线性代数——在化工中的应用案例.ppt

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1、,线性代数总结,研究在CO2和H2O存在下，由CO与H2合成甲醇的反应。（1）写出反应的原子矩阵形式；（2）求原子矩阵的秩（3）确定反应a1CH3OH+a2CO+a3H2+a4CO2+a5H2O=0的一套计量系数，即确定一组完整的独立反应组。,引例,？,？,1、用矩阵对物质进行表示。例1：由三种元素H，C和O组成的三种物质CO2，H2O和H2CO3的混合物，写出其原子矩阵形式的表示式。,线性代数 第六章 在化工中的应用实例 6.1,6.1 化学计量矩阵与化学平衡问题,在对物质和物质间的反应进行表示时，假定给定n个原子的总和，由这些原子构成所讨论的分子。用Bj表示相应于每个原子（用j标记）的排列

2、有序的数和，它由0和1构成，其本质即原子的符号。于是，由这些原子组成的Ai物质的分子向量可表示为：（1）其中 是Ai分子中Bj原子的数目。称具有整系数 的向量式（1）为分子式或分子。,线性代数 第六章 在化工中的应用实例 6.1,6.1 化学计量矩阵与化学平衡问题,由原子 组成的 分子的总和可用以下方程组写出：（2）2009-12-25链接1.ppt,线性代数 第六章 在化工中的应用实例 6.1,6.1 化学计量矩阵与化学平衡问题,若记（3）则式（21）可写成矩阵乘法的形式，即（4）,线性代数 第六章 在化工中的应用实例 6.1,6.1 化学计量矩阵与化学平衡问题,或写成（5）其中 表示由数

3、组成的 矩阵，称其为原子矩阵。,线性代数 第六章 在化工中的应用实例 6.1,6.1 化学计量矩阵与化学平衡问题,例1：由三种元素H，C和O组成的三种物质CO2，H2O和H2CO3的混合物，写出其原子矩阵形式的表示式。,原子矩阵为,线性代数 第六章 在化工中的应用实例 6.1,6.1 化学计量矩阵与化学平衡问题,线性代数 第六章 在化工中的应用实例 6.1,6.1 化学计量矩阵与化学平衡问题,2、用线性空间对物质和物质间的反应进行表示。例2：求含有物质CO2，H2O和H2CO3的子空间的维数，基底和坐标2009-12-25链接2.ppt。,线性代数 第六章 在化工中的应用实例 6.1,6.1

4、化学计量矩阵与化学平衡问题,解：,线性代数 第六章 在化工中的应用实例 6.1,6.1 化学计量矩阵与化学平衡问题,即原子矩阵中第三列 可用第一列 和第二列 线性表示，故含有物质CO2，H2O和H2CO3的子空间的维数等于2,线性代数 第六章 在化工中的应用实例 6.1,6.1 化学计量矩阵与化学平衡问题,线性代数 第六章 在化工中的应用实例 6.1,6.1 化学计量矩阵与化学平衡问题,线性代数 第六章 在化工中的应用实例 6.1,6.1 化学计量矩阵与化学平衡问题,线性代数 第六章 在化工中的应用实例 6.1,6.1 化学计量矩阵与化学平衡问题,3、用矩阵对化学反应方程组进行表示。,例3：写

5、出由四种物质CH4，CH2O，O2和H2O所组成的集合的一套化学计量系数。,线性代数 第六章 在化工中的应用实例 6.1,6.1 化学计量矩阵与化学平衡问题,定理 如果分子 的原子矩阵的秩为m，则这些分子必处于m维的空间Rm中。,线性代数 第六章 在化工中的应用实例 6.1,6.1 化学计量矩阵与化学平衡问题,向量空间Rn包括了所有可能的由原子构成的物质。例如，碳氢化合物就可看作是由两类元素氢和碳构成的,即某空间Rn中的子集合。所以，重要的问题是确定一子空间Rm,而子集合 处于子空间Rm中。定理 如果分子 的原子矩阵的秩为m，则这些分子必处于m维的空间Rm中。,如果，则不失一般性，可设矩阵的前

6、m列线性无关，并用它们表示其余的(n-m)列。用 表示矩阵的相应列向量，依上所述，则有：,线性代数 第六章 在化工中的应用实例 6.1,6.1 化学计量矩阵与化学平衡问题,其中 是相应的线性无关向量线性组合的系数。系数矩阵为：,线性代数 第六章 在化工中的应用实例 6.1,6.1 化学计量矩阵与化学平衡问题,若用 表示由线性无关的列向量所组成的矩阵，不难证明(6)物质分子的矩阵形式为(7)(6)式代入(7),得(8),即(9)其中列向量 的元素是式(4)中列向量B的元素的线性组合。因为通过它们表示所有的分子Ai，则它们就组成了子空间Rm的基底，其中包括所研究的分子。,线性代数 第六章 在化工中

7、的应用实例 6.1,6.1 化学计量矩阵与化学平衡问题,子空间的基底,对于处在子空间Rm中的物质集合，利用式(1)（4）总可以选择m个线性无关的元素，它们构成了该子空间的基底此时原子矩阵 表示该基底里的物质 的和，而 的秩为m(m个线性无关的行和列)。现设 的前m行线性无关，则m十1，m十2,，M行可用前m行的线性组合表示，得到(Mm)个方程,线性代数 第六章 在化工中的应用实例 6.1,6.1 化学计量矩阵与化学平衡问题,线性代数 第六章 在化工中的应用实例 6.1,6.1 化学计量矩阵与化学平衡问题,（10）,线性代数 第六章 在化工中的应用实例 6.1,6.1 化学计量矩阵与化学平衡问题

