时域离散信号和系统的频域分析.ppt

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1、第二章 Z变换 与离散时间系统的频域分析,主要内容,Z变换逆Z变换Z域分析序列的付里叶变换系统函数,Z变换作用：利用差分方程可求离散系统的结构及瞬态解，为了分析系统的另外一些重要特性，如稳定性和频率响应等，需要研究离散时间系统的z变换（类似于模拟系统的拉氏变换），它是分析离散系统和离散信号的重要工具。（差分方程转换为代数方程，而且代数方程中包括的初始状态，从而能够求出系统的零输入响应和零状态响应。）,1、Z变换,Z变换的导出：拉普拉斯变换，定义,1.1 Z变换的定义,一个离散序列 x(n)的Z变换定义为：,其中z为复变量，以其实部为横坐标，虚部为纵坐标构成的平面为 z 平面。,常用Zx(n)表

2、示对序列x(n)的 z 变换，即：,这种变换也称为双边 z 变换，与此相应还有单边 z 变换。,单边 z 变换只是对单边序列（n0部分）进行变换的z变换，其定义为：,或,单边z变换只在少数情况下与双边z变换有所区别，即序列的起始条件不同，可以把单边z变换看成是双边z变换的一种特例，即因果序列情况下的双边z变换。,一般，序列的Z变换 并不一定对任何z值都收敛，z平面上使上述级数收敛的区域称为“收敛域”。我们知道，级数一致收敛的条件是绝对值可和，因此z平面的收敛域应满足 因为对于实数序列，因此，|z|值在一定范围内才能满足绝对可和条件，这个范围一般表示为：,Rx-|z|Rx+（ROC）这就是收敛域

3、，一个以Rx-和Rx+为半径的两个圆所围成的环形区域，Rx-和Rx+称为收敛半径，Rx-和Rx+的大小，即收敛域的位置与具体序列有关，特殊情况为Rx-等于0，Rx+为无穷大，这时圆环变成圆或空心圆。,1.2 z变换的收敛域,Z变换的收敛域,例：,ROC:(阴影区域),例：,ROC:(阴影区域),一般而言，根据序列拓展的方向性可将序列划分为4种类型，即右边序列、左边序列、双边序列以及有限长序列，而对应于这4种序列的 Z 变换，它们的收敛域彼此不同。,这里主要讨论序列特性对ROC的影响（分为四种序列）：,1）有限长序列,Z变换为：,X(z)是有限项的级数和，只要级数每一项有界，有限项和也有界，所以

4、有限长序列z变换的收敛域取决于|z|-n0不收敛）以外的整个 z 平面：0|z|,只有有限个样点,如果对n1，n2加以一定的限制，如n10或n20，则根据条件|z|-n（n1nn2），收敛域可进一步扩大为包括0点或点的半开域：,几种具体情况：,例：,求下列序列的Z变换：,双边变换：,单边变换：,（1）,可见，其单边和双边变换相等，且与Z无关的常数1，因而在Z的全平面收敛。,（2）,可见，其单边和双边变换不同，对于双边变换，除z=0,点外的任意Z值，X(z)都有界，因此收敛域为00,例:矩形序列x(n)=RN(n)，求其Z变换，并确定收敛域。,即：,2）右边序列,指 x(n)只在nn1时有不为零

5、的值，而nn1时，x(n)=0，其Z变换为：,（1）如果n10，收敛域：Rx-|z|,（2）右边序列中最重要的一种序列是“因果序列”，即n1 0的右边序列，因果序列只在n0有值，n0时，x(n)=0，其z变换为：,收敛域：,Z 变换的收敛域包括 点是因果序列的特征。,3）左边序列,序列 x(n)只在nn2有不全为零的值，n n2时，x(n)=0,（1）n20，收敛域：0|Z|Rx+,（2）n20，收敛域：0|z|Rx+,Z 变换的收敛域包括 0 点是非因果序列的特征。,n2 0，为非因果序列,4）双边序列,可看作一个左边序列和一个右边序列之和，因此双边序列 z 变换的收敛域是这两个序列 z 变

