441长方体与正方体.题库学生版.doc

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1、长方体与正方体对于小学几何而言，立体图形的表面积和体积计算，既可以很好地考查学生的空间想象能力，又可以具体考查学生在公式应用中处理相关数据的能力，所以，很多重要考试都很重视对立体图形的考查例题精讲如右图，长方体共有六个面(每个面都是长方形)，八个顶点，十二条棱在六个面中，两个对面是全等的，即三组对面两两全等(叠放在一起能够完全重合的两个图形称为全等图形)长方体的表面积和体积的计算公式是：长方体的表面积：；长方体的体积：正方体是各棱相等的长方体，它是长方体的特例，它的六个面都是正方形如果它的棱长为，那么：，板块一 长方体与正方体的表面积【例 1】 右图中共有多少个面？多少条棱？【巩固】右图中共有

2、多少个面？多少条棱？【例 2】 如右图，在一个棱长为10的立方体上截取一个长为8，宽为3，高为2的小长方体，那么新的几何体的表面积是多少？【巩固】在一个棱长为50厘米的正方体木块，在它的八个角上各挖去一个棱长为5厘米的小正方体，问剩下的立体图形的表面积是多少？【例 3】 如右图，有一个边长是5的立方体，如果它的左上方截去一个边分别是5，3，2的长方体，那么它的表面积减少了多少?【例 4】 右图是一个边长为4厘米的正方体，分别在前后、左右、上下各面的中心位置挖去一个边长l厘米的正方体，做成一种玩具它的表面积是多少平方厘米?（图中只画出了前面、右面、上面挖去的正方体）【例 5】 如图，有一个边长为

3、20厘米的大正方体，分别在它的角上、棱上、面上各挖掉一个大小相同的小立方体后，表面积变为2454平方厘米，那么挖掉的小立方体的边长是多少厘米？【例 6】 下图是一个棱长为2厘米的正方体，在正方体上表面的正中，向下挖一个棱长为1厘米的正方体小洞，接着在小洞的底面正中向下挖一个棱长为厘米的正方形小洞，第三个正方形小洞的挖法和前两个相同为厘米，那么最后得到的立体图形的表面积是多少平方厘米？ 【例 7】 （小学生数学报邀请赛）从一个棱长为10厘米的正方形木块中挖去一个长10厘米、宽2厘米、高2厘米的小长方体，剩下部分的表面积是多少？(写出符合要求的全部答案)【例 8】 （北京市第十二届迎春杯）一个正方

4、体木块，棱长是15从它的八个顶点处各截去棱长分别是1、2、3、4、5、6、7、8的小正方体这个木块剩下部分的表面积最少是多少？【例 9】 从一个长8厘米、宽7厘米、高6厘米的长方体中截下一个最大的正方体(如下图)，剩下部分的表面积之和是 平方厘米【巩固】一个长、宽、高分别为厘米、厘米、厘米的长方形，现从它的上面尽可能大的切下一个正方体，然后从剩余的部分再尽可能大的切下一个正方体，最后再从第二次剩余的部分尽可能大的切下一个正方体，剩下的体积是多少平方厘米？【例 10】 一个正方体木块，棱长是1米，沿着水平方向将它锯成2片，每片又锯成3长条，每条又锯成4小块，共得到大大小小的长方体24块，那么这2

5、4块长方体的表面积之和是多少？ 【巩固】如右图，一个正方体形状的木块，棱长l米，沿水平方向将它锯成3片，每片又锯成4长条，每条又锯成5小块，共得到大大小小的长方体60块那么，这60块长方体表面积的和是多少平方米?【巩固】(2008年走美六年级初赛)一个表面积为的长方体如图切成27个小长方体，这27个小长方体表面积的和是 【例 11】 右图是一个表面被涂上红色的棱长为10厘米的正方体木块，如果把它沿虚线切成8个正方体，这些小正方体中没有被涂上红色的所有表面的面积和是多少平方厘米？【例 12】 有个同样大小的正方体，将它们堆成一个长方体，这个长方体的底面就是原正方体的底面如果这个长方体的表面积是3

