小学数学问答手册(七、简易方程).doc

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1、七、简易方程219什么叫做代数式和代数式的值？用运算符号加、减、乘、除、乘方、开方把数字和表示数的字母连接起来所得的式子，叫做代数式。特殊的，单独的一个数字或字母也可以叫做代用数代替代数式里的变数字母计算所得的结果，叫做这个代数式的值。的值是289。220什么叫做等式？等式有哪些性质？表示两个数或两个代数式相等关系的式子叫做等式。两个数或两个代数式之间用等号“=”连接起来。例如：2723=50，a+b=b+a，4x+6=86。等式的性质有以下几条：（1）等式两边可以调换位置。也就是说，如果a=b，那么b=a。（2）等式两边都加上（或减去）同一个数，所得的等式仍然成立。即如果a=b，那么am=b

2、m。（3）等式两边都乘以（或除以）同一个数（除数不能为零），所得的等式仍然成立。即如果a=b，那么am=bm，an=bn（n0）。221什么叫做方程和方程的解？含有未知数的等式，叫做方程。例如：3x4=10，7x=2.8，ax2bxc=0（其中a、b、c为已知数，x是未知数）等都是方程。方程是提出一个问题：当未知数取什么数时，等式成立。使方程左右两边相等的未知数的值，叫做方程的解。例如：x=2是方程3x+4=10的解。x=1.7是方程4x=6.8的解。222什么叫做单项式和多项式？不含加、减运算的整式，叫做单项式。特殊的，单独一个数或一个字母多项式。例如：4x+7，3x2+5，6x2+7x+2

3、等都是多项式。223什么叫做同类项及合并同类项？在多项式中，所含字母相同，并且相同字母的指数也分别相同的项，叫做同类项。例如：5x23x+4x26中，5x2与4x2是同类项。把多项式中的同类项合并成一项，叫做合并同类项。例如：5x23x+4x26=9x2+3x+6是合并同类项。224方程的基本性质有哪些？方程的基本性质有以下两点：（1）方程的两边都加上（或减去）同一个数或者同一个整式，所得的方程和原方程有共同的解（叫同解方程）。（2）方程的两边都乘以（或除以）不等于零的同一个数，所得的方程和原方程是同解方程。方程的基本性质是解方程的依据。解方程实际上就是把一个较复杂的方程，根据方程的基本性质化

4、成简单的同解方程的过程。最后得到的x=a也是原方程的同解方程。所以a就是原方程的解。在小学里，限于学生的知识基础，解方程不是从方程的基本性质出发，而是根据学生已有的加减之间、乘除之间的逆运算关系来求解的。经过适当的练习，再用“移加变减”与“移减变加”等通俗语言概括出移项的规律，为进一步学习数打下一点基础。225什么叫做有理数？整数和分数统称有理数。其中整数含有正整数、零及负整数；分数含有数，且n0）。正整数、正分数叫做正有理数；负整数、负分数叫做负有理数；正有理数与零叫做非负有理数；零与负有理数叫做非正有理数。226什么叫做相反数？ 任一正数a总有一个确定的负数-a与它相对应，像这样只有符号不

5、同的两个数，叫做相反数。例如：-5与5是相反数，5与-5也是相反数。零的相反数是零。相反数a与-a在数轴上的对应点分别在原点的两侧，并且与原点的距离相等，但方向相反。因此，负数的相反数是正数，正数的相反数是负数，零的相反数还是零。227有理数大小的比较法则有哪些？（1）正数都大于零；（2）负数都小于零；（3）正数大于一切负数；（4）两个负数比较，绝对值大的反而小。228有理数的混合运算法则是怎样规定的？在代数运算中，加法与减法是一级运算，乘法与除法是二级运算，乘方与开方是三级运算。如果有理数的同级运算在一起，那么按照从左到右的顺序进行计算；如果是不同级运算在一起，那么先算较高级的运算，再算较低

6、级的运算。即先算乘方或开方， 再算乘法或除法，后算加法或减法。有括号时、先算小括号里面的运算，再算中括号，然后算大括号。229去括号与添括号的法则指的是什么？去括号的法则是：括号前面是“+”号，去括号时，括号里的各项都不变；括号前面是“-”号，去括号时，括号里的各项都变号。例如；5a+（4b-3a）-（2b+a）=5a+4b-3a-2b-a=a+2b。添括号的法则是：添括号时，括号前面是“+”号，括到括号里的各项都不变；括号前面是“-”号，括到括号里的各项都变号。例如：4a-3b-2c=4a-（3b+2c）；7a+2b-5c=7a+（2b-5c）。230什么叫做绝对值？数轴上表示一个数的点离开