6、换收敛域的公共部分。,X1(z)对应的是左边序列的Z变换，收敛域为：0|z|Rx+，X2(z)对应的是因果序列的Z变换，收敛域为：Rx-|z|,（1）如果Rx+Rx-，收敛域为Rx-|z|Rx+（2）如果Rx+Rx-，收敛域无交集，故X(z)不存在。,不存在 Z 变换式的情况：例如，序列,就没有 Z 变换，因为它在 n=0 点的值等于无穷。可以证明，只有指数阶序列才存在有 Z 变换。,Z变换小结,(1)Z 变换收敛域的特点：收敛域是一个圆环，有时可向内收缩到原点，有时可向外扩展到，只有x(n)=(n)的收敛域是整个 z 平面。(2)Z 变换表示法：级数形式 解析表达式（注意:只表示收敛域上的函

7、数，要同时注明收敛域）。(3)几种情况：a)有限长序列，其双边变换收敛域在整个平面（可能除了0和/或点）收敛。b)因果序列Z变换的收敛域为|z|a|的圆外区域，|z|=|a|称为收敛圆。c)非因果序列Z变换的收敛域为|z|b|的圆内区域，|z|=|b|称为收敛圆。,1.3 z变换的性质,（1）线性 若x1(k)X1(z)，x2(k)X2(z)，对任意常数a1,a2，则：a1x1(k)+a2x2(k)a1X1(z)+a2X2(z)ROC：是X1(z)和X2(z)的ROC相交部分。（有不相交的可能）,（2）移位性质 单边与双边序列Z变换的移位特性有重要差别，这是因为两者定义中求和的下限不同的缘故。

8、比如：,从图中也可以看出，对于双边变换，求和在-和范围内进行，移位后没有丢失原序列的信息；而对于单边Z变换，求和在0和范围内进行，移位后的序列较原序列的长度有所增减。,双边Z变换的移位：,若x(k)X(z)，a0,则：x(km)zmX(z)，a|z|b,证明：,同理，上式对于 m 也成立。,单边Z变换的移位：,证明(1)式:,证明(2)式：,（3）序列乘上ak（Z域尺度变换）,证明：,（4）时域卷积定理,证明：,(5)初值定理,如果 x n 是因果序列，且已知其 z 变换为 X(z)，则从 z 变换的定义式可直接求得,此式称为初值定理，它表明，在因果序列的 z 变换中，如果 x 0 是一个有限

9、值，则分子的阶次不可能高于分母的阶次，或者说零点的个数不可能多于极点的个数。,因为，如果分子的阶次高于分母，则,将趋于无穷，而不是一个有限值。,初值定理也隐含地表明，因果序列 z 变换的收敛域应包括点，这也为我们提供了一个从收敛域判断因果性的判据。,(6)终值定理（单边Z变换）,若 x n 是一个因果序列，并在 n 时收敛，则,应当注意，终值定理仅当 x n 在 n 时收敛才有效，只有在此条件下，上式两边的极限值才相同，否则，会得出不正确的结果。,求上式中 z=1 的极限时，其求解过程必须在收敛域内进行，这也要求单位圆必须在收敛域内。如果单位圆在 X(z)的收敛域以外，则上式的极限运算将毫无意

10、义。,如果在收敛域内不包括单位圆时应用终值定理，则将导致错误的结果。不过，这里有一个例外，即当 X(z)在 z=1 点只有一个一阶极点，而其余极点都在单位圆以内的情况下，终值定理仍成立。,例：已知序列 x n 的 z 变换为 X(z)，求 x n 之终值。,(1)如果应用终值定理，可以求得,然而，通过求逆变换可知,可见，x n 是一个发散的序列，其终值不是-1，而是无穷。因此，终值定理得到的结果是不正确的，其原因在于单位园不在 X(z)的收敛域内。,(2)同样，利用终值定理可求得,显然，这个结果也是不正确的，因为 X(z)的逆变换为,，这是一个以2为周期的周期序列，其终值不收敛。出现这种错误的

