数学系论文.doc

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1、 xx师范大学网络教育本科论文论文题目：求极限方法的探析学生姓名： xxx指导教师： xxx 学科专业： 数学与应用数学学 号： xxx学习中心： xxx 东北师范大学远程与继续教育学院2015年04月独创性声明本人对本文有以下声明：1. 本人所呈交的论文是在指导教师指导下进行的研究工作及取得的研究成果，已按相关要求及时提交论文稿件，最终形成本文；2. 在撰写过程中主动与导师保持密切联系，及时接受导师的指导；3. 本文符合相关格式要求，除文中特别加以标注的地方外，论文中单篇引用他人已经发表或撰写过的研究成果不超过800字；4. 本人本文成稿过程中不存在他人代写、抄袭或和他人论文雷同的现象。论文

2、作者签名：xxx 日期：2015 年04 月摘 要极限是高等数学基本概念和核心内容之一。数学分析几乎所有的概念都离不开极限，从方法论的角度讲，用极限方法来研究函数，本论文主要归纳了数学分析中求极限一些方法如：利用两个准则求极限、极限的四则运算性质求极限、两个重要极限公式求极限、函数的连续性求极限、无穷小量的性质求极限、等价无穷小量代换求极限、导数的定义求极限、中值定理求极限、洛必达法则求极限、级数收敛的必要条件求极限、泰勒展开式求极限、换元法求极限。并结合具体的例子，指出了在解题过程中常遇见的一些问题。 关键词：极限；函数；方法前 言极限概念的形成经历了漫长的岁月。早在两千多年前，我国的惠施就

3、在庄子的天下篇中有一句著名的话：“一尺之棰，日取其半，万世不竭”，惠施提出了无限变小的过程，这是我国古代极限思想的萌芽。到18世纪末、19世纪初，微积分的基本内容和理论形式已经建立，但是微积分的一些基本概念都还没有脱离它们的物理和几何模型，在很大程度上还带有经验性和直观性。19世纪后半叶，德国的维尔斯特拉斯（Weierstrass.1815-1897）提出了关于极限的纯算术定义，发明了“”语言来表述极限概念以及数学分析中的所有基本概念。高等数学是以函数为研究对象，以极限理论和极限方法为基本方法，以微积分学为主要内容的一门学科，极限理论和极限方法在这门课程中占有极其重要的地位。高等数学许多深层次

4、的理论及其应用都是极限的延拓和深化，如连续、导数、微积分等等都是由极限定义的，离开了极限的思想高等数学就失去了基础失去了价值，因此极限运算是高等数学的基本运算。由于极限定义的高度抽象使我们很难用极限定义本身去求极限，又由于极限运算分布于整个高等数学的始终，许多重要的概念是由极限定义的。极限知识是研究导数、各种积分、级数等的基本工具。求解函数极限的方法很多，函数极限计算灵活多变，每种类型都有不同方法，本文将主要探究用不同的方法求解问题，具有技巧性，力求用最简单的方法解决问题，并列举了大量的方法，便于解决不同类型的极限，系统的给出极限的各种求解方法。一、极限的求法（一） 定义法例1 按定义证明，这

5、里为正数证：由于故对任给的.只要取，则当时，便有 即 从而就证明了（二） 利用极限四则运算法则极限的四则运算性质：1、两收敛数列的和或积或差也收敛且和或积或差的极限等于极限和的或积或差。2、两收敛数列且作除数的数列的极限不为零，则商的极限等于极限的商。通常在这一类型的题中，一般都含有未定式不能直接进行极限的四则运算。首先对函数施行各种恒等变形。例如分之，分母分解因式，约去趋于零但不等于零的因式；分子，分母有理化消除未定式；通分化简；化无穷多项的和（或积）为有限项。例2 求下列极限(1) (2) (3) (4) 已知 求 解：(1) (2) (3) (4) 因为 所以 （三）利用两个准则求极限

6、1 .单调有界准则 内容：单调有界数列必有极限，而且极限唯一。 利用单调有界准则求极限，关键先要证明数列的存在，然后根据数列的通项递推公式求极限。 例3 证明下列数列的极限存在，并求极限。 证明：从这个数列构造来看 显然是单调增加的。我们可以利用归纳法可证。 又因为，, 所以得。因为前面证明是单调增加的。两端除以得 。因为 ，则, 从而 所以 即是有界的。根据单调有界定理有极限，而且极限唯一。令 则 则. 因为 解方程得 2.夹逼准则若一正整数,当时有且则有 。利用夹逼准则求极限关键在于从的表达式中，通常通过放大或缩小的方法找出两个有相同极限值的数列和，使得。例4 求 的极限 解：因为单调递减

7、，所以存在最大项和最小项 则 又因为所以 (四)利用两个重要的极限来求函数的极限(1) 用 来求极限，其中 的扩展形为：令，当或时，则有或例5 求极限 解：令.则 , 且当时 故例6 求极限 解： 所以 所以(2)利用 来求极限的另一种形式为事实上，令, 所以例7 求的极限解：原式=例8 求 解： 注：利用这两个重要极限来求函数的极限时要仔细观察所给的函数形式只有形式符合或经过变化符合这两个重要极限的形式时则都能够运用此方法来求极限。（五）利用等价无穷小量代换来求极限定义 所谓等价无穷小量即称与是时的等价无穷小量，记作定理：设函数在内有定义，且有（1）若则（2）若则 由该定理就可利用等价无穷小

