矩阵的初等变换.ppt

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1、,2023/2/21,一、初等变换与初等矩阵,引例 线性方程组的三种等价变换,2023/2/21,矩阵的初等变换 对换、倍法、消法变换,2023/2/21,2023/2/21,初等矩阵 对单位阵施行初等变换而得。,i行,j行,（1）对换矩阵,对换矩阵可逆。,2023/2/21,i行,（2）倍法矩阵,倍法矩阵可逆。,2023/2/21,i行,j行,（3）消法矩阵,消法矩阵可逆。,2023/2/21,注意 初等阵均可逆，且逆阵仍为初等阵。,2023/2/21,定理,左乘初等阵，作行变换。,右乘初等阵，作列变换。,2023/2/21,二、矩阵的标准形,定义 mn阶矩阵的标准形,2023/2/21,定

2、理 任何矩阵A均可经有限次初等 变换化为标准形D。,注 具有相同标准形的矩阵称为等价矩阵。,定义 若矩阵A经有限次初等变换化 为矩阵B，则称A与B等价。记为,注 任何矩阵A与其标准形D等价。,2023/2/21,矩阵等价关系的性质,（1）反身性：,（2）对称性：,（3）传递性：,2023/2/21,解,例 化A为标准形,2023/2/21,2023/2/21,2023/2/21,性质1 设A是一个m*n矩阵，对A施行一次初等行变换，相当于左乘对应的m阶初等矩阵，对A施行一次初等列变换，相当于右乘对应的N阶初等矩阵。,2023/2/21,性质2 方阵A可逆的充要条件是存在有限个初等矩阵P1,P2

3、,PL,使得：A=P1P2PL,2023/2/21,定理1()A行等价于B的充要条件是存在m阶可逆矩阵P,使：PA=B;()A列等价于B的充要条件是存在m阶可逆矩阵Q,使：AQ=B;()A等价于B的充要条件是存在m阶可逆矩阵P,n阶可逆矩阵Q,使：PAQ=B;,2023/2/21,定理1 说明了矩阵可经初等变换直接判定是否可逆。,一般地，对矩阵进行初等变换，由不同类型的矩阵会得到不同的等价矩阵。如,方阵,非方阵,三角阵,对角阵,阶梯形,标准形,标准形（不可逆）,单位阵（可逆）,2023/2/21,三、初等变换求逆法,性质2 A可逆的充要条件为A可表为若干 初等阵之积.,定理1推论 A可逆，则A

4、 可由初等行变换化 为单位阵。,2023/2/21,求逆方法,2023/2/21,例,解,2023/2/21,2023/2/21,例,2023/2/21,全为零，A不可逆。,解,2023/2/21,四、利用初等行变换解矩阵方程、线性方程组,例,2023/2/21,解,用初等行变换求得：,2023/2/21,例,2023/2/21,法2 初等变换法,解 法1 先求A的逆，再求,2023/2/21,例 解线性方程组,2023/2/21,解 设方程的矩阵形式为,则,2023/2/21,2023/2/21,所以,2023/2/21,五、小结与思考,1.初等行(列)变换,初等变换的逆变换仍为初等变换,且变换类型相同,3.矩阵等价具有的性质,2023/2/21,五、小结与思考,4.初等变换求逆法（重要）,2023/2/21,思考题：,P78 2T,