6、096平方厘米，当从这个长方体的顶部拿去一个正方体后，新的长方体的表面积比原长方体的表面积减少144平方厘米，那么为多少？【例 13】 边长分别是3、5、8的三个正方体拼在一起，在各种拼法中，表面积最小多少？【例 14】 如图，25块边长为1的正方体积木拼成一个几何体，表面积最小是多少？ 【例 15】 用6块右图所示(单位：cm)的长方体木块拼成一个大长方体，有许多种拼法，其中表面积最小的是多少平方厘米？最大是多少平方厘米？【巩固】用10块长5厘米，宽3厘米，高7厘米的长方体积木堆成一个长方体，这个长方体的表面积最小是多少?【例 16】 要把12件同样的长a、宽b、高h的长方体物品拼装成一件大

7、的长方体，使打包后表面积最小，该如何打包？当 b2h时，如何打包？当 b2h时，如何打包？当 b2h时，如何打包？【巩固】要把6件同样的长17、宽7、高3的长方体物品拼装成一件大的长方体，表面积最小是多少？【例 17】 如图，在一个棱长为5分米的正方体上放一个棱长为4分米的小正方体，求这个立体图形的表面积【巩固】如右图所示，由三个正方体木块粘合而成的模型，它们的棱长分别为1米、2米、4米，要在表面涂刷油漆，如果大正方体的下面不涂油漆，则模型涂刷油漆的面积是多少平方米？【例 18】 (2008年“希望杯”五年级第2试)如图，棱长分别为厘米、厘米、厘米、厘米的四个正方体紧贴在一起，则所得到的多面体

8、的表面积是_平方厘米【例 19】 边长为1厘米的正方体，如图这样层层重叠放置，那么当重叠到第5层时，这个立体图形的表面积是多少平方厘米？【巩固】按照上题的堆法一直堆到层()，要想使总表面积恰好是一个完全平方数，则的最小值是多少？【例 20】 把19个棱长为1厘米的正方体重叠在一起，按右图中的方式拼成一个立体图形.，求这个立体图形的表面积【巩固】用棱长是1厘米的立方块拼成如右图所示的立体图形，问该图形的表面积是多少平方厘米?【例 21】 现有一个棱长为1厘米的正方体，一个长宽为1厘米高为2厘米的长方体，三个长宽为1厘米高为3厘米的长方体下列图形是把这五个图形合并成某一立体图形时，从上面、前面、侧

9、面所看到的图形试利用下面三个图形把合并成的立体图形(如例)的样子画出来，并求出其表面积例：【例 22】 （05年清华附培训试题）将一个表面积涂有红色的长方体分割成若干个棱长为1厘米的小正方体，其中一面都没有红色的小正方形只有3个，求原来长方体的表面积是多少平方厘米？【例 23】 有30个边长为1米的正方体，在地面上摆成右上图的形式，然后把露出的表面涂成红色求被涂成红色的表面积【例 24】 有一塔形几何体由若干个正方体构成，构成方式如下图所示，上层正方体下底面的四个顶点是下层正方体上底面各边的中点已知最底层正方体的棱长为2，且该塔形的表面积(含最底层正方体的底面面积)超过39，则该塔形中正方体的

10、个数至少是_【例 25】 如图，这是一个用若干块体积相同的小正方体粘成的模型把这个模型的表面(包括底面)都涂成红色，那么，把这个模型拆开以后，有三面涂上红色的小正方体比有两面涂上红色的小正方体多_ 块【例 26】 右图是正方体，如果将其表面涂成红色，那么其中一面、二面、三面被涂成红色的小正方体各有多少块？【例 27】 一个长方体，六个面均涂有红色，沿着长边等距离切5刀，沿着宽边等距离切4刀，沿着高边等距离切次后，要使各面上均没有红色的小方块为24块，则的取值是_【例 28】 棱长是厘米（为整数）的正方体的若干面涂上红色，然后将其切割成棱长是1厘米的小正方体至少有一面红色的小正方体个数和表面没有