7、原点的距离，叫做这个数的绝对值。一个正数的绝对值是它本身；一个负数的绝对值是它的相反数；零的绝对值是零。例如：+5和-5的绝对值都是5，通常用|5|表示。又如，一个数是a，它的绝对值表示如下：（1）当a0时，|a|=a；（2）当a0时，|a|=0；（3）当a0时，|a|=-a。231什么叫做完全平方数及完全立方数？如果一个正数恰好是另一个有理数的平方，则这个正数叫做完全平方都是完全平方数。如果一个数等于另一个数的立方，则这个数叫做另一个数的完全立方数。例如：27是3的完全立方数，64是4的完全立方数。232在科学技术上常用科学记数法，你知道怎样记数吗？把一个正数写成a10n的形式，其中1a10

8、，n比这个正数的整数位数少1。这种记数方法，习惯上叫做科学记数法。例如：这种记数方法便于记大数，易于比较大小，常用在科学技术上。233列方程解应用题要做好哪几步工作？用字母代替应用题中的未知数，根据等量关系列出方程，再解所列出的方程，从而得到应用题的答案，这个过程叫做列方程解应用题。解题时要做好以下几步工作：（1）分析题意。认真读题，反复审题，弄清楚应用题中哪些是已知条件，哪些是未知条件，已知条件与未知条件之间有什么等量关系；（2）设未知数。用字母代替应用题中的未知数；（3）列方程，解方程。根据所设的未知数x和题目中的已知条件，按照等量关系列出方程。根据算术四则运算中加法与减法、乘法与除法之间

9、的逆运算关系求出未知数x的值；（4）检验，答题。解方程后，应进行检查验算；针对应用题的所问作出答案。234列方程解应用题应进行哪些基础训练？列方程解应用题，应进行如下一些训练：（1）列代数式的训练。正确、迅速地列出代数式是列方程的基础，可以用以下几种形式进行训练：用数学语言叙述代数式。例如：3x+5（一个数的3倍与5的和）；78-4x（7的8倍减去一个数的4倍）。用代数式表示数量关系。例如：a的6倍（6a）；90减去x的5倍（90-5x）。根据题意叙述代数式的意义。例如：“学校买来6个小足球，每个a元，又买来8个排球，每个b元。”要求学生叙述以下各式的意义。6a（表示6个足球的价钱），8b（表

10、示8个排球的价钱），6a+8b（表示两种球的总价），等等。反过来，老师提出问题，要求学生列出代数式。（2）找等量关系的训练。找出题目中的等量关系是列方程的关键。教学时，可以让学生找出日常生活事例中的一些等量关系，使学生逐步熟悉。例如：小侠到商店去买笔记本，总价钱是1.6元，小侠付出2元，找回0.4元。把这件事情列出等式。付出的2元-笔记本总价1.6元=找回的0.4元，笔记本总价1.6元+找回的0.4元=付出的2元，付出的2元-找回的0.4元=笔记本总价1.6元。（3）列方程的训练。把列代数式的训练和找等量关系的训练结合起来进行（只要求列出方程，不必解方程）。例1：计划修一条水渠260米，已经修

11、了7天，每天能修x 米，还剩50米没有修。等量关系是：计划米数-已经修的米数=剩下的米数；方程是：260-7x=50例2：农具厂两个车间计划生产720把镰刀。第一车间每天生产镰刀38把，第二车间每天生产镰刀42把，x天完成了任务。等量关系是：第一车间生产数+第二车间生产数=全部任务；或（第一车间工作效率+第二车间工作效率）x=全部任务。方程是：38x+42x=720，或 （38+42）x=720。235只用一步运算解答的简易方程有哪几种？（1）求未知的加数：解法是从和中减去已知的加数。例1：解方程x+38=90解：90是两个数的和，38是已知加数。所以x+38=90x=90-38x=52（2）

12、求未知的被减数：解法是把差加上已知的减数。例2：解方程x-62=27解：27是差，62是减数。所以x-62=27x=27+62x=89（3）求未知的减数：解法是从被减数中减去差。例3：解方程76-x=19解：76是被减数，19是差。所以76-x=19x=76-19x=57（4）求未知的因数：解法是把积除以已知的因数。例4 解方程5x=240 解：240是积，5是已知的因数。所以5x=240x=2405x=48（51）求未知的被除数。解法是把商乘以除数。例5：解方程x18=34解：34是商，18是除数。所以x18=34x=3418x=612（6）求未知的除数。解法是把被除数除以商。例6：解方程1

13、247x=43解：1247是被除数，43是商。所以1247x=43x=124743x=29236需要用两、三步运算解答的简易方程有哪几种？（1）先把积看成一个数进行运算。例1：解方程3x+24=87解：3x+24=87（先把3x看成一个加数） 3x=87-24 3x=63 x=21例2：解方程100-5x=35解：100-5x=35（先把5x看成一个减数） 5x=100-35 5x=65 x=13例3：解方程7x14=9解：7x14=9（先把7x看成是一个被除数） 7x=914 7x126 x=18例4：解方程16x-74=148解：16x-74=14816x-28=148（先把16x看成是一

