同济大学微积分总复习(上).ppt

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1、,总复习,一、极限与连续,1.求极限,无理函数的极限,有理化,例1 求极限,解,例2 求极限,解,两个基本极限,变形:,变形:,类型:,例3 求极限,解,无穷小与等价无穷小,基本等价无穷小,当 时,等价无穷小代换,若,则,例4 求极限,解,例5 求极限,解,例6 确定 使,解 由条件得:,从而极限为未定式.所以,由条件得:,所以,即:,例7 已知当 时,则.,解 因,而,所以,2.连续函数,定义 函数 在点 处连续,等价条件,函数 在 处连续,间断点的分类.,设 为 的间断点:,则 为可去间断点;,则 为跳跃间断点;,存在,第一类;,其余为第二类间断点.,闭区间上连续函数的性质.,最大值和最小

2、值定理,有界性定理,零点定理,介值定理,例8 设函数,问当 为何值是,在 处连续,当 为何值时,是 的可去间断点.,解,左极限:,右极限:,由条件:,若函数连续,即,即:,可去间断点,即,即:,例9 设函数 在 的某个邻域内有连续的二阶,解 由条件得:,得,导数,且,的一组 使得,证明存在惟一,对上式由罗必达法则,得,分别得到:,及,因三阶行列式:,知方程的解是唯一的.,例10 设,证明:,使得,证 令 分别为函数在 区间上的最小和最大值,即:,则有:,由介值定理知:,使得,从而有:,二、一元函数微分学,1.导数的定义及几何意义,导数定义,变形:若,则:,几何意义,函数在一点的导数为对应的曲线

3、在该点,的切线的斜率.,切线方程:,法线方程:,可导与连续的关系:,可导必连续.,例11 已知,求:,解,例12 设,求,解 由函数的表达式知:函数在点 处连续,而在点,当 时,处间断.求出函数在各段的导数.,当 时,当 时,在点 处,所以,由此得:,例13 设函数 在区间 上有定义,且满足:,求,解 由条件得,又:,由夹逼定理得:,所以,2.导数计算,导数的基本公式;,求导法则:,复合函数求导:,设 为可导函数,则,反函数求导:,设 是函数 的反函数,则,隐函数求导及对数求导法:,由参数方程确定的函数的导数:,设,则,高阶导数及高阶导数的莱伯尼茨公式:,例14 设 求,解 两边取对数,得,求

4、导得:,所以:,例15 求由参数方程,解 由求导公式得:,所确定函数的二阶导数.,例16 求函数,解 令,由对数求导法得:,所以,的微分.,3.中值定理,罗尔定理 设函数,则存在 使得,拉格朗日中值定理 设函数,且,么至少存在一点 使得,则,柯西定理 如果函数 在闭区间 上连续,在开区间 内可导,并且在开区间 内,那么至少存在一点 使得,例17 设函数 且,证明存在 使得:,证 由积分中值定理,存在 有,令:,则,且,由罗尔定理,知存在 使得,又,即有:,例18 设 且 若极限,存在,证明,在 内,在 内存在 使得,在 内存在与相异的 使,证 由条件极限,存在及函数的连续性,得,又,得 是单调

5、上升的.从而,令,则函数满足柯西定理,条件,由定理得:,使得,即:,因,在区间 中使用拉格朗日中值定理,存在,再由,使得,即:,3.罗必达法则,基本类型,变型,变型,法则:,例19 求极限,解,例20 求极限,解 作变换,则,例20 求极限,解 作变换,令,则,所以,即,例21 求极限,解 令,则,再令,则,所以,例22 设 连续,记,证明,为连续函数.,证 当 时,为连续函数,当 时,4.Taylor公式,定理 如果函数 在含 的某个开区间 内具有,直到 阶导数,即,其中:,那么对于,有,这里,是 与 之间的某个值.,当 时,上式为,例23 将 展开成 的多项式.,解,代入公式得,例24 将

6、,余项的Taylor公式.,解,所以,在点,处展开成带有皮亚型,5.曲线形态讨论,单调性研判及求单调区间;,极值及极值的求法:,极值存在的必要条件:,可导的极值点为驻点.,极值存在的第一充分条件:,导函数在该点两侧异号,则该点为函数的极值点.,极值存在的第二充分条件:,若函数 在点 处连续,若函数 在点 处满足:,则该点为函数的极值点.,凹凸性的判定及求凹凸区间:,若函数 满足:对区间上的所有点都有:,则称函数 为区间 内的凸函数,如果对任意的,及任意的 都有,则称函数为区间上的凹函数.,前者所对应的曲线称为是下凸的,后者所对应的曲线,判定 若函数 满足:则函数为凸函数,对,应的曲线为下凸的;

