实验误差分析与数据处理.ppt

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1、大学物理实验Experiment of College Physics,实验误差分析与数据处理,Tel:13053196309 Email：dzy_,物理与电子科学学院,主讲:丁智勇,2,严 谨 务 实规 范 创 新,preciseness veracity,criterion innovation,3,1 绪 论,一、大学物理实验课的要求,1、在物理实验的基本知识、基本方法、基本技能（三基）方面得到严格和系统的训练。,基本知识(basic knowledge)包括：实验的原理、各类仪器的结构和工作机理、实验误差分析与不确定度评定、实验结果的表述方法、如何对实验结果进行分析与判断等。基本方法(

2、basic method)包括：如何根据实验的目的和要求确定实验的思路与方案、如何选择和正确使用仪器、如何减少各类误差、如何采用一些特殊方法来获得通常难以获得的结果等。,4,基本技能(basic skill)包括：各种调节与测试技术（粗调、微调、准直、调零、读数、定标），真空技术（真空获得、维持、测量、应用），电子技术（微电流检测、弱信号放大），传感器技术（力传感器、位移传感器、温度传感器、磁传感器、光传感器），以及查阅文献的能力、自学能力、协作公事能力、总结归纳能力、口头表达能力等。,这种三基训练有时可能会比较枯燥，却是完全必要的，它体现了最基本的实际动手能力，因而必须首先保证这一要求的实现

3、。没有这种严格的基本训练，很难成为高素质的人才。,1 绪 论,5,2、学习用实验的方法研究物理现象、验证物理规律，加深对物理理论的理解和掌握，并在实践中提高发现问题(find question)、分析问题(analyze question)和解决问题(solve question)的能力。,3、养成实事求是(be practical and realistic)的科学态度和积极创新(innovation)的科学精神。,物理学中的“实践”主要就是物理实验，在物理实验中最能培养实事求是、严谨踏实的科学态度。任何弄虚作假，篡改甚至伪造数据的行为都是绝不允许的，也是比较容易发现的。在物理实验中，严格规

4、定了记录数据不准用铅笔，不能用涂改液，误记或错记数据的更改要写明理由并经指导老师认可等。,1 绪 论,6,实际上，实验结果是什么就是什么，没有“好”、“坏”之分。与原来预想不一致的实验结果不仅不应随便舍弃，还应特别重视，它可能是某个新发现的开端。历史上许多新的物理理论都是由于旧理论无法解释某些实验现象而建立起来的。因此，实事求是的严谨态度与积极创新的科学作风是相联系的。在严谨的实验中才能真正发现问题，而解决这些问题往往需要坚忍不拔的毅力和积极创新的思维。实际上，只要认真去做实验，一定会发现许多问题，其中有些问题是教师也未必能解决的。所以，实验室应当而且可以成为培养学生求实态度和创新精神的最好场

5、所。,1 绪 论,7,二、如何进行大学物理实验,1、预习(preparation),（1）预习的基本要求是：了解实验的目的和要求及所用到的原理、方法和仪器设备。,（2）写好实验预习报告（包括实验目的、原理、电路或光路图及数据表格等）。,1 绪 论,8,2、实验操作(operation)与 记录(register),（1）进入实验室前，必须详细了解并严格遵守实验室各项规章制度。,（2）做实验时，要胆大心细、严肃认真、一丝不苟。对于精密贵重的仪器或元件，特别要稳拿妥放，防止损坏。,（3）实验记录是做实验的重要组成部分，它应全面真实反映实验的全过程，包括实验仪器、实验的主要步骤、观察与测量的条件和情

6、况以及观察到的现象和测量到的数据，记录应尽量清晰、详尽。科学实验中的实验记录本是极其宝贵的资料，要长期保存，因此必须认真对待。,1 绪 论,9,3、总结(summarize)（写实验报告(experiment report)）,（1）简明地阐述为什么和为何做实验 这包括实验的目的、原理和步骤。写这些内容时，要尽量用自己的语言，不要从教材、书本或其他地方抄；内容应以别人能看懂，自己以后也能看懂为标准；篇幅应力求简短。,（2）真实而全面地记录实验条件和实验过程中得到的全部信息 实验条件包括实验的环境（室温、湿度、气压等与实验有关的外部条件）、所用的仪器设备（名称、型号、主要规格和编号等）、实验对象