14、个被减数） 16x=148+28 16x=176 x=11（2）合并同类项。例5：解方程7.5x+2.5x=64解：7.5x+2.5x=64（先计算7.5x+2.5x）10x=64x=6.4例6：解方程28x-13x=240解：28x-13x=240（先计算28x-13x）15x=240x=16（3）去括号或者把括号里的数看成一个数。例7：解方程16（7+x）=192解法一：16（7+x）=192（去括号）167+16x=192（把16x看成一个数） 16x=192-112 16x=80 x=5解法二：16（7+x）=192（把7+x看成一个因数）7+x=192167+x=12x=12-7x=

15、5237用方程解应用题时，怎样找等量关系？在解应用题时，常常先找出应用题中数量间的相等关系，也就是通常所说的“等量关系”，然后列方程求解。下面举例说明。（1）只含有三个数量的简单应用题的等量关系和方程。只含有三个数量的简单应用题，已知两个数量，求第三个数量。这类应用题的等量关系比较明显，容易找出。根据三个量间的等量关系，往往可以列出三个等式。在这三个等式里，可选择一个等式作为解答该题的方程，习惯上把未知的数量放在等号的左边，用字母x表示。例1：黄豆和绿豆共重90千克，其中黄豆65千克，绿豆的重量是多个千克？分析：根据这道题里的三个量，可以列出下面三个等式：共重90千克-黄豆65千克=绿豆重量；

16、绿豆重量+黄豆65千克=共重90千克；共重90千克-绿豆重量=黄豆65千克。如果把未知量用x表示，并且把它放在等号的左边，可列出方程：x+65=90或者90-x=65由于题目中说的是“黄豆和绿豆共重90千克”，所以列出的方程以“x+65=90”为好。例2：小侠身高158厘米，比小勇高13厘米。小勇的身高是多少厘米？分析：根据这道题里的三个量，可以列出下面三个等式：小侠身高158厘米-13厘米=小勇身高；小侠身高158 厘米-小勇身高=13厘米；小勇身高+13厘米=小侠身高158厘米。如果把未知量用x表示，按照题目里所说的“小侠的身高是158厘米，比小勇高13厘米”，可列出方程：158-x=13

17、或者x+13=158例3：一辆卡车每小时行驶45千米，几小时可以行驶270千米？分析：根据速度、时间与路程三个量之间常用的数量关系，可以写出下面三个等式：每小时45千米小时数=路程270千米；路程270千米每小时45千米=小时数；路程270千米小时数=每小时45千米。如果设x小时走完全程，根据题意可以列出方程：45x=270或者270x=45 例4：一个长方形的面积是2800平方厘米，它的长是70厘米，宽是多少厘米？分析：有关计算面积、体积的题目的等量关系，就是面积、体积的计算公式。这道题是长方形面积，根据长方形的面积计算公式，可以写出下面三个等式：长宽=长方形面积；长方形面积长=宽；长方形面

18、积宽=长。如果设长方形的宽为x厘米，根据题意可列出方程：70x=2800总之，在找等量关系和列方程时，主要是以应用题的数量关系为基础，根据四则运算的意义列成等式。但是，方程解法与算术解法在解题思路上是不同的。算术解法，为了求出未知数，需要把已知数集中起来加以分析，找出未知数与已知数之间的关系，利用已知数与运算符号组成算式，通过计算求出未知数。而列方程解应用题呢，可以用字母表示未知数，例如x、y等，让未知数x和已知数处于同样地位，按照题目中三个数量的等量关系直接参加列式运算。有些在算术中需要“逆解”的题目，用方程解法往往比较容易。（2）含有三个以上数量的应用题的等量关系和方程。遇到含有三个以上数

19、量的应用题，要认真审查题意，弄清题目所说的是怎么一回事，才能分析出已知数量同未知数量间的关系，列出方程。例1：地球绕太阳一周要用365天，比水星绕太阳一周用的时间的4倍多13天。水星绕太阳一周要用多少天？分析：由于列方程解应用题可以让未知数（x）和已知数处于同样地位，直接参加列式运算，我们可以把题目中叙述的条件适当变换一下说法。这道题可以说成：水星绕太阳一周所需时间（x）的4倍再加13天就等于365天。这样，可列出下面的方程：4x13=365这道题也可以说成：365天减去水星绕太阳一周所需时间（x）的4倍等于13天。这样，可列出下面的方程：365-4x=13这道题还可以说成：365天减去3天与

