连续时间系统时域分析xin.ppt

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1、线性连续系统的描述及其响应 冲激响应和阶跃响应卷积积分 系统的微分算子方程,第二章 连续系统的时域分析,系统分析方法：主要有时域分析法和变换域（频域）分析法。,时域分析方法:不涉及任何变换，直接求解系统的微分、积分方程式，这种方法比较直观，物理概念比较清楚，是学习各种变换域方法的基础。,系统分析：已知输入信号和系统模型分析输出。系统模型：系统物理特性的数学抽象。数学表达式主要用于系统计算；系统方框图主要用于系统仿真。系统描述方法：连续时间系统的数学模型通常用微分方程描述。有两种描述方法。,（系统分析简介）,2.1 线性连续系统的描述及其响应,2.1.1 系统的描述及微分方程的列写 描述线性时不

2、变连续系统的数学模型是线性常系数微分方程。,式中an-1，a1，a0和bm，bm-1，b1，b0均为常数,1.根据实际系统的物理特性列写系统的微分方程。2.对于电路系统，列写数学模型的基本依据：1)元件特性约束特性 2)网络拓扑约束特性,元件特性约束：表征元件特性的关系式。,网络拓扑约束：由网络结构决定的电压电流约束关系,KCL，KVL。,(2)电感L，(3)电容C，(4)互感(同、异名端连接)、理想变压器等原、副边电压、电流关系等。,1.元件约束VAR 在电流、电压取关联参考方向条件下：(1)电阻R uR(t)=RiR(t)；,2.结构约束KCL与KVL 例图所示电路，激励是电流源iS(t)

3、,试列出电流iL(t)为响应的方程。,+uc(t)_,解 由KVL，列出电压方程,对上式求导，考虑到,根据KCL，有iC(t)=iS(t)-iL(t)，代入上式,结论:1.LTI系统可以通过常系数线性微分方程来描述，而且方程的右侧自由项为激励，左侧为系统响应。2.求解系统的响应转化为求微分方程的解的问题。,当R=R=1,L=0.5,C=1时，则有,激励：excitation 响应：response常系数的n阶线性常微分方程:C,E均为常数。阶次：r(t)的最高阶次减去其最低阶次。,n 阶线性时不变系统的模型,微分方程的解：完全解齐次解+特解,齐次解:homogeneous 特解:particu

4、lar,2.1.2 系统微分方程的经典法,1.经典解法,(1)齐次解(homogeneous),满足方程：,特征方程：,特征根为：,由特征方程求出特征根写出齐次解形式,分三种情况讨论（都有n个待定系数Ai）：,解：系统的特征方程为,特征根,对应的齐次解为,(2)特解(particular),将e(t)代入方程的右端，整理得到自由项;根据自由项形式，设特解（P46）；将特解函数式代入原方程；比较系数得出待定系数，从而得到特解。,满足方程：,如果已知：分别求两种情况下此方程的特解。,例：给定微分方程式,将此式代入方程得到：,等式两端各对应幂次的系数应相等，于是有,联解得到,所以，特解为,这里，B是

5、待定系数。代入方程后有：,(2),微分方程的解与系统响应的关系：,自由响应：由系统自身特性决定。rh(t)强迫响应：与外加激励信号有关。rp(t)自然频率：特征方程的特征根i,微分方程的解：完全解 齐次解 特解系统的响应：全响应自由响应强迫响应,问题：要得到完全解，还需要确定系数Ai？,例给定系统的微分方程,若激励信号为,初始状态为,求系统的响应y(t).,解：1)求对应齐次方程的通解,系统的特征方程为,特征根为:,1=5,2=-2,对应的齐次解为:,2)求特解,将,代入方程右端,得,选特解函数式,B为待定系数,代入方程后有:,特解为:,3)求完全解y(t),由初始条件确定常数A1,A2.,得