11、原因同前例一样，是因为 X(z)的极点在单位园的 z=-1上，收敛域不包括单位园。,上面的两个例子说明，即使,在,时的极限收敛，,时也不一定收敛。,而序列x n 在,(3)此例 X(z)有两个单阶极点，其中一个在单位园的 z=1上，而另一个在单位园内的 z=1/2上，利用终值定理可以求得,可以求得 X(z)的逆变换为,由此可知，终值定理所求得的结果是正确的。可见，当因果序列仅在 z=1 点有一个一阶极点，而其它极点在单位园内时，可以利用终值定理求解序列的终值。,1.4 常用序列的z变换,例：,解：,2、逆Z变换,由象函数X(z)求取原序列x(k)的过程。方法：幂级数展开法、部分分式法、留数法等

12、。常用部分分式法。,c 为 X(z)的收敛域内、围绕坐标原点的逆时针闭合积分路径，即,利用上式求逆变换时应注意3个条件，即：1.积分围线在收敛域内；2.积分围线围绕原点；3.逆时针方向积分。,1）幂级数展开法（长除法）将X(z)写成幂级数的形式，级数的系数就是要求的序列x(k)。,注意：因果序列和非因果序列的象函数分别是z-1和z的幂函数，因此，需根据给定的收敛域先判断是因果序列还是非因果序列。,如：,例：,（1）根据收敛域，知x(k)为因果序列，展开时，其分子分母按z 的降幂排列，即展开为Z-1的幂级数。,（2）根据收敛域，知x(k)为非因果序列，展开时，其分子分母按z 的升幂排列，即展开为

13、Z的幂级数。,（3）收敛域为环状区域，其原序列为双边序列，将X(z)展开为部分分式形式如下，知x1(k)为因果序列，x2(k)为非因果序列。,非闭合解,2）部分分式法,为什么要求真公式呢？其原因在于，如果是假分式，则分解的系数不唯一，如：,展开式中有四个待定系数，但通过和 X(z)的分子进行比较时只能列出三个方程，故而4个待定系数的解不唯一。,分式展开一般有两种情况：1）对 X(z)的单极点进行展开；2）是对 X(z)的重极点进行展开。,（1）假设 X(z)的全部极点z1、z1、zm 都是一阶单极点，则,可以展开成,求得展开式中的各个系数为,当各个系数确定以后，可将 X(z)表示为,对照指数序

14、列的Z变换可求得 X(z)的逆变换为,（2）如果 X(z)中有高阶极点，例如设 zi 是其 k 阶重极点，此时，对应于 k 阶重极 点 zi 的部分分式应修正为,各个系数按下述公式计算,重极点 zi 所对应的逆变换为,例：,已知,，求逆变换 x n。,X(z)有一个一阶极点 z=3，一个二阶极点 z=5，由于收敛域|Z|5包括 点，故 x n 是一个因果序列。,确定系数：,因此：,所求逆变换为：,3）留数法,求逆变换的留数法也称为围线积分法，其理论依据是复变函数中的留数定理。,所谓留数定理，即包含所有极点的围线积分值等于各个极点的围线积分值之和，而每个极点的围线积分值称为该极点之留数，记为,式

15、中，z m 为 X(z)z n-1 的极点，Res 表示极点的留数。,如果z m为一阶极点：,如果z m为N阶极点，则改求c外的所有极点留数之和：,其中，zl为c外极点,P(z)和Q(z)的阶数分别为M和N，满足N-M-n1,在计算留数时要注意以下几个问题：,1.计算 X(z)z n-1 的各个极点的留数，而不仅仅是 X(z)的极点；2.随着n值的不同，X(z)z n-1 可能会在原点 z=0 处出现一些不同阶次的极点，对这些极点也需进行计算；3.极点的留数只和该极点的位置及阶次有关，而与其它极点无关。,需要强调指出的是，为了计算 n 0 时的序列值，必须考虑到，当 n 0 时，由于 n 值的

