家家学教育 六级 数学 考试 专项训练——数论教师版.doc

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1、第三讲 数 论真题模考1. (2003年一零一培训学校期末考试题(2003年12月)第7题)一个整数m(m1)，除219，270，338得到的余数相同，则这个整数m_。【分析】 219，270，338除以m得到的余数相同，那么他们两两的差就能被m整除。270-219=51，m =51，68，119=17。2. 如果2n1能被31整除，那么自然数n应满足什么条件？【分析】 31=11111 （n个0） =（n个0） 2n1能被31整除，那么n是5的倍数即可。3. 在算式的每个括号内各填入一个数字(所填数字均选自1，2，3，9)，要求所填的数字都是质数，并使得算式成立。【分析】 在1，2，3，9中

2、只有2，3，5，7为质数，根据分母的特性，可知结果的分母为两分数的最小公倍数，那么只能为5，7。可得到：。4. 5位数是某个自然数的平方，则 .【分析】 是一个自然数的平方，那么这个自然数的末位只能为1或9。 140180 得161=25921 =5，=2，那么4+7=345. 从1，3，5，7，。97，99，101中最多可以选出n个数，使得选出的这n个数中，每个都不是另一个数的倍数，那么n=_【分析】 1，3，5，101这些数中，35101这34个数中，每个数都不是另一个数的倍数。因为1，3，5，101都可以写成的形式（其中是0或自然数，是不能被3整除的自然数）由于1，3，5，101有17个

3、不能被3整除的数，剩下51-17=34个数不是3的倍数。所以的值有34种，所以346. (2003年一零一培训学校期末考试题(2003年12月)第21题)一个三位数等于它的各位数字之和的19倍，问这样的三位数最大是_，最小是_.【分析】 设这个三位数为，根据题意的： =19（），因为29，所以114513 所以196=114最小，1915=285最大7. (北京市一零一中学计算机培训班六年级0405学年一学期第三次随堂测试第10题) _ ； ； ( )10； 若，则n_。【分析】 （111002） ； ； (500 )10； 若，则n=（5）8. 2007=，其中，为两两不等的自然数，则+=

4、.【分析】 2007=1023+1024= +=1+2+3+10=559. (北京市一零一中学计算机培训班六年级0405学年一学期第三次随堂测试第9题)(85)N是(7)N的11倍，则(338)N_。【分析】 根据题意得： n=9 10. 用2、3、4、5、6、7这六个数码组成两个三位数A,B，那么A、B、540这三个数的最大公约数最大可能是多少.【分析】 最大公约数必定为 的约数。但公约数不可能为5，否则两个三位数的末尾数应该为0或5。因此最大的公约数可以考虑 ，为了“凑”到108，考虑因子4，末两位分别令其为24，56，之后考虑9构造结果324，756。答案：108考点拓展【例1】 在56

5、8后面补上三个数字，组成一个六位数。此六位数能分别被3，5，8整除，那么这样的六位数中最小的是_【分析】 根据题意可知这个六位数最小时568000，能同时被3，5，8整除，也就能被3，5，8=120，568000120=473340，那么568000+（120-40）=568080，就能被3，5，8同时整除。【例2】 101个连续的非零自然数的和恰好是四个不同的质数的积，那么这个最小的和应该是_【分析】 设这个自然数为，则101个连续自然数的和为： +（+1）+（+2）+（+100）=（+100）1012=（+50）101 因为101是质数，所以+50必须是3个质数的乘积，要是和最小。那么+5

6、0=66=2311，所以和最小为66101=6666。【例3】 设是09的数字(允许相同)，将循环小数化成最简分数后，分子有 种不同情况.【分析】 =,显然只要与999互质，就构成了最简分数，所以最简分数的分子可以是所有小于999且与999互质的数，这样的数一共有个.如果与999不互质，那么的质因数当中，如果质因数3不多于3个，质因数37多于1个，那么约分后是分子还是与999互质的数（已被统计过）；如果的质因数当中，如果质因数3多于3个，质因数37多于1个（这种情况肯定没有因为37的平方大于999）, 质因数3多于3个，那么约分过程当中，分子分母至少约掉27，所剩下的分子不会大于，所以凡是不大