6、,所以,系统响应为,t0,根据初始条件:,确定式中常数A.,2、系统的二个状态,0时刻：激励加入的计时起点定义为0时刻。0状态：激励加入之前瞬间的状态。0状态：激励加入之后瞬间的状态。,要确定 Ai，需要知道r(t)在0时刻的初始条件,3、确定 Ai,一般情况下，换路期间电容两端的电压和流过电感中的电流不会发生突变（换路定则）。,对于一个具体的电网络，系统的0_状态就是系统中储能元件的储能情况。,但是当有冲激电流强迫作用于电容或有冲激电压强迫作用于电感，0_到0+状态就会发生跳变。,4、系统状态及说明,系统变量的0+状态决定微分方程的0+状态，但通常要经过转换计算（经典法）。,当系统已用微分方

7、程表示时，微分方程的0_状态已知，从0_状态到 0+状态有没有跳变，取决于微分方程右端自由项是否包含(t)及其各阶导数（匹配法）。,2.1.3 初始条件的确定（起始点的跳变从0-到0+）,一般情况下，换路期间电容两端的电压和流过电感中的电流不会发生突变（换路定则）。,对于一个具体的电网络，系统的0_状态就是系统中储能元件的储能情况。,但是当有冲激电流强迫作用于电容或有冲激电压强迫作用于电感，0_到0+状态就会发生跳变。,1电容电压或电感电流的跳变 1）电容电压的突变,由伏安关系,当有冲激电流或阶跃电压作用于电容时：,2）电感电流的突变,如果为有限值，,综合1)和2)可得:当电容有阶跃电压或者冲

8、激电流加入时,电容的电压V0-到V0+会出现跳变;当电感有冲激电压或者阶跃电流加入时,电感的电流I0-到I0+会出现跳变.,2、冲激函数匹配法求跳变量（难点）,引入函数：,例：,t=0 时刻:,在t=0时刻,在t=0时刻,所以，,设,(2)逐次积分，一直到得到r(t),(3)代入原方程,冲激函数匹配法步骤：,(1)考察方程两边，右边关于 的最高阶项肯定由左边r(t)的最高阶产生，由此先设r(t)的最高阶项。,(4)按左右两端各系数相等求得各待定参量。,(5)求跳变量的大小：,（1）将e(t)代入微分方程，得 0时刻方程：,方程右端的冲激函数项最高阶次是，因而设,代入微分方程,(2),求得,因而

9、有,冲激函数匹配法的关键问题：,准确写出系统从0到0+时刻满足的微分方程；掌握冲激函数匹配法的各个步骤；掌握求跳变量大小的方法。,自由响应强迫响应,零输入响应零状态响应,暂态响应+稳态响应,2.1.4 零输入响应与零状态响应,系统的完全响应可分为：,系统的完全响应也可分为：,零输入响应：当激励信号为0时，仅由起始状态所产生的响应。,零状态响应：当起始状态 时，仅由激励信号所产生的响应。,y(t)=yzs(t)+yzi(t)=H e(t)+H X(0),1.零输入及零状态的线性,1）响应的分解性 系统响应可分解为零状态响应和零输入响应；2）零状态的线性 当起始状态为零时，系统的响应yzs(t)与

10、e(t)成线性；3)零输入的线性 当外加激励e(t)为零时，系统的响应yzi(t)与起始状态成线性；,y(t)=yzs(t)+yzi(t)=H e(t)+H X(0),已知一线性时不变系统，在相同起始状态下，当激励为e(t)时，其全响应为；当激励为2e(t)时，其全响应为。求：(1)起始状态不变，当激励为e(t-t0)时的全响应r3，为大于零的实常数。(2)起始状态增大1倍，当激励为0.5e(t)时的全响应。解：设零输入响应为rzi(t)，零状态响应为rzs(t)，则有,例题：,例题：某LTI系统微分方程为，若激励信号和起始状态为:e(t)=u(t),r(0-)=0,，试求出系统响应.,解：可

11、令方程右侧为 u(t)，则有,把r(0+)=r(0-)=0代入可得：A=-1/3,可设特解为：r1p(t)=B，则带入方程可得B=1/3,因此r1(t)为：,根据系统的线性及微积分特性可得系统全响应为：,结论：系统的零状态响应也可以利用线性及微积分性等性质来求解。,零输入响应：当激励信号 e(t)=0时，由起始状 态 所产生的响应。,零输入响应为,其中待定系数由起始条件 来确定。,2.零输入响应与零状态响应经典解法,零状态响应：当起始状态 时，由激励 信号e(t)所产生的响应。,零状态响应的形式为：,其中系数Azsk由y(k)zs(0+)来确定。,注意：y(k)zs(0+)与 y(k)zs(0