8、,式(10)的形式与一般化学反应方程组是一致的，故可将方程组(10)作为物质(反应物)的集合上的化学反应方程组。显然，表示原子矩阵 的行之间的线性关系的齐次方程的最小数目为(M-m)，其中M是所研究体系中反应物 的数目,m是它的原子矩阵的秩。把这些方程进行相互组合，可得到该反应物集合上的任何化学反应的方程，所以，对于描写M个反应物体系中的化学反应所必须的最小反应数目为（M-m)。,线性代数 第六章 在化工中的应用实例 6.1,6.1 化学计量矩阵与化学平衡问题,对于规则反应有：（11）其中i是参加反应物质的序号，k是反应的序号。对给定体系中的化学反应，可将化学计量系数写成向量的形式（12）所以

9、该体系中所有反应总和的矩阵 为（13）,化学计量矩阵,引入参加反应物质(分子)的列向量A（14）于是式（11）写成（15）或者对所有的反应写为（16）借助原子矩阵，使其变成原子的组合，即,线性代数 第六章 在化工中的应用实例 6.1,6.1 化学计量矩阵与化学平衡问题,于是在独立原子组合条件下可得到（17）（18）所以，对标以k的每个反应。都存在同样相对于 的线性方程组(17)，这个方程组完全符合众所周知的化学反应方程组的一般原则，即化学反应式左边的某种原子数及电荷数等于右边的该原子数及电荷数,线性代数 第六章 在化工中的应用实例 6.1,6.1 化学计量矩阵与化学平衡问题,线性代数 第六章

10、在化工中的应用实例 6.1,6.1 化学计量矩阵与化学平衡问题,4、用化学计量矩阵对化学反应进行表示。,例3：写出由四种物质CH4，CH2O，O2和H2O所组成的集合的一套化学计量系数。解：,线性代数 第六章 在化工中的应用实例 6.1,6.1 化学计量矩阵与化学平衡问题,原子矩阵写为,求得，所以存在一个独立的化学反应。由式(18)，写出方程组,线性代数 第六章 在化工中的应用实例 6.1,6.1 化学计量矩阵与化学平衡问题,即：解该方程组得：所以对上述物质的体系，独立反应具有的形式，即,线性代数 第六章 在化工中的应用实例 6.1,6.1 化学计量矩阵与化学平衡问题,线性代数 第六章 在化工

11、中的应用实例 6.1,6.1 化学计量矩阵与化学平衡问题,对于规则反应有：（6）其中i是参加反应物质的序号，k是反应的序号。对给定体系中的化学反应，可将化学计量系数写成向量的形式（7）所以该体系中所有反应总和的矩阵 为（8）,化学计量矩阵,引入参加反应物质(分子)的列向量A（9）于是式（6）写成（10）或者对所有的反应写为（11）借助原子矩阵，使其变成原子的组合，即,线性代数 第六章 在化工中的应用实例 6.1,6.1 化学计量矩阵与化学平衡问题,于是在独立原子组合条件下可得到（12）（13）所以，对标以k的每个反应。都存在同样相对于 的线性方程组(12)，这个方程组完全符合众所周知的化学反应

12、方程组的一般原则，即化学反应式左边的某种原子数及电荷数等于右边的该原子数及电荷数,线性代数 第六章 在化工中的应用实例 6.1,6.1 化学计量矩阵与化学平衡问题,线性代数 第六章 在化工中的应用实例 6.1,Gibbs化学计量规则,按照Gibbs规则，可以确定体系中最大可能的独立反应的数目。当然它不涉及诸如体系中全部可能的独立反应是否发生？若它们不是都能发生，那么它们应在什么条件下才能发生等问题。但是，Gibbs规则非常深刻的描写了化学计量式的特性。,线性代数 第六章 在化工中的应用实例 6.1,6.1 化学计量矩阵与化学平衡问题,原子矩阵的秩决定了反应混合物的独立组分数，而独立组分数在研究

13、化学平衡问题时是很重要的。化学计量矩阵的最大秩数Q决定了该体系中能够进行反应的独立反应数。一般地，总是可以在给定体系中选择Q种物质，这些物质完全决定体系的反应；它们还可以作为描述体系动力学方程的独立变量。,线性代数 第六章 在化工中的应用实例 6.1,6.1 化学计量矩阵与化学平衡问题,线性代数 第六章 在化工中的应用实例 6.1,本节要点：1、理解原子矩阵的概念，能够写出物质分子的矩阵形式2、掌握物质线性空间的维数、基底和坐标的概念及其性质。3、理解化学计量矩阵的概念，能够写出化学反应方程组的向量形式（线性方程组），并正确求解。4、在此基础上，进一步加深对线性代数的全面理解。本节重点：1、原子矩阵及其计算2、化学计量矩阵及其计算本章难点：对物质向量空间及其线性变换的深入理解,小结:化学计量矩阵和化学平衡问题,