11、红色的小正方体个数的比为，此时的最小值是多少?【例 29】 有64个边长为1厘米的同样大小的小正方体，其中34个为白色的，30个为黑色的现将它们拼成一个的大正方体，在大正方体的表面上白色部分最多可以是多少平方厘米？【例 30】 一个长方体的长是12厘米，宽10厘米，高也是整厘米数，在它的表面涂满颜色后，截成棱长是1厘米的小正方体，其中一面有色的小正方体有448个求原来长方体的体积与表面积【例 31】 将一个棱长为整数分米的长方体6个面都涂上红色，然后把它全部切成棱长为1分米的小正方体在这些小正方体中，6个面都没有涂红色的有12块，仅有两个面涂红色的有28块，仅有一个面涂红色的有 块，原来长方体

12、的体积是 立方分米【例 32】 右图是由27块小正方体构成的 333的正方体如果将其表面涂成红色，则在角上的8个小正方体有三面是红色的，最中央的小方块则一点红色也没有，其余18块小方块中，有12个两面是红的，6个一面是红的这样两面有红色的小方块的数量是一面有红色的小方块的两倍，三面有红色的小方块的数量是一点红色也没有的小方块的八倍问：由多少块小正方体构成的正方体，表面涂成红色后会出现相反的情况，即一面有红色的小方块的数量是两面有红色的小方块的两倍，一点红色也没有的小方块是三面有红色的小方块的八倍？ 【例 33】 有6个相同的棱长分别是3厘米、4厘米、5厘米的长方体，把它们的某些面染上红色，使得

13、有的长方体只有1个面是红色的，有的长方体恰有2个面是红色的，有的长方体恰有3个面是红色的，有的长方体恰有4个面是红色的，有的长方体恰有5个面是红色的，还有一个长方体6个面都是红色的，染色后把所有长方体分割成棱长为1厘米的小正方体分割完毕后，恰有一面是红色的小正方体最多有多少个？【例 34】 三个完全一样的长方体，棱长总和是288厘米，每个长方体相交于一个顶点的三条棱长恰是三个连续的自然数，给这三个长方体涂色，一个涂一面，一个涂两面，一个涂三面涂色后把三个长方体都切成棱长为1厘米的小正方体，只有一个面涂色的小正方体最少有多少个？【例 35】 把一个大长方体木块表面上涂满红色后，分割成若干个同样大

14、小的小正方体，其中恰好有两个面涂上红色的小正方体恰好是100块，那么至少要把这个大长方体分割成多少个小正方体？【例 36】 把正方体的六个表面都划分成9个相等的正方形用红、黄、蓝三种颜色去染这些小正方形，要求有公共边的正方形染不同的颜色，那么，用红色染的正方形最多有多少个？【巩固】把正方体的六个表面都划分成4个相等的正方形用红色去染这些小正方形，要求有公共边的正方形不能同时染上红色，那么，用红色染的正方形最多有多少个？【例 37】 一个正方体的棱长为3厘米，在它的前、后、左、右、上、下各面中心各挖去一个棱长为1厘米的正方体做成一种玩具，求这个玩具的表面积. 【例 38】 如右图，一个边长为3a

15、厘米的正方体，分别在它的前后、左右、上下各面的中心位置挖去一个截口是边长为a厘米的正方形的长方体（都和对面打通）如果这个镂空的物体的表面积为2592平方厘米，试求正方形截口a的边长【例 39】 有一个棱长为的正方体木块，从它的每个面看都有一个穿透的完全相同的孔(右上图)，求这个立体图形的内、外表面的总面积【例 40】 左下图是一个正方体，四边形表示用平面截正方体的截面请在右下方的展开图中画出四边形的四条边 【例 41】 如图，用455个棱长为1 的小正方体粘成一个大的长方体，若拆下沿棱的小正方体，则余下371个小正方体，问：所堆成的大长方体的棱长各是多少？拆下沿棱的小正方体后的多面体的表面积是