12、-)不一定相同。当方程右侧有冲激函数或者其各阶导数，会有跳变，应使用冲激函数平衡法。,例题：某LTI系统微分方程为，若激励信号和起始状态为:e(t)=u(t),r(0-)=1,，试分别求出零输入响应、零状态响应及全响应.,解：由已知得：e(t)=u(t),r(0-)=1，设rzi(t)和rzs(t)分别为零输入响应和零状态响应。1）零输入响应rzi(t)，则有rzi(0-)=rzi(0+)=1,且输入为零，即方程右侧为零。,把rzi(0+)=1代入可得：A=1,2）零状态响应rzs(t)，则有rzs(0-)=0,且输入为:e(t)=u(t),因此,通解为：,设特解为B：,方程右侧没有冲激函数及

13、其导数，因此有：,因此全响应为,例题：某LTI系统微分方程为，若激励信号和起始状态为:e(t)=(t),r(0-)=1,，试分别求出零输入响应、零状态响应及全响应.,解：由已知得：e(t)=(t),r(0-)=1，设rzi(t)和rzs(t)分别为零输入响应和零状态响应。1）零输入响应rzi(t)，则有rzi(0-)=rzi(0+)=1,且输入为零，即方程右侧为零。,把rzi(0+)=1代入可得：A=1,2）零状态响应rzs(t)，则有rzs(0-)=0,且输入为:e(t)=(t),因此,代入微分方程可得：,注意：方程右侧含有冲激函数，因此0-到0+有跳变。,根据左右两侧冲激函数匹配可得：,因

14、此全响应为,由冲激函数匹配法，在t=0时刻可以设：,冲激响应:系统在单位冲激信号(t)的激励下产生的零状 态响应.记作h(t).,阶跃响应:系统在单位阶跃信号u(t)的激励下产生的零状 态响应.记作g(t).,H,(t),h(t)=H(t),H,u(t),g(t)=H u(t),对于LTI系统,h(t)与g(t)之间关系:,2.2 冲激响应和阶跃响应,对于线性系统,冲激响应h(t)满足方程,及起始状态,2.2.1 冲激响应,例,解：,求特征根,通解为：,求系统 的冲激响应。,由已知可得,求0+定系数,代入h(t),得,例题：某LTI系统微分方程为，试求出系统的冲激响应.,解：由已知可得，则有,

15、代入微分方程可得：,确定h(0+),可用冲激函数平衡法，在t=0时可设,例题：某LTI系统微分方程为，试求出系统的冲激响应.,代入微分方程可得：,因此有：,因此有：A=-5,系统冲激响应为,总结,冲激响应的求解至关重要。,冲激响应的定义零状态；单位冲激信号作用下，系统的响应为冲激响应。,冲激响应说明：在时域，对于不同系统，零状态情况下加同样的激励，看响应，不同，说明其系统特性不同，冲激响应可以衡量系统的特性。,用变换域(拉氏变换)方法求冲激响应和阶跃响应简捷方便，但时域求解方法直观、物理概念明确。,如果描述系统的微分方程是式g(n)(t)+a n-1 g(n-1)(t)+a1g(1)(t)+a

16、0g(t)=bmu(m)(t)+bm-1 u(m-1)(t)+b1u(1)(t)+b0u(t)，法一）经典解法 可求得其特解特征根i(i=1，2，n)均为单根，则系统的阶跃响应的一般形式(nm)为 法二）,2.2.2 阶跃响应,由于,反之,2.3.1卷积定义 在信号分析与系统分析时，常常需要将信号分解为基本信号的形式。,2.3 卷积积分,当0时上式变为,我们定义,卷积定义：设两个函数f1(t)、f2(t)，则称如下运算为函数f1(t)与 f2(t)卷积。,1.解析计算例：已知f1(t)=e-3t u(t)，f2(t)=e-5t u(t)，试计算两信号的卷积f1(t)*f2(t)。解：,2.3.