7、（样品名称、来源及其编号等）以及其他有关器材等。,1 绪 论,10,实验过程中要随时记下观察到的现象、发现的问题和自己产成的想法；特别当实际情况和预期不同时，要记下有何不同，分析为何不同。记录实验数据要认真、仔细，但不要把数据先记录在草稿上在誊上去，更不要算好再填上去；要培养清晰而整洁地记录原始数据的能力和习惯。,（3）认真地分析和解释实验结果，得出实验结论 实验结果不是简单的测量结果，它应包括不确定度的评定、对测量结果与期望值的关系的讨论，分析误差的主要原因和改进方法，还包括对实验现象的分析与解释，对实验中有关问题的思考和对实验结果的评论等。,最后，实验报告中还可以谈做本实验的体会和对教师或

8、教材的批评和建议。,1 绪 论,11,2 误差理论与数据处理,2.1 测量(measurement)与误差(error),2.1.1 测量,1、测量与单位（unit）,测量就是将待测的物理量与一个选来作为标准的同类量进行比较，得出它们的倍数关系。作为标准的同类量称之为单位。倍数称之为测量数值（大小）。,测量值等于测量数值与单位得乘积。,2、测量的分类,根据测量方法分,12,（1）直接测量 指直接将待测物理量与选定的同类物理量的标准单位相比较直接得到测量值的一种测量。它无须进行任何函数关系的辅助运算。如用米尺测量长度、以秒表计时间、天平称质量、安培表测电流等。（2）间接测量 指被测量与直接测量的

9、量之间需要通过一定的函数关系的辅助运算，才能得到被测量物理量的量值的测量。如单摆测量重力加速度时，需先直接测量单摆长 L 和单摆的周期 T，再应用公式求得重力加速度 g。,2 误差理论与数据处理,13,物理量的测量中，绝大部分是间接测量。但直接测量是一切测量的基础。不论是直接测量，还是间接测量，都需要满足一定的实验条件，按照严格的方法及正确地使用仪器，才能得出应有的结果。因此实验过程中，一定要充分了解实验目的，正确使用仪器，细心地进行操作读数和记录，才能达到巩固理论知识和加强实验技能训练的目的。,2 误差理论与数据处理,14,等精度测量（equal-precision measurement）

10、非等精度测量（unequal-precision measurement）,根据测量条件分,（1）等精度测量 指在同一条件下进行多次测量，如同一个人，用同一台仪器，每次测量时周围环境条件相同，等精度测量每次测量的可靠程度相同。（2）非等精度测量 若每次测量时的条件不同，或测量仪器改变，或测量方法、条件改变，这样所进行的一系列测量叫做非等精度测量。非等精度测量的结果，可靠程度不同。,2 误差理论与数据处理,15,3、仪器的精密度（precision）、准确度（accuracy）和 量程（range）,（1）仪器的精密度 指与仪器的最小分度相当的物理量。仪器的最小分度越小，所测量的物理量的位数就越

11、多，仪器精密度就越高。对测量读数最小一位的取值，一般应在仪器最小分度位后再估读一位。例如，螺旋测微器的精密度为0.01mm，应该估读到毫米的千分位。（2）仪器准确度等级 指仪器本身的准确程度。根据国家规定，电气测量指示仪表准确度等级分为0.1、0.2、0.5、1.0、1.5、2.5、5.0七级，其示值最大偏差：,量程准确度等级%,2 误差理论与数据处理,16,（3）量程 指仪器所能测量的物理量最大值和最小值只差，即仪器的测量范围。4、测量的精密度（precision）、准确度（accuracy）和 精确度,（1）精密度 表示测量结果中的随机误差大小的程度。它是指在一定条件下进行重复测量时，所得