16、多少？ 板块二 长方体与正方体的体积立体图形的体积计算常用公式： 立体图形示例体积公式相关要素长方体三要素：、二要素：、正方体一要素：二要素：、不规则形体的体积常用方法：化虚为实法切片转化法先补后去法实际操作法画图建模法【例 42】 (第四届小数报数学竞赛决赛)一根长方体木料，体积是立方米已知这根木料长米宽为3分米，高该是多少分米?孙健同学把高错算为3分米这样，这根木料的体积要比立方米多多少?【例 43】 (第六届“华杯赛”决赛口试)某工人用薄木板钉成一个长方体的邮件包装箱，并用尼龙编织条(如图所示)在三个方向上的加固所用尼龙编织条分别为365厘米，405厘米，485厘米若每个尼龙加固时接头重

17、叠都是5厘米问这个长方体包装箱的体积是多少立方米?【例 44】 (第十届“迎春杯”)一个长方体的表面积是平方分米，其中一个面的长是分米，宽是分米，它的体积是_立方分米.【例 45】 (第十五届“迎春杯”决赛)把一根长米的长方体木料锯成5段(如图)，表面积比原来增加了96平方厘米这根木料原来的体积是_立方厘米【例 46】 (第五届小数报数学竞赛决赛)一个长方体的宽和高相等，并且都等于长的一半(如图)将这个长方体切成12个小长方体，这些小长方体的表面之和为600平方分米求这个大长方体的体积【例 47】 有三个大小一样的正方体，将接触的面用胶粘接在一起成图示的形状，表面积比原来减少了16平方厘米.求

18、所成形体的体积.【例 48】 (第十一届“迎春杯”)有一个长方体，长是宽的2倍，宽是高的3倍；长的与高的之和比宽多1厘米这个长方体的体积是 立方厘米【巩固】(第六届“迎春杯”决赛)一个长方体的各条棱长的和是48厘米，并且它的长是宽的2倍，高与宽相等，那么这个长方体的体积是_ 立方厘米【例 49】 把11块相同的长方体的砖拼成如图所示的大长方体，已知每块砖的体积是，则大长方体的表面积为多少？【例 50】 有大、中、小三个正方形水池，它们的内边长分别是6米、3米、2米把两堆碎石分别沉没在中、小水池的水里，两个水池的水面分别升高了6厘米和4厘米如果将这两堆碎石都沉没在大水池的水里，大水池的水面升高了

19、多少厘米？【例 51】 一个正方体容器，容器内部边长为24厘米，存有若干水，水深厘米，现将一些碎铁块放入容器中，铁块沉入水底，水面上升厘米，如果将这些铁块铸成一个和容器等高的实心圆柱，重新放入池中，则水面升高几厘米？【例 52】 （2009年迎春杯初赛六年级）如图，有一个棱长为10厘米的正方体铁块，现已在每两个对面的中央钻一个边长为4厘米的正方形孔（边平行于正方体的棱），且穿透另有一长方体容器，从内部量，长、宽、高分别为15厘米、12厘米、9厘米，内部有水，水深3厘米若将正方体铁块平放入长方体容器中，则铁块在水下部分的体积为 立方厘米【例 53】 (第九届“迎春杯”决赛)把1个棱长是3厘米的正

20、方体分割成若干个小的正方体，这些小正方体的棱长必须是整厘米数如果这些小正方体的体积不要求都相等，那么最少可分割成 个小正方体【巩固】(第九届“祖冲之杯”数学邀请赛)有一个长方体的盒子，从里面量长40厘米，宽12厘米，高7厘米，在这个盒子里放长5厘米，宽4厘米，高3厘米的长方体木块最多可放 块【例 54】 有甲、乙、丙3种大小的正方体木块，棱长比是如果用这三种正方体拼成尽量小的一个正方体，且每种都至少用一个，则最少需要这三种正方体共多少？【例 55】 用、三种小木块拼成的正方体现有足够多的 的小木块，还有14块的小木块，如果要拼成10个的正方体，则最少需要的小木块_块【例 56】 把一个长方体形