7、则函数为凹函数,对应的,若曲线在曲线上某点的两侧有不同的凹凸向,则该点,成为是上凸的.,曲线为上凸的.,称为曲线的拐点.,渐进线,设曲线,若:,则曲线有水平渐进线,若:,则曲线有垂直渐进线,若:,则曲线有斜渐进线,例25 已知函数 求,函数的单调区间和极值;,函数的凹凸区间和拐点;,渐进线.,解 函数的定义域为,列表:,在区间 内,曲线为上凸的;,在区间 内,曲线是下凸的.,曲线的拐点为,函数的极小值为,因,曲线有垂直渐进线:,因,曲线有斜渐进线:,例26 证明当,证 令,则,且,所以 是单调上升的.从而有,时有:,故 是单调上升的.,由此得,即:,5.曲率与曲率半径,设曲线 则在点 处的曲率

8、为,参数方程情况下,曲率半径为,三、一元函数积分学,1.原函数与不定积分,若函数 满足:,的原函数.,则称 为,函数 的原函数的全体称为函数的,不定积分.记为,例27 设 的原函数为 求,解 由上式得:,2.不定积分方法,第一类换元积分法,若,则,第二类换元积分法,注意四种常见类型和代换方式.,分部积分法,其它积分方法,有理函数积分:,部分分式法.,三角函数积分:,万能代换及特殊代换.,例28 求下列积分,解,解,解,解,设,求,解 令,所以,解 令,则,所以,2.定积分,定积分的定义,积分上限函数及导数,设 为可导函数,记,则:为可导函数,且,定积分积分方法,NL公式,若 为 的原函数,则,

9、换元积分法,分部积分法,定积分中的几个重要公式,设,则,设,则:,设 是以 为周期的连续函数,则:,例29 设,求,解,所以,例30 求极限,解 取,区间为,则,为函数,在将区间等分后在小区间右端点的取值.即,所以:,例31 设,证明:,证 在区间,分别使用拉氏定理,即有,记 又 所以:,因,两式相加即有:,例32 设,证 因极限,所以 与 是同阶但不是等价无穷小.,当 时,与 是同阶的但不是等价无穷小.,证:,例33 设 且单调增加,证明,证,由积分第一中值定理,又:,两式相加,得,所以:,例34 求定积分,解 函数 的零点为 所,以,例35 设连续函数 满足:,及 求,解 令,则,当 时,

10、有,变形后得:,求导后得:,即,因,作 上的积分,有,例36 求积分,解,所以:,例37 设 且,求,解 因定积分是常数,故设,所以:,又:,所以:,由此得:,例38 求正常数,使得,解 因,所以,此时:,所以,例39 计算积分,解 因,故积分,为定积分.又,而:,所以:,同理,有,所以,解2,所以:原积分为,例40 求积分,解,3.定积分的几何应用,面积计算,直角坐标情形,设区域 由,确定,则区域的面积为:,极坐标情形,设平面区域 由曲线,确定,则区域的面积为:,体积计算,已知平行截面面积的体积计算,设有一物体位于 之间,任一个垂,直于 的平面与该物体相交的面积为 则该物体的,体积为:,旋转

11、体体积,设区域 由 围成,而区域 绕 旋转所得到的体积为:,区域 绕 轴旋转得一旋转体,则体积为,弧长的计算,设曲线 方程为,则曲线的弧,长为:,参数方程情况:,设曲线为:,则:,极坐标情形:,设曲线弧的极坐标方程为:,则:,侧面积公式,设曲线 方程为,旋转一周所得到的侧面积为:,则曲线绕 轴,极坐标情况:,设光滑曲线:,则,曲线绕极轴旋转一周所得到的侧面积为:,例41 求星形线,围成图形的面,积,全长,绕 轴旋转一周所得到的体积及侧面积.,解 面积,全长,旋转体体积,侧面积:,例42 作半径为 的球外切正圆锥,问此圆锥的高 为多,解 设底圆半径为,则有:,即:,少时,其体积最小,并求出该最小