16、不同，X(z)z n-1 将在 z=0 处出现不同阶次的极点，这样，序列在 n 0 时的序列值将由相应阶次的极点以及 X(z)本身在围线内的极点的留数构成。而对于一个左边序列来说，尽管围线内不包括 X(z)的任何极点，然而，由于 n 0 时 X(z)z n-1 将在 z=0 处出现不同阶次的极点，这样，对于不同的 n 值，X(z)z n-1 将有相应的留数，所有这些留数之和就构成了左边序列。,不满足N-M-n1时，zm为N阶极点的留数由下式求出：,例：,ROCX(z)为左边序列，收敛域在极点内侧，故积分围线将不含有X(z)的极点。,当 n 0 时，围线内无极点，故 x(n)=0;当 n 0 时

17、，围线内只在 z=0 点出现不同阶次的极点，分别计算可得:n=-1：一阶极点，其留数为,n=-2：二阶极点，其留数为,同理可求得其它各个 n 值时的留数，而所有这些留数之和就是所求逆变换，即,例,(1)当 n 2 时，X(z)z n-1 有两个一阶极点，即 z=0.5 和 z=1，分别求得这两个极点的留数为：,故在 n 2 时，序列 x n 为,(2)当 n=1 时，X(z)z n-1 除在 z=0.5 和 z=1 处的两个一阶极点不变以外，在 z=0 处又出现一个一阶极点，该极点之留数为,由于各个极点的留数彼此成立，只和其极点的位置和阶次有关。因此，虽然当n=1 时在 z=0 点又出现了一个

18、一阶极点，但原来两个一阶极点的位置、阶次均未发生变化，它们的留数仍为前面计算所得之值。这样，在 n=1时，三个极点的留数和即为序列 x n 在 n=1时的序列值，即,(3)当 n=0 时，X(z)z n-1 的极点和 n=1 时的不同之处仅在于在 z=0 的极点阶次发生了变化，由原来的一阶极点变成了一个二阶极点。因此，该极点之留数也要发生相应变化，求得此二阶极点之留数为,因此必须使用下式求留数：,于是，在 n=0 时，序列 x(n)之样值为,(4)当n 0 时，X(z)z n-1 在 z=0 处的极点阶次将继续发生变化，该极点的留数也将随之而变。可以求得，此时X(z)z n-1 的各个极点的留

19、数之和将恒为零，这就是说，x(n)是一个因果序列，在 n 0 时等于0。这个结论也可以从两个方面定性判断出来：首先，从收敛域看，X(z)的收敛域为|z|1，包括 点，因此X(z)的幂级数中不可能含有 z 的正幂次项，这也就是说，n 0 时，x(n)=0。其次，由于 X(z)的分子、分母中z的最高阶次相同，加之|z|1表明 x(n)是右边序列，这样将 X(z)的分子除以分母时不可能出现 z 的正幂次项，这也说明 x(n)是一个因果序列，在 n 0 时恒等于0。(z-1x(n-1)。,综上结果：,注意：这三种方法各有千秋，但都有一个共同点，即都和 X(z)的收敛域密切相关，这和前面所说的在给出 X

20、(z)时必须同时给出其收敛域是相一致的。在求逆 z 变换时，如果没有给定收敛域，则将得不到唯一确定的解。,3、Z域分析,在z 域内分析系统，它将描述系统的时域差分方程变换为频域内的代数方程，同时单边z变换将系统的初始状态自然地包含在象函数方程中，既可分别求出零输入响应，也可以求出零状态响应。,1）差分方程的求解,，其他同前。,提示：使用迭代法求出,求系统的全响应。,已知,系统差分方程,例：,),2,(,),1,(,),(,),(,7,),1,(,2,),0,(,),2,(,2,),(,),2,(,2,),1,(,),(,-,-,=,=,=,-,+,=,-,-,-,-,y,y,k,u,k,x,y