21、状的木料分割成3小块，使这3小块的体积相等已知这长方体的长为15厘米，宽为12厘米，高为9厘米分割时要求只能锯两次，如图1就是一种分割线的图除这种分割的方法外，还可有其他不同的分割方法，请把分割线分别画在图2的各图中图1 图2【例 57】 （第五届走进美妙数学花园六年级初赛试题）如图，把正方体用两个与它的底面平行的平面切开，分成三个长方体.这三个长方体的表面积比是时，用最简单的整数比表示这三个长方体的体积比： ： ： 【例 58】 (第三届“华杯赛”复赛)如图从长为13厘米，宽为9厘米的长方形硬纸板的四角去掉边长2厘米的正方形，然后，沿虚线折叠成长方体容器这个容器的体积是多少立方厘米？【巩固】

22、(第七届“祖冲之杯”数学邀请赛)现有一张长40厘米、宽20厘米的长方形铁皮，请你用它做一只深是5厘米的长方体无盖铁皮盒(焊接处及铁皮厚度不计，容积越大越好)，你做出的铁皮盒容积是多少立方厘米? 【例 59】 一个长、宽、高分别为厘米、厘米、厘米的长方形.现从它的上面尽可能大的切下一个正方体，然后从剩余的部分再尽可能大的切下一个正方体，最后再从第二次剩余的部分尽可能大的切下一个正方体，剩下的体积是多少立方厘米？【例 60】 小明用若干个大小相同的正方体木块堆成一个几何体，这个几何体从正面看如下图左,从上面看如下图右那么这个几何体至少用了 块木块 【巩固】右图是由22个小正方体组成的立体图形，其中

23、共有多少个大大小小的正方体？由两个小正方体组成的长方体有多少个？【例 61】 有黑白两种颜色的正方体积木，把它摆成右图所示的形状，已知相邻(有公共面)的积木颜色不同，标的为黑色，图中共有黑色积木多少块？【巩固】这个图形，是否能够由的长方体搭构而成？【巩固】有许多相同的立方体，每个立方体的六个面上都写着同一个数字(不同的立方体可以写相同的数字)先将写着2的立方体与写着1的立方体的三个面相邻，再将写着3的立方体写着2的立方体相邻(见左下图)依这样构成右下图所示的立方体，它的六个面上的所有数字之和是多少?【例 62】 如下图，用若干块单位正方体积木堆成一个立体，小明正确地画出了这个立体的正视图、俯视

24、图和侧视图，问：所堆的立体的体积至少是多少？ 【例 63】 (第十二届全国“华罗庚金杯”少年数学邀请赛)用一些棱长是1的小正方体码放成一个立体图形，从上向下看这个立体图形，如下图，从正面看这个立体图形，如下图，则这个立体图形的表面积最多是_ 【例 64】 （2009年“希望杯”二试六年级）用棱长为1的小立方体粘合而成的立体，从正面、侧面、上面看到的视图均如下图所示，那么粘成这个立体最多需要 块小立方体 【例 65】 (第十届华杯赛)第9届华罗庚金杯少年数学邀请赛总决赛于2004年5月10日在潮州举行，北京的选手们用个大小相同的小正方体木块粘贴成了一个从正面看是2004，从左面看是9的模型(如图

25、)问：最大为多少？最小为多少? 【例 66】 (日本第七届算术奥林匹克)有很多白色或黑色的棱长是的小正方体取其中的27个，拼成一个棱长是的大正方体，每一面都各用2个黑色的小正方体拼成了相同的图案。见例图例图中正方体的每一面的图案都相同，因此，用8个或9个黑色小正方体就可拼成这样的大正方体除例图的图案之外，还可以拼成每面的图案都相同的大正方体问：在下图的中找出可以拼成每面都相同的图案问：在问中，可以按要求拼成的大正方体各用几个黑色小正方体？最多的用几个？最少的用几个？例图 【例 67】 (2008年三帆中学考题)一个长、宽、高分别为12、9、7厘米的长方体，在它的每组两两相对的面的正中央都打一个

