信号与系统PPT教程第四章 傅里叶变换.ppt

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1、1,第四章 傅里叶变换,本章提要傅里叶级数和傅里叶级数的性质傅里叶变换和傅里叶变换的性质周期信号和非周期信号的频谱分析卷积和卷积定理抽样信号的傅里叶变换和抽样定理相关、能量谱和功率谱,2,4.1 引言,一、傅里叶生平1768年生于法国1807年提出“任何周期信号都可用正弦函数级数表示”1829年狄利克雷第一个给出收敛条件拉格朗日反对发表1822年首次发表“热的分析理论”中,3,二、傅立叶的两个最主要的贡献“周期信号都可表示为成谐波关系的正弦信号的加权和”傅里叶的第一个主要论点“非周期信号都可用正弦信号的加权积分表示”傅里叶的第二个主要论点三、变换域分析频域分析傅里叶变换，自变量为 j 复频域分

2、析拉氏变换,自变量为 S=+j Z域分析Z 变换，自变量为,4,4.2周期信号的频谱分析,周期信号可展开成正交函数线性组合的无穷级数：三角函数式的 傅立里叶级数 cosn1t,sinn1t复指数函数式的傅里叶级数 e j n 1t,5,一、三角函数的傅里叶级数,直流分量,基波分量n=1,谐波分量n1,6,直流系数,余弦分量系数,正弦分量系数,7,狄利克雷条件：,.在一个周期内只有有限个间断点；.在一个周期内有有限个极值点；.在一个周期内函数绝对可积，即 一般周期信号都满足这些条件.,8,三角函数是正交函数,9,周期信号的另一种三角函数正交集表示,10,比较几种系数的关系,11,周期函数的频谱：

3、,an,bn,cn和n都是 n1的函数。把cn（各频率分量的相对大小）对n1的关系绘成线图，此图为信号的幅度频谱（幅度谱），图中每条线代表某一频率分量的幅度，称为谱线。n对n1的关系线图为信号的相位谱。因为cn和n只在n1（各频率点且n=0）取值，所以周期信号的幅度谱与相位谱均为单边离散谱。周期信号的谱线只出现在基波频率的整数倍的频率处。直观看出：各分量的大小，各分量的相移。Cn,12,二、周期函数的复指数级数,引入了负频率,13,两种傅氏级数的系数间的关系,14,15,频谱图,同样可以画出复指数形式表示的信号频谱，因 F(n1)一般是复函数，称为复数频谱。|F(n1)|为复数幅度谱，n 为相

4、位谱。同样因为|F(n1)|和n只在n1 取值，而n的取值可从-到+，因此指数形式表示的信号频谱为离散的双边谱。注：应把指数形式表示的信号频谱的正、负频率上对应的两条谱线矢量相加才代表一个频率分量的幅度。负频率的出现完全是数学运算的结果，无物理意义。如图3-2。,16,周期复指数信号的频谱图,17,例 将全波整流信号f(t)=|sin t|展开成指数形式的傅里叶级数，并画出频谱图。,18,19,一次谐波分量由n=+1,n=-1两条谱线决定，二次谐波分量由 n=+2,n=-2两条谱线决定,2,4,6,-2,-4,-6,2,4,6,-2,-4,-6,F(n1),|F(n1)|,2,4,6,-2,-

5、4,-6,n,幅度谱,相位谱,20,三、谱系数F(n)的性质,1.奇偶虚实性,21,若f(t)为偶函数，那么F(n1)为实函数（an0，bn=0），f(t)的傅里叶级数只含有余弦项，相位为；f(t)为奇函数，那么F(n1)为虚函数（an=0，bn0），f(t)的傅里叶级数只含有正弦项，相位；f(t)为非奇非偶，那么F(n1)为复函数（an0，bn0），f(t)的傅里叶级数既含有余弦项，又含有正弦项。,22,奇谐函数，即波形沿时间轴平 移半周期并相对于时间轴上下反转。如图3-5，直流分量a0=c0=F0=0；对于偶次谐波分量，其系数为0；而奇次谐波分量系数不为0，故奇谐函数只含有基波和奇次谐波分

6、量。,T1/2,-T1/2,0,t,23,3.时移特性,24,4.微分特性,25,例删除直流分量偏移以显现隐藏的对称性 删除直流分量a0=0.5后，信号为奇对称。故an=0，其付里叶级数只有正弦分量。,1,2,1,26,可利用微分特性求谱系数例周期信号f(t)如下图，试求其谱系数。取一个周期的f(t)f(2)(t),E,27,应补出直流分量,例半波整流信号f(t)，周期为T，试求其谱系数。,28,29,1,21,41,-41,-21,-1,1,21,41,-21,-1,-41,|F(n1)|,(n),30,四、周期信号的功率特性,P为周期信号的平均功率符合帕斯瓦尔定理,31,功率谱：|F(n1)|2n1,32,五、傅里叶有限级数,如果完全逼近，则 n=;实际中，n=N,N是有限整数。如果 N愈接近，则 其均方误差愈小若用2N1项逼近，则,33,误差函数和均方误差,误差函数均方误差,34,例如对称方波：偶函数且奇谐函数,只有奇次谐波的余弦项。,E/2,-E/2,T1/4,-T1/4,t,35,对称方波有限项的傅里叶级数,N=1N=2N=3,36,有限项的N越大，误差越小例如:N=11,37,N越大，越接近方波快变信号，高频分量，主要影响跳变沿；慢变信号，低频分量，主要影响顶部；任一分量的幅度或相位发生相对变化时，波形将会失真有吉布斯现象发生,