12、值.,得:,由此:,求导得:,令其为零,得,由于极小值一定存在,所以,当 时,取极小值,且极小值为,4.物理应用,功,物体作直线运动过程中受到变力 的作用,则,变力所作的功为:,水压力,引力,例42 某闸门的形状与大小入图所示,其中直线 为对称,为 闸门矩形部分的高,解 闸门矩形部分所受到的水压,轴,闸门的上部为矩形 下部为抛物线 与,线段 围成,当水面与闸门的上端起平时,欲使闸门矩,形部分所承受的水压力与闸门下部所承受的水压力之比,应为多少米?,力为:,闸门下部所承受的水压力为:,由题意:,即:,得,（舍去）,即,取（米）.,四、微分方程,1.一阶微分方程,可分离变量的微分方程,一阶线性微分

13、方程,公式解:,齐次方程,解法:,令变换:,则有,代入到方程中去:,即,从而化为一个变量可分离的微分方程.,Bernoulli方程,解法:,做代换 则 于是方程成为,此为一阶线性微分方程.求出通解后,再代入,则得到原方程的通解.,例43 求解下列微分方程:,解 方程变形后为:,即:,所以:,此为一阶线性微分方程,由公式解得:,解 方程变形后为:,令,则,即:,代入 得原方程的解:,解 方程变形后为:,为Bernoulli方程.,令:,则有:,得:,即:,例44 设函数,所围成的区域绕 轴旋转一周所得到,试求满足上式及条件 的函数,解 由条件得,求导后得:,的体积为,若由曲线,由此得到微分方程:

14、,此为齐此方程,令,则有,该方程的通解为:,即:,再由初始条件,即,所求函数方程为,例45 设函数,又曲线 与,解 当 时,方程为,且,围成区域的面积为,求函数 并问 为何值时,区域绕 轴旋转一,周所得到的旋转体的体积为最小?,即:,所以:,再由函数的连续性知:,再由条件:面积为 即,得:,所以:,此时相应的旋转体的体积为,求导并令其为零,得,2.可降阶的微分方程,解法,作 次积分.,解法,令,则,新方程为,解法,新方程为:,令,则,3.二阶常系数线性微分方程,齐次方程,特征方程为,由特征方程三种不同根的形式,得齐次方程的通解依次,为:,非齐次方程,特解:,其中:,满足:,特解:,例46 求解

15、方程,解 齐次方程为:,特征方程为:,相应的特征根为:,因而通解为:,非齐次方程:,特解为,代入关系式:,即有:,得:,非齐次方程,相应的特解为:,即:,得:,即:,非齐次方程,相应的特解为:,求导后代入方程:,即:,得:,即:,所以,原方程的通解为,例47 求方程,满足初始条件 且在 处连续的解.,解 由题设得其次方程的通解为:,当 时有,方程为,特解为,于是:,由初始条件得,即:,当 时,有,特解为,于是:,当 时,即有:,及,即:,得:,即:,所以,方程之解为,五、模拟试题,一、填空题（每小题4分）,1.按极限定义,是指:对于任意给定的正数,总存在一个正数,使得当,时有.,2.函数 在

16、内连续是 在 可导的 条件,函数 在 内可导是函数 在 内可微的 条件.,3.设 则,.,4.函数 的单调减少区间是,单调增加区间是.,二、选择题（每小题4分）,5.当 时,这4个无穷小:从低阶到高阶排列出来为.,A.B.,C.D.,6.设 则 的值.,A.与 有关,B.与 均无关,C.与 有关,与 无关.D.与 有关而与 无关.,7.则,A.B.C.D.,8.设曲线的方程,则曲线上的拐点是.,A.B.C.D.,三、计算题（每题6分）,1.求极限,2.设 是由方程 所确定的隐函,数,且 求,3.求积分,4.求反常积分,四、（10分）设曲线的极坐标方程为 如果将极坐标与 直角坐标系重合（极轴与 正半轴重 合）,求曲线在 所对应的点的切线的直角坐标方程.,五、（10分）求由抛物线 与围成的第一象限部分的图形的面积.,六、（10分）设长度为 的非均匀线材料的中垂线上距离垂直为 的地方有一单位质点（如图所示）,如果该线材的线密度为 求该线材对单位质点的引力.（引力系数为 单位从略）.,七、（14分，6+8）,1.求解微分方程:,2.设可导函数 适合方程,求函数,参考答案:,一、略,二、B,D,D,C,三、1.2.3.D.,四、,五、,七、,本文观看结束！,谢 谢欣 赏！,