26、底面为4平方厘米的正方形的贯穿洞那么这个长方体剩下部分的体积是 立方厘米【例 68】 (05年武汉明心杯数学挑战赛)如图所示，一个的立方体，在一个方向上开有的孔，在另一个方向上开有的孔，在第三个方向上开有的孔，剩余部分的体积是多少？表面积为多少？【巩固】（2008年香港保良局第12届小学数学世界邀请赛）如图，原来的大正方体是由个小正方体所构成的其中有些小正方体已经被挖除，图中涂黑色的部分就是贯穿整个大正方体的挖除部分请问剩下的部分共有多少个小正方体？【巩固】一个由125个同样的小正方体组成的大正方体，从这个大正方体中抽出若干个小正方体，把大正方体中相对的两面打通，右图就是抽空的状态右图中剩下的

27、小正方体有多少个？【例 69】 (第七届“华杯赛”决赛)用大小相等的无色透明玻璃小正方体和红色玻璃小正方体拼成一个大正方体(如图)，大正方体内的对角线，所穿的小正方体都是红色玻璃小正方体，其它部分都是无色透明玻璃小正方体，小红正方体共用了401个，问：无色透明小正方体用了多少个?【例 70】 （2008年台湾小学数学竞赛选拔赛决赛）连接正方体各面的中心构成一个正八面体（如图所示）。已知正方体之边长为，请问正八面体之体积为多少立方厘米？ 【例 71】 如图,已知、分别是相邻的三条棱的中点沿三个中点连成一个正三角形，把原来的立方体切掉一角如果原来的立方体棱长为8，求：切掉的小部分的体积是多少？剩下

28、的大部分的体积是多少？【例 72】 （2008年第六届走美决赛六年级）如图，正方体的棱长为，连接正方体其中六条棱的中点形成一个正六边形，而连接其中三个顶点形成一个正三角形正方体夹在六边形与三角形之间的立体图形有 个面，它的体积是 【巩固】如图，原正方体的棱长为12厘米，沿图中的线将正方体切掉正面的部分，求剩下不规则立体图形的体积【例 73】 如图，是一个正方体，将正方体的、四个顶点两两连接就构成一个正四面体，已知正方体的边长为3，求正四面体的体积.【例 74】 (2005年第十届华杯赛决赛)一个正方体的每个顶点都有三条棱以其为端点，沿这三条棱的三个中点，从这个正方体切下一个角，这样一共切下八个

29、角，则余下部分的体积(如下图所示)和正方体体积的比是多少？【例 75】 (2008年清华附中试题)选项中有4个立方体，其中是用左边图形折成的是( )【例 76】 图1是下面 的表面展开图甲正方体；乙正方体；丙正方体；甲正方体或丙正方体 甲 乙 丙【例 77】 (2005年第十届华杯赛初赛)图中是一个直三棱柱的表面展开图，其中，黄色和绿色的部分都是边长等于1的正方形问这个直三棱柱的体积是多少？ 【例 78】 如图是一个四棱锥的展开图，该展开图由正三角形和正方形构成，其中正方形的面积为8平方厘米，那么该四棱锥的体积为多少？ 【例 79】 如图，剪一块硬纸片可以做成一个多面体的纸模型(沿虚线折，沿实

30、线粘)这个多面体的面数、顶点数和棱数的总和是多少？ 【例 80】 （2008年迎春杯六年级初赛）右图是个有底无盖的容器的平面展开图，其中是边长为18厘米的正方形，是同样大的等腰直角三角形，是同样大的等边三角形那么，这个容器的容积是 毫升【例 81】 如图左边为某个容器的展开图，右边的正六边形是该容器的盖子，该容器所有表面都是正多边形(正方形、正三角形、正六边形)，其中正方形的面积为18，那么该容器的容积为多少？【例 82】 （2009年迎春杯高年级组复赛）右图中的是同样的小等边三角形，也是等边三角形且边长为的2倍，是同样的等腰直角三角形，是正方形那么，以为平面展开图的立体图形的体积是以为平面展开图的立体图形体积的 倍 【例 83】 图和图是以正方形和等边三角形为面的立体图形的展开图，图中所有的边长都相同请问：图能围起来的立体图形的体积是图能围起来的立体图形的体积的几倍？ 图 图