12、结果的相互接近程度。它用来描述测量得重复性。精密度高，即测量数据得重复性好，随机误差较小。（2）准确度 表示测量结果中系统误差大小得程度。用它来描述测量值接近真值得程度。准确度高，即测量结果接近真值得程度高，系统误差小。（3）精确度 是对测量结果中系统误差和随机误差的综合描述。它是指测量结果的重复性及接近真值的程度。,2 误差理论与数据处理,17,测量的精密度、准确度、精确度图示（以打靶为例）：,说明：（i）精密度高而准确度较差；（ii）准确度高而精密度较差；（iii）精密度和准确度都很高，即精确度很高,2 误差理论与数据处理,18,2.1.2 测量误差（error of measuremen

13、t）,1、真值（true value）,一个待测物理量在一定客观条件和状态下所具有得真实大小，称之为该物理量的真值。,真值是永远无法得到的！,2、测量误差的定义,2 误差理论与数据处理,19,2.1.3 误差的分类及其特点,测量误差按其产生原因与性质可分为系统误差、随机误差和过失误差三大类。,1、过失误差（错误）（parasitic error）过失误差一般是人为因素造成的，在测量时应该尽量避免。,2 误差理论与数据处理,20,2、随机误差（偶然误差）（random error）,在相同条件下，对同一物理量进行重复多次测量，即使系统误差减小到最小程度之后，测量值仍然会出现一些难以预料和无法控制

14、的起伏，而且测量值误差的绝对值和符号是随机变化的，这种误差称之为随机误差。,随机误差遵循一定的统计规律。,2 误差理论与数据处理,21,（1）测量列的算术平均值（arithmetic mean）,当测量次数趋于无限多（n）时，算术平均值将无限接近真值，因此算术平均值可以作为真值的最佳估计值。,2 误差理论与数据处理,22,（2）正态分布（normal distribution）,：整体标准（偏）差（standard deviation），与实验条件有关。,正态分布的概率密度函数：,2 误差理论与数据处理,23,n：测量次数,整体标准差反映了测量值的离散程度。,2 误差理论与数据处理,24,测量

15、值的随机误差出现在区间(，+d)的可能性（概率）为 f()d，即上图中阴影部分的面积。,由于 f()d 是测量值随机误差出现在小区间(，+d)的可能性（概率），那么，测量值误差出现在(，)内的可能性（概率）就是,这说明对任一次测量，其测量值误差出现在区间（-，）内的可能性（概率）为68.3%。也就是说，假如我们对某一物理量在相同条件下进行了1000次的测量，那么，测量值误差可能有683次落在此区间内。这里要特别注意标准误差的统计意义，它并不表示任一次测量值的误差就是，也不表示误差不会超出 的界限。标准误差只是一个具有统计性质的特征量，用以表征测量值的离散程度。,2 误差理论与数据处理,25,类

16、似地，可以计算在相同条件下对某一物理量进行多次测量，其任意一次测量值的误差落在区域（-3，3）的可能性（概率），其值为,也就是说，在1000次测量中，可能有 3 次测量值的误差绝对值会超过 3，在通常的有限次测量情况下，测量次数很少超过几十次，因此，测量值误差超过 3 范围的情况几乎不会出现，所以把 3 称为极限误差。,2 误差理论与数据处理,26,（3）实验标准（偏）差（experimental standard deviation）,真值一般是无法测得的，因此前面的讨论只有理论上的价值。由于算术平均值最接近真值，因此可以用算术平均值参与对整体标准差的估算。实际工作中，测量次数是有限的，所以

17、我们用实验标准差来代替整体标准差：,2 误差理论与数据处理,27,（3）算术平均值的实验标准差（experimental standard deviation of the mean）,由于实际测量次数是有限的，所以算术平均值本身也具有一定的离散性，我们用算术平均值的实验标准差来表示：,2 误差理论与数据处理,28,3、系统误差（systematic error）,在相同条件下，多次测量同一个物理量，测量值对真值的偏离（包括大小和方向）总是相同的或有规律变化的，这类误差称为系统误差。,（1）已定系差 指符号和绝对值已经知道的误差分量。实验中，需要对测量结果进行修正，修正公式为：,已修正的测量结

