,求正整数m的最小值,以及m取最小值时相应an的公比.(3)若a1,a2,a100成等差数列,求数列a1,a2,a100的公差的取值范围.,【解题提示】(1)根据 a2a33a2,a3a43a3可求得x的范围.(2)根据 a1a23a1可把q的范围求出,再根据通项将m用q表示出来,用放缩法求解.(3)根据 anan+13an,可得公差的关系式,对n分类讨论可得.,【规范解答】(1)依题意,a2a33a2,所以 x6;又 a3a43a3,所以3x27;综上可得:3x6.,(2)设公比为q,由已知得,an=qn-1,又 a1a23a1,所以 q3,又am=qm-1

15、=,所以 q1,m=1-logq1 000=所以m的最小值为8,故q7=,所以,(3)设公差为d,由已知可得 1+(n-1)d31+(n-2)d,其中2n100,即令n=2得,-d2,当3n100时,得d 所以d 综上,公差d的取值范围为,【规律方法】数列中不等式的处理方法(1)函数方法:即构造函数,通过函数的单调性、极值等得出关于正实数的不等式,通过对关于正实数的不等式特殊赋值得出数列中的不等式.(2)放缩方法:数列中不等式可以通过对中间过程或者最后的结果放缩得到.(3)比较方法:作差或者作商比较.(4)数学归纳法:使用数学归纳法进行证明.,【变式训练】(2014广东高考)设各项均为正数的数

16、列an的前n项和为Sn,且Sn满足-(n2+n-3)Sn-3(n2+n)=0,nN*.(1)求a1的值.(2)求数列an的通项公式.(3)证明:对一切正整数n,有,【解题提示】(1)可直接令n=1.(2)用n表示出Sn,利用an=Sn-Sn-1(n2)求解.(3)先对每一项进行放缩再裂项相消整理求和.,【解析】(1)令n=1,则S1=a1,-(12+1-3)S1-3(12+1)=0,即+a1-6=0,解得a1=2或a1=-3(舍去).(2)-(n2+n-3)Sn-3(n2+n)=0,可以整理为(Sn+3)Sn-(n2+n)=0,因为数列an中,an0,所以Sn-3,只有Sn=n2+n.当n2时

17、,an=Sn-Sn-1=n2+n-(n-1)2-(n-1)=2n,而a1=2,符合an=2n,所以数列an的通项公式为an=2n(nN*).,【加固训练】1.(2015贵阳模拟)已知数列an的前n项和为Sn,满足Sn=an-n(nN*).(1)求证:数列an+1是等比数列.(2)令bn=log3(a1+1)+log3(a2+1)+log3(an+1),对任意nN*,是否存在正整数m,使 恒成立?若存在,求出m的值;若不存在,请说明理由.,【解析】(1)当n=1时,S1=a1=a1-1,解得a1=2,当n2时,由Sn=an-n得Sn-1=an-1-n+1.两式相减得,Sn-Sn-1=an-an-

18、1-1,即an=3an-1+2(n2),则an+1=3(an-1+1).又a1+1=2+1=3,故数列an+1是首项为3,公比为3的等比数列.,(2)由(1)知an+1=33n-1=3n.所以bn=log3(a1+1)+log3(a2+1)+log3(an+1)=1+2+n=,由 对任意nN*恒成立，得2(1-)，即m 对任意nN*恒成立,因为，所以m4.又因为mN*，所以m=1,2,3,4.,2.已知数列an为等比数列,其前n项和为Sn,已知a1+a4=-,且对于任意的nN+,有Sn,Sn+2,Sn+1成等差数列.(1)求数列an的通项公式.(2)已知bn=n(nN+),记Tn=若(n-1)

19、2m(Tn-n-1)对于n2恒成立,求实数m的最小值.,【解析】(1)设公比为q,因为S1,S3,S2成等差数列,所以2S3=S1+S2,所以2a1(1+q+q2)=a1(2+q),得q=-又a1+a4=a1(1+q3)=所以a1=所以an=a1qn-1=,(2)因为bn=n,an=所以=n2n,所以Tn=12+222+323+n2n,2Tn=122+223+324+(n-1)2n+n2n+1,-得-Tn=2+22+23+2n-n2n+1,所以Tn=-(-n2n+1)=(n-1)2n+1+2.,若(n-1)2m(Tn-n-1)对于n2恒成立,则(n-1)2m(n-1)2n+1+2-n-1,(n

20、-1)2m(n-1)(2n+1-1),所以m 令f(n)=,f(n+1)-f(n)=所以f(n)为减函数,所以f(n)f(2)=.所以m.,考点四 数列的实际应用问题【考情分析】此类试题一般围绕着现实生活中的人口的增长、产量的增加、成本的降低、存贷款利息的计算、分期付款等客观背景进行设置,它不仅涉及数列中的基本知识和方法,还往往涉及其他学科的知识和常识,【典例4】某公司一下属企业从事某种高科技产品的生产.该企业第一年年初有资金2 000万元,将其投入生产,到当年年底资金增长了50%.预计以后每年资金年增长率与第一年的相同.公司要求企业从第一年开始,每年年底上缴资金d万元,并将剩余资金全部投入下

21、一年生产.设第n年年底企业上缴资金后的剩余资金为an万元.(1)用d表示a1,a2,并写出an+1与an的关系式.(2)若公司希望经过m(m3)年使企业的剩余资金为4 000万元,试确定企业每年上缴资金d的值(用m表示).,【解题提示】(1)只要根据增长率求出当年年底的资金总额,再减去上缴的资金,就是剩余资金,即可求出a1,a2,以及建立an+1与an间的递推关系式.(2)使用逐次迭代的方法或者构造等比数列的方法均可求出数列an的通项公式an,令am=4 000即可求出d.,【规范解答】(1)由题意得a1=2 000(1+50%)-d=3 000-d,a2=a1(1+50%)-d=a1-d=4