21、,y,k,x,k,x,k,y,k,y,k,y,LSI,2）系统的Z 域框图,例：LSI系统的时域框图如下，已知x(k)=u(k)，求系统的单位抽样响应h(k)和零状态响应yf(k);若y(-1)=0,y(-2)=1/2,求零输入响应yx(k)。,解：(1)对应零状态下的z 域框图为：,(2),4、序列的付里叶变换(FT或DTFT),连续系统的付里叶变换：,离散系统的付里叶变换：,值得指出：（1）由于，所以 是以2为周期的周期函数。因此,积分区间可以是（0 2）或任意一个 2 周期。（2）FT 正是周期函数 的付氏级数展开，而x(n)是付氏级数的系数。这一概念在以后滤波器设计中有用。,存在条件：

22、,x(n)绝对可和，则该级数绝对收敛。,FT性质：,1）线性,令x1(k)X1(ejw),x2(k)X2(ejw)x(k)=ax1(k)+bx2(k)则 X(ejw)=aX1(ejw)+bX2(ejw),2）时移,3）时域卷积,FT与Z变换的关系,对比上两式，得：,其中z=ejw表示z平面上r=1的圆，称为单位圆，上述关系表明单位圆上的z变换就是序列的FT变换，显然，FT仅是Z变换的特例。若已知序列的Z变换，可用上述关系式方便地求出FT变换，条件是收敛域中包含单位圆。,注意：序列的FT不存在，但在一定的ROC内Z变换是存在的。,5、系统函数,1）定义 前面讨论过用单位脉冲响应h(n)来表示一个

23、线性时不变离散系统：y（n）=x（n）*h（n）两边取z变换 Y(z)=X(z)H(z),则：,定义为系统函数。,（1）它是单位脉冲响应的z变换。所以可以用单位脉冲响应的z变换来描述线性时不变离散系统。（2）单位圆上的系统函数就是系统的频率响应 可以证明，它是单位脉冲响应h(n)的FT（DTFT）。,进一步，可以将系统函数表示成如下形式：,可以看出分子B(z)、分母A(z)都是z的有理式形式，因而能求出多项式等于0的根，其中分子B(z)=0的根称为系统函数的零点，分母A(z)=0的根称为系统函数的极点。于是上式也可以写成如下形式：,整个系统函数可以由它的全部零、极点来唯一确定。用极点和零点表示

24、系统函数的优点是，它提供了一种有效的求系统频率响应的几何方法。,系统频率响应,在z平面上,ej-ci可用一根由零点ci指向单位圆上ej点的向量来表示，而ej-dj可用极点dj指向ej的向量 表示,于是,分析上式表明，频响的模函数由从各零、极点指向ej点的向量幅度来确定，而频响的相位函数则由这些向量的幅角来确定，当频率由02时，这些向量的终点沿单位圆反时针方向旋转一圈，由此可估算出整个系统的频响。,令：,基本原理：,(1)当单位圆上的 ej 点在极点 d j附近时，分母向量最短，出现极小值，频响在这附近可能出现峰值，且极点 dj 越靠近单位圆，极小值越小，频响出现的峰值越尖锐，当 dj 处在单位

25、圆上时，极小值为零，相应的频响将出现，这相当于在该频率处出现无耗谐振，当极点超出单位圆时系统就处于不稳定状态。对于现实系统，这是不希望的。(2)对于零点位置，频响将正好相反，ej点越接近某零点 ci，频响越低，因此在零点附近，频响出现谷点，零点越接近单位圆，谷点越接近零，零点处于单位圆上时，谷点为零，即在零点所在频率上出现传输零点，零点可以位于单位圆以外，不受稳定性约束。这种几何方法为我们认识零、极点分布对系统性能的影响提供了一个直观的概念，这一概念对系统的分析和设计都十分重要。,例,零点在单位圆上0,处；极点在,处。,。,。,又例：,引入零极点后，得到的结论：,（1）收敛域中不含极点，因为在极点处Z变换不存在，因此ROC总是用极点界定其边界。,（2）系统的稳定性,因果稳定系统的充要条件：所有极点均在单位圆内非因果稳定系统的充要条件：所有极点均在单位圆外,习题,