18、果=测得值（或平均值）-已定系差,2 误差理论与数据处理,（2）未定系差 指符号和绝对值未被确定而未知的误差分量。一般只能估计其限值或分布特征。,29,2.1.4 异常数据的剔除,1、3 准则,具体方法：首先根据多次测量所得的数据计算 3（或3sx），再算出各测量值的与平均值的偏差，把偏差超过3 的那个数据剔除。剔除后，再对余下的数据重新按照该方法审查，直到各个偏差均小于3 为止。,2、肖维 准则（略）3、格罗布斯准则（略）,2 误差理论与数据处理,30,2.2 不确定度（uncertainty of measurement）及其评定方法,2.2.1 不确定度,1、不确定度的概念,一个完整的测

19、量结果不仅要给出该测量值的大小（即数值和单位），同时还应给出它的不确定度。用不确定度来表征该测量结果的可信赖程度。不确定度和误差是两个不同的概念。误差是指测量值与真值之差，一般情况下，它是未知的、确定的、可正可负的量；不确定度是表示误差可能存在的范围，它的大小可以按一定的方法计算（或估计）出来。不确定度大，误差的绝对值不一定大，二者不应混淆。,2 误差理论与数据处理,31,2、不确定度的历史发展（略）,3、大学物理实验中测量不确定度的表达,测量不确定度表达涉及到深广的知识领域和误差理论问题，根据大学物理实验教学实际，拟采用一种简化的方法来进行不确定度表达。通常，测量不确定度由几个分量构成。根据

20、估计方法的不同，分为 A 类方法和 B 类方法来评定不确定度。A 类不确定度是指用统计方法计算的不确定度分量（uA）；B 类不确定度是指用其他方法（非统计方法）计算出来的不确定度分量（uB）,2 误差理论与数据处理,32,2.2.2 不确定度的估计方法,1、A 类不确定度的近似评定,表：p=0.683 时的因子 f(n),2 误差理论与数据处理,33,2、B 类不确定度,（1）仪器最大允许误差 仪 仪器最大允许误差也称仪器误差限，由仪器本身特性决定，一般仪器说明书中都注明。常用仪器的仪器误差限如下：长度测量仪器 游标卡次取最小分度值，米尺取最小分度值一半，螺旋测微器取0.004mm 指针式仪表

21、仪=a%Nm（式中，a为准确度等级，Nm为量程）数字式仪表（略）、电阻箱（略）、直流电位差计（略）、直流电桥（略）。,2 误差理论与数据处理,34,（2）估计误差限 估 有的测量随机误差可能比较大，此时需要估计一个误差限来作为不确定度 评定依据，例如，若用 0.1s 分度的秒表来计时，由于人的感官灵敏度的限制与技术上的不熟练，常常造成“启动”和“停止”秒表所用的时间超过 0.1s，这必然使测量误差限超过秒表的仪器误差限，这时可根据实际情况来估计误差限，比如可取 估=0.2s。又如，用钢卷尺来测量较长的距离，不可能保证尺子拉直拉平，则可依实际情况取 估=5mm 或更大。总之，要根据测量的不同情况

22、以及观测者实验技巧的高低来做出估计。,2 误差理论与数据处理,35,在大多数情况下，大学物理实验中把 仪简化后直接当做总不确定度中用非统计方法估计的 B 类不确定度分量，即在仅考虑仪器误差的情况下，且置信概率大于0.68时，B 类分量的表征值为：,3、合成不确定度,A 类和 B 类分量采用方和根合成，得到合成的不确定度：,（2）B类不确定度的近似评定,2 误差理论与数据处理,36,3、间接测量不确定度的估计方法,设间接测量量Y 是（x，y，z）等直接测量量的函数，其函数形式为：,设x，y，z 等的合成不确定度分别为：ux，uy，uz，则采用方和根合成的方法简化计算间接测量的不确定度 uY 为：