8、量代换来求某些函数的极限例9 求极限解： 例10 求 的极限解：由 而；所以有常见的等价无穷小有当 时, ,；（六）利用洛必达法则求极限在前面的叙述中，我们已经提到了利用等价无穷小量来求函数的极限，在此介绍无穷小（大）量的比较的求极限的方法。我们把两个无穷小量或两个无穷大量的比的极限统称为不定式极限，分别记作型或型的不定式极限。现在我们将以导数为工具研究不定式极限，这个方法通常称为洛比达法则。下面就给出不定式极限的求法。对于型不定式极限，可根据以下定理来求出函数的极限定理：若函数f(x)和函数g(x)满足：（1）（2）在点的某空心邻域内两者都可导，且（3）（可为实数，也可为或）则 对于型不定式

9、极限定理: 若函数f(x)和函数g(x)满足：在点的某空心邻域内两者都可导，且，（可为实数，也可为或）。则。在用洛必达法则来求极限时，只适用于 其他待定型必须先化成这两种类型之一。然后再应用洛必达法则其它类型不定式极限不定式极限还有，等类型。这些类型经过简单的变换，都可以化为型和型的不定式极限。例11 求极限解： 例12 求极限解：利用 （），则得原式例13 求极限解：这是型不定式极限，可直接运用洛比达法则求解，但是比较麻烦。如作适当的变换，计算上就会更方便些，故令当时有，于是有注：在利用洛比达法则求极限时，为使计算更加快捷，并且减少运算中的诸多不便，可用适当的代换（七）利用定积分定义 利用定

10、积分求和式的极限时首先选好恰当的可积函数。把所求极限的和式表示成在某区间 上的待定分法（一般是等分）的积分和式的极限。例14 求解: 设,则在0,1内连续, 所以, 所以原式=例15 求极限 解：由于 可取函数 区间为上述和式恰好是 在上等分的积分和。 所以 例16 求解：把此极限式化为某个积分和的极限式，并转化为计算计算定积分，为此作如下变形：不难看出，其中的和式是函数发在区间上的一个积分和。（这里所取的是等分分割， （）， 所以当然，也可把J看作 在上的定积分，同样有（八） 利用中值定理求极限 （1）拉格朗日定理若函数 满足（1） 在连续 ；（2） 在可导； 则在内至少存在一点，使 例17

11、 求的极限解：由微分中值定理得， （介于与之间）原式 （2）积分中值定理设函数 在闭区间 上连续; 在上不变号且可积，则在上至少有一点使得 例18 求极限 解： （九）利用泰勒展开式求极限泰勒展开式：若在点有直到阶连续导数,那么 (其中在0与1之间)例19 求解：本题可用洛比达法则来求解，但是运算过程比较繁琐，在这里可用泰勒公式求解，考虑到极限式的分母为，我们用麦克劳林公式表示极限的分子， （取） 因而求得例20 求极限 .解： , ; .（十）奇数列和偶数列的极限相同，则数列的极限就是这个极限例21 求的值 解：奇数列为 偶数列为 所以（十一） 对表达式进行展开、合并、约分和因式分解以及分子

12、分母有理化，三角函数的恒等变形例22 求 解：法一：原式= 法二：原式=（十二） 利用基本极限例23 求解：原式=所以原式注意： （十三）利用级数收敛的必要条件求极限例24 求极限解： 故收敛 结 论本文从极限（数列极限和函数极限）的定义出发，总结了部分在高等数学里求解极限的重要方法。在做求解极限的题目时，我们不仅要掌握以上方法，而且还要能够透彻清晰地明白以上各方法所需的条件，必须要细心分析仔细甄选，选择出适当的方法。这样不仅准确率更高，而且会省去许多不必要的麻烦，起到事半功倍的效果。这就要求学习者要吃透其精髓，明白其道理，体会出做题的窍门。达到这样的境界非一日之功，必须要多做题善于总结，日积

13、月累，定会熟能生巧，在做题时得心应手。对一般的极限用上面的方法可以求出来,复杂一点的可能要综合几种方法才能求出.关键是“运用之妙,存孚一心”.参考文献1 陈纪修.数学分析M北京：高等教育出版社， 1999.2 刘玉琏.数学分析讲义M北京： 高等教育出版社 ，2002.3 华东师范大学数学系.数学分析 M 北京：高等教育出版社，2001。4 陈宇. 极限论的发展.期刊论文 邯郸大学学报2000(2). 5 黄庆怀. 2012考研高等数学辅导教材.M北京：北京航空航天出版社 ,2011.6 黄庆怀. 2012考研高等数学辅导教材.M北京：北京航空航天出版社 ,2011.7 同济大学应用数学系.高等

14、数学（第五版）. M北京:高等教育出版社，2002.8 赵显曾 黄安才著.数学分析的方法与题解. M西安:陕西师范大学出版社,2005.9 范周田、张汉林.高等数学（上册）M.北京:机械工业出版社,2008.7.10张敏捷.函数极限的几种特殊求法 J.黄石理工学院学报，2008，24（2）：56-58.11王清.求函数极限的方法研究J.中国科技信息，2008，7：265-266.12豆俊梅.高等数学中几种求极限的方法J.科技教育创新，2006，（15）：227-228.13李小光，求极限的若干技巧，西安航空技术高等专科学校学报，2002年3月，20-21.14陈传璋，金福临编，数学分析（上下册）第二版，高等教育出版社.15郝涌，卢士堂等，数学考研精解，华中理工大学出版社.