17、2 卷积积分的计算,2.图解计算,例：已知 分别如下图(a)，(b)所示。试用图解法求两信号的卷积y(t)=f(t)*h(t)。,-T+t t,-T+t t,-T+t t,-T+t t,-T+t t,综合各段结果，有：,解：,1）当 时，,2）当 时，,3）当，即当 时,4）当，即当 时，,5）当，即 时，,2.3.3 卷积积分法求解零状态响应 在求解系统的零状态响应yf(t)时，将任意信号f(t)都分解为冲激信号序列，然后充分利用线性时不变系统的特性，从而解得系统在任意信号f(t)激励下的零状态响应yf(t)。,系统的零状态响应yf(t)为输入激励f(t)与系统的冲激响应h(t)的卷积积分，

18、为,例：已知某线性时不变系统的冲激响应为h(t)=e-5t u(t)，求当激励为f(t)=e-3t u(t)时系统的响应。解：系统的响应为,例：求下列两个串并系统的冲激响应。,并联系统的冲激响应等于组成并联系统的各子系统冲激响应之和。,串联系统的冲激响应等于组成串联系统的各子系统冲激响应的卷积。,例题：图(a)系统由三个子系统构成，已知各子系统的冲激响应如图(b)所示。求复合系统的冲激响应，并画出它的波形。,(a),(b),解：,如图（c）所示,X,(c),2.3.4卷积积分的性质,代数性质时移性质微分积分性质,1.代数性质,（1）交换律,（2）分配律,（3）结合律,2.时移性质,解：因为,根

19、据时移性质得：,因此有：,3微分积分性质,两端对t 求导,即,证明：,推广：,微分性质积分性质联合实用,对于卷积很方便。,g(t)的积分,微分n次，积分m次,m=n,微分次数积分次数,解：因为,根据微积分性质得：,例,例题：已知函数f(t)、h1(t)、h2(t)如图，求f(t)h1(t),f(t)h2(t)。,结果,结论：门函数卷积之和为等腰梯形或为三角形。其中，起点=起点之和；终点=终点之和；腰宽=窄门宽；平顶宽=两门宽之差；最大值=门高之积窄门宽。,2.4 系统的微分算子方程,2.4.1 微分算子和积分算子,式中，p称为微分算子，1/p称为微分逆算子或积分算子。这样，可以应用微分或积分算

20、子简化表示微分和积分运算。例如：,性质1 以p的正幂多项式出现的运算式，在形式上可以像代数多项式那样进行展开和因式分解。例如：,性质2 设A(p)和B(p)是p的正幂多项式，则,主要性质,性质3 微分算子方程等号两边p的公因式不能随便消去。例如，由下面方程,不能随意消去公因子p而得到y(t)=f(t)的结果。因为y(t)与f(t)之间可以相差一个常数c。正确的结果应写为,性质4,2.4.2 LTI系统的微分算子方程,对于LTI n阶连续系统，其输入输出方程是线性、常系数n阶微分方程。若系统输入为f(t)，输出为y(t)，则可表示为,它代表了系统将输入转变为输出的作用，或系统对输入的传输作用，故

21、称H(p)为响应y(t)对激励f(t)的传输算子或系统的传输算子。,图 用H(p)表示的系统输入输出模型,例 设某连续系统的系统的方程为：,求系统的传输算子。,解：系统的微分方程为,写出系统的算子方程,于是，得到系统的传输算子为,2.8.3 电路系统算子方程的建立,电路元件的算子模型,例 电路如图(a)所示，试写出u1(t)对f(t)的传输算子。,解 画出算子模型电路如图(b)所示。由节点电压法列出u1(t)的方程为,所以u1(t)对f(t)的传输算子为,它代表的实际含义是,2-4(2)2-5(3)2-6(1)2-7 2-9(2)2-12 2-15(2)2-17 2-20,1.求解教科书上题2-14和题2-15(c)；,2.通过以上计算结果，利用卷积积分的四步曲过程,总结出不需要计算积分而直接画出两个任意矩形脉冲（包括两个等宽矩形脉冲和两个不等宽矩形脉冲）的卷积积分后的波形。,作业题,思考总结题,