23、,37,在一些简单的测量问题中也可以采用绝对值合成的方法，即,对于积商形式的函数，我们可以先取对数，在求全微分可得：,38,1.3 测量结果的表示,1.3.1 单次直接测量的数据处理,在单次测量中，我们用单次测量值 x测 作为被测量的最佳估计值。测量值的不确定度与所用测量仪器的精度、测量者的估读能力及测量条件等很多因素有关。一般情况下，对随机误差很小的测量，可以只估计不确定度的 B 类分量，用仪器误差 仪 作为 x测 的总不确定度，测量结果表示为：,39,1.3.2 多次直接测量的数据处理,步骤一：计算被测量的算术平均值，作为被测量的最佳估计值,步骤二：求出各测量值的残差,步骤三：用贝塞尔公式

24、求出测量列的标准偏差,40,步骤四：审查数据，如发现有异常数据，应予以舍弃。舍弃异常 数据后，再重复步骤一三，直至完全剔除异常数据,步骤五：求出算术平均值的标准偏差，并查表求出总不确定度的 A 类分量,步骤六：查出 B 类分量，求出总不确定度,41,步骤七：表示最后测量结果,上式中 ur 为相对不确定度,例1,42,1.3.3 间接测量的数据处理,步骤一：按照直接测量值的数据处理方法求出各直接测量值的 结果，设 Y=f（x，y，z）,步骤二：将各直接测量值的最佳估计值代入函数关系式中，求得 间接测量值的最佳估计值,步骤三：利用方和根合成公式求出间接测量值的不确定度uY,43,或：,步骤四：表示

25、最后测量结果,例2,44,1.4 有效数字(significant figure),1.4.1 有效数字的概念,我们把测量结果中可靠的几位数字加上有误差的一位数字，称为测量结果的有效数字。或者说，有效数字最后一位数字是不确定的。有效数字是表示不确定度的一种粗略方法，而不确定度则是有效数字中最后一位数字的不确定程度的定量描述，二者都表示含有误差的测量结果。,45,有效数字的位数与小数点的位置无关，如 1.23 和 123 都是三位有效数字。关于 0 是不是有效数字的问题，可以这样判断：从左往右数，以第一个不为零的数字为标准，它左边的 0 不是有效数字，它右边的 0 是有效数字。在直接测量中，测量

26、仪器的最小刻度（或仪器精度）与测量值的有效数字位数有着密切关系。对同一测量对象而言，仪器精度愈高，测量值的有效数字愈多。切记：在记录有效数字时，小数点后面的零是有效数字，不能任意删去或增添。,46,1.4.2 数值书写规则,测量结果的有效数字位数由不确定度来确定。由于不确定度本身只是一个估计值，一般情况下，不确定度的有效数字位数只取一位。测量值的最后一位一般要与不确定度的最后一位对齐。例如，测量值=1.19423 g/cm3，其不确定度 U=0.003g/cm3，则测量结果应写成：,47,1、加减运算,1.4.3 有效数字的运算规则,几个数相加减时，最后结果的可疑数字与各数值中最先出现的可疑数

27、字对齐，因为一个数字与一个可疑数字相加或相减，其结果必然是可疑数字。,例：,48,49,2、乘除运算,几个数相乘除，计算结果的有效数字位数与各数值中有效数字位数最少的一个相同（或最多再多保留一位）。因为一个数字与一个可疑数字相乘，其结果必然是可疑数字。,例：,50,对于一个间接测量值，如果它是由几个直接测量值相乘除而计算得到的，那么，在进行测量时应考虑各个直接测量值的有效数字位数要基本相仿。或者说，它们的相对不确定度要比较接近。如果相差悬殊，那么，精度过高的测量就失去意义了。,3、乘方运算,乘方运算的有效数字位数与其底数相同。,51,4、对数、三角函数和 n 次放运算,它们的计算结果必须按照不