22、 500-d,所以an+1=an(1+50%)-d=an-d.,(2)由(1)得,当n2时,整理得 由题意,am=4 000,所以(3 000-3d)+2d=4 000,解得 故该企业每年上缴资金d的值为 时,经过m(m3)年企业的剩余资金为4 000万元.,【一题多解】在解答第(2)问时,你知道几种解法?在解答第(2)问时,还可有以下解法:由于an+1=an-d,设an+1+=(an+),化为an+1=an+,与an+1=an-d比较可得=-2d,故an+1-2d=(an-2d),这说明数列an-2d是以a1-2d=3 000-3d为首项,为公比的等比数列,所以an-2d=(3 000-3d

23、),即an=(3 000-3d)+2d.(下同上面解法).,【规律方法】解答数列实际应用问题的步骤(1)确定模型类型:理解题意,看是哪类数列模型,一般有等差数列模型、等比数列模型、简单的递推数列模型.基本特征见下表:,(2)准确解决模型:解模就是根据数列的知识,求数列的通项、数列的和、解方程(组)或者不等式(组)等,在解模时要注意运算准确.(3)给出问题的回答:实际应用问题最后要把求解的数学结果化为对实际问题的答案,在解题中不要忽视了这点.,【变式训练】(2015济南模拟)为了综合治理交通拥堵状况,缓解机动车过快增长势头,一些大城市出台了“机动车摇号上牌”的新规.某大城市2015年初机动车的保

24、有量为600万辆,预计此后每年将报废本年度机动车保有量的5%,且报废后机动车的牌照不再使用.同时每年投放10万辆的机动车牌号.只有摇号获得指标的机动车才能上牌,经调研,获得摇号指标的市民通常都会在当年购买机动车上牌.(1)问:到2019年初,该城市的机动车保有量为多少万辆.,(2)根据该城市交通建设规划要求,预计机动车的保有量少于500万辆时,该城市交通拥堵状况才真正得到缓解.问:至少需要多少年可以实现这一目标.(参考数据:0.954=0.81,0.955=0.77,lg0.75=-0.13,lg0.95=-0.02),【解析】(1)设2015年年初机动车保有量为a1万辆,以后各年年初机动车保

25、有量依次为a2万辆,a3万辆,每年新增机动车10万辆,则a1=600,an+1=0.95an+10.又an+1-200=0.95(an-200),且a1-200=600-200=400,所以数列an-200是以400为首项,0.95为公比的等比数列.所以an-200=4000.95n-1,即an=4000.95n-1+200.所以2019年初机动车保有量为a5=4000.954+200=524万辆.,(2)由题可知,an=4000.95n-1+200+1=7.5,故至少需要8年时间才能实现目标.,【加固训练】1.某软件公司新开发一款学习软件,该软件把学科知识设计为由易到难共12关的闯关游戏.为

26、了激发闯关热情,每闯过一关都奖励若干慧币(一种网络虚拟币).该软件提供了三种奖励方案:第一种,每闯过一关奖励40慧币;第二种,闯过第一关奖励4慧币,以后每一关比前一关多奖励4慧币;第三种,闯过第一关奖励0.5慧币,以后每一关比前一关奖励翻一番(即增加1倍).游戏规定:闯关者须于闯关前任选一种奖励方案.,(1)设闯过n(nN,且n12)关后三种奖励方案获得的慧币依次为An,Bn,Cn,试求出An,Bn,Cn的表达式.(2)如果你是一名闯关者,为了得到更多的慧币,你应如何选择奖励方案?,【解析】(1)第一种奖励方案闯过各关所得慧币构成常数列,所以An=40n,第二种奖励方案闯过各关所得慧币构成首项

27、是4,公差也为4的等差数列,所以Bn=4n+4=2n2+2n,第三种奖励方案闯过各关所得慧币构成首项是0.5,公比为2的等比数列,(2)令AnBn,即40n2n2+2n,解得0Bn恒成立.令AnCn,即40n(2n-1),可得nAn,综上,若你是一名闯关者,当你能冲过的关数小于10时,应选用第一种奖励方案;当你能冲过的关数大于等于10时,应选用第三种奖励方案.,2.一企业的某产品每件利润100元,在未做电视广告时,日销售量为b件.当对产品做电视广告后,记每日播n次时的日销售量为an(nN*)件,调查发现:每日播一次则日销售量a1件在b件的基础上增加 件,每日播二次则日销售量a2件在每日播一次时

28、日销售量a1件的基础上增加 件,每日播n次,该产品的日销售an件在每日播n-1次时的日销售量an-1件的基础上增加 件.合同约定:每播一次企业需支付广告费2b元.(1)试求出an与n的关系式.(2)该企业为了获得扣除广告费后的日利润最大,求每日电视广告需播多少次.,【解析】(1)由题意，电视广告日播k次时，该产品的日销售量ak满足ak=ak-1+(kN*,a0=b),所以，该产品每日销售量an(件)与电视广告播放量n(次/日)的关系式为an=b(2-)(nN*).,(2)该企业每日播放电视广告n次时获利为Cn=100b(2-)-2bn=100b(2-0.02n-)(nN*).因为Cn-Cn-1=100b(-0.02)0即2n50,nN*,所以n5(nN*),因为Cn+1-Cn=100b(-0.02)02n25n5,所以n=5.所以要使该产品每日获得的利润最大，则每日电视广告需播5次.,