20、水星绕太阳一周所需时间（x）的4倍相等。我们把未知数（x）写在等号左边，可列得方程：4x=365-13以上举出的三个不同形式的方程，都是解答这道应用题的方程，在解答这道题时，用哪一个都可以。例2：学校买来5个篮球和7个排球共用去355元，已知每个篮球的价钱是36元，求每个排球的价钱是多少元？分析：这道题，如果按照算术方法去解，是“逆解”的题目； 如果利用方程方法去解，根据题目里的已知条件，就比较容易找出等量关系。已知每个篮球的价钱是36元，如果设每个排球的价钱为x元，那么可列出方程：7x+365=355例3：柳长堤小学五、六年级同学今年共植树150棵，六年级植的棵数是五年级的2倍。两个年级各植

21、了多少棵？分析：这道题是常见的一种典型应用题，通常叫“和倍问题”。如果用算术方法解，是有规律的。即：两个数的和（倍数+1）=作为1倍的数但是，用方程方法解，可以按照题目里叙述已知条件的顺序直接写出等量关系。为了计算方便，我们常常把“可以作为1份（1倍）”的数设为x，在这道题里，设五年级植树棵数为x棵，那么六年级植树棵数为2x棵。列出方程为：x+2x=150例4：A、B两镇之间的公路长216千米，甲、乙两汽车同时从两镇相对开出，3小时后相遇。甲汽车每小时行38千米，乙汽车每小时行多少千米？分析：甲、乙两辆汽车同时从两镇相对开出，3小时后相遇，这就说明了：甲汽车3小时行的路程+乙汽车3小时行的路程

22、=两镇之间的公路长。设乙汽车每小时行x千米，可列出方程：383+3x=216这道题还可以按照下面的等量关系列出方程，即：两镇之间的公路长-乙汽车3小时行的路程=甲汽车3小时行的路程。可列出方程：216-3x=383甲、乙两汽车同时开出，相向而行，那么，每小时两辆汽车共走的路程是甲、乙两汽车速度之和。这样，又可以写出一种等量关系，即：甲、乙两汽车速度之和时间=两镇之间的公路长。可列出方程：（38x）3=216238你会用方程解法解应用题吗？举出几例，试用方程解答。例1：四、五年级的学生种向日葵，五年级种的棵数是四年级种的棵数的3倍。又知五年级比四年级多种了90棵。两个年级各种了多少棵？解：设四年

23、级种了x棵，那么五年级种了3x棵。根据题意列出方程，得：3x-x=902x=90x=45（四年级种的棵数）3x=345=135（五年级种的棵数）答：四年级种了45棵，五年级种了135棵。例2：李师傅计划加工150个零件，加工了8小时以后，还剩22个没有加工。求李师傅每小时加工多少个零件？解：设每小时加工x个零件。根据题意列出方程，得：150-8x=228x=150-228x=128x=16答：李师傅每小时加工16个零件。这道题还可以列出其他形式的方程。如：8小时加工的零件数加上没有加工的22件，等于原计划加工的150个零件。即8x+22=150。或者，原计划加工的150个零件减去没有加工的22

24、个，就是8小时加工的零件数。即8x=152-22。例3：甲、乙、丙三个数的和是960，甲数是乙数的2倍，乙数是丙数的3倍。甲、乙、丙三个数各是多少？解：设丙数为x，那么乙数为3x，甲数为6x。根据题意列出方程，得：x+3x+6x=96010x=960x=96（丙数）3x=396=288（乙数）6x=696=576（甲数）答：甲数是575，乙数是288，丙数是96。例4：有一块梯形地，面积是79.2平方米，它的高是7.2米、上底是9.6米，下底是多少米？解：因为，梯形面积=（上底+下底）高2，设下底为x 米，根据梯形面积公式，列出方程，得：（9.6+x）7.22=79.2（9.6+x）7.2=7

25、9.229.6+x=158.47x=22-9.6x=12.4答：下底是124米。例5：学校计划修整操场，原计划每天修整96平方米，50天可以修完。实际上每天比原计划多修24平方米，照这样计算，可以提前几天修完？解：设实际用x天修完，根据题意列出方程，得：（9624）x=9650120x=4800x=4050-40=10（天）答：可以提前10天修完。在解答这道题时，设x表示实际用的天数，而没有按照题目的“问题”设x表示提前的天数。为什么没有设“x”表示提前的天数呢？如果这样设x的话，那么“实际用的天数”就得用（50-x）来表示。这样，所列方程将是如下形式：（9624）（50-x）=9650解这个方程，比解例题所列的方程麻烦得多。因此，解题时要认真审查题意，弄清数量之间的关系，考虑好怎样设x，可以使所列的方程简便些。通常把例5设x的方法叫做“间接设元”。而例1到例4，是根据题目的“问题”设x的，也就是说，要求的是什么，就把所求的未知数设为“x”，通常把这种设x的方法叫做“直接设元”。