28、确定度传递公式来计算出函数值的不确定度，然后，根据测量结果最后一位数字与不确定度对齐的原则来决定有效数字。,必须指出，上述的简算方法不是绝对的。一般说来，为了避免在运算过程中由于数字的取舍而引入计算误差，在运算过程中应多保留一位为妥，但最后结果中仍应删去此位，以间接测量值最后一位数字与不确定度对齐的原则为准。,52,1.5 实验数据的处理方法,1、列表法,对一个物理量的多次测量，或者测量几个量之间的函数关系，往往要借助于列表法把实验数据列成表格。它的好处是，可使大量数据表达清晰醒目，简单明确，易于检查数据和发现问题，避免差错，同时有助于反映出物理量之间的对应关系。列表法没有统一的格式，但在设计

29、表格时要求注意以下几点：,（1）各栏目都要注明名称和单位。（2）栏目顺序应充分反映数据间的联系和计算顺序，力求简明、齐全、有条理。（3）反映测量值函数关系的数据表格，应按照自变量大小顺序排列。,53,2、图解法,图线能够明显地表示出实验数据间的关系，揭示物理量之间的联系，并且通过它可以找出两个量之间的数学关系式，所以图解法是实验数据处理的重要方法之一，它在科学技术上很有用处。用图解法处理数据，首先要求画出合乎规范的图线，为此要注意以下 5 点：,（1）作图必须用坐标纸。在物理实验中最常用的是直角坐标纸。由于图线中直线最易绘画，而且直线方程的两个参数（斜率和截距）也比较容易算，所以，对于两个变量

30、之间的函数是非线性的情况，如果它们之间的函数关系是已知的或者准备用某种关系式去拟合曲线时，应尽可能通过变量变换将非线性函数的曲线转变为线性函数的直线。下面介绍几种：,54,（2）坐标比例的选取与标度 作图时通常以自变量做横坐标（x 轴），以因变量做纵坐标（y 轴），并标明坐标轴所代表的物理量（或相应的符号）和单位。坐标比例的选取，原则上做到数据中的可靠数字在图上应是可靠的。对于直线，其斜率最好在40到 60之间，以免图线偏于一方。坐标比例的选取应以便于读数为原则，常用比例为 11，12，15 等。纵横坐标的比例可以不同，并且，,55,标度也不一定从零开始。可以用小于实验数据最小值的某一数作为坐

31、标轴的起始点，用大于实验数据最高值的某一数作为终点，这样图纸就能被充分利用了。坐标轴上每隔一定间距（2cm5cm）应均匀地标出分度值，标记所用的有效数字位数应与实验数据的有效数字位数相同。,（3）数据点的标出 实验数据点用符号“+”标出，符号的交点即是数据点的位置。同一张图上如有几条实验曲线，各条曲线的数据点可用不同的符号（如“”、“”等）标出。,56,（4）曲线的描绘 由实验数据点描绘出平滑的实验曲线，连线要用透明直尺或三角板、曲线板等进行连接。要尽可能使所描绘的曲线通过较多的测量点，对那些严重偏离曲线的个别点，应检查标点是否错误。若有错误，在连线时可舍去不予考虑。其他不在图线上的点应均匀分

32、布在曲线的两旁。对于仪器仪表的校正曲线和定标曲线，连接时应将相邻的两点连成直线，整个曲线呈折线形状。,（5）注解 在图纸上要写明图线的名称、作图者姓名、日期以及必要的简单说明（如实验条件：温度、压力等）。,57,直线图解法：直线图解法首先是求出斜率和截距，进而得到完整的线性方程。选点。用两点法，因为直线不一定通过原点，所以不能采用一点法。在直线上取两点 A（x1，y1）、B（x2，y2）。此两点不用实验点，而是在直线上选取，并用与实验点不同的记号（如“”）表示，在记号旁注明其坐标值。这两点尽量分开些，如果靠得太近，计算斜率时会使结果的有效数字减少。但是也不能取得超出实验数据的范围以外，因为这样

