小升初奥数几何之立体图形.doc

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1、小升初奥数几何之立体图形立体图形一、问题简介 小学阶段所学的立体图形主要有四种长方体、正方体、圆柱体和圆锥体。从平面图形到立体图形是认识上的一个飞跃，需要有更高水平的空间想象能力。因此，要牢固掌握这些几何图形的特征和有关的表面积、体积计算方法，能将公式作适当的变形，养成“数、形”结合的好习惯，解题时要认真细致观察，合理大胆想象，正确灵活地计算。下表总结了四大立体图形的相关知识点： 下载附件 (154.23 KB) 二、常见题型和解题方法（一）表面积和体积 立体图形表面积、体积的求法有很多种，也比较杂，在这里我们重点介绍四种比较经典和巧妙的方法拼接法、三视图法、切片法、套模法！其中套模法比较难，

2、在长沙小升初考试中用到的很少，但是在各奥数杯赛中是一种很好解决立体几何难题的方法，所以大家对于这种方法可以有选择的学习！1、拼接法 与平面几何中的方法类似，将不规则的图形体积、表面积化作规则的体积进行加减计算的方法，主要适用于立体图形的体积和表面积。例1、如图所示，用高都是1米，底面半径分别为1.5米、1米和0.5米的3个圆柱组成一个物体问这个物体的表面积是多少平方米?(取314) 2012-9-4 10:08 上传下载附件 (121.76 KB) 例2、如图是一个正方体，它的棱长为4cm，在它的上下、前后、左右的正中位置各挖去一个棱长为1cm的正方体，问：此图的表面积是多少？ 2012-9-

3、4 10:08 上传下载附件 (120.25 KB) 2、三视图法 主要适用于求正方体积木图形的表面积计算，以及染色问题或计数问题，从上、前、做这三个基本视角，分析图形的表面积。例、用棱长是1厘米的正方块拼成如下图所示的立体图形，问该图形的表面积是多少平方厘米？ 2012-9-4 10:08 上传下载附件 (116.22 KB) 3、切片法 主要适用于求具有穿孔结构或内部结构，并且“孔”之间有重叠的立体图形的体积计算。所谓“切片法”，就是把整个立体图形某个方向切成一片一片的（或一层一层的），然后分别计算每一片或每一层的体积或小正方体数目，化立体为平面，最后再把它们相加。例、一个由125个同样的

4、小正方体组成的大正方体，从这个大正方体中抽出若干个小正方体，把大正方体中相对的两面打通，下图就是抽空的状态。求图中剩下的小正方体有多少个？ 2012-9-4 10:08 上传下载附件 (149.68 KB) 2012-9-4 10:08 上传下载附件 (180.3 KB) 4、套模法 割补法的引申，分析立体图形的展开图，以最适合该立体图形的基本几何图形为模型，看看它们与基本立体图形相比，缺少了哪些部分，再在该图形上进行切割。这样做基于两点考虑，一是如果有类似的模型，可以直接应用其计算公式；二是如果可以补上一块或者放到某个模型里面，那么可以从这个模型入手。 此法可以说是解不规则立体图形最难的方法

5、了，需要非常强的空间想象能力，但是大家也不用恐慌，一般我们是在正方体这个最特殊的基本立体图形上套膜的！例、图中的、是同样的小等边三角形，、也是等边三角形且边长为的2倍，、是同样的等腰直角三角形，是正方形。那么，以、为平面展开图的立体图形的体积是以、为平面展开图的立体图形体积的几倍？ 2012-9-4 10:08 上传下载附件 (243.27 KB) 2012-9-4 10:08 上传下载附件 (213.75 KB) （二）染色计数 染色计数问题一直是立体图形的一个考查方面，有时还会结合数论中的最值问题，此时难度就会加大。解决这类问题时要牢牢把握立体图形染色面不同时相应的计算方法，再结合数论知识