7、于37的分子都可能有它的27倍约分而来，其中的3、6、9、36这12个数都是可能的分子.所以一共有648+12=660个【例4】 (2002年一零一培训学校六年级计算机素质培训班结业检测题二试解答题第5题)101中学的老师和和学生到圆明园参加植树活动，在圆明园的一条笔直马路的一边共植11棵树，且每相邻的两棵树间隔3米，不妨可以看作一条直线从0点起每隔3米，如果把3块“爱护树木”的小木牌分别挂在3棵树上，老师说可以证明至少有两棵树它们之间的距离是偶数米。老师说法对吗？要是不对，试举出反例。要是对了，试说明理由。【分析】 对。因为第一块小木牌与第二块小木牌的距离可能是3的奇数倍（奇数米）或是3的偶

8、数倍（偶数米），偶数米则达到要求。同样第二块小木牌与第三块小木牌的距离可能是3的奇数倍（奇数米）或是3的偶数倍（偶数米），偶数米则达到要求。当第一块小木牌与第二块小木牌的距离是奇数米，第二块小木牌与第三块小木牌的距离是奇数米时，第一块小木牌与第三块小木牌的距离就是偶数米。所以至少有两棵树它们之间的距离是偶数米。【例5】 (北京市一零一中学计算机培训班六年级0405学年一学期第三次随堂测试第14题)是一个三位数，由a、b、c三个数字组成的另外5个三位数之和为2743，那么三位数是多少？【分析】 根据题意得：+=2743 +=2743+ 222（）=2743+ 因为327 274322212 22

9、214=3108=2743+365 （3+6+5=14）【例6】 (2003年一零一培训学校“圆明杯”数学邀请赛附加题第2题)甲、乙、丙三个班的同学为国庆游行队伍做红花.其中甲班有1人做6朵,有2人各做7朵,其余每做11朵;乙班有1人做6朵,有3人各做8朵,其余每人做10朵;丙班有2人各做4朵,6人各做7朵,其余每人做9朵.已知甲班做花总数比乙班多28朵,乙班比丙班多101朵,且每班做花总数在400朵至550朵之间.问每班各有多少人?【分析】 根据题意可知，甲班每人11朵，缺（11-6）1+（11-7）2=13朵 乙班每人10朵，缺（10-6）1+（10-8）2=10朵 丙班每人9朵， 缺（9

10、-4）2+（9-7）6=22朵 解：设甲班有人，乙班有人，丙班有人，可得： 解得，得。解得=51，=49，=53。课后练习1. 小胡和小涂计算甲、乙两个两位数的乘积，小胡看错了甲数的个位数字，计算结果为1274；小涂看错了甲数的十位数字，计算结果为819。甲数是_。【分析】 设甲为，看错个位为，看错十位为，可以得出： 乙=1274 乙=819 乙（-）=455=5713 乙=13，=98，=63，所以=93。2. (2002年一零一培训学校六年级计算机素质培训班结业检测题二试第2题)两个不同质数的倒数相加，所得的和的分子是42，分母可以( )、( )、( )或( )。【分析】 设这两个质数为，

11、根据题意可得： ， +=42=5+37=11+31=13+29=19+23 分母为537=185 1131=341 1329=377 1923=4373. 已知两位数，满足=4，满足此条件的最大两位数是_【分析】 因为=4，可得：=4 解得： 最大=48 4. 一个数a，它的小数点向左移动一位得到数b，数b的小数点向右移动两位得到数c，已知a，b，c的和是13.32，则a= .【分析】 根据题意可知，a为两位数，且a由一位小数，设a= 则b=，c= 可得： 10+=12 所以=1 =2 a=1.25. (2003年一零一培训学校期末考试题(2003年12月)第22题)已知P、Q都是质数，并且，则 _。【分析】 由 得 因为P、Q都是质数，P11=奇数 Q93偶数 可得Q=2 P=199