33、选点无实验依据。,58,求斜率。直线方程为 y=a+bx，将 A 和 B 两点坐标值代入，便可算出斜率，即,求截距。若横坐标起点为零，则可将直线用虚线延长得到与纵坐标轴的交点，便可求出截距。若起点不为零，则可用下式计算：,例3,59,3、逐差法,当自变量与因变量之间成线性关系，自变量按等间隔变化，且自变量的误差远小于因变量的误差时，可使用逐差法计算因变量变化的平均值。使用它既能充分利用实验数据，有具有减小误差的效果。具体做法是将测量得到的偶数组数据分成前后两组，将对应项分别相减，然后再求平均值。,例4,60,4、最小二乘法（线性回归）,设在某实验中，可控制物理量取 x1，x2，xn 值时，对应

34、的物理量依次取 y1，y2，yn值。直线拟合的任务就是用数学分析的方法从这些观测到的数据中求出最佳的经验公式 y=kx+b。根据理论，可以得到斜率 k 和截距 b 的最佳估计值。,61,将得到的k和b值代入直线方程 y=kx+b 中，即得到最佳经验公式。为了检验线性拟合的好坏，定义相关系数：,r 越接近 1 表明 x 和 y 的线性关系就越好；如果 r 接近于 0，就可以认为 x 和 y 之间不存在线性关系。可以证明，斜率 k 和截距 b 的标准偏差：,例5,62,（1）求最佳估计值,（2）求 A 类不确定度uA(d),63,（3）求 B 类不确定度UB(d),（4）求总不确定度U(d),（5

35、）表示测量结果,64,例2,用流体静力称衡法测固体密度，测得：,已知测量公式为，求固体密度的测量结果。,（1）求最佳估计值,3 例题,65,（2）求 的不确定度 U（）,对函数 先取对数，再求全微分,合并同一变量的系数：,用不确定度代替微分，再用方和根合成：,3 例题,66,代入已知条件，得到相对不确定度：,不确定度为：,（3）表示测量结果,3 例题,67,例3,已知电阻丝的阻值R与温度t的关系为:R=R0+R0at。现有一电阻丝，其阻值随温度变化如表所示。请用作图法作 R-t 直线，并求R0、R0a值。,3 例题,68,由表格可知,tmax-tmin=50.0-15.0=35.0（）Rmax

36、-Rmin=31.62-28.05=3.57（）,即温度 t 的变化范围为 35，而电阻值 R 的变化范围为 3.57。根据坐标纸大小的选择原则，既要反映有效数字又能包括所有实验点，选“40 格 40”格的图纸。取自变量 t 为横坐标，起点为 10，每一小格为 1；因变量 R 为纵坐标，起点为 28，每一小格为0.1，描点连线图，得 R-t 直线如图所示。,3 例题,69,R,70,在直线上取两点（19.0，28.42）、（43.0，30.86）则：,3 例题,71,例4,用受力拉伸法测定弹簧的倔强系数。已知在弹性限度内，伸长量 x 与所受拉力 F 之间满足 F=kx 关系，等间距地改变拉力（

37、负荷）测的一组数据如下：,3 例题,72,逐次相减的数据可以判断 Li=Li+1-Li 基本相等，验证了 Li 与 F 的线性关系。实际上，这一“逐差验证”工作，在实验过程中可以随时进行，以判断测量是否正确。但是，如果要求每增加 10 g 砝码时弹簧的平均伸长量，用上述逐项相减，再求平均值时，有：,中间数据全部抵消，只有始末两次测量起作用，与一次增加 70g 砝码的单次测量等价！,3 例题,73,通常采用的方法是采用多项间隔相减，即将上述数据分成高组（L7，L6，L5，L4）和低组（L3，L2，L1，L0）然后用对应相减求平均值：,于是各个数据全部用上了。相当于重复测量 4 次，每次负荷 40g 砝码。这样处理可以充分利用测量数据，保持了多次测量的优点，减小了测量误差。,3 例题,74,例5,试用最小二乘法对下列数据进行拟合，求直线方程的斜率和截距，并由斜率求重力加速度 g。,根据，设,则有,3 例题,75,计算得,代入得,则有,检验,拟合正确！,3 例题,