6、解决！例1、将边长为10的正方体木块六个面都染上红色后，锯成边长为1的小正方形木块1000块。问：这一千块小正方体木块中，没有涂红色的共有多少块？只有一个面是红色的共有多少块？恰有两个面为红色的共有多少块？恰有三个面为红色的共有多少块？【详解】没涂色的小正方块共有：（10-2）（10-2）（10-2）=888=512块，只有一面涂色的共有：（10-2）（10-2）6=886384块；恰有两个面为红色的共有：（10-2）12=812=96块；恰有三个面为红色的共有：18块。例2、有64个边长为1厘米的同样大小的小正方体，其中34个为白色的，30个为黑色的。现将它们拼成一个444的大正方体，在大正

7、方体的表面上白色部分最多可以是多少平方厘米？【详解】要使大正方体的表面上白色部分最多，相当于要使大正方体表面上黑色部分最少，那么就要使得黑色小正方体尽量不露出来。 在整个大正方体中，没有露在表面的小正方体有：（4-2）（4-2）（4-2）=8(个)，用黑色的；在面上但不在边上的小正方体，即只露出一个面的有：（4-2）（4-2）6=24(个)，其中：30-8=22（个）用黑色。 这样，在表面的：446=96（个）小正方形中，有22个是黑色，剩下的：96-22=74(个)就是白色。所以在大正方体的表面上白色部分最多可以是74平方厘米。（三）容积 这里我们研究的是不规则立体图形里面装了部分液体（未满

8、），求液体体积或者不规则图形的容积这类问题。解题思路是通过已知条件抓住液体与空气的体积比，从而求出液体或不规则图形的容积！例、一个酒精瓶，它的瓶身呈圆柱形（不包括瓶颈），如图所示，已知它的容积为26.4立方厘米。当瓶子正放时，瓶内的酒精的液面高为6厘米；瓶子倒放时，空余部分的高为2厘米。问：瓶内酒精的体积是多少立方厘米？合多少升？ 2012-9-4 10:08 上传下载附件 (80.72 KB) （四）旋转体 旋转体是由平面图形通过旋转转变成了立体图形，解决这类题型的关键是要通过空间想象得出旋转体的形状，进一步才能求出其体积等！例、如图，ABCD是矩形，BC=6cm，AB=10cm，对角线AC

9、、BD相交O。E、F分别是AD与BC的中点，图中的阴影部分以EF为轴旋转一周，则白色部分扫出的立体图形的体积是多少立方厘米？(取3） 2012-9-4 10:08 上传下载附件 (107.17 KB) 三、经典例题详解例1、如图，在一个正方体的两对侧面的中心各打通一个长方体的洞，在上下底面的中心打通一个圆柱形的洞已知正方体边长为10厘米，侧面上的洞口是边长为4厘米的正方形，上下底面的洞口是直径为4厘米的圆，求此立体图形的表面积和体积。 2012-9-5 09:36 上传下载附件 (204.38 KB) 例2、如图所示，一个555的立方体，在左右方向上开有115的孔，在上下方向上开有215的孔，

10、在前后方向上开有315的孔，剩余部分的体积是多少？表面积为多少？ 2012-9-5 09:36 上传下载附件 (177.06 KB) 2012-9-5 09:36 上传下载附件 (179.45 KB) 例3、图和图是以正方形和等边三角形为面的立体图形的展开图，图中所有的边长都相同。问：图能围起来的立体图形的体积是图能围起来的立体图形的体积的几倍？ 2012-9-5 09:37 上传下载附件 (186.95 KB) 2012-9-5 09:37 上传下载附件 (186.83 KB) 例4、三个完全一样的长方体，棱长总和是288厘米，每个长方体相交于一个顶点的三条棱长恰是三个连续的自然数。给这三个长方体涂色：一个涂一面、一个涂两面、一个涂三面。涂色后把三个长方体都切成棱长为1厘米的小正方体，只有一个面涂色的小正方体最少有多少个？ 2012-9-5 09:37 上传下载附件 (223.54 KB) 例5、把一个大长方体木块表面上涂满红色后，分割成若干个同样大小的小正方体，其中恰好有两个面涂上红色的小正方体恰好是100块，那么至少要把这个大长方体分割成多少个小正方体？ 2012-9-5 09:37 上